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不等式中恒成立问题的解法研究
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）
R x x f ∈<在0)(上恒成立00
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f
（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<-
?0
)(2020)(2βββαααf a b
a
b f a b 或或， ],[0)(βα∈ )(0 )(βαf f )(βαf f ],[0)(βα∈ ?0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 类型4： ) ()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选 用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ? ? ?<>?>0)(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，；令 )12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)( )2(0 )2(f f 即 2 ?????<---<----0 )12()1(20)12()1(22 2 x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠ -m 时，只需?? ?<---=?>-0 )1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 例3．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=?a a 解得3