-
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第一学期《线性代数A 》A 卷（72学时用）
学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算下列各题（每题6分，3题共18分）：
(1).计算行列式
a
a a +++1111
111
11 .
(2).已知阶矩阵 (2)n ≥，且非奇异，求**()A .
(3).设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足
0I A I A +==-，计算23I A +.
二、(12分)设10102
016A a ??
?
= ? ??
?，且()2r A =，满足2AX I A X +=+，求a 和.
三、(15分)设22
22
54245λλλ--??
?=-- ? ?---?
?A ,121λ??
?
= ? ?--??
b .讨论λ为何值时,方程组=AX b 无
解、有唯一解、有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.
四、(15分)设二次型222
123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,
(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值； (2).求可逆矩阵P ，使1P AP -成为对角阵; (3).计算m A (m 是正整数).
五、(15分)设112212(,),(,) V L V L ααββ==, 其中1(2,1,3,1)α=-,2(0,2,0,1)α=；
1(1,3,1,0)β=,2(1,6,2,3)β=--. 求12V V +与12V V 的基与维数.
六、(15分)设σ是n 维线性空间V 上的线性变换,且满足1()n σαθ-≠,但()n σαθ=.
(1).证明α,()σα,2()σα,…,1()n σα-是V 的一组基； (2).求线性变换σ在这组基下的矩阵A ； (3).讨论A 能否和对角阵相似.
七、(10分)设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值.证明:AB BA =的充要条件是A 的特
征向量也是B 的特征向量.
2005－2006第一学期《线性代数A 》A 卷参考解答
一、
1.
a a a +++11
1111111 .＝)(000
01
11)(11111111
1)
(a n a a
a a n a a
a n n +=+=+++
2、2
n A
A -；
3、－10 .
二、解：由初等变换求得a ＝1，由
，得
，由于
0≠-E A ，因此
可逆 ，且
三、解：经计算2(1)(10),A λλ=--- 因此方程组有唯一解
。
时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
，即时无解。
时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
，所以
时有无穷多解。等价方程组为:
令，得通解为：
四、解：1) 二次型的矩阵为A ＝
;
|
E-A |＝=(+1)(－2)
所以A 的全部特征值为：
＝－1,
＝
＝2
对
= —1, 解 (－E －A )X ＝0 得基础解系为 ＝(1,1,1)； 对
＝
＝2, 解(2E —A )X ＝0得基础解系为
＝ (—1,1,0),
＝ (—1,0,1)。
2).令P ＝123(,,)ααα＝
，即为所求可逆阵，此时AP ＝＝.
3) 1(1)2(1)42--=Λ==-m
m m m
m m m
A P P
五、 1212201111031103123603390113(,,,)301203170011110302150000T T T T
ααββ---??????
? ? ?---=→→ ? ? ?
-- ? ? ?---??????
故12dim()3V V +=,且121,,ααβ是12V V +的一组基.又显然有1dim()2V =,2dim()2V =,由维数公式得12dim()1V V = .考虑齐次线性方程组:
112211220x x y y ααββ+++=
得基础解(1,2,1,1)T --,进而得12V V 的基为122(2,3,3,3)αα-=--.
六、 1.作组合21121()()()0n n k k k k ασασασα--++++= ，依次用12,,,n n σσσ-- 作用于上
式两边，即可得11n k k k -===
2.00001
0000
100001
0A ?? ? ?= ? ??
?
3.由于A 只有零特征值(n 重)，而0Ax =的基础解系仅含一个解向量，没有n 个线性无关的
特征向量，故不能与对角阵相似.
七、必要性：设λ是A 的特征值，x 是对应的特征向量．则Ax x λ=，故A B x B A x B x λ==
即Bx V λ∈．而V λ是一维子空间，故Bx kx =，即x 也是B 的特征向量．
充分性：,A B 有n 个相同的线性无关的特征向量12,,,n ααα ．取12() n P ααα=
则有 1
1112
2
, n n k k P AP P BP k λλλ--????
? ?==
? ? ? ????
?
， 或 11
11
2
2
, n n k k A P P B P P k λλλ--????
? ?==
? ? ? ??
??
?
， 由此即得AB BA =．
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第二学期《线性代数B 》（A 卷）
学院 专业 学号 姓名
注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每小题6分，4题共24分）：
1、设五维向量
()13,21,0,9,0α=， ()21,7,1,2,1α=---，()32,14,0,6,1α=，
求向量组123,,ααα的一个极大无关组。 2、设有四阶方阵
12311211011230
24A --?? ?-
?= ?- ?
??， 求行列式 AA T
的值。
3、判定二次型
222
123123121323(,,)26226f x x x x x x x x x x x x =+++++
的正定性。
4、已知a a a A b b b c c c ?? ?= ? ???
，求2006
A 。
二、解答题（每小题12分，3题共36分）：
1、已知
111011001A -??
?
= ? ?-??
，且2A AB I -=，
其中I 是3阶单位矩阵， (1) 求矩阵B ； （2）令
22422C A B BA AB =--+，
计算C 的伴随阵*C 。 2、给定3
R 的两组基
123123(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)εεεηηη======
定义线性变换：
(),1,2,3i i i σεη==
试求：
（1）求由基321,,εεε到基321,,ηηη的过渡矩阵; （2）求线性变换σ在基321,,ηηη下的矩阵。 3、已知
123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-，
（1）求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形。 （2）在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
三、证明与讨论（3题共40分）
1、设有线性方程组
1231231
23031
x x x x x x x x x λλλλ++=??
++=??++=-? , 问λ 取何值时，方程组有惟一解、无解或有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。（15分） 2．设
A 为n n ?矩阵，证明如果2A I =，那么
()()r A I r A I n ++-=
其中I 为n n ?的单位矩阵，r 为矩阵的秩。（10分） 3、设
200
11
1100A x ?? ?=- ? ??
?
， x 为实数，试讨论x 为何值时，矩阵A 可与对角阵相似？（15分）
线性代数B 参考答案
一、计算下列各题：
1、解：由≠090121900
6
1
－－－＝，及123,,R ααα≤（）3，则知123,,ααα即为一极大无关组。
2、解：2AA A T
=，1231
12115001123024
A ---=
=-，所以：2500AA T =。 3、解：f 的矩阵111123136A ??
?= ? ???
，顺序主子式为
1110a =>，111012=>，11112310136=>， 根据正定性的判定定理知f 为正定二次型。
4、解：()111a A b c ??
?= ?
?
??，则()()()20062006111111111A
a a a A
b b b
c c c ?????? ? ? ?= ? ? ? ? ? ???????
个 ()()()2005111111111a b c a a a b b b c c c ++?????? ? ? ?= ? ? ? ? ? ??????? ()个相乘
=a a a a b c b b b c c c ??
?++ ? ???
2005()。 二、解答下列各题：
1、解：(1)由I AB A =-2
，得()A A B I -=，而A 10,=-≠ 因此矩阵A 可逆，且
1112A 011001---?? ?= ? ?-?? ，所以由()A A B I -=，得1-=-A B A ，故1021B A A 000000-??
?=-= ? ???。
（2）注意2242222(2)(2)(2),A B BA AB A A B B B A A B A B --+-=-＝（＋）＋＋
且(2)A B ＋＝241022,002-?? ? ? ?-?? (2)A B -＝203022,002-?? ? ? ?-??(2)(2)A B A B -＋＝484040004?? ? ?
???，
即22
422C A B BA AB =--+=484040004?? ? ? ???，且1*12116010001C C C ---??
?== ?
???
。 2、解 （1）取3
R 的另一组基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===e e e ，则由基321,,e e e 到基
321,,ααα与321,,ηηη的过渡矩阵P 及Q 分别为121111011,011101001P Q ????
????==????????????
再由X ),,(),,(321321εεεηηη=可解得由基321,,εεε到基321,,ηηη的过渡矩阵为
1121201212012121X P Q --?? ?
== ? ?-??
（2）123123123(,,)(,,)(,.)X X σηηησεεεηηη==，故σ在基321,,ηηη下的矩阵仍为X 。
3、解：（1）011101110A ??
?=- ? ?-??
，A 的特征多项式为11
()11(1)(2),
11f λλλλλλ
-=--=--+--令()0f λ=，得1231,2λλλ===- ，
对121,λλ==解线性方程组12123311110,11x x o x x x x -???? ?
?--=?--= ? ? ? ?--????
111基础解系为：
12(1,0,1),(1,1,0)ξξT T ==
，正交规范化得：121,2,1)ββ==-- 对32λ=-， 解线性方程组123211121112x x o x ??
?? ?
?-= ? ? ? ?
-????
1231232020x x x x x x ++=???-+=?，得基础解系为：3(1,1,1)ξT =--
，规范化得：31,1)βT =--，
则所求之一正交变换矩阵0P =
1
-11-2-111-1，变换之下的标准形为：
222
1232f y y y =+-。
（2）由于正交变换保持向量的长度不变，则1X Y ==，
222222
2
12312333
23
13f y y y y y y y y =+-=++-=-，注意：
2
301y ≤≤，则
232131y -≤-≤，
即f 的最大值为1，最小值为2-。比如令(0,0,1)Y T =，有min 2,f =- 令(1,0,0)Y T =，有
max 1f =。
三、证明题与讨论题：
1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：
(1)当1λ≠且2λ≠-时，()()3,R A R B ==方程组有唯一解；
(2)当1λ=时，()1R A =，()2R B =，该情形方程组无解； (3)当2λ=-时, ()()2,R A R B ==, 此时方程组有无限多个解。而,
211021101011121312130112,112300000000B ----?????? ? ? ?=--- ? ? ? ? ? ?--??????
，
由此得13233
312x x x x x x =-??=-??=?，即123111210x x c x -?????? ? ? ?
=+- ? ? ? ? ? ?
??????，()c R ∈。
证 因为
r （A+I ）+r （A —I ）≥r （A+I+A —I ）=r(A)
20,()A I A A n =∴≠= r ，故 r （A+I ）+r （A —I ）≥n
又因为
2()()A I A I A A A I I I A A O +-=+--=-+-=
∴ r （A+I ）+r （A —I ）≤n 即证 r （A+I ）+r （A —I ）=n
3、解：201
1110A I x λλλλ
--=---＝22(1)()x λλ--，得11,λ= 2x λ=±、3。
1）当0x ≠且1x ≠±时，A 有3个相异特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 一
定可以对角化。
2）如果1x =±，则、23=1,11λλ=-，
注意到1λ、2=1时，由()A I λ-＝1011011
010********--????
? ?- ? ? ? ?-????
，()1R A I -=， 则由1231011010101x x x -???? ?
?-= ? ? ? ?-????恰给出A 的两个线性无关的特征向量。
而当1λ=-3时，由()A I λ-＝101101121121101000????
? ?-- ? ? ? ?????
，()2R A I +=， 则由1231011210000x x x ???? ?
?-= ? ? ? ?????
恰给出A 的一个特征向量。
再由上题知，此种情形下，A 的三个特征向量线性无关，即A 也可以对角化。
3）如果0x =，则2、3＝
011,λλ=， 注意到23λ、=0时，由1230
01111000
0x x x ???? ?
?-= ? ? ? ?????
及()2R A =知，即A 恰有一个特征向量。
而当11λ=时，由10110110100100
1000--???? ? ?
-- ? ? ? ?-?
???
及()2R A I -=知，
1231011010001x x x -???? ? ?-= ? ? ? ?-????
恰给出A 的一个特征向量，从而此情形下A 不具有3个线性无关的特征向量，则A 不可对角化。
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第一学期《线性代数C 》A 卷
学院 专业 学号 姓名
注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每题6分，4题共24分）：
1．设111111111-?? ?=-- ? ?--??
A ，计算5
A .
2．设二阶方阵A 满足方程2
32A A E O -+=，求A 的所有可能的特征值. 3．计算行列式
a
a a a ++++111111111
1111
111..
4．设n 阶向量T x x )00(，，，， =α，矩阵T E A αα-=,且1T A E x αα-=+，求实数x .
二、解答题（4题共60分，每题15分）
1．设10102016A a ??
?
= ? ???
，且()2R A =，
满足
，求a 和
.
2．已知
222254245λλλ--?? ?=-- ? ?---??A ,121λ??
?= ? ?--??
b ,
就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，
求出其通解. 3、设二次型
222
123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,
(1).求出二次型f 的矩阵A 及其秩; (2).求出矩阵A 的全部特征值;
(3).求可逆矩阵P ，使AP P 1
-成为对角阵.
4、设是三阶实对称矩阵A 的特征值为6，3，3，且与特征值6对应的特征向量为T
p )1,1,1(1=，求A .
三、证明题（2题共16分）：
1.（8分）设
是阶实方阵，当为奇数且
及
时, 证明：=0-E A .
2.（8分）若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之.
2005－2006第一学期《线性代数C 》A 卷参考解答
一、计算题：
1、?
???
? ??------11111111
1)3(4
；2、1212λλ＝，＝；3
＝)(a n a n +；4、
－1 .
二、解答题：
1、解： a ＝1，由0≠
-E A ，因此
可逆 ，且
2、解：经计算, 因此方程组有唯一解
。
时，因 ，即
时无解。
时，因
，
通解为：
3、解：1) 二次型的矩阵为A ＝
; 秩（A ）=3；
2
） |
E-A |＝(+1)(－
2) ，所以A 的全部特征值为：
＝－1,
＝
＝2
3)
。对
= —1, 解得基础解系为 ＝(1,1,1)； 对
＝
＝2, 解得基础解系为
＝ (—1,1,0),
＝ (—1,0,1)。
令P ＝123(,,)ααα＝
，则AP ＝＝.
4、???
?
?
??=
4`11141114A ；
三、证明题
1、证明：
，
所以
.
2、证明：如果0≠A ，即123,,ααα线性无关，则有C C 0=≠B A A ＝，得123,,βββ线性无关；
反之如果123,,βββ线性无关，则由C 0=≠A B ，得到0≠A . 可见, 123,,ααα线性无关是123,,βββ线性无关的一个充分必要条件.
武汉大学数学与统计学院
2005－2006学年第二学期《线性代数D 》 （A 卷）
学院 专业 学号 姓名
注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每小题6分，5题共30分）：
1、设()13,21,0,9,0α=， ()21,7,1,2,1α=---，()32,14,0,6,1α=，求向量组123,,ααα的
一个极大无关组。
2、设 12311211011230
24A --?? ?-
?= ?- ?
??，求行列式 AA T 的值。 3、设()()12111,121ααT T
==- ，试求一个非零向量α，使12,,ααα 两两正交。
4、判定二次型
222
123123121323(,,)26226f x x x x x x x x x x x x =+++++的正定性。
5、已知a a a A b b b c c c ?? ?= ? ???
，求2006
A 。
二、解答题（每小题15分， 2题共30分）：
1、已知111011001A -?? ?= ? ?-??
，且2
A A
B E -=，其中E 是3阶单位矩阵，
(1) 求矩阵B ；
（2）令22422C A B BA AB =--+，计算C 的伴随阵*
C 。
2、已知
123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-，
（1）求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形。 （2）在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
三、证明与讨论（3题共40分）
1、设有线性方程组1231231
23031
x x x x x x x x x λλλλ++=??
++=??++=-? , 问λ 取何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多个解？并在有无穷多解时求出其通解。（15分）
2、设三阶阵A 有三个实特征值123λλλ、、，且满足123λλλ=≠，如果1λ对应两个线性无关的特征向量1α和2α, 3λ对应一个特征向量3α，证明123,,ααα线性无关。（10分）
3、设200
111100A x ?? ?
=- ? ???
，x 为实数，试讨论x 为何值时，矩阵A 可与对角阵相似？（15分）
线性代数D （即工科36学时）参考解答：
一、计算下列各题：
1、解：由≠090121900
6
1
－－－＝，及123,,R ααα≤（）3，则知123,,ααα即为一极大无关组。
2、解：2AA A T
=，
1231
12115001123024
A ---==-，所以：2500AA T =。 3、解：令1230,,1111111101 12112100x x x ??
??????
?= ? ? ? ??????? ???
－－ 得132
0x x x =-??=?，取
()1,0,1T
α=-即可。
4、解：f 的矩阵111123136A ??
?= ? ???
，顺序主子式为
1110a =>，111012=>，11112310136=>， 根据正定性的判定定理知f 为正定二次型。
5、解：()111a A b c ??
?= ?
???，则()()()20062006111111111A
a a a A
b b b
c c c ?????? ? ? ?= ? ? ? ? ? ???????
个 ()()()2005111111111a b c a a a b b b c c c ++?????? ? ? ?= ? ? ? ? ? ??????? ()个相乘
=a a a a b c b b b c c c ??
?++ ? ???
2005()。 二、解答下列各题：
1、解：(1)由2
E -=A AB ，得()A A B E -=，而A 10,=-≠ 因此矩阵A 可逆，且
1112A 011001---?? ?= ? ?-?? ，所以由()A A B E -=，得1-=-A B A ，故1021B A A 000000-??
?=-= ? ???
。
（2）注意2242222(2)(2)(2),A B BA AB A A B B B A A B A B --+-=-＝（＋）＋＋
且(2)A B ＋＝241022,002-?? ? ? ?-?? (2)A B -＝203022,002-?? ? ? ?-??(2)(2)A B A B -＋＝484040004?? ? ?
???，
即22422C A B BA AB =--+=484040004??
? ? ???
。再注意1C -＝12110104001--?? ? ? ???，3
4C =， 则1
*12116010001C C C ---??
?== ? ???
。
2、解：（1）011101110A ??
?=- ? ?-??
，A 的特征多项式为1
1
()11(1)(2),
11f λλλλλλ
-=--=--+--令()0f λ=，得1231,2λλλ===- ，
对121,λλ==解线性方程组12123311110,11x x o x x x x -??
?? ?
?--=?--= ? ? ? ?--????
111基础解系为：
12(1,0,1),(1,1,0)ξξT T ==
，正交规范化得：121,2,1)ββ=
=
--11
对32λ=-， 解线性方程组123211121112x x o x ??
?? ?
?-= ? ? ? ?
-????
1231232020x x x x x x ++=???-+=?，得基础解系为：3(1,1,1)ξT =--
，规范化得：31,1)βT =
--1，
i.
则所求之一正交变
换矩阵0P ?
=
?
1-11-2-111-1，变换之下的标准形为：222
1232f y y y =+-。
（2）由于正交变换保持向量的长度不变，则1X Y ==，
222222
2
12312333
23
13f y y y y y y y y =+-=++-=-，注意：
2
301y ≤≤，则
2
32131y -≤-≤，
即f 的最大值为1，最小值为2-。比如令(0,0,1)Y T =，有min 2,f =- 令(1,0,0)Y T =，有
max 1f =。
三、证明题与讨论题：
1、解：通过对增广阵的讨论可得如下结论：
(1)当1λ≠且2λ≠-时，()()3,R A R B ==方程组有唯一解； (2)当1λ=时，()1R A =，()2R B =，该情形方程组无解； (3)当2λ=-时, ()()2,R A R B ==, 此时方程组有无限多个解。而,
211021101011121312130112,112300000000B ----?????? ? ? ?=--- ? ? ? ? ? ?--??????
，
由此得13233
312x x x x x x =-??=-??=?，即123111210x x c x -?????? ? ? ?
=+- ? ? ? ? ? ?
??????，()c R ∈。
2、证明：考虑123k k k 、、使得
112233k k k o ααα++= （＊），
则112233Ak Ak Ak o ααα++=，即
111222333k k k o λαλαλα++= （＊＊），
用1λ乘以（＊）式，然后与（＊＊）式相减得
3313()k o λλα-=，
注意310λλ-≠，有30k =。再由（＊）式得1122k k o αα+=，由于1α和2α线性无关，则
120k k ==，于是
1230k k k ===，
即123,,ααα线性无关。
3、解：2
01
1
110
A E x λ
λλλ
--=---＝22(1)()x λλ--，得11,λ= 2x λ=±、3。 1）当0x ≠且1x ≠±时，A 有3个相异特征值，则A 有3个线性无关的特征向量，此时A 一定可以对角化。
2）如果1x =±，则、23=1,11λλ=-，
注意到1λ、2=1时，由()A E λ-＝101101101000101000--????
? ?- ? ? ? ?-????
，
()1R A E -=，
则由1231011010101x x x -??
?? ?
?-= ? ? ? ?-????
恰给出A 的两个线性无关的特征向量。
而当1λ=-3时，由()A E λ-＝101101121121101000????
? ?-- ? ? ? ?????
，()2R A E +=， 则由1231011210000x x x ??
?? ?
?-= ? ? ? ?????
恰给出A 的一个特征向量。
再由上题知，此种情形下，A 的三个特征向量线性无关，即A 也可以对角化。
3）如果0x =，则2、3＝
011,λλ=， 注意到23λ、=0时，由1230011110000x x x ??
?? ? ?-= ? ? ? ?????
及()2R A =知，即A 恰有一个特征向量。 而当11λ=时，由101101101001001000--???? ? ?-- ? ? ? ?-????
及()2R A E -=知， 1231011010001x x x -??
?? ? ?-= ? ? ? ?-????
恰给出A 的一个特征向量，从而此情形下A 不具有3个线性无关的特征向量，则A 不可以对角化。
2015年线性代数 一、 ①证明?? ????-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若??????-C B C A A 可逆，求出?? ????-C B C A A 的逆。 二、r b A r A r b ==≠),()(,0，b Ax =的所有解集合为S,证明： ①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。 ②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i ， 111=∑+-=r n i i k ，使得 ∑+-==1 1r n i i i k ηξ 三、已知A 为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P ，使得 21cos ,cos sin 0sin cos 00 01 332211'-++=??????????-=a a a AP P θθθθθ 其中。 四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。 （1）、若)()(B r A r =，则()()* *B r A r = （2）、若())(B r AB r =，则)()(BC r ABC r = （3）、)()('AA r A r = （4）、若一个对称矩阵的秩为r ，则有一个非0 的r 阶主子式。 五、A 是n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是q p ,， AX X x f ')(=，记{} n f R x x f x N ∈==,0)(|，证明： （1）、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n - （2）、若w 是n R 的一个线性子空间，将二次型限定w 在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有q q p p ≤≤11,。
武汉大学２０１４年线性代数真题解答 一．由12001 30000 20 010A ?? ? ?= ? ? -?? ，且1 1[()*]6122A BA AB E -=+，求B . 二．计算011121 211n n n n n n s s s s s s x D s s s x -+-= ，其中12k k k k n s x x x =++ .
三．有121,,,,s s αααα+ ，且1 ,1,,i i i s t i s βαα+=+= ， 证明如果12,,,s βββ 线性无关，则121,,,s ααα+ 必定线性无关.
四．线性空间V 定义的第(3),(4)条公理，即 (3)任意的V α∈，存在0V ∈，使00ααα+=+=； (4)任意的V α∈，存在V β∈，使0αββα+=+=. 证明他们的等价条件为：任意的,V αβ∈，存在x V ∈，使x αβ+=. 五．设()n sl F 是()M F 上,A B 矩阵满足AB BA -生成的子空间，证明
2dim(())1n sl F n =- . 六．设数域K 上的n 维线性V 到m 维线性上的所有线性映射组成空间(,')k Hom V V ，证明(1)(,')k Hom V V 是线性空间； (2)(,')k Hom V V 的维数为mn ． 七．已知013210 1010101n n n c c F c c c ----?? ?- ? ? = ?- ? ?- ? ?-? ? ， （１）求F 的的特征多项式()f x 与最小的项式()m x ； （２）求所有与F 可交换的矩阵．
English Examination for Graduates (Paper A) 20111229 I. Listening Comprehension (20%) Directions: In this part, you are going to listen to four passages. At the end of each passage, you will hear some questions. Both the passages and the questions will be read only once. After you hear a question, you must choose the best answer from the four choices marked A, B, C, and D. Then mark your answer on the Answer Sheet. Questions 1 to 5 are based on the following passage. 1. A. He read a lot of books on management. B. He made every step safe enough. C. He prepared himself well beforehand. D. He had knowledge for the next phase. 2. A. news reporter B. American dream C. lucky boy D. poor child 3. A. generals B. committees C. armies D. schools 4. A. reading different books B. attending seminars C. listening to audiotapes D. learning on one’s own 5. A. face-to-face contact B. eyeball-to-eyeball contact C. person-to-person contact D. call-to-call contact Questions 6 to 10 are based on the following passage. 6. A. More and more people take up the habit of smoking. B. There are more smoking women than smoking men in the USA. C. It is good news that more people have given up smoking. D. The U.S. has more smoking people than any other country. 7. A. age, income and education B. age, sex and income C. occupation, income and sex D. occupation, income and education 8. A. City people are less likely to smoke. B. People in rural areas are more likely to smoke. C. Men with higher incomes tend to smoke. D. Well –educated men with high incomes are generally less likely to smoke. 9. A. The situation is quite the same for women as for men. B. Better-educated women are likely to smoke heavily. C. There are more women smokers with low incomes. D. Women with higher incomes and higher education do not tend to smoke. 10. A. The picture about the teenage smokers is similar to that of women smokers. B. The situation among teenagers is quite the same with men. C. High school students are more likely to smoke than college students. D. Farmers? children tend to smoke more. Questions 11 to 15 are based on the following passage. 11. A. crying one’s goods in the street B. signs with pictures
2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名 一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。 （8分） 二、 设幂级数∑∞=?0 )1(n n n x a 在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。（8分） 三、 求曲面323 =+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分） 四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。 （10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤= r ，其中θ=6π 对应起点A ，3 π θ=对应终点B ，试计算∫+?L xdy ydx 。（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z ??=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的 表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算： ∫∫Σ=+?.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。（10分） 七、 函数),(y x z z =由0),(=z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。 （12分） 八、 计算∫∫∫Ω +,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。（12分） 九、 已知级数 ∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU 的敛散性。（12分） 十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫??=?A A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。D ：2||,2||A y A x ≤≤ 。（8分）
武汉大学数学与统计学院 2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用） 学院 专业 学号 姓名 注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。 一、计算题（每题5分，6题共30分）： 1．设111111111-?? ?=-- ? ?--?? A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算n A . 2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232 ，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩. 4．已知阶矩阵 (2)n ≥，且非奇异，求** ()A . 5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足 0+==E A E A -， 计算A I 323+. 6. 设n 阶向量T x x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x . 二、解答题（3题共45分，每题15分） 1．设10102016A a ?? ? = ? ??? ，且()2R A =，满足 ，求a 和 . 2．已知2222 54245λλλ--?? ?=-- ? ?---??A ,121λ?? ? = ? ?--?? b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解. 3、设二次型222 123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x , (1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1 -成为对角阵; (3).计算m A (m 是正整数). 三、证明题和讨论题（2题共25分）： 1.（10分）设 是阶实方阵， (1).当为奇数且I AA T =及 时, 证明：0=-A I . (2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆. 2.（15分）对线性空间3 R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题： (1).向量组B 是否能成为3 R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到 123,,βββ的过渡矩阵P ,其中 1100α?? ?= ? ??? 2110α?? ?= ? ??? 3111α?? ?= ? ???；111β?? ?= ? ???a 2112β?? ?= ? ?-??a 3110β-?? ?= ? ??? ，且a 为实数. (2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数， （a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；
经济与管理学院 Economics and Management School of Wuhan University 2008级工商管理专业本科《管理学》期末考试试题（A卷参考答案） 一、名词解释（共4小题，每题4分，共16分） 1、管理：社会组织中，为了实现预期的目标，以人为中心进行的协调活动。 2、激励：激发人的行为动机的心理过程。 3、计划：对未来行动的安排。它包括明确组织的目标、考核的指标，实现目标的手段选择、战略制定以及进度安排 等。 4、控制：监视各项活动以保证它们按计划进行，并纠正各种偏差的过程。 二、判断题（共6小题，每题3分，共18分。判断正确1分，对自己判断进行正确的解释2分。注意：不管判断是否， 都必须对自己判断的结论进行解释。） 1、由于西蒙认为，决策的标准是满意，因此，在决策工作中就不存在决策的优劣与好坏之分了。 错！决策的满意是西蒙教授根据决策主客观条件的有限性所作出的结论，但这并不意味着，人们在决策中就没有优劣和好坏的标准。 2、在控制环节中，由于前馈控制可以对工作中可能出现的偏差进行预测和估计，因此能够有效地防范工作中可能出 现的各类问题，而被管理人员认为是最为有效的控制方法。 错！前馈控制由于以对工作中可能出现的偏差进行预测和估计，因此能够有效地防范工作中可能出现的各类问题，具有控制的有效性，但任何事情的在运行过程中可能出现的情况并不能完全在事先作出预测与判断，所以三种控制方法都有其独自的有效性，互相补充才能正真实现有效的控制。 3、美国心理学家库尔特?勒温把人的行为描述为：B=f(P?E)这样的函数式。这表明：人的行为往往是其个性特点和经 济目标追求的函数。 错！勒温所描述的的函数式中，E是指environment，环境，而不是economic。 4、管理工作需要解决的主要问题是：管理好组织的成员，使其听从和服从管理人员的指挥。 错！管理好组织的成员不错，但仅为“听从”和“服从”是不对的，这违背了管理的基本原则：双方共同的思想革命。 5、计划工作的目的就是使组织的发展能更好地适应环境的变化。 对！计划是为了更好的适应变化是计划制定的主要原则和思想。 6、由日籍美国人威廉?大内提出的“Z理论”是对人们人性的一种假设的理论。 错！大内提出的“Z理论”，是针对美国企业管理模式（A）与日本管理模式(J)的一种相互结合的模式。 三、简答题：（共4小题，每题6分，共24分） 1、泰罗往往被称为“科学管理之父”。试分析，泰罗科学管理思想的精髓是什么？ 答：该题可以在两个答案中选择一个作答：1、管理人员与被管理者双方在盈余管理上共同的思想革命；用科学管理代替经验管理！2、泰罗的四项管理原则：对个人的每个动作进行科学研究，取代老的单凭经验的办法；科学地挑选工人，
备用试题 武汉大学数学与统计学院2002-2003学年第2学期 《线性代数》试题 (工科54学时) 姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。 一、设四阶行列式D = 1 0370121 34031 2 2 1 －－－－ 1）、求D 的代数余子式A 12； 2）、求A 11－2A 12＋2A 13－A 14 。 二、求满足A 2＝A 的一切二阶矩阵。 三、设A ＝ 111212122212 ...................... n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ????? ???? ? ? ?????? ，（0 ,1,2,...,i j a b i j n ≠=，），求()R A 四、已知向量组1α，2α，3α线性无关，令1123βααα=-+，21232βααα=++， 312323βααα=-+，讨论向量组123, , βββ的线性相关性。 五、设线性方程组为 2 3112131 23 1222322 31323 3323 1 42434 x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=? ++=?? ++=??++=? ， 1) 如果1234, , , a a a a 两两不相等，问所给方程组是否有解？ 2) 如果1324, (0)a a k a a k k ==-≠＝＝，且已知12ββ，是该方程组的两个特解，其中： T T 12(1, 1, 1)(1, 1, 1)ββ==-－，，试写出此方程组的通解。 六、设三阶方阵A 的三个特征值为1,0,1321-=λ=λ=λ，A 的属于321,,λλλ的特征向量依次为 ???? ? ??=????? ??=????? ??=520,210,002321ααα， 求方阵A 。 七、已知二次型123(, , )f x x x ＝22 2312132343448x x x x x x x x -+-+ 1) 写出二次型f 的矩阵A ； 2）用正交变换把二次型f 化为标准型。 八、证明三个平面123:, :, :x cy bz y az cx z bx ay πππ=+=+=+相交于一直线的充要条件为 2 2 2 21a b c abc +++= 九、给定3R 的基?????===.)1,1,1(,)0,1,2(,)1,0,1(3 21ξξξ 和 ??? ??--=-=-=). 1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ, 试求： 1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ξξξ的变换矩阵A 。
Keys to Paper A (1---65 题每题一分，客观题共65分) 1-10 B D A C B C C D A B 11-20 A B D A C A D C B D 21-30 B D C A B D C A C B 31-45 D A D A B D C A C B C D C A B 46-55 A D C A B A C C D D 56-65 A C D B D A B C C D Part IV 汉译英（评分给正分，每小题都需打分，精确到0.5分） 1. China is a large country with four-fifths of the population engaged in agriculture, but only one tenth of the land is farmland, the rest being mountains, forests and places for urban and other uses. (2分) 2. An investigation indicates that non-smoking women living in a smoking family environment for 40 years or still longer will have double risk of developing lung cancer. （2分） 3. In our times, anyone who wants to play an important role in a society as he wishes must receive necessary education. With the development of science, more courses are offered in primary schools and middle schools. Compared with the education in the past, modern education places more stress on practicality. (3 分) 英译汉（评分给正分，每小题都需打分，精确到0.5分） 4. 程式化思维是人们交流的绊脚石，因为它有碍于人们对事物的客观观察。客观观察指人 们敏感地搜寻线索，引导自己的想象更接近他人的现实。（2分） 5. 当经济学家最初探讨经济发展的原因时，他们发现：人们一直认为无法解释的剩余因素是人力资本。人力资本，即人口的技能，是造成各国生产力差距以及地位不平等的一个重要因素。（3分） 6. 下文从解决妇女贫困问题的角度出发，探讨两性平等、减轻贫困和环境的可持续性诸目的之间的协同作用，涉及能源短缺、水资源缺乏、健康、气候变化、自然灾害，以及授予妇女在农业、林业、生态多元化管理领域中的权力使之创造可持续的生存方式等问题。（3分） Part V Summary （20分） 评分标准：主要看考生是否了解概要写作的方法以及能否用恰当的语言来表达。概要一定要客观简洁地表达原文的主要内容，不需要评论，不能照抄原文。具体给分标准为：（1）内容和形式都达标，仅有一二处小错：18-19分。（2）内容缺少一到三点，形式错误不过三处：16-17分。（3）内容欠缺较多，形式错误有五六处：14-15分。（4）内容欠缺较多，形式错误有十来处：12-13分。 Science and Humanity The twentieth century has made greater change to the world, which was brought by the progress in science, than any previous century. Unfortunately, not all these changes did good to the human society. Some of them have done serious damage to mankind and have been even predicted to destroy the whole world someday if out of control. In fact, mankind is not biologically programmed for violent behaviors like war. People are faced with a dilemma in which we would like to see science develop freely, but cannot afford the result of that. It is a
Oral Test (Band 1) For Grade 2012 (2012, 12 ) Topic 1: Love from Parents Directions: Some people say that motherly love is unconditional, while fatherly love is conditional. Create a conversation with your partner(s) and exchange your opinion on love from your parents respectively. Topic 2: Winning In the World Directions: Have a discussion with your partner(s) about winners in your eyes. What do you think are the most important factors that contribute to one’s success? Offer your reasons. Topic 3:A Phone Call-Making a Hotel Reservation Directions: Suppose you are a hotel receptionist and your partner is a customer who calls to make a hotel reservation. Make a conversation with your partner and get some information necessary about him/her, such as name, single or double room he/she wants, the number of nights and dates. Meanwhile, offer some information about the hotel, such as its location, price and service, etc. Topic 4: Dreams Directions: Everyone dreams. How often do you dream, and what sort of dream do you usually have? Do you believe in dreams’ function of predicting? What are the possible causes of dream? Talk with your partner(s) about these issues concerning dream. Topic 5: Dream Your Own Dream Directions: Making a dream is very common in our daily lives. What dream do you have? What will you do to realize your dream? Topic 6: Psychology in Daily Life Directions: Do you think a placebo may help a patient get well? Discuss with your partner(s) about the reasons for placeboes’ helping to he al the patients and how to make good use of psychology in daily life. Topic 7: Talking about Schedule Directions: You are to invite your partner to play badminton, but he/she is busy at the moment. Create a conversation with your partner by exchanging your information on daily schedule and deciding on a date for fun. Topic 8：Self-introduction Directions: Suppose this is your first day in class. You and your partner are getting to know each. Make a conversation by exchanging your information such as name, hometown, department, major, personalities, telephone numbers etc. Topic 9: Choosing a Job Directions: You and your partner(s) are talking about choosing a job. Exchange your opinion on the ideal job in your minds and the factors you will take into consideration when choosing a job.
武汉大学硕士英语期末考试汉译英题库（从里面考） 1.走社会主义道路，就是要逐步实现共同富裕，共同富裕的构想是这样的：一部分地区有条件先发展起来，一部分地区发展慢点，先发展起来的地区带动后发展的地区，最终达到共同富裕……解决的办法之一，就是先富起来的地区多交点利税，支持贫困地区的发展。 To take the road to socialism is to realize common prosperity step by step.Our plan is as follow:where condition s permit,some areas may develop faster than others;those that develop faster can help promote the progress of those that lag behind,until all become progress…One way is for the areas that become prosperous frstt to support the poor ones by paying more taxes or turing in more profits to the state 2.现阶段中国已经实现了粮食基本自给，在未来的发展过程中，中国依靠自己的力量实现粮食基本自给，客观上具备诸多有利因素。 Chian has bascilly achieved self-sufficiency in grain at the present stage,and there are many favorable objective factors for her to maintain such achievement by her own efforts in the course of future development. 3.社会主义用实践向世界表明，中国反对把霸权主义、强权政治，永不称霸。 Scoialist China should show the world through its actions that it is opposed to hegemonism and power politics and will never seek hegemony. 4.过去，只讲在社会主义条件下发展生产力，没有讲还要通过改革解放生产力，不完全。应该把解放生产力和发展生产力两个讲全了。 In the past,we only stressed expansion of the productive forces under socialism,without mentioning the need to liberate them through reform.That conception was incomplete. Both the liberation and the expansion of the productive forces are essential. 5.同时，我们的对外开放采取了多种方式，包括搞经济特区，开放十四个沿海城市。 In the meantime,we have implemented the policy of opening China to the outside world in many ways,including setting up special economic zones and opening14coastal cities. 6.改革开放迈不开步子，不敢闯，说来说去就是怕资本主义的东西多了，走了资本主义道路。要害是姓“资”还是姓“社”的问题。 The reason some people hesitate to carry out the reform and the open policy and dare not break new ground is ,in essence,that they’re afraid it would mean introducing too many elements of capitalism and,indeed,taking the capitalist road.The crux of the matter is whether the road is capitalist or socialist. 7.过去我们搬用别国的模式，结果阻碍了生产力的发展，在思想上导致僵化，妨碍人民和基层积极性的发挥。 We used to copy foreign models mechanically,which only hampered the development of our productive forces, induced ideological rigidly and kept the people and grassroots units from taking any initiative. 8. 中国与东盟各国或山水相连，或隔海相望，在悠久的交往中，人民之间形成了深厚的传统友谊。 Joined together by mountains and rivers or facing with other across the sea, China and ASEAN countries have developed a profound traditional friendship among the people in the course of their age-old contacts and exchanges. 9.我们正处在世纪之交的重要历史时刻，应该以长远的战略眼光审视和处理双方关系，建立中国与东盟面向二十一世纪的睦邻互信伙伴关系。
备用试题 武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期 《线性代数》试题 (工科54学时) 姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。 一、计算n 阶行列式D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 a a a a ????????????????????? ??? 的值 。 二、若矩阵A 和B 满足关系：2242A B A B A =+-。其中A ＝ 12 3012001?? ? ? ??? －－－，求矩阵B 。 三、给定矩阵A ＝ ?????? ? ??------11011111100222021110，求()R A 。 四、已知1(1 0 2 3)α=， ，，，2(1 1 3 5)α=，，，，3(1 1 2 1)a α=+，－，，，4(1 2 4 8)a α=+，，，， 且(1 1 +3 5)b β=，，，， 1） a b ， 为何值时，β不能表示成1α，2α，3α，4α的线性组合？ 2）、 a b ， 为何值时，β有1α，2α，3α，4α的唯一线性表达式？并写出该表达式。 五、若A ，B 是同阶可逆矩阵，请证明()AB B A ***=，其中A *是A 的伴随矩阵，()A B *和B *具同样意义。 六、求线性方程组?????=++=++=++43322 321 321321x x x x x x x x x 的通解。 七、已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T 2(2, 2, 1)α＝是A 的 对应于121λλ＝＝的特征向量， 1) 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，请求出该特征向量，若不能，也请说明理由。 2) 能否由此求得实对称阵A ？若能则请求之，若不能则请说明理由。 八、设222 (,,)2422f x y z x y z axy yz =++++为正定二次型，试确定实数a 的最大取值范围。 九、给定3R 的基?????===.)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321ξξξ 和 ?????--=-=-=).1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ, 试求： 1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ； 2）求T 关于基321,,ηηη的变换矩阵A 。
XX职业技术学院 2015—2016学年第二学期经济与管理系 2015级三年制会计、会审、旅游管理、物流管理专业 《大学英语》期末考试试题A卷 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带文具（或课程为开卷考试可携带文具和资料） I Translate the following English versions into Chinese. 20% 1. 一种文化符号 2. 一则电视广告 3. 时尚和潮流的区别 4. 一个被灌输的概念 5. 自信满满 6. plus 14 percent annual interest 7. Follow your passion, not money 8. the opportunity to get to know yourself 9. all-too-familiar glow on his face 10. the driving directions he gave us II Everyday % (Identify the answer is right or wrong：If the answer is right , you should “A”, if not, choose “B”. ) 1、------Do you like your present job as a secretary -------I’m a nurse in No. 1 hospital. A. Right B. Wrong 2、------Nice to meet you! ------Nice to meet you too. A. Right B. Wrong 3、------Are you the fresh year student in the college ------Yes, I am. A. Right B. Wrong 4、------Can I bring you something to drink at the moment ------Yes, a coca-cola for me, please. A. Right B. Wrong 5、------Have you ever been to America for some reason ------I have never been there, but I hope to go there in the future. A. Right B. Wrong 6、------Is there a bank of China near here ------I saw him this morning. A. Right B. Wrong 7、------Can you remember the doctor’s phone number ------Yes, it’s 6821215. A. Right B. Wrong 8、------Can I help you, Sir ------Yes, I’d like to book a single room for 2 days. A. Right B. Wrong 9、------How do you like the book you are reading recently ------It’s very good. And I like it very much. A. Right B. Wrong 10、------What about seeing a film tonight ------See you later. A. Right B. Wrong III、Reading comprehension 15% Passage A I was having dinner at a restaurant when Harry came in. Harry worked in a lawyer’s office years ago, but h e is now working at a bank. He gets a good salary, but he always borrows money from his friends and never pays
武汉大学 2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目：高等代数 科目代码：804 一、设A 为3阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，1det 2 A = ，求11 det(()10*)3 A A --.（10分） 二、计算n 阶行列式12 121 21 2 00 n n n n n a a a a a a a a D a a a a ++++= ++ ，其中0,1,2,,j a j n ≠= .（10分） 三、设A 为m n ?矩阵，A 的秩()R A Y =，证明存在m Y ?矩阵B 和Y n ?矩阵C 且 ()()R B R C Y ==，使A BC =.（10分） 四、已知322,22A E B A A E ==-+，证明B 可逆，并求出其逆.（15分） 五、A 为n 阶矩阵，*A 为其A 的伴随矩阵，证明：1det *(det )n A A -=.（20分） 六、设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明： （1） A B 的特征值全大于零；（10分） （2） 若AB BA =，则A B 是正定矩阵.（5分） 七、求矩阵1111m n A ??? ?= ? ?? ? （即A 中的每个元素都为1）的最小多项式.（15分） 八、设V 是复数域上的n 维线性空间，,f g 是V 的线性变换，且fg gf =，证明： （1）如果λ是f 的特征值，那么V λ（λ的特征子空间）是g 的不变子空间；（8分） （2）,f g 至少有一个公共的特征向量.（7分） 九、设A 为n 阶方阵，证明：如果()()R A R A E n +-=，则A 可对角化.（20分） 十、 设,A B 是数域K 上的m n ?矩阵，且()()R A R B =（()R A 是矩阵A 的秩）。设齐次线性方程组 0A X =和0B X =的解空间分别是,U V 。证明存在K 上的n 阶可逆矩阵T ，使得 ()()f y T y y U =?∈是U 到V 的同构映射.（20分）