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李贤平《概率论与数理统计》标准答案

第5章极限定理

1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee

a ξ

<∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。

2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >，

1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。

4、{}k ξ各以

概率取值s k 和s

k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,

n ξξ的算术

平均值？

6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：

（1）1{2}2

k P X =±=

；（2）(21)

2{2}2

,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；（3）1

21{2},{0}12

k k P X k P X k --=±===-。

7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，

证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,

ξξ的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明

对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11

()n n n

ηξξ=

++，11

()n n a E E n

ξξ=

++，则{}i ξ服从大数定律

的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞??

-=??+-??

。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而

→时，

221~2n m

n n n m -???? ???-??

??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试

求有10个或更多终端在使用的概率。

13、求证，在x o >时有不等式2221

1122221

1t x x x x e e dt e x x

-∞--≤≤+?。 14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，01p <<，则不管k 是如何大的常数，总有

{||}0()n P np k n μ-<→→∞。

15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。

16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率：n P p n με??

-≥????

并进行比较。这里n μ是n 次贝努里试验中成功总次数，p 为每次成功的概率。 17、现有一大批种子，其中良种占

16，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1

之差小于1%的概率是多少？ 18、种子中良种占

16，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与1

之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？

19、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之

差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。

20、设分布函数列{()}n F x 弱收敛于连续的分布函数()F x ，试证这收敛对1

x R ∈是一致的。 22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。

24、若n X 的概率分布为0

111n n n ?? ?

???

，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 25、随机变量序列{}n ξ具有分布函数{()}n F x ，且()()n F x F x →，又{}n η依概率收敛于常数0c >。试证：（I ）n n n ζξη=+的分布函数收敛于()F x c -；（II ）n

n n

ξζη=

的分布函数收敛于()F cx 。 26、试证：（1）0P P

n n X X X X ??

→?-??→；（2）,{}1P

n n X X X Y P X Y ??

→??→?==；（3）0(,)P P

n n m X X X X n m ??

→?-??→→∞；（4）,P

n n n n X X X Y X Y X Y ??

→??→?±??→±；（5）,P n X X k ??

→是常数P

n kX kX ??→；（6）22P

n n X X X X ??

→???→；

（7）,,,P

n n X a Y b a b ??

→??→常数P

n n X Y ab ??→；（8）111P

n n X X -??

→???→；（9）,,,P P

n n X a Y b a b ??

→??→常数110P

n n b X Y ab --≠???→；

（10）,P

n X X Y ??

→是随机变量P

n X Y XY ???→；（11）,P

n n n n X X Y Y X Y XY ??

→??→???→。 27、设P

n X X ??

→。而g 是1R 上的连续函数，试证()()P

n g X X ??→。 28、若{}n X 是单调下降的正随机变量序列，且0P n X ??

→，证明0a s n X ??

??→。 29、若12,,X X 是独立随机变量序列，μ是整值随机变量，{}k P k p μ==，且与{}i X 独立，求

1X X μη=++的特征函数。

30、若()f t 是非负定函数，试证（1）(0)f 是实的，且(0)0f ≥；（2）()()f t f t -=；

（3）|()|(0)f t f ≤。

31、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。 33、若母体ξ的数学期望2

,E m D ξξσ

==，抽容量为n 的子样求其平均值ξ，为使

{||0.1}95%P m ξσ-<≥，问n 应取多大值？

34、若{,1,2,

}n n ξ=为相互独立随机变量序列，具有相同分布11

{1},{0}22

n n P P ξξ-=-=，而

n k k

ξη==∑

，试证n η的分布收敛于[0,1]上的均匀分布。

35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。

36、用特征函数法证明，普阿松分布当λ→∞时，渐近正态分布。计算n Y 的特征函数，并求n →∞时的极限。

38、设n X 独立同分布，2{2}2k k

n P X --== (1,2,

)k =，则大数定律成立。

39、若{}i X 是相互独立的随机变量序列，均服从(0,1)N ，试证2

n n

W X =

+及2n n n

U X

+渐近正态分布(0,1)N 。

40、设12,,X X 是独立随机变量序列，均服从[0,1]均匀分布，令11n

n i i Z X =??

= ???

∏，试证P

n Z c →，这

里c 是常数，并求c 。

41、若{}i X 是独立同分布随机变量序列，i EX m =，若()f x 是一个有界的连续函数，试证

1lim ()n n X X E f f m n →∞

?++???= ???????

。

42、若{}i X 是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证1

2(1)n

i i i iX EX n n =??→+∑。 44、设()f x 是[0,1]上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列{()}n B x ，在[0,1]上一致收

敛于()f x 。

45、设{}i X 是独立随机变量序列，试证0a s n X ??

??→的充要条件为，对任意

0ε>有

{||}n

n P X

ε∞

=≥<∞∑。

46、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。 48、举例说明波雷尔——康特拉引理（i ）之逆不成立。

49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若

k n DX k ∞

=<∞∑，则必有21

lim 0k n DX n →∞=。 53、若{}k ξ是独立随机变量序列，方差有限，记n 1

(),n

n k k n k S E S n

ξξη==

∑。（1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明{

}

n 2

1max (2)m m m

m j

m n j p P

D ηεξ

ε+>≥<=≥≤∑

（2）对上述m p ，证明若21k

k D k ξ∞

=<∞∑，则1

m m p ∞

=∑收敛；

（3）利用上题结果证明对{}n ξ成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。 54、（1）设{}k c 为常数列，令{}1

sup ||,1,2,n k m m k m k s c b s s k ∞

+==

=-=∑inf{,1,2,

}m b b m ==，

试证

k c

∞

=∑收敛的充要条件是0b =；

（2）(Kronecker 引理)对实数列{}k c ，若1k k c k

∞

=∑收敛，则

k c

n =→∑。

56、设12,,

X X 是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，则对{}n X 成立大数定律的充要条件

为()21()n D X X o n ++=。

57、设12,,

X X

是独立同分布随机变量序列，且

k =∑

1,2,n =有相同分布，那么，若

0,1i i EX DX ==，则i X 必须是(0,1)N 变量。

58、设{}k X 是独立随机变量序列，且k X 服从(0,2)k

N -，试证序列{}k X ：（1）成立中心极限定理；（2）

不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必

要条件。

59、若{}k X 是独立随机变量序列，i X 服从[1,1]-均匀分布，对2,3,

,k k X =服从1(0,2)k N -，证明

对{}k X 成立中心极限定理，但不满足费勒条件。

60、在普阿松试验中，第i 次试验时事件A 出现的概率为i p ，不出现的概率为i q ，各次试验是独立的，

以n v 记前n 次试验中事件A 出现的次数，试证：（1）()0P n n v Ev n

-??→；

（2

n i v p ??- ?∑成

立中心极限定理的充要条件是

i i

i p q

∞

==+∞∑。

61、设{}k X 独立，k X 服从[,]k k -均匀分布，问对{}k X 能否用中心极限定理？ 62、试问对下列独立随机变量序列，李雅普诺夫定理是否成立？

（1

）:1

122k X ? ? ?

；（2）0:,

11333a a k k k X a ??

- ?> ? ???

。

65、求证：当n →∞时，0

1!2

k n

k n e k -=→∑

。

解答

1、证：对任意x o >， 1

{}()()ay

y x

P x dF y e dF y e ξ≥≥≥=≤??10

()ay ax a ax e dF y e Ee e ξ∞

-≤=?

。

2、证：()h ξ为非负随机变量，所以对0c >有

1{()}()()h h x c

c P h c dF x xdF x c ξ≥≥≥=≤??011

()()h xdF x Eh c c ξ∞≤=?。

4、解：现验证何时满足马尔可夫条件2110n k k D n ξ=??

→ ???∑，2211022k E k k ξ=-=，

2221122

s s s k D k k k ξ=

+=。若1

2s <，这时210s -<，利用k ξ间的独立性可得

2221

22211110()s n n s s k k k n n D k n n n n n

ξ-==???=≤=→→∞ ???∑∑。若12s ≥，则 22221111111

0()2n n n s k k k k n D k k n n n n n

ξ===+??=≥=→→∞ ???∑∑∑。

所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。

6、证：（1）0k EX =，()

()2

2422

k k DX k =?+-?=， 11222221111144440()1433n n n n

k k k k D X DX n n n n n n

++==-??==?=-→→∞ ?-??∑∑。不满足马尔可夫条件。（2）()

()2

110,2

212

k k

k k k k EX DX ++==?

+-?=，

22111

10()n k k D X n n n n n

=??=?=→→∞ ???∑。满足马尔可夫条件。（3）()32

110,22k k EX DX k k k k

==?

+-?

=，

222221111111(1)1()22

n n n

k k k k n n D X k k n n n n n ===+??=≥=?→→∞ ???∑∑∑。不满足马尔可夫条件。

7、证：因为1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，所以

221111()n n k k k k k D E E n n ξξξ==????=- ???????∑∑1

112111()2()()n n k k k k k k k k E E E E n ξξξξξξ-++==??=-+--????

∑∑ 2

2,122

2n k k k k n D r n n

n n σξσσ-+==+≤

+∑23

0()n n

σ=→→∞ 其中利用,11k k r +≤且σ有限。马尔可夫条件成立，所以对序列{}n ξ成立大数定律。

8、证：由题中条件可得，对任给0c >，存在N ，使当||j i N ->时有||4ij r e

（设0c >），则

22211

1111

2n n k k ij i j

k k n j i D D r n n n ξξσσ==≥>≥??=+? ???∑∑∑2212||ij

i j

nc r

n n σσ<≤?+∑2

2||||ij i j ij

i j N j i j i

j i N

c r r

n n n σσσσ≥-<->≤++

∑

∑.

在上式前一个和式中，i 可以依次取1,2,,n ；

对每个固定的i 来说，由于j i N -≤且i j < ，所以至多对应N 项；从而和式中至多有nN 项，在后一个和式中，由于j i >，所以对i 取1,2,,n ，

至多依次对应1,2,2,1n n --项，从而和式中至多有(1)(2)21n n -+-+++ 1

(1)2

n n =

-项，利用||1ij r ≤可得

222

1122(1)24n k k c n n D nN c c n n n n c ε

ξ=-??≤+??+??? ???

∑2114c Nc n n n ε??=++- ???。当n 充分大时，上式右方之值可以小于ε，所以 2110()n k k D n n ξ=??

→→∞ ???

∑。

对{}n ξ大数定律成立。

9、证：充分性。2

(1)

t s t =+是(0)t >的增函数，所以对任给0ε>有 222||||2

()1

{|}()()1()1n n n n n n n n y a y a y a P a dF y dF y y a ηηε

ηεεε-≥-≥--≥=

≤

+-+?

?2222()11()n n n n a E a ηεεη??

-+≤??+-?? 所以当22()01()n n n n a E a ηη??

-→??+-??

时有{|}0n n P a ηε-≥→，此时{}i ξ服从大数定律。

李贤平《概率论与数理统计》标准答案

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第5章极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1）1{2}2 k k P X =±= ；（2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-；（3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章随机事件及其概率一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则（） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件