李贤平《概率论与数理统计》标准答案
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:
2
第5章 极限定理
1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee
a ξ
<∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。
2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >,
1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。
4、{}k ξ各以
12
概率取值s k 和s
k -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值?
6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件:
(1)1{2}2
k
k P X =±=
; (2)(21)
2{2}2
,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)1
1
2
21{2},{0}12
k
k k P X k P X k --=±===-。
7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的,
证明这时对{}k ξ大数定律成立。
8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明
对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n n
ηξξ=
++L ,11
()n n a E E n ξξ=++L ,则{}i ξ服从大数定律
的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞??
-=??+-??
。 10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而
0m
n
→时, 2
2211~2n
m
n n e n m n π
-???? ???-??
??。 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试
求有10个或更多终端在使用的概率。
13、求证,在x o >时有不等式2221
1122221
1t x x x x e e dt e x x
-∞--≤≤+?。 14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明:在贝努里试验中,01p <<,则不管k 是如何大的常数,总有
{||}0()n P np k n μ-<→→∞。
15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。
16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率:n P p n με??
-≥????
并进行比较。这里n μ是n 次贝努里试验中成功总次数,p 为每次成功的概率。 17、现有一大批种子,其中良种占
16,今在其中任选6000粒,试问在这些种子中,良种所占的比例与1
6
之差小于1%的概率是多少? 18、种子中良种占
16,我们有99%的把握断定,在6000粒种子中良种所占的比例与1
6
之差是多少?这时相应的良种数落在哪个范围内?
19、蒲丰试验中掷铜币4040次,出正面2048次,试计算当重复蒲丰试验时,正面出现的频率与概率之
差的偏离程度,不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。
20、设分布函数列{()}n F x 弱收敛于连续的分布函数()F x ,试证这收敛对1
x R ∈是一致的。 22、试证若正态随机变量序列依概率收敛,则其数学期望及方差出收敛。
24、若n X 的概率分布为0
111n n n ?? ?
?-
???
,试证相应的分布函数收敛,但矩不收敛。 25、随机变量序列{}n ξ具有分布函数{()}n F x ,且()()n F x F x →,又{}n η依概率收敛于常数0c >。试证:(I )n n n ζξη=+的分布函数收敛于()F x c -;(II )n
n n
ξζη=
的分布函数收敛于()F cx 。 26、试证:(1)0P P
n n X X X X ??
→?-??→; (2),{}1P
P
n n X X X Y P X Y ??
→??→?==; (3)0(,)P P
n n m X X X X n m ??
→?-??→→∞; (4),P
P
P
n n n n X X X Y X Y X Y ??
→??→?±??→±; (5),P n X X k ??
→是常数P
n kX kX ??→; (6)22P
P
n n X X X X ??
→???→;
(7),,,P
P
n n X a Y b a b ??
→??→常数P
n n X Y ab ??→; (8)111P
P
n n X X -??
→???→; (9),,,P P
n n X a Y b a b ??
→??→常数110P
n n b X Y ab --≠???→;
(10),P n X X Y ??
→是随机变量P
n X Y XY ???→; (11),P P P
n n n n X X Y Y X Y XY ??
→??→???→。 27、设P
n X X ??
→。而g 是1R 上的连续函数,试证()()P
n g X X ??→。 28、若{}n X 是单调下降的正随机变量序列,且0P n X ??
→,证明0a s n X ??
??→。 29、若12,,X X L 是独立随机变量序列,μ是整值随机变量,{}k P k p μ==,且与{}i X 独立,求
1X X μη=++L 的特征函数。
30、若()f t 是非负定函数,试证(1)(0)f 是实的,且(0)0f ≥;(2)()()f t f t -=;
(3)|()|(0)f t f ≤。
31、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。 33、若母体ξ的数学期望2
,E m D ξξσ
==,抽容量为n 的子样求其平均值ξ,为使
{||0.1}95%P m ξσ-<≥,问n 应取多大值?
34、若{,1,2,}n n ξ=L 为相互独立随机变量序列,具有相同分布11
{1},{0}22
n n P P ξξ-=
-=,而1
2n
k
n k k
ξη==∑
,试证n η的分布收敛于[0,1]上的均匀分布。
35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。
36、用特征函数法证明,普阿松分布当λ→∞时,渐近正态分布。 计算n Y 的特征函数,并求n →∞时的极限。
38、设n X 独立同分布,2{2}2k k
n P X --== (1,2,)k =L ,则大数定律成立。
39、若{}i X 是相互独立的随机变量序列,均服从(0,1)N ,试证122
1n
n n
X X W n
X X ++=
++L L 及1221
n n n
X X U X X
++=
++L L 渐近正态分布(0,1)N 。
40、设12,,X X L 是独立随机变量序列,均服从[0,1]均匀分布,令11n
n
n i i Z X =??
= ???
∏,试证P
n Z c →,这
里c 是常数,并求c 。
41、若{}i X 是独立同分布随机变量序列,i EX m =,若()f x 是一个有界的连续函数,试证
1lim ()n n X X E f f m n →∞
?++???= ???????
L 。
42、若{}i X 是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列,试证1
2(1)n
P
i i i iX EX n n =??→+∑。 44、设()f x 是[0,1]上连续函数,利用概率论方法证明:必存在多项式序列{()}n B x ,在[0,1]上一致收
敛于()f x 。
45、设{}i X 是独立随机变量序列,试证0a s n X ??
??→的充要条件为,对任意
0ε>有
1
{||}n
n P X
ε∞
=≥<∞∑。
46、试证独立同分布随机变量序列,若存在有限的四阶中心矩,则强大数定律成立。 48、举例说明波雷尔——康特拉引理(i )之逆不成立。
49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列,若
21
k n DX k ∞
=<∞∑,则必有21
lim 0k n DX n →∞=。 53、若{}k ξ是独立随机变量序列,方差有限,记n 1
1
(),n
n k k n k S E S n
ξξη==
-=
∑。 (1)利用柯尔莫哥洛夫不等式证明{
}
1
n 2
2
2
2
1max (2)m m m
m j
m n j p P
D ηεξ
ε+>≥<=≥≤∑
(2)对上述m p ,证明若21k
k D k ξ∞
=<∞∑,则1
m m p ∞
=∑收敛;
(3)利用上题结果证明对{}n ξ成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。 54、(1)设{}k c 为常数列,令{}1
,
sup ||,1,2,n k m m k m k s c b s s k ∞
+==
=-=∑L inf{,1,2,}m b b m ==L ,
试证
1
k
k c
∞
=∑收敛的充要条件是0b =;
(2)(Kronecker 引理)对实数列{}k c ,若1k k c k
∞
=∑收敛,则
1
1
0n
k
k c
n =→∑。
56、设12,,X X L 是独立随机变量序列,对它成立中心极限定理,则对{}n X 成立大数定律的充要条件
为()21()n D X X o n ++=L 。
57、设12,,X X L 是独立同分布随机变量序列,且
1
n
k
k X n
=∑
对每一个1,2,n =L 有相同分布,那么,若0,1i i EX DX ==,则i X 必须是(0,1)N 变量。
58、设{}k X 是独立随机变量序列,且k X 服从(0,2)k
N -,试证序列{}k X :(1)成立中心极限定理;(2)
不满足费勒条件;(3)不满足林德贝格条件,从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必
要条件。
59、若{}k X 是独立随机变量序列,i X 服从[1,1]-均匀分布,对2,3,,k k X =L 服从1
(0,2)k N -,证明
对{}k X 成立中心极限定理,但不满足费勒条件。
60、在普阿松试验中,第i 次试验时事件A 出现的概率为i p ,不出现的概率为i q ,各次试验是独立的,
以n v 记前n 次试验中事件A 出现的次数,试证:(1)()0P n n v Ev n
-??→;
(2)对11
n
n i i n i i
i v p p q ==??- ???∑∑成
立中心极限定理的充要条件是
1
i i
i p q
∞
==+∞∑。
61、设{}k X 独立,k X 服从[,]k k -均匀分布,问对{}k X 能否用中心极限定理? 62、试问对下列独立随机变量序列,李雅普诺夫定理是否成立?
(1):1
12
2k k
k X ??
- ? ? ?
??; (2)0:,
01
11333a a k k k X a ??
- ?> ? ???
。
65、求证:当n →∞时,0
1!2
k n
n
k n e k -=→∑
。
解答
1、证:对任意x o >, 1
{}()()ay
ax
y x
y x
P x dF y e dF y e ξ≥≥≥=≤??10
1
()ay ax a ax e dF y e Ee e ξ∞
-≤=?
。
2、证:()h ξ为非负随机变量,所以对0c >有
1{()}()()h h x c
x c P h c dF x xdF x c ξ≥≥≥=≤??011
()()h xdF x Eh c c ξ∞≤=?。
4、解:现验证何时满足马尔可夫条件2110n k k D n ξ=??
→ ???
∑,2211022k E k k ξ=-=,
2221122
s s s k D k k k ξ=
+=。若1
2s <,这时210s -<,利用k ξ间的独立性可得
2221
22211110()s n n s s k k k n n D k n n n n n
ξ-==???=≤=→→∞ ???∑∑。 若12s ≥,则 222211111110()2n n n s k k k k n D k k n n n n n
ξ===+??=≥=→→∞ ???∑∑∑。
所以当时,大数定律可用于独立随机变量序列。
5.
6、证:(1)0k EX =,()
()2
21
12
2422
k
k k DX k =?+-?=, 11222221111144440()1433n n n n
k k k k D X DX n n n n n n
++==-??==?=-→→∞ ?-??∑∑。 不满足马尔可夫条件。
(2)()
()2
2
21
21
110,2
212
2
k k
k k k k EX DX ++==?
+-?=,
22111
10()n k k D X n n n n n
=??=?=→→∞ ???∑。 满足马尔可夫条件。 (3)()32
2
2
1
12
2
110,22k k EX DX k k k k
k
==?
+-?
=,
3
222221111111(1)1()22
n n n
k k k k n n D X k k n n n n n ===+??=≥=?→→∞ ???∑∑∑。 不满足马尔可夫条件。
7、证:因为1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的,所以
2
221111()n n k k k k k D E E n n ξξξ==????=- ???????∑∑1
2
112111()2()()n n k k k k k k k k E E E E n ξξξξξξ-++==??=-+--????
∑∑ 2
1
2
2,122
1
2
2n k k k k n D r n n
n n σξσσ-+==+≤
+∑23
0()n n
σ=→→∞ 其中利用,11k k r +≤且σ有限。马尔可夫条件成立,所以对序列{}n ξ成立大数定律。
8、证:由题中条件可得,对任给0c >,存在N ,使当||j i N ->时有||4ij r e
ε
<
(设0c >),则
22211
1111
2n n k k ij i j
k k n j i D D r n n n ξξσσ==≥>≥??=+? ???∑∑∑2212||ij
i j
i j
nc r
n n σσ<≤?+∑2
2
,2
2||||ij i j ij
i j N j i j i
j i N
c r r
n n n σσσσ≥-<->≤++
∑
∑.
在上式前一个和式中,i 可以依次取1,2,,n L ;对每个固定的i 来说,由于j i N -≤且
i j < ,所以至多对应N 项;从而和式中至多有nN 项,在后一个和式中,由于j i >,所以
对i 取1,2,,n L ,至多依次对应1,2,2,1n n --L 项,从而和式中至多有
(1)(2)21n n -+-+++L 1
(1)2
n n =
-项,利用||1ij r ≤可得 222
1122(1)24n k k c n n D nN c c n n n n c ε
ξ=-??≤+??+??? ???
∑2114c Nc n n n ε??=++- ???。 当n 充分大时,上式右方之值可以小于ε,所以 2110()n k k D n n ξ=??
→→∞ ???
∑。
对{}n ξ大数定律成立。
9、证:充分性。2
2
(1)
t s t =+是(0)t >的增函数,所以对任给0ε>有 222||||2
()1
{|}()()1()1n n n n n n n n y a y a y a P a dF y dF y y a ηηε
ε
ηεεε-≥-≥--≥=
≤
+-+?
?2222()11()n n n n a E a ηεεη??
-+≤??+-?? 所以当22()01()n n n n a E a ηη??
-→??+-??
时有{|}0n n P a ηε-≥→,此时{}i ξ服从大数定律。
必要性。设{}i ξ服从大数定律,即lim {||}0n n n P a ηε→∞
-≥=,则对任给0ε>,存在N ,
当n N >时有lim {||}n n n P a ηεε→∞-≥≤。由2
2(1)
t s t =+关于(0)t >的单调性和01s <<得 22()01()n n n n a E a ηη??-≤??+-??
2
2{|}1{|}1n n n n P a P a εηεηεε≤-≥+?-≥+ 22εεε<+<(当<1ε时)
。 ∴ 22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞??
-=??+-??
。
10、证:斯特灵公式为1
!2,0012m m m m m m m e e m
θπ-=
<<
。由此得 2221(2)!12()!()!2n n
n n n m n m n m ??????
= ??? ?
--+??
???? 222()
()122(2)12()2()()2()n
n
n
n m n m n m n m n n e e n m e
n m n m e n m θ
πππ-+-+---??
? ???=?+--+
1111||122n n m n m θ??<++ ?-+??22122n m
n m
n n n e n m n m n m θπ+-??
??=
?
?-+-??
??
()
(
22
12112n m n m m n m n n π
-+-????
=
+- ?
?-?
???
222111111m
n
m m n e n m m m n n n θ
π
??- ???=
??????-+- ?
? ??????
? (1) 若0,αβ→→∞,则当
2
(1)o βα= (2)
时,才有下式成立:
()1
(1)1~e αβ
β
αβααα??+=+??
??
(3)
此题未必满足(2)式,所以不加条件地利用(3)式证是不妥的。这里结论的证明很简单。
若利用(3)式估计(1)式值,则应有34
23(1),(1)m m o o n n
==。后一式蕴含在前一式中,即应补
设前一条件成立,利用(3)才可证得结论。下面用另一种证法证明。
视,n m 为连续变量进行估值,然后再置,n m 为取正整数的变量,结论也应成立。利用台劳展式
1
1
ln(1)(1)
()(11)k
n
k n k x x o x x n
-=+=-+-<≤∑,
由
0m
n
→得 221ln 11m
n
m m n m m n n ??- ?
??????-+ ?
????
? 22min 1min 1min 1m m m n n n ??????
=----+ ? ? ???????
2345
2462345246
234523m m m m m m m m m n n n n n n
n n n ????=----------- ? ?????
L
L
2345
23452345m m m m m m n n n n n
??------- ???
L 2463511615m m m n n n =----L 242
3211615m m m n n n ??=--++ ?
??
L 2431(1)6m m o n n ??
=--+ ???
2431(1)622111m
m m o n n n m
m n e m m n n ??--+ ?
????
- ???=????-+ ?
????
? 由题设条件得
2
4223m m m m o n n n n ????== ? ?????
,
所以要证明的结论中只能是21
m n
e
n π
-
,在题设条件下显然有2
11m e
n θ
??
-→ ???
,所以欲
2
22112n
m n
n e n m n π-????+ ???
-??
??22221111111m
m n
n m m n e e n n m m m n n n θππ-??
- ???=÷????
??-+- ? ? ???????
2431(1)62
1m m o n n e e
m n θ??-
-+ ???
=
??
- ???
必须且只需431(1)(1)6m o o n ??
+= ???
,即430m n →。
这条件必须在题中补设出来,即再当4
30m n →时有 2
2211~2n
m
n n e n m n π
-???? ???-??
??。
12、解:每个终端在某时刻使用的概率为0.05,ξ表示在某时刻同时使用的终端数。则
120120{}(0.05)(0.95)k
k k n P k C μ-==
由积分极限定理得
{12010}1{10}P P ξξ≥≥=-<610611200.050.95
1200.050.95P ξ--??
=-???????
1(1.675)0.047≈-Φ=。
即有10个或更多个终端在使用的概率为0.047。
13、证:当0x >时有
22221111
2
22211
x t t x x
x
x t e dt e dt e e x x x ∞
∞∞----??≤== ?????
2221
11
422
2242221211t t t x
x
x t t t
e
dt e dt d e t t t ∞∞∞---??+-≥=- ?+++??
?
?
?22112
22
211t t x
t x
e e t x
∞---==++ 所以不等式成立。
14、证:利用德莫哇佛——拉普拉斯积分定理得
212
||1{||}2k
x npq n k n npq
np k P np k P e
dx npq npq μμπ--??-??
-<=<≈
??????
?
在如上积分中,积分区间长度
20k
npq
→,所以{||}0()n P np k n μ-<→→∞。 15、解:设需要投掷n 次,用车贝晓夫不等式得(p=0.5)
2211110.40.60.50.110.90.122n n P P n n n n μμ????
<<=-<≥-????=????????
10.10.04n =,取1000
2504
n ≥=。用积分极限定理得 0.50.11110.40.6210.9
555n n n P P n n n n npq pq μμ??-??????????<<=<≈Φ-Φ-=Φ-=???? ? ? ????????????
?
110.95, 1.645,67.6555n n n ??
Φ=-== ???
取68n ≥。
16、解:利用车贝晓夫不等式估计值为:222n npq
pq
n P p n n μεε
ε??-≥≤=?
???。 利用德莫哇佛——拉普拉斯积分定理估值为:
212
22t n n np n n
P p P e
dt n npq pq pq
ε
μμεεεπ∞
-????-??
-≥≤≥≈????
??????
?
221
22
2212(n t pq
pq
n
pq
pq e dt e
o n n n n
pq
εε
επεπ
εε-
∞
-??
<
=
=→∞ ???
?
两者比较,后者估计精确得多。
17、解:任选6000粒可看作6000重贝努里试验,,由积分极限定理得
1600010.01600060.0160006151560006868P P μμ??-???
????-<=≤???????????
????
(2.078)( 2.078)2(2.078)1
≈Φ-Φ-=Φ-2.9812410.96=-≈。
18、解:与上题同理得
1600016
12030.996000615600068P P μμεε??-???????-<=≤=????????
??????
,
2(1203)10.99,(1203)0.995εεΦ-=Φ=,
1203 2.58,
0.0124εε==。
把0.0124ε=代入上式计算得
{}10.0124100074.460006P P μμ??-<=-???
{9251075}0.99P μ=<<=。 所以相应的良种数应落在925粒与1075粒之间。
19、解:在蒲丰试验中,频率与概率之差为2048128
0.00693404024040
-==。由积分极限定理得要求的概率为
202010.0069340400.006931404021404024P P μμ????-?????
-≤=≤????????
?????
20200.882(0.88)1
140404P μ????-??=≤≈Φ-?????????
20.810610.621=?-≈。
20、证:由于()F x 有界非降,()0F -∞=,()1F +∞=,故对任意0ε>,可找到0M >,使当x M ≥时有 1()F x ε-<, (1) 且当x M ≥-时有 ()F x ε<。 (2) 由于()n F x 处处收敛于()F x ,故存在一正整数N ,使当1n N >时,一方面有
|()()|n F M F M ε---<。
由(2)得 ()2n F M ε-< (3) 另一方面又有 |()()|n F M F M ε-<,
由(1)得 1()2n F M ε-< (4) 因此,对x M <-,若1n N ≥,则由(2),(3)有
|()()||()|()n n F x F x F x F x -<+()()3n F M F M ε≤-+-<。 (5)
同样,对x M >,如果1n N >,则由(1),(4)有
|()()||(1())(1())|n n F x F x F x F x -<---|1()||(1()|n F x F x <-+-
1()1()3n F M F M ε≤-+-<
(6)
在有限闭区间[,]M M -上,()F x 连续,故也均匀连续,因而在[,]M M -上可找到t 个点
12,,,,,t k t x x x x M x M =-=L ,使
1()()(1,2,,1)i i F x F x i t ε+-<=-L 。 (7)
还可找到21N N >,使在此t 个点中的每一点上,当2n N >时有
|()()|n i i F x F x ε-<。 (8)
于[,]M M -中任取一x ,则此x 必属于某一1[,]i i x x +,因此当2n N >时,由(8)得
11()()()n n i i F x F x F x ε++≤<+ (9)
及 ()()()n n i i F x F x F x ε≥>- (10) 由此及(9),(7)得
11()()()()()()2n i i i F x F x F x F x F x F x εεε++-<-+≤-+<。 (11)
同样由(10)及(7)得
1()()()()()()2n i i i F x F x F x F x F x F x εεε+->--≥-->-。 (12)
故当2n N >时,由(5),(6),(11),(12)得,对任意1x R ∈有 |()()|3n F x F x ε-<。
22、证:由P n X X ??
→可推得L n X X ??→,从而()()W
n F x F x ??→,由上题即得证。
24、证:?
????<≤<-≤==n x n x n x x X P x F n n 当当当,
10,110,
0},{)(。 令n →∞得 0,0
()()1,0n x F x F x x ≤?→=?>?。
这说明分布函数收敛,但 1,0,()n n EX EX EX EX n +==→→∞。当1k >时,
11
k k k n EX n n n
-=?
=, 11()(1)(1)1(1)k k k k n n n E X EX E X n n n ??
-=-=--+-? ???
所以当n →∞时,n EX →∞,()k
n n E X EX -→∞。由此知其中心距,原点矩均不收敛。
25、证:题中分布函数收敛系数指弱收敛。
(I )设x c -是()F x 的连续点,现证()()n F x F x c ζ→-。对任给0ε>,有
{}{,||}{,||}n n n n n n n n x x c x c ξηξηηεξηηε+<=+<-<+<-≥U
上式中右边两事件依次记为12,S S ,则12S S φ=I ,
12(){}()()n n n F x P x P S P S ζξη=+<=+, (1)
我们有 1{(),||}{(),||}()n n n n P x c c P x c c P S ξεηεξεηε<-+-≥≤<-+-≤≤
{(),||}
n n P x c c ξεηε≤<-+-<
{()}
n P x c ξε≤<-+
(2)
由(1),(2)得
2{()}{||}()n n P x c P c P S ξεηε<-+--≥+2{}{()}()n n n P x P x c P S ξηξε≤+<≤<--+
此式对任意n 成立,所以
[]2lim {()}lim (){||}n n n n P x c P S P c ξεηε→∞
→∞
<-++--≥
2lim ()lim ()lim {()}lim ()
n n n n n n n F x F x P x c P S ζζξε→∞
→∞
→∞
→∞
≤≤≤<-++
(3)
由P
n c η??
→得 2(){||}0()n P S P c n ηε≤-≥→→∞。 再适当选取ε使x c ε--同是()F x 的连续点,利用弱收敛性由(3)可得
()lim ()lim ()()n n n n F x c F x F x F x c ζζεε→∞
→∞
--≤≤≤-+。 (4)
由于()F x 单调增加,其至多有可列个不连续点,这里对ε的限制丝毫不影响以下结论成立。由于ε是任意的且x c -是()F x 的连续点,由(4)得
lim ()()n n F x F x c ζ→∞
→-。
所以()()n W
F x F x c ζ??→-。
(II )设(0)cx x ≠是()F x 的连续点,对任给0(0)c εε><<,
12,||,||n n n n n
n n n x x c x c S S ξξξηεηεηηη??????
<=<-<<-≥=????????????
U U (记), 则 122,(){||}0()n S S P S P c n φηε=≤-≥→→∞I 。 另外,1()P S 介于如下两概率之间;
{(),||}n n P c x c ξεηε<--<, {(),||}n n P c x c ξεηε<+-<,
对这两个概率值又分别有
0{()}{(),||}{||}n n n n P c x P c x c P c ξεξεηεηε≤<--<--<≤-≥, 0{()}{(),||}{||}n n n n P c x P c x c P c ξεξεηεηε≤<+-<+-<≤-≥。
取极限可得,当0x >时有(若0x <,则下式前后两项分别改成取上,下极限,且调换前后之位置),
lim (()}lim ()lim ()lim (())n n n n n n n n F c x F x F x F c x ζζεε→∞
→∞
→∞
→∞
-≤≤≤+。
可适取ε,使()c ε-与()c x ε+都是()F x 的连续点,当0x >时,由弱收敛性得(若0x <,则前后两项调换位置),
(())lim ()lim ()(())n n n n n F c x F x F x F c x ζζεε→∞
→∞
-≤≤≤+。
由ε的任意性及cx 是()F x 的连续点得
lim ()()n n F x F cx ζ→∞
=。
若0cx =(从而0x =)是()F x 的连续点,则对任意0(0)εε><有
(0)0n n n F P ζξη??=???0,||0,||n n n n n n P c P c ξξηεηεηη????
=<-<+<-≥????????
{}0,||0,||n n n n n P c P c ξξηεηεη??
=<-<+<-≥??
??
{}{}00,||0,|n
n n n n n
P P c P c
ξξξηεηη?=<+<-≥+<-??。
等式右边三项中,由()()W
n F x F x ??
→得第一项{}0(0)(0)n n P F F ξ<=→,其余两项中概率值均不超过{||}n P c ηε-≥,所以右边从而左边极限存在。取有限可得lim (0)(0)n n F F η→∞
=。
至此得证()()n W
F x F cx ζ??→。
26:(1)n n P{|X 0|}{|X |}0X P X εε--≥=-≥→, ∴ n X 0()P
X n -??
→→∞。 (2)对任给0ε>,
{||}{|X |}n n P X Y P X X Y εε-≥+-+-≥
11
{||}{||}0()22
n n P X X P X Y n εε≤-≥+-≥→→∞
由ε的任意性得{}0P X Y ≠=,所以{}1P X Y ==。 (3){||}{||}n m n m P X X P X X X X εε-≥=-+-≥
m 11
{||}{|X |}0
22
n P X X P X εε≤-≥+-≥→
∴ 0(,)P
n m X X n m ??
→→∞。 (4){|()()|}{|()()|}n n n n P X Y X Y P X X Y Y εε±-±≥=-±-≥
n 1
{||}{|Y 2
n P X X P Y
ε≤-≥+-
∴ ()P
n n X Y X Y n ±??
→±→∞。 (5)若0k =,显然有()P
n kX kX n ??
→→∞。若0k ≠,则 {||}{||||}{||}0||
n n n P kX kX P k X X P X X k ε
εε-≥=-≥=-≥
→
∴ ()P
n kX kX n ??
→→∞。 (6)2
2
2
11{||}{||}{2||||}22
n n n P X X P X X P X X X εεε-≥=-≥
+-≥ 2n 11
{||}{|X |}
22
n P X X P X εε≤-≥+-≥
11||||||24n n P X X P X X X εε?????
?=-≥+-≥????
??????
对任给0δ>,取0M >,使{}1
||3
P X M δ><,再取N 使当n N >时有
()n 1
|X |43P X M εδ????-≥?
???
?,且1||23n P X X δε????-≥????? 因为 11||||{||}||,||||44n n X X X X M X M X X X εε?
??
?-≥
?>≤-≥???????
?U {||}||(4)n X M X X M ε??
?>-≥????
U
所以当n N >时有
2
21{||}||{||}||2(4)n n n P X X P X X P X M P X X M εεε??????-≥≤-≥+>+-≥??????????
111
333
δδδδ≤++=, 从而22
lim {||}0n n P X X ε→∞
-≥=,即22n X ()P
X n ??
→→∞。 (7){||}n n P X Y ab ε-≥
{|2|}n n n n n n P X Y aY bX ab aY bX ab ε=--+++-≥ {|()()()()|}n n n n P X a Y b a Y b b X a ε=--+-+-≥
111|()()||()||()|333n n n n P X a Y b P a Y b P b X a εεε?????
?≤--≥+-≥+-≥??????
?????
?
111||||||||333n n n P X a P Y b P a Y b εεε?????????
?≤-≥+-≥+-≥??????
??????????1||||03n P b X a ε?
?+-≥→???
?,
∴ ()P
n n X Y ab n ??
→→∞。 (8) 1
|1|{|1|}||n n n X P X P X εε-??
--≥=≥?
???
|1|11||||,22||n n n n X P X P X X ε??-?
?≤≤+>≥????????
11|1||1|022n n P X P X ε???
?≤-≥+-≥→???????
?,
∴ 1
1()P n X n ??
→→∞-。 (9)在(8)中令n n Y X b
=,再利用(5)由P n Y b →可证得11
P n Y b --→;再现(7)中n Y 为
这里1n Y -即得证。
(10)对任给0δ>,取0M >,使1
{||}2
P Y M δ><
。再取N ,使当n N >时,1||2n P X X M εδ?
?-≥??
?,则
{}{||}||||n n P X Y XY P Y X X εε-≥=-≥{}{||}||,||||n P Y M P Y M Y X X ε≤>+≤-≥
11{||}||22n P Y M P X X M εδδδ?
?≤>+-≥<+=???
?,
∴ ()P
n X Y XY n ??
→→∞。 (11)对任给0δ>,取0M >及N ,使当n N >时如下五式同时成立:
11||28P X M δ??≥???, 11|_|28n P X X M δ?
?≥???
, {}1||4P Y M δ≥<,
1||(2)4n P Y Y M εδ??-≥???, 1
||(2)4n P X X M εδ??-≥??
?。则当n N >时有
{}11||||,||||,||22n n n P X M P X M X M P X X M M ????
≥=≥≥+<≥????????
111||||,||222n P X M P X M X X M ???
?≤≥+<-≥????
???
?111
884
δδδ<+=。 从而
{||}n n P X Y XY ε-≥{||}n n n n P X Y X Y X Y XY ε=-+-≥
11||||||||22n n n P X Y Y P Y X X εε???
?≤-≥+-≥????
???
?
1{||}||,||||2n n n n P X M P X M X Y Y ε?
?≤≥+<-≥??
?
?1{||}||,||||2n P Y M P Y M Y X X ε?
?+≥+<-≥??
?
?
{||}||(2)n n P X M P Y Y M ε??
≤≥+-≥??
??
1
{||}||4
(2)4
n P Y M P X X M εδ??+≥+-≥????
δ=,
∴ ()P
n n X Y XY n ??
→→∞。
李贤平《概率论与数理统计》标准答案
————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2
第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee a ξ <∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >, 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值? 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件: (1)1{2}2 k k P X =±= ; (2)(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的, 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n n ηξξ= ++L ,11 ()n n a E E n ξξ=++L ,则{}i ξ服从大数定律 的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而 0m n →时, 2 2211~2n m n n e n m n π -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试 求有10个或更多终端在使用的概率。
第一章 随机事件及其概率 一、选择题: 1.设A 、B 、C 是三个事件,与事件A 互斥的事件是: ( ) A .A B A C + B .()A B C + C .ABC D .A B C ++ 2.设B A ? 则 ( ) A .()P A B I =1-P (A ) B .()()()P B A P B A -=- C . P(B|A) = P(B) D .(|)()P A B P A = 3.设A 、B 是两个事件,P (A )> 0,P (B )> 0,当下面的条件( )成立时,A 与B 一 定独立 A .()()()P A B P A P B =I B .P (A|B )=0 C .P (A|B )= P (B ) D .P (A|B )= ()P A 4.设P (A )= a ,P (B )= b, P (A+B )= c, 则 ()P AB 为: ( ) A .a-b B .c-b C .a(1-b) D .b-a 5.设事件A 与B 的概率大于零,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 ( ) A .A 与 B 互不相容 B .A 与B 相互独立 C .A 与B 互不独立 D .A 与B 互不相容 6.设A 与B 为两个事件,P (A )≠P (B )> 0,且A B ?,则一定成立的关系式是( ) A .P (A| B )=1 B .P(B|A)=1 C .(|A)1p B = D .(A|)1p B = 7.设A 、B 为任意两个事件,则下列关系式成立的是 ( ) A .()A B B A -=U B .()A B B A -?U C .()A B B A -?U D .()A B B A -=U 8.设事件A 与B 互不相容,则有 ( ) A .P (A B )=p (A )P (B ) B .P (AB )=0 C .A 与B 互不相容 D .A+B 是必然事件
第三章 随机变量与分布函数 1、直线上有一质点,每经一个单位时间,它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格,若该质点在时刻 0从原点出发,而且每次移动是相互独立的,试用随机变量来描述这质点的运动(以n S 表示时间n 时质点的位置)。 2、设ξ为贝努里试验中第一个游程(连续的成功或失败)的长,试求ξ的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布:(1);,,2,1,)(N k N c k f Λ==(2),,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。 4、证明函数)(2 1)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。 5、若ξ的分布函数为N (10,4),求ξ落在下列范围的概率:(1)(6,9);(2)(7,12);(3)(13,15)。 6、若ξ的分布函数为N (5,4),求a 使:(1)90.0}{=-a P ξ。 7、设}{)(x P x F ≤=ξ,试证)(x F 具有下列性质:(1)非降;(2)右连续;(3),0)(=-∞F 1)(=+∞F 。 8、试证:若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ,则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。 9、设随机变量ξ取值于[0,1],若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关(对一切10≤≤≤y x ),试证ξ服 从[0,1]均匀分布。 10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ,使 )}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ, 则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。证明(1)正态分布),(20σm N ,已知0m ,关于参数σ; (2)正态分布),(200σm N ,已知0σ,关于参数m ;(3)普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。 但],0[θ上的均匀分布,关于θ不是一个单参数的指数族。 11、试证)2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02<->>ac b c a π2 b a c k -=。 12、若)(),(21y f x f 为分布密度,求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数,),(y x h 必须而且 只需满足什么条件。 13、若),(ηξ的密度函数为 ???>>=+-其它, 00,0,),()2(y x Ae y x f y x ,
第1章 事件与概率 2、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A =Y Y ; (3)C AB ?;(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和. 6、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式:(1)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ; (2)0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ; (3)∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边; (2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。 11、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案
第1章 事件与概率 2、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A = ;(3)C AB ?;(4)BC A ?. 3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件 的和. 6、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式:(1)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ; (2)0)1(321321 =-+-+--n n n n n n nC C C C ; (3)∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)
第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。 11、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码 ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 16、任意从数列 ,2,1,N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成:n m x x x x <<<<< 21,试求M x m =的 概率,这里N M ≤≤1 18、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有
1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee a ξ <∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >, 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值? 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件: (1)1{2}2 k k P X =±= ; (2)(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的, 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ,若记11()n n n ηξξ= ++L ,11 ()n n a E E n ξξ=++L ,则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而 0m n →时, 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试 求有10个或更多终端在使用的概率。
第一章 事件与概率 1、解: (1) P {只订购A 的}=P{A(B ∪C)}=P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30. (2) P {只订购A 及B 的}=P{AB}-C }=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07 (3) P {只订购A 的}=0.30, P {只订购B 的}=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23. P {只订购C 的}=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20. ∴P {只订购一种报纸的}=P{只订购A}+P{只订购B}+P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73. (4) P{正好订购两种报纸的} =P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC) =(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14. (5) P {至少订购一种报纸的}= P {只订一种的}+ P {恰订两种的}+ P {恰订三种的} =0.73+0.14+0.03=0.90. (6) P {不订任何报纸的}=1-0.90=0.10. 2、解:(1)ABC A C A B A ABC A BC A ??????=且显然)(,若A 发生,则B 与C 必同时发生。 (2)A C ?????=且A B A C B A C B A ,B 发生或C 发生,均导致A 发生。 (3)A C AB ??与B 同时发生必导致C 发生。 (4)C B A BC A ???,A 发生,则B 与C 至少有一不发生。 3、解:n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)=121121-+++n n A A A A A A A . 4、解:(1)C AB ={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员}; C B A ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。 (2)A BC A ABC ??=,当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 (3)当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时,B C ?成立。 (4)A=B 及C B A C A ==?=,当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体,也就不是运动员的学生全体 时成立。也可表述为:当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生,并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5、解:设袋中有三个球,编号为1,2,3,每次摸一个球。样本空间共有3个样本点(1),(2),(3)。设{}{}{}3,3,1,2,1===C B A , 则{}{}},2{,1,3,2,1},3{=-===B A B A B A A {}3,2,1=+C A 。 6、解:(1){至少发生一个}=D C B A . (2){恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++.
第2章 条件概率与统计独立性 1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少? 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 5、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。 6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 9、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。以pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。 11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 12、在上题假设下:(1)已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩的概率; (2)已知家庭中没有女孩,求正好有一个男孩的概率。
第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少? 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。 5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋, 然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回 时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。以 pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ??? ??=--≥=,0,11, 1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有 )1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下:(1)已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩的概率; (2)已知家庭中没有女孩,求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98, 而误认废品为合格品的概率为0.05,求在简化方法检查下,合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ,B ,C 三事件相互独立,求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。
概率论答案---李贤平版---第二章
第二章条件概率与统计独立性 1、字母M,A,X,A,M分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM的概率是多少? 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 3、若M件产品中包含m件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a只黑球,b吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b)。 5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a只白球,b只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7、设的N个袋子,每个袋子中将有a只黑球,b只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二
袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。以pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?? ? ??=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女 孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1 )2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下:(1)已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩的概率; (2)已知家庭中没有女孩,求正 好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格品的概率为
第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概 率是多少? 2、有三个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:(1)已知取出的两件中有一件是废品的条件 下,另一件也是废品的条件概率;(2)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;(3)取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球,b 吸白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后来放回),试分别求出三人各自取得白球的概率(3≥b )。 5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球,b 只黑球,乙袋中有α吸白球,β吸黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然 后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 7、设的N 个袋子,每个袋子中将有a 只黑球,b 只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少? 8、投硬币n 回,第一回出正面的概率为c ,第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ,求第n 回 时出正面的概率,并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。以 pn ,qn ,rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球的概率。试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn ,qn ,rn 表出的关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的,求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下:(1)已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩的概率; (2)已知家庭中没有女孩,求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品,现有一种简化的检查方法,它把真正的合格品确认为合格品的概率为, 而误认废品为合格品的概率为,求在简化方法检查下,合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ,B ,C 三事件相互独立,求证B A AB B A -,, 皆与C 独立。
概率论 数字特征与特征函数 2、袋中有k 号的球k 只,n k ,,2,1 =,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =,已知a E =μ,试决定A 与B 。 7、袋中有n 张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号码之和μ的数学期望及方差。 9、试证:若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在,则∑∞ =≥= 1 }{k k P E ξξ。 11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λ μλ 0>λ。试求 ξE ,ξD 。 13、若21,ξξ相互独立,均服从),(2 σa N ,试证π σξξ+ =a E ),max (21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中装有α只白球β只黑球,现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 20、现有n 个袋子,各装有a 只白球b 只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第 二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ,求 n S 。 21、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量,试说明这样做的道理。 24、若ξ的密度函数是偶函数,且2 E ξ<∞,试证ξ与ξ不相关,但它们不相互独立。 25、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?,试证:ξ与η不相关,但它们不独立。 27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+,试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量,试讨论(1)123,,ξξξ两两不相关;
第四章 数字特征与特征函数 1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数,在每次试验中p A P =)(,再设随机变量η视μ取偶 数或奇数而取数值0及1,试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只,n k ,,2,1 =,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为 !/n AB p n n =,已知a E =μ,试决定A 与B 。 4、袋中有n 张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号码之和μ的数学期望及方差。 5、试证:若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在,则∑∞ =≥=1 }{k k P E ξξ 。 6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λμλ 0>λ。试求 ξE ,ξD 。 7、若21,ξξ相互独立,均服从),(2σa N ,试证π σξξ+ =a E ),max(21。 8、甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中装有α只白球β只黑球,现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 9、现有n 个袋子,各装有a 只白球b 只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第 二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ,求 n S 。 10、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量,试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数,且2 E ξ <∞,试证ξ与ξ不相关,但它们不相互独立。 12、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1x y p x y x y π?+≤?=??+>? ,试证:ξ与η不相关,但它们不独立。 13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。 14、若,U aX b V cY d =+=+,试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。
第一章 事件与概率 1、若A ,B ,C 是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)A ABC =;(2)A C B A = ;(3)C AB ?;(4)BC A ?. 2、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和. 3、若A ,B ,C ,D 是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件:(1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)A ,B 都发生而C ,D 都不发生;(4)这四个事件都不发生;(5)这四个事件中至多发生一个。 4、证明下列等式:(1)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ; (2)0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ; (3)∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 5、袋中有白球5只,黑球6只,陆续取出三球,求顺序为黑白黑的概率。 6、一部五本头的文集,按任意次序放书架上去,试求下列概率:(1)第一卷出现在旁边;(2)第一卷及第五卷出现在旁边;(3)第一卷或第五卷出现在旁边;(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边;(5)第三卷正好在正中。 7、把戏,2,3,4,5诸数各写在一小纸片上,任取其三而排成自左向右的次序,求所得数是偶数的概率。 8、在一个装有n 只白球,n 只黑球,n 只红球的袋中,任取m 只球,求其中白、黑、红球分别有 )(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 9、甲袋中有3只白球,7办红球,15只黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球。现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率。 10、由盛有号码 ,2,1,N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 11、任意从数列 ,2,1,N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成:n m x x x x <<<<< 21,试求M x m =的概率,这里N M ≤≤1。 12、从6只不同的手套中任取4只,问其中恰有一双配对的概率是多少? 13、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r 第四章 数字特征与特征函数 1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数,在每次试验中p A P =)(,再设随机变量η视μ取偶 数或奇数而取数值0及1,试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只,n k ,,2,1Λ=,从中摸出一球,求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =,已知a E =μ,试决定A 与B 。 4、袋中有n 张卡片,记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来,求所得号码之和μ的数学期望 及方差。 5、试证:若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在,则∑∞ =≥=1}{k k P E ξξ。 6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布,其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ 0>λ。试求 ξE ,ξD 。 7、若21,ξξ相互独立,均服从),(2σa N ,试证π σξξ+=a E ),max (21。 8、甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中装有α只白球β只黑球,现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放 入乙袋中,求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 9、现有n 个袋子,各装有a 只白球b 只黑球,先从第一个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第 二个袋子中,再从第二个袋子中摸出一球,记下颜色后就把它放入第三个袋子中,照这样办法依次摸下去,最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色,若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ,求n S 。 10、在物理实验中,为测量某物体的重量,通常要重复测量多次,最后再把测量记录的平均值作为该体 质重量,试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数,且2 E ξ<∞,试证ξ与ξ不相关,但它们不相互独立。 12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?,试证:ξ与η不相关,但它们不独立。 13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量,试证如果它们不相关,则独立。 14、若,U aX b V cY d =+=+,试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量,若(0)a Ee a ξ <∞>,则对任意x o >,{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥,ξ为随机变量,且()Eh ξ<∞,则关于任何0c >, 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -,当s 为何值时,大数定律可用于随机变量序列1,,, n ξξ的算术 平均值? 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件: (1)1{2}2 k k P X =±= ; (2)(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-; (3)1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差,服从同一分布,但各k 间,k ξ和1k ξ+有相关,而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的, 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,, ξξ的方差有界,n D c ξ≤,并且当||i j -→∞时,相关系数0ij r →,证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ,若记11 ()n n n ηξξ= ++,11 ()n n a E E n ξξ= ++,则{}i ξ服从大数定律 的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明:当,,n m n m →∞→∞-→∞,而 0m n →时, 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端,每个终端有5%时间在使用,若各个终端使用与否是相互独立的,试 求有10个或更多终端在使用的概率。概率论答案 - 李贤平版 - 第四章
李贤平《概率论与数理统计》标准答案