2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}
2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）
A．7 B．10 C．66 D．166
3．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则?+?+?=（）
A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣100
5．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）
A．2 B．4 C．πD．2π
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x
7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）
A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．
10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是．
11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN 过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD=．
12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为．
13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列{a n}的通项公式为；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n中，面积的最大值是．
14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求梯形ABCD的高．
16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：
题 A B C
答卷数180 300 120
（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；
（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．
17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：FA⊥BC；
（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．
18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；
（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．
19．已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．
20．已知数列，A n：a1，a2，…，a n（n≥2，n∈N*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若
|=2或3，则称A n为H数列．
对每个k∈{2，3，…，n}都有|a k﹣a k
﹣1
（Ⅰ）写出满足a5=5的所有H数列A5；
（Ⅱ）写出一个满足a5k（k=1，2，…，403）的H数列A2015的通项公式；
（Ⅲ）在H数列A2015中，记b k=a5k（k=1，2，…，403）．若数列{b k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或﹣5．
2015年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合A={x|x2＞1}，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1，或x≥2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即A={x|x＜﹣1或x＞1}，
由B中不等式解得：0＜x＜2，即B={x|0＜x＜2}，
则A∩B={x|1＜x＜2}，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）
A．7 B．10 C．66 D．166
【考点】程序框图．
【专题】图表型；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=166时满足条件S ＞100，退出循环，输出n的值为10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，n=1
n=4，S=17，
不满足条件S＞100，n=7，S=66
不满足条件S＞100，n=10，S=166
满足条件S＞100，退出循环，输出n的值为10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
3．设i为虚数单位，m∈R，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．
【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可．
【解答】解：复数m（m﹣1）+i是纯虚数，则m=0或m=1，
显然m=1，复数是纯虚数，
所以，“复数m（m﹣1）+i是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，基本知识的考查．
4．已知平面上三点A，B，C，满足||=6，||=8，||=10，则?+?+?=（）
A．48 B．﹣48 C．100 D．﹣100
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后进行向量的数量积运算，注意向量的夹角．
【解答】解：由题意||2+||2=||2=100，所以△ABC是直角三角形，∠A=90°，
所以?+?+?=6×10×（﹣）+8×10×（﹣）+0=﹣100；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理运用以及向量的数量积运算；关键是明确向量的夹角，利用公式解答．
5．已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（）
A．2 B．4 C．πD．2π
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，再利用y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，得出结论．
【解答】解：由题意可得|x1﹣x2|的最小值为半个周期，即===2，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|=，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程．
【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点坐标F（1，0），p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
∵设P（m，n），由抛物线定义知：
|PF|=m+=m+1=，∴m=．
∴P点的坐标为（，±）
∴解得：，
则渐近线方程为y=±x，
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．
7．已知函数f（x）=，x∈R，若对任意θ∈（0，]，都有f（sinθ）+f（1﹣m）＞0成立，则实数m的取值范围是（）
A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】求函数f（x）定义域，及f（﹣x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m﹣1，也就是对任意的都有sinθ＞m﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．
【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x）；
f′（x）=e x+e﹣x＞0；
∴f（x）在R上单调递增；
由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；
∴sinθ＞m﹣1；
即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；
∵0＜sinθ≤1；
∴m﹣1≤0；
∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．
故选D．
【点评】考查奇函数的定义，根据函数导数判断函数单调性的方法，复合函数的求导公式，以及函数单调性定义的运用，正弦函数的值域．
8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】选作题；推理和证明．
【分析】先证明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性质得出C'N的长，再表示出求出梯形MNC′B′面积，进而求出最小值．
【解答】解：如图，过N作NR⊥AB与R，则RN=BC=1，
连BB′，交MN于Q．则由折叠知，
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，
∴△MQB∽△B′AB，
∴．
设AB′=x，则BB′=，BQ=，代入上式得：
BM=B'M=（1+x2）．
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB﹣MR=（1+x2）﹣x=（x﹣1）2．
∴S
=[（x﹣1）2+（x2+1）]×1=（x2﹣x+1）=（x﹣）2+，梯形MNC′B′
得当x=时，梯形面积最小，其最小值．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．
二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为3求得r值，代入通项中求得答案．
【解答】解：由，
令﹣r=﹣3，得r=3．
∴（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．
故答案为：．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
10．已知圆C的圆心在直线x﹣y=0上，且圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，则圆C的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】圆心在直线x﹣y=0上，设出圆心，利用圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，就是圆心到直线等距离，求解即可．
【解答】解：圆心在x﹣y=0上，圆心为（a，a），
因为圆C与两条直线x+y=0和x+y﹣12=0都相切，
所以=，解得a=3，
圆c的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．
故答案为：（x﹣3）2+（y﹣3）2=18．
【点评】考查圆的方程的求法，一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．
11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN 过圆心B．若AM=2，∠CBD=60°，则AD=3．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；推理和证明．
【分析】利用△CDB是等边三角形，求出CD，再利用割线定理，即可求出AD．
【解答】解：由题意，CD=DB=BC=5，AN=12，
∵直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，
∴AD×（AD+5）=2×12，
∴AD2+5AD﹣24=0，
∴AD=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查割线定理，考查学生的计算能力，比较基础．
12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为2．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为菱形的四棱锥，画出几何体的直观图，求出它的侧面积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为菱形的四棱锥，
且菱形的边长为=2，
三棱锥的高为3，
且侧面四个三角形的面积相等，如图所示；
∴该四棱锥的侧面积为
4S△PAB=4×AB?PE=4××2×=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的侧面积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的直观图，是基础题目．
13．已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，A n（a n，n）（n∈N*）在函数y=log x的图象上，则数列{a n}的通项公式为a n=（）n；设O为坐标原点，点M n（a n，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OA n M n中，面积的最大值是．
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由对数函数可得通项公式，又可得△OA n M n的面积S n的表达式，由函数的单调性可得．
【解答】解：由题意可得n=log a n，∴a n=（）n，
又可得△OA n M n的面积S n=×a n×n=n（）n，
构造函数y=x（）x，可判函数单调递减，
∴当n=1时，S n取最大值
故答案为：a n=（）n；
【点评】本题考查对数函数的性质，涉及函数的单调性，属基础题．
14．设集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，m i=1，2，3}}，集合A中所有元素的个数为27；集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为18．
【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．
【专题】集合；排列组合．
【分析】根据集合A知道m1，m2，m3各有3种取值方法，从而构成集合A的元素个数为27个，而对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5可分为这样几种情况：|m1|+|m2|+|m3|=2，或|m1|+|m2|+|m3|=4，求出每种情况下构成集合A的元素个数再相加即可．
【解答】解：m1从集合{﹣2，0，2）中任选一个，有3种选法，m2，m3都有3种选法；∴构成集合A的元素有3×3×3=27种情况；
即集合A元素个数为27；
对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况：
①|m1|+|m2|+|m3|=2，即此时集合A的元素含有一个2，或﹣2，两个0，2或﹣2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有3×2=6种；
②|m1|+|m2|+|m3|=4，即此时集合A含有两个2，或﹣2，一个0；或者一个2，一个﹣2，一个0；
当是两个2或﹣2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或﹣2，这种情况有3×2=6种；
当是一个2，一个﹣2，一个0时，对这三个数全排列即得到3×2×1=6种；
∴集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18．
故答案为：27，18．
【点评】考查描述法表示集合，分步计数原理及排列内容的应用，以及分类讨论思想的应用．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos∠CAD=．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求梯形ABCD的高．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：，解出即可；
（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos120°，解得AD，过点D 作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．在直角△ADE中，DE=AD?sin60°，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD=．
由正弦定理得：，
即==2．
（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos120°，
整理得AD2+2AD﹣24=0，解得AD=4．
过点D作DE⊥AB于E，则DE为梯形ABCD的高．
∵AB∥CD，∠ADC=120°，
∴∠BAD=60°．
在直角△ADE中，DE=AD?sin60°=2．
即梯形ABCD的高为．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关系、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如表：
题 A B C
答卷数180 300 120
（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；
（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【专题】概率与统计．
【分析】（I）由=60可知：每60份试卷抽一份，即可得出；
（II）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，利用相互独立试卷的概率计算公式即可得出；
（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．利用P（X=k）=
（k=0，1，2，3，4，5），及其E（X）=np即可得出分布列及其数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：
题 A B C
答卷数180 300 230
抽出的答卷数 3 5 2
应分别从B、C题的答卷中抽出5份，2份．
（Ⅱ）记事件M：被抽出的A、B、C三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，依题意P（M）==．
（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，且X～B．P（X=k）=（k=0，1，2，3，4，5），可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=0）=，
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P
∴E（X）=np==．
【点评】本题考查了随机变量的二项分布列及其数学期望、分层抽样、相互独立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=DC=AB=1．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：FA⊥BC；
（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD⊥平面MNH，求MH的长．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）利用平面与平面垂直的性质证明：FA⊥平面ABCD，即可证明FA⊥BC；（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），利用FD⊥平面MNH，求出M的坐标，即可求MH的长．
【解答】（Ⅰ）证明：由已知得∠FAB=90°，所以FA⊥AB．
因为平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以FA⊥平面ABCD，
由于BC?平面ABCD，所以FA⊥BC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知FA⊥平面ABCD，所以FA⊥AB，FA⊥AD．
由已知DA⊥AB，所以AD，AB，AF两两垂直．
以A为原点建立空间直角坐标系（如图）．
因为AD=DC=AB=1，
则B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），
所以=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），
设平面BCE的一个法向量=（x，y，z）．
所以．
令x=1，则=（1，1，1）．
设直线BD与平面BCE所成角为θ，
因为=（1，﹣2，0），
所以sinθ=||=．
所以直线BD和平面BCE所成角的正弦值为．
（Ⅲ）解：A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），B（0，2，0），H（，1，0）．设=k（0＜k≤1），则M（1﹣k，0，k），
∴=（k﹣，1，﹣k），=（1，0，﹣1）．
若FD⊥平面MNH，则FD⊥MH．
即=0．
∴k﹣+k=0．解得k=．
则=（，1，﹣），||=．
【点评】本题考查线面垂直的判定、平面与平面垂直的性质，考查线面角，正确运用向量法是关键．
18．已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；
（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．即可得出离心率与焦点坐标；
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△＞0．由于直线MA与直线MB斜率之积为，可得=，把根与系数的关系代入可得：m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．分别讨论解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．
故离心率e==，焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）．
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
2015年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答） 10．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=． 13．（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=． 14．（5分）设函数f（x）=， ①若a=1，则f（x）的最小值为； ②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是． 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值． 16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
【区级联考】北京市东城区2020-2021学年八年级上学期期 末教学统一检测英语试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．My father will come back tomorrow. I’ll meet ________ at the airport. A．her B．you C．him D．them 2．Lu Xun is one of ________ writers of modern China. A．great B．greater C．greatest D．the greatest 3．—Must I come here before 7: 30 tomorrow? —No, you ________. You can come here at 8: 00. A．mustn’t B．needn’t C．can’t D．shouldn’t 4．Tony decided ________ at home because it was raining outside. A．to stay B．staying C．stay D．stayed 5．Sam did ________ in school this year than last year. A．well B．better C．best D．the best 6．A few months ago, a car hit my friend George while he ________ home from school. A．rides B．rode C．was riding D．is riding 7．In Seattle, it rains a lot, ________ bring an umbrella when you go there. A．for B．or C．but D．so 8．—Dad, where is Mum? —She ________ the flowers now. A．is watering B．will water C．watered D．waters 9．Jackie told me not ________ too much noise because the little baby was sleeping. A．make B．to make C．making D．made 10．—What did you do last night? —I ________ a report. A．write B．am writing C．was writing D．wrote 二、完型填空 Go, Rosie, Go! It was another day to jump rope in PE class. Lynn and Mike turned the long rope in big, slow circles. The whole class hurried to get in line to wait for their turn to 11 . Rosie stood at the back of the line and looked worried.
2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i -- 2．若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为 A ．0 B ．1 C ． 32 D ．2 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-， B ．()40-， C ．()44--， D ．()08-，
开始 x =1，y =1，k =0 s =x -y ，t =x +y x =s ，y =t k =k +1 k ≥3输出(x ，y ) 结束 是否 4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 正(主)视图 11俯视图 侧(左)视图 21 A ．25+ B ．45+ C ．225+ D ．5 6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是 A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是 A B O x y -1 2 2C A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{} |12x x -<≤ 8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在()5 2x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）
2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
高考理科数学数学导数专题复习
高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则
1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义：
2015年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?北京）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数的运算法则解答． 解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i； 故选：A． 点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1． 2．（5分）（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0B．1C．D．2 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值． 解答： 解：作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部阴影部分，由 解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值== 故选：C．
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 3．（5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 x=1，y=1，k=0 s=0，i=2 x=0，y=2，k=1
1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D
∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π
绝密★启封并使用完毕前 2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合{} 52,A x x =-<<{} 33,B x x =-<<则A B =（ ） ( A ) {} 32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {} 53x x -<< （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）()()22111x y -+-= （B ）()()22 111x y ++-= （C ）()()2 2 112x y +++= （D ）()()2 2 112x y -+-= （3）下列函数中为偶函数的是（ ） （A ）2 sin y x x = （B ）2 cos y x x = （C ）ln y x = （D ）2x y -= （4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ） （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 （5） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ） （A ）3 （B ） 4 (C) 5 (D) 6 （6）设,a b 是非零向量，“a b a b ?=”是“a //b ”的（ ） （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件
北京市东城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的． 1．（3分）下列关于x的函数中，是正比例函数的为（） A．y=x2B．y=C．y=D．y= 2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A．3cm，4cm，5cm B．2cm，2cm，2cm C．2cm，5cm，6cm D．5cm，12cm，13cm 3．（3分）图中，不是函数图象的是（） A．B． C．D． 4．（3分）平行四边形所具有的性质是（） A．对角线相等 B．邻边互相垂直 C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等 5．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲乙丙丁
平均数（分）92959592方差 3.6 3.67.48.1 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁 6．（3分）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（） A．1或﹣4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或4 7．（3分）将正比例函数y=2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（） A．y=2x﹣1B．y=2x+2C．y=2x﹣2D．y=2x+1 8．（3分）在一次为某位身患重病的小朋友募捐过程中，某年级有50师生通过微信平台奉献了爱心．小东对他们的捐款金额进行统计，并绘制了如下统计图．师生捐款金额的平均数和众数分别是（） A．20，20B．32.4，30C．32.4，20D．20，30 9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜5 10．（3分）点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（）
新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P
等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π
1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ）
A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2）
【好题】高考数学试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 +AB AC D ． 13 44 +AB AC 2．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =± 3．在二项式4 2n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ． 1 6 B ． 14 C ． 512 D ． 13 4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 6．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α β= ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,
专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x
2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合 题意的 1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056 用科学记数法表示为（） A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1 2．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、 扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传 人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（） A．B．C．D． 4．（3分）若分式的值为0，则x的值等于（） A．0B．2C．3D．﹣3 5．（3分）下列运算正确的是（） A．b5÷b3=b2B．（b5）2=b7 C．b2?b4=b8D．a?（a﹣2b）=a2+2ab 6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1， 则AC的长为（） A．2B．C．4D． 7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与 ∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条
射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（） A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab 9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（） A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE 10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）