勾股定理及逆定理
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一勾股定理验证（等面积法）
解题思路:将所给三角形拼成大图形用等面积法:大图形面积＝各小图形面积和。例1、如图所示,可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，
你能用面积法来验证勾股定理吗?
例2、如图矩形是由四个直角三角形拼成,题中已给出各边长，试证明勾股定理。
例3、图中的正方形均是由Rｔ△ABC拼成，试验证勾股定理。
二、勾股数:满足a2+ｂ2=c2的一组正整数叫做勾股数
类型一：如何判断勾股数
关键词：选择题、三条边、构成直角三角形、勾股数等
一眼识别勾股数：可将较小两数的个位数进行完全平方求和，将所得的新的个位数与最大数的个位数的平方所得个位数进行比较，若结果一样一般满足勾股数。
例１、判断下列哪组数是勾股数（)
Ａ、58,4４,6０ B、８,15,17 Ｃ、13,１４，１9 D、２２,30,19
类型二：大题中如何估算勾股数
解题思路：先确定最高位的数字，再确定其它位数字
例1、已知直角三角形的两条直角边分别是：48、５5,试求斜边长是多少?
类型三：根据勾股数关系巧设未知数求边长
例1、在直角三角形中,一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为多少？
例2、直角三角形的三边长是三个连续的整数,这样的三角形共有( ）个？
A、 1个
B、 2个
C、 3个
D、无数个
例３、△ABC的两边a，b分别为5,12,另一边c为奇数，且ａ+b＋ｃ是３的倍数,则ｃ应为多少?此三角形为何种三角形?
类型四:勾股数与规律
例1、观察下列各组数:
aｂc
第一组：３=2×1+1， 4=2×1×(1+1)， 5=2×1×（１+1)＋1,
第二组:5=2×2+1， 12=2×2×(2+1）, 13＝2×2×(2+1)＋１,
第三组:7=2×３＋1, 24=２×３×（3+1), 25=2×3×（3+１)+1,
第四组：９=２×4＋１， 4０=２×4×（４+１）, 41=2×4×(４＋1)+１
.......
观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组勾股数的a，b，c，各是多少
吗？弟n 组呢?
例2、观察下列每组勾股数，每行所给的三个数a,b,ｃ都满足a<ｂ 6, ８,１０ 2 221086=+ 8,15,１７ 10,24,２6 2 22262410=+ １2,35,37 2 22373512=+ --- --- 2０, b,c 2 2220c b =+ 试根据已有数的规律,写出当a=20时,b ，c 的值,并把b,c 用含ａ的代数式表示出来. 例３、已知：在ABC Rt ?中, 90=∠C ,C B A ∠∠∠,,的对边分别为ａ,b,c 设ABC ?的面积为S ，周长为C. (１)填表: 三边a 、b 、ｃ ａ+b-c s/c 3 4 5 2 ５ 12 １３ 4 8 １5 17 6 (２)如果ａ＋b －ｃ=m,观察上表，猜想S/C=＿__＿__(用含有m 的代数式表示。 (3)证明(2)中结论。 2 2217158=+ 三、最短距离问题： 类型一:立体几何中求点与点之间的最短距离 关键词：两点、两点分布在不同的面上、距离最短等 解题思路：立体图形→平面图形→点、线、面→勾股定理 例1、长方体中求线段长: 如图所示是一个长8m、宽6m、高5m的仓库,在其内壁的A（长的四 等分点)处有一只壁虎，B（宽的三等分点)处有一只蚊子,则壁虎爬 到蚊子处的最短距离为多少米? B A 例２、圆柱体中求线段长：(注意所用线段与圆周之间的关系) 如图一个圆柱,底圆周长6ｃｍ,高4ｃm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A 点爬到B点,则最少要爬行多少cm? 例3、为了美化校园,学校新近植了两株雪松（如图)，从地面到枝桠处高2米,树粗一周是60cm,现在要在树身（从底端到枝桠处）均匀缠绕草绳２0周,那么草绳约为多长?（精确到0.1米) 类型二: 点到直线的距离问题： 关键词: 最短、最省钱、一动一静等 解题思路：过点做直线的垂线段,一般与３0°角的直角三角形结合起来，利用30°所对的边等于斜边的一半 例1、如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向３20ｋm的Ｂ处，以每小时A B 40kｍ的速度向北偏东6０°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受 台风影响的区域. (１)A城是否受到这次台风的影响?为什么？ （2)若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间? 类型三：选址问题 关键词：两点位于物体同侧、一条河或铁路等直线型物体 解题思路：做其中一点的对称点（依据：利用中垂线上任意一点到线段两端的 距离相等）→连接两点利用两点之间线段最短。 例1、在矿野上，一个人骑着马从A到Ｂ,半路上他必须在河边饮马一次，如图,他应该怎样选择饮马地点P,才能使所走的路程AP+ＰB最短呢？ A. Ｂ. M Ｎ 例２、如图所示，A、Ｂ两点在m的两侧,在m上找一点C，使C到A、B的距离 之差最大。 东 北 F E A B 类型四:三点组成三角形周长最短问题 关键词：角、两个点、构成三角形周长最短等 解题思路：分别做两点关于角的两边的对称点→连接两点则与三角形两边的交 点即为所求（依据：两点之间线段最短) 例１、如图，M 是∠A ＯB 内一点,求做两点C 、D ，使点Ｃ、D 分别在OA 、OB 上， 且使△MCD 的周长最短。 B ．M O A 四、关于等底不等高三角形与等高不等底三角形的关系: 关键词：等底、等高、等高、等底、面积等 解题思路：①等底不等高两个三角形面积比等于高之比; ②等高不等底两个三角形面积比等于底之比。 例1、如图,已知:?=∠=∠90C ABD ，12=AD ,BC AC =，?=∠30DAB . 求：ＢC 的长. 五、三角形形状判定: 类型一:三边关系判断： ①若满足a 2+b ２=ｃ2，则此三角形为直角三角形； ②若满足a 2+b 2 小于ｃ2,则此三角形为锐角三角形； ③若满足a 2+b ２大于c 2，则此三角形为钝角三角形; 例1、△AB Ｃ中，B Ｃ＝a,AC ＝b ，AB=c ，若∠C=90°，如图，根据勾股定理，则有a ２+b 2=c 2,若△A ＢC 不是直角三角形,如图所示,请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2与c2的关系，并证明你的结论 A A A ＢＣＢB C C 例2、如图在△ABＣ中，ＢＣ=a=２n+１，ＡＣ=b=２n2＋2n，AB=c＝2ｎ２+２n+1，（n为非零自然数)，试证明△AＢC为直角三角形。 A Ｃ B 例3、设一个直角三角形的两条直角边分别是ａ、ｂ,，斜边上的高为h，斜边为ｃ，则以c+h、a+b、h为三边构成的三角形形状？ 例4、已知ａ、b、c为△ABC的三边,且满足a２＋b2+c２+338=10a+24ｂ+２6c,试判断△ABC的形状。 例5、已知a、b、c是△ABＣ的三边,且a2c２－b2c2＝ａ2-ｂ2，试判断△ABＣ的形状． 类型二:分别求各边的长，看能否满足勾股定理 例1、如图，AD⊥AＢ,BＣ⊥AＢ,AB=2０，ＡＤ＝8，ＢC=１２,E为AＢ上一点, 且DE＝CE，求三角形DEC是直角三角形吗？ A E B D Ｃ 类型三：直接求角度数(略) 六、勾股定理与乘法公式（完全平方、平方差）: 例1、已知直角三角形周长为2√2+２，斜边长为2，求三角形的面积。 例2、设直角三角形的三边长分别为a、b、c，若c－b=ｂ－a﹥0,则(c?a)/(c+a)=（） Ａ、1/2 B 、1?3Ｃ、1?4 D 、1/5 例3、边长为６、8、１0的直角三角形的面积S＝1/2*６*8=2４,周长=６＋8＋10＝2４,这个直角三角形的面积等于周长，同样，边长为5、1２、1３的直角三角形的面积等于3０,周长等于30，它的面积也等于周长,试问：直角三角形的三边长a、b、c具有怎样的数量关系它的面积和周长才相等？ 结论:当直角三角形两直角边的和与斜边的差为4时，它的面积等于周长。 七、勾股定理与无理数在数轴上的做法 解题思路：找合适的直角三角形,利用勾股定理求出我们需要的无理数，然后在数轴上表示出来。 的点。 例1、怎样运用作图的方法，在数轴上找出表示10 例2、右图是由３6个边长为1的小正方形拼成的,连接小正方形中的点A、B、C、Ｄ、E、F得线段AB、BC、CD、ＤE、EF、FA,请说出这些线段中长度是有理数的是哪些?长度是无理数的是哪些?并在数轴上作出表示1、2、 3、4、5的点. 八、勾股定理与格点问题： 关键词：格点、三角形、勾股定理、三角形面积、三角形形状、三角形周长等型三：求边长、度数: 例1、如图是由边长为1ｍ的正方形地砖铺设的地面示意图,小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为_____＿__． 类型二:判断三角形的形状或面积、周长: 例1、如图,正方形网格中，每个小正方形的边长为１,则网格上的△AＢＣ是什么三角形?该三角形面积是多少？ 九、勾股定理判断图形面积关系： 关键词：多边形、面积、切割法、割补法、勾股数等 解题思路:通过勾股定理边与边之间的关系判断三边所引出的图形面积之间的关系 例１、是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、Ｓ2、Ｓ3、S4,则Ｓ１+S２+S3＋Ｓ４=____＿__. 例2、如图①,分别以直角三角形AＢC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S３表示，则不难证明S1=Ｓ２+S3 . (１) 如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、Ｓ2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系?（不必证明) (2) 如图③,分别以直角三角形ＡＢＣ三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用Ｓ１、Ｓ2、S3表示，请你确定S1、S2、Ｓ3之间的关系并加以证明； (３）若分别以直角三角形ＡBＣ三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用S１、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、Ｓ3之间的关系?. 十:折叠旋转问题：（数形结合与方程思想） 关键词：折叠、点与点重合、沿那条边折叠、对称等。 解题思路:角、边→设未知数列→根据勾股定理列方程→解方程。 详细解题过程：找出边与边之间关系、角与角之间关系(或哪条边与哪条边相等、哪个角与哪个角相等、边与边的和相加等于哪条边长、角与角和等于９0°等），根据边角关系适当设未知数列方程求未知数。 l 3 2 1S4 S3 S2 S1 类型一:求线段长、度数 例1、如图，折叠矩形的一边，使点Ｄ落在B Ｃ边的点Ｆ处，其中 cm 10,cm 8==BC AB ,你知道FC 多长吗? 例2、如图，P 是正方形ABCD 内一点,将ABP ?绕B 点顺时针旋转90°,到P BC ' ?位置,若a BP =,求P P '的长． 例3、如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将直角边A Ｂ折叠 使它落在斜边AC 上，折痕为ＡD ，则BD ＝____＿___. 例４、如图在等腰直角三角形AB Ｃ中,∠ＢAC=９0°,P 是△ABC 内一点,已知P Ａ=１，PB=3， ＰC=√7,求∠CPA 的大小。 C P A B 类型二：求图形面积 例1、如图,在△AＢC 中∠C=Rｔ∠ ，∠ＣＡB ＝60°,ＡＤ为∠BＡC 的平分线,D 到AB 的距离等于５．6cm ，求三角形A ＢC 的面积是多少？ 十一：等面积法求线段长: 关键词：勾股数、内心、到三角形各边距离相等等 类型一：直角三角形中利用等面积法求线段长 例1、已知:在ABC ?中，?=∠90C ,且12:13:=AC AB . ABC ?的周长为30． 求 ABC ?的各边长和斜边上的高。 类型二:普通三角形中利用等面积法求线段长（常用三角形内心的性质:三角形 内心到三角形各边距离相等) 例２、如图所示，在ABC ?中,?=∠90B ，两条直角边24,7==BC AB ，在三角 形内有一点P 到三边的距离都相等,求这个距离.（内心到三角形个边的距离相等) 十二：航行问题中求线段长 关键词：方位角、直角三角形、相遇、受到影响等。 解题思路:准确找出方位角→添加辅助线构造直角三角形（构造等腰直角三角 形、30°角的特殊直角三角形)→勾股定理求线段长 例1、甲、乙两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行１6海里， 乙船每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时候相距３0海里,如果知道甲船 沿东北方向航行，你能知道乙船沿哪个方向航行么？ 十三：线与线位置关系(平行或垂直) 例1、如图,ＣD 是△ABC 的边ＡB 上的高,且CD 2=ＡD ．ＤB,求证∠ACB=90°。 C A D Ｂ 例2、已知:如图，在正方形ABCD 中,F 为ＤＣ的中点，E 为CB 的四等分点且 ,41CB CE = 求证:ＡF⊥FE． 十四:证明等式 解题思路:涉及有关线段长的关系式或计算时,常作高构造直角三角形，把已知线段和要求的线段集中在一个三角形中,利用勾股定理来解决问题. 例1、已知:如图，△ＡＢC 中，AB ＞AC,A Ｄ是ＢC 边上的高，求证:AB ２-AC 2=B Ｃ(BD-DC)。 A B D C 例2、如图，已知:?=∠90C ,CM AM =，AB MP ⊥于Ｐ.求证：2 22BC AP BP +=. 例3、如图所示,在ABC ?中，P AC AB ,5==为BC 边上任意一点。求证： .252=?+PC PB AP 十五:勾股定理解决实际问题：（添加辅助线：高线、垂线,构建直角三角形） 类型一:求建筑物的高度或物体长度 例1、如图,一铁塔为AB ，在离铁塔底部m 140的Ｃ处测得?=∠30BED ,测角仪高 为m 5.1，求铁塔高度. 例２、一工厂的大门如图所示,一辆装满货物的汽车高2.5米,宽1.6米,你觉得 汽车能通过大门吗?这可需要你认真考虑呀! 例３、已知路灯需安装在12.５米高的灯柱顶端,电工师傅取了一架长13米的梯 子，斜靠在灯柱上（如图),这时梯子的下端距灯柱底端5米. ①你觉得电工师傅能将路灯安上去吗? ②电工师傅下来后,把梯子的底端在水平方向上向外拉了2米,那梯子的上端沿灯柱也下降2米吗? 说说你的看法． 例4、如图,AB=5，AC＝3,BC边上的中线AD=2,则△AＢC的面积为＿__＿_＿__. 十六：勾股定理中常错题型: 类型一:思维定势定三边: 例1、一个直角三角形的两条边长分别是5和12，求第三边的长。 例2、在△ABＣ中，三边的长分别为a、b、ｃ，且a＝3，b=４,c为质数，试求ｃ为多少? 类型二：概念混淆一团糟： 例1、在Rt△AＢＣ中,∠B=9０°,a=1,b=√3，求c的长 类型三:定理逆定理一锅粥： 例1、在△ＡBC中,a=3，b=5，ｃ＝4,△ABC是直角三角形么? 类型四:生搬硬套不灵活: 例1、判断由a、ｂ、c组成的三角形能否构成直角三角形,其中a＝5,b=1３，c ＝12. 类型五：顾此失彼想当然 例１、在△ABC中,AB=10，ＡC=12，ＢC边上的高AD=8,求ＢＣ的边长为多少？(AB在三角形内部和外部两种情况） A Ａ B D C C B D (1) 17．2 勾股定理的逆定理（2）教案 一、教学目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例1（P33例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一 些数学知识和数学方法。 五、例习题分析 例1（P33例2） 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 练习： 1．请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、_______；（2）10、26、_____． 2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______． 3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）． A ， ．7，24，25 C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5 4．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）． A．12.5 B．12 C ． 2 D．9 5．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长． 6．已知：如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，求证：BC⊥BD． E 勾股定理的逆定理 专题训练 1．给出下列几组数：①111,,345 ；②8，15，16;③n 2－1，2n ，n 2＋1；④m 2－n 2，2mn ，m 2＋n 2（m>n>0）．其中—定能组成直角三角形三边长的是（ ）． A ．①② B ．③④ C ．①③④ D ．④ 2．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．A ．1，2，3 B ．4，5，6 C ．12，13，14 D ．9，40，41 3．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（ ）．A ．8 B ．10 C ．11 个D ．12个 4．如果一个三角形一边的平方为2（m 2＋1），其余两边分别为m －1，m ＋ l ，那么 这个三角形是（ ）； A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．ABC ?的两边分别为5，12，另—边c 为奇数，且a ＋ b ＋ c 是3的倍数，则c 应为_________，此三角形为________． 6．三角形中两条较短的边为a ＋ b ，a － b （a>b ），则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形． 7．若A B C ?的三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋l0c ，则此三角形是_______三角形，面积为______． 8．已知在ABC ?中，BC ＝6，BC 边上的高为7，若AC ＝5，则AC 边上的高为 _________． 9．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为自然数），则这个三角形为______，理由是_______． 10．一个三角形的三边分别为7cm ，24 cm ，25 cm ，则此三角形的面积为_________。 11．如图18－2－5，在ABC ?中，D 为BC 上的一点，若AC ＝l7，AD ＝8，CD=15，AB ＝10，求ABC ?的周长和面积． 12．已知ABC ?中，AB ＝17 cm ，BC ＝30 cm ，BC 上的中线AD ＝8 cm ，请你判断ABC ?的形状，并说明理由 ． 学生做题前请先回答以下问题 问题1：勾股定理的内容是什么？ 问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？ 问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？ 问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？ 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：勾股定理的内容是什么？ 答：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c分别来表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？ 答：如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形． 问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？ 答：使用勾股定理的前提是已知三角形是直角三角形；勾股定理逆定理使用前提是在知道三角形三边关系后，证明三角形是直角三角形． 问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？ 答：0.3，0.4，0.5不是一组勾股数． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数． 0.3，0.4，0.5满足，但不是正整数，所以不是一组勾股数． 勾股定理及其逆定理（人教版） 一、单选题(共9道，每道10分) 1.三角形的三边，，满足，则三角形的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理 2.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形为( ) A.可能为锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：勾股定理的逆定理 3.下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④； ⑤（为正整数，且），其中可以构成直角三角形的有 第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理 填空题 1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长． （第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm． 3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米． 4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米． （第4题）（第5题）（第6题） 5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号） 6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） （第7题）（第8题）（第9题） 8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3） 9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是． 10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米． （第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸． 13．观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ． 解答题 14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． 勾股定理及逆定理习题及答案 1、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（） 2、由于0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（） 3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( ) （1）9，12，15; （2）15，36，39; （3）12，35，36 ; （4）12，18，22. 4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（）cm2 . (A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（）. (A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形 6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( ) A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对 7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为 2.5 m的木梯，准备把梯子架到 2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( ) A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m 8．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航 行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（ ）海里． 9. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝ 12 b ， 则△ABC 是什么特殊三角形？ 1ｘ 2.ｘ ３．（1）(2) (4) B (5)D 6.A 7.A (8)50海里 9. 解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ， 所以(c ＋a)(c －a)＝2b·12b. 所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形． 《17.2勾股定理的逆定理》教学设计 Y qzx Bmm 【内容和教材分析】 内容教材第31-33页，17.2勾股定理的逆定理. 教材分析“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 【教学目标】 知识与技能 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理． 2．理解原命题、逆命题、逆定理的概念关系． 3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 过程与方法 1．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程． 2．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用．3．通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题． 情感、态度与价值观 1．通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系． 2．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 【教学重难点及突破】 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性. 【教学突破】 1.勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致.证明在此条件下的三角形是一个直角三角形，需要构造直角三角形才能完成，构造直角三角形是解决问题的关键.可以从特例推向一般，设置两个动手操作问题. 2.勾股定理的逆定理给出的是判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来做判断. 3.几何中有许多互逆的命题、互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念.对互逆命题、互逆定理的概念，理解它们通常困难不大.但对那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题有时就会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果……那么……”. 4.勾股定理的逆定理可以解决生活中的许多问题.在解决实际问题时，常先画出图形，根 《勾股定理的逆定理2》习题 课堂练习 1．小强在操场上向东走80m 后，又走了60m ，再走100m 回到原地.小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是 . 2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A 、B 、C 三点能否构成直角三角形？为什么？ 3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ 课后练习 1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 . 2．一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC =15米，AD =13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB =4米，BC =3米，CD =13米，DA =12米，又已知∠B =90°. 参考答案： 课堂练习： 1．向正南或正北. 2．能，因为BC 2=BD 2+CD 2=20，AC 2=AD 2+CD 2=5，AB 2=25，所以BC 2+AC 2= AB 2； 3．由△ABC 是直角三角形，可知∠CAB +∠CBA =90°，所以有∠CAB =40°，航向为北偏东50°. 课后练习： 1．6米，8米，10米，直角三角形； 2．△ABC 、△ABD 是直角三角形，AB 和地面垂直. N A B 勾股定理及其逆定理 一、知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2=c 2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 3、满足2 22c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 二、典型题型 1、求线段的长度题型 2、判断直角三角形题型 3、求最短距离 三、主要数学思想和方法(1)面积法． 例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长． (2)构造法．例8、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13．求△ABC 的面积． (3)分类讨论思想．（易错题） 例3在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 ． 例4. 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。试求BC 的长。 例5、在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为 ． 练习： 1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。 (5)方程思想． 例6如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度． 例题7、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 例9. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，且AB=10，BC=8，求CD 的长。 练习： 1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，求折痕EF 的长。 C ' F E O D C B A 图4 C A 八数教学案 一、课时学习目标 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 二、课前预习导学 1．填空题。 ⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。 ⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2 ，则△ABC 是 三角形， 是直角； 若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是 。 ⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2 ，则△ABC 是 三角形。 2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） A ．a=8，b=15，c=17 B ．a=9，b=12，c=15 C ．a=5，b=3，c=2 D ．a ：b ：c=2：3：4 3．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。 4．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵5 1,41, 31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A ．2个 B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 ⑴如果a 3＞0，那么a 2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于90 °，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 三、课堂学习研讨 例1（P75例2）在军事和航海上经常要确定方向和位置， 从而使用一些数学知识和数学方法。 分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR= ，PQ= ，QR= ； 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 勾股定理及其逆定理专题练习 （一）几何法证明勾股定理. 1、如图所示， 90=∠=∠BCE ADE ,a CE AD ==，b BC DE ==，c BE AE ==，利用面积法证明勾股定理. （二）勾股定理的应用. 一、勾股定理的简单计算： 1、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 2、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是__________. 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 二、勾股定理与实际问题： 1、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米. 2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________m ． 3、如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有__________m ． b c c a a b D C A E B 4、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需___________米. 5、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是___________． 三、勾股定理与图形变换： 1、如图，已知ABC ?中， 5.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D ，26=BD ，BC AE ⊥于E ,求AE 的长. 2、如图，将长方形ABCD 沿直线AB 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于E ，48==AB AD ，,求BED ?的面积. 勾股定理及其逆定理 例题示范 例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m 处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m 处，这棵树折断之前有多高？ 解：如图，由题意，得 AC =3，BC =4，∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， 由勾股定理，得 AC 2+BC 2=AB 2 ∴32+42=AB 2 ∴AB =5 ∴AB +AC =5+3=8 答：这棵树折断之前高8m ． 例2：如图，在△ABC 中，AB =13cm ，AC =5cm ，BC =12cm ． 求证：∠C =90°． C B A 证明：如图 在△ABC 中，AB =13，AC =5，BC =12 ∵52+122=132 ∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴△ABC 为直角三角形，且∠C =90°． 巩固练习 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长为________． C B A 2. 已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人之间的 距离为___________． C B A 3. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小 到大依次记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ） A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2 勾股定理及逆定理 一、学习导航 1.有一个角是900的三角形是直角三角形； 2.两锐角互余的三角形是直角三角形； 3.两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形； 4.一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。 5.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设三边长分别为a、b、c(c 为斜边)，则 6.勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足：两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 二、知识梳理与例题精讲 知识点一勾股定理 例1.在Rt△ABC中，∠C=900 如果a=10, b=24,那么c= . 如果a=15, c=25,那么b= . 如果c=10, b=8,那么a= . 例2.有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 例3.一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上，若梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑2米，那么它的底端是否也滑动2米？ 知识点二勾股定理的逆定理 例4.有六根木棒，它们的长度分别为2,4,6,8,10,12,（单位：cm）,从中取出三根，首尾顺次连接成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（） A.2,4,8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12 例5.已知：△ABC的三条边长分别为a、b,、c,且a=n2-1,b=2n,c= n2+1(n＞1). △ABC是直角三角形吗？为什么？ 例6. 在正方形ABCD中,F为DC的中点，E为BC上一 点,且BC=4EC.小明经过测量发现∠EA=900,你认为对 吗？ 勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°， 18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）. 图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6 3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF= 4 1AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图18－2－7 6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形. 二、综合·应用 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8 9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－9 当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 《18.2勾股定理的逆定理》 教学目标 1．掌握直角三角形的判别条件. 2．熟记一些勾股数. 3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法. 教学方法 1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想. 2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神. 教学重点难点： 教学重点：探究勾股定理的逆定理. 教学难点：勾股定理的逆定理的应用. 教学过程： 一、创设问属情境，引入新课 活动1：（1）总结直角三角形有哪些性质.（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力. 师生行为：学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆. 这一活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”. 生：直角三角形有如下性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半. 勾股定理及其逆定理的应用常见题型 利用勾股定理求线段长 1 ?如图，在等腰直角三角形ABC中，/ ABC = 90° D为AC边的中点，过D点作DE丄DF, 交AB于E,交BC于F,若AE = 4, FC = 3,求EF的长. （注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 利用勾股定理求面积 2?如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D'处，BC交AD'于点E,AB = 6 cm, BC = 8 cm,求阴影部分的面积. 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 3. 在△ ABC中，D为BC的中点，AB = 5, AD = 6, AC = 13,判断△ ABD的形状. 利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题 4. （中考青岛）如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm,底面周长为18 cm在杯内离杯底4 cm的点C处有一 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短 距离为 _________ . 利用勾股定理解决实际问题 65如图，某港口位于东西方向的海岸线上， A , B 两军舰同时离开港口 0,各自沿一固定方向航 行，A 舰每小时航行32 n mile, B 舰每小时航行24 n mile ，它们离开港口一个小时后，相距40 nmile ， 几种常见的热门考点 勾股定理及其应用 1 .直角二角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ） A . 3 B . 4 C . 5 D . 10 2.如图，长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在点C'处，BC'交AD 于点 E ，AD = 8, AB = 4,贝U DE 的长为 _________ . 3.如图，已知/ C = 90° BC = 3 cm ，BD = 12 cm ，AD = 13 cm.A ABC 的面积是 6 cm 2 求: (1)AB 的长度； ⑵△ ABD 的面积. （第3题） 勾股定理的验证 已知A 舰沿东北方向航行，则 B 舰沿哪个方向航行 ? 勾股定理的逆定理教学设计 课时安排 3课时 第一课时 教学设计思路 本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方）．从而发现画出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2，把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念． 教学目标 知识与技能 1．研究直角三角形的判别条件； 2．熟记一些勾股数； 3．研究勾股定理的逆定理的探究方法。 过程与方法 用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，体会数形结合的思想。 情感态度与价值观 1．通过对Rt 判别条件的研究，树立大胆猜想，勇于探索的创新精神。 2．通过介绍有关历史资料，激发解决问题的愿望。 教学重点和难点 教学重点：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系。 教学难点：归纳、猜想出命题2的结论。 教学方法 启发引导、分组讨论 教学媒体 多媒体课件演示。 教学过程设计 （一）创设问题情境，引入新课 （1）总结直角三角形有哪些性质。 （2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？ 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力。 学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆。 （1）直角三角形有如下性质： ①有一个角是直角；②两个锐角互余；③两直角边的平方和等于斜边的平方；④在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。 （2）有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形． 大家思考一下还有没有其他的方法来说明一个三角形是直角三角形呢？ 前面我们学习了勾股定理，可不可以用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？ 我们来看一下古埃及人如何做？ （二）讲授新课 活动1 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32+42=52”．那么围成的三角形是直角三角形。 大家画一画、量一量，看看这样做出的三角形是直角三角形吗？ 再画画看，如果三角形的三边分别为2.5 cm、6 cm、6.5 cm，有下面的关系，“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm、7.5cm、8.5 cm．再试一试。 让学生在小组内共同合作，协手完成此活动。 用尺规作图的方法作出三角形，经过测量后，发现以上两组数组成的三角形是直角三角形，而且三边满足a2+b2=c2。 我们进而会想：是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？ 活动2 勾股定理和勾股定理逆定理经典例题 题型一：直接考查勾股定理 例1 在△ABC 中，∠C=90° （1）已知AC=6，BC=8，求AB 的长； （2）已知AB=17，AC=15，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度 1、如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 2、如图，水池中离岸边D 点米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是米，把芦苇拉倒岸边，它的顶端B 恰好落在D 点，求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用 1、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，F 是AB 上一点， A B C D A B C 且FB=4 1AB ，那么△DEF 是直角三角形吗？如果是，请说明理由. 题型四：勾股定理在折叠问题中的应用 1、如图，已知在长方形ABCD 中，AB=8cm ，BC=10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 拓展延伸：求折痕的长及重叠部分的面积. 经典例题训练： 1、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米； 2、如图所示装饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为12cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，问吸管要做 cm ； 3、已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，点O 为△ABC 的三条角平 A B D E F A B D E F 分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC=8cm ，CA=6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm ； 4、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处，另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米； 5、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 ； 题型五：勾股定理在几何证明题中的应用 1、如图，△ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC ，BD=3，CD=2，求△ 第3题 A B D 第4题 第5题 B A 八年级数学下册《勾股定理的逆定理》同步练习1 1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。 2．一根12米的电线杆AB ，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B 、C 两点之间距离是9米，B 、D 两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90 4．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2 +b 2 +c 2 +50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。 A 5．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。 求证：△ABC是等腰三角形。 6．已知：如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。 求证：AB2=AE2+CE2。 7．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。 参考答案： 1．6米，8米，10米，直角三角形； 2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直。 3．提示：连结AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°， S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米。 1．6； 2．提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。 3．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2。 4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。又因为c2=14，所以a2+b2=c2 。 勾股定理的逆定理（基础） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及 它们之间的关系． 2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 【要点梳理】 要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角 形是否为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如c ）. （2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的 直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形. 要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222 a b c +>时，此三角形 为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边. 要点三、互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 要点四、勾股数 满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22 1 21n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边 长； （3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三 条边长；勾股定理逆定理(2)教案
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