复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):
dz1,1、 __________.(为自然数)
nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.
1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，
3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有
__________. ,z,3. 设，其中，试求
,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)
zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，
f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.
D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.
z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.
9. 的孤立奇点为________ .
《复变函数》考试试题(二) z
二. 填空题. (20分)
limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.
1
3sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数
2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z
实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点
________. limf(z),z,1，i
处的值. z,i
dz
,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,
sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零
点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.
四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，
3z，8,0
f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是
1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.
f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)
二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.
2
n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.
2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,
dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.
C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9)
,nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在
|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分) 1
f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1
z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,1
2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0
R及M，使得当时 |z|,Rze
n10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z
三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。 f(z)12z1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数. 0,,,zfzze(),
《复变函数》考试试题(四)
3
二. 填空题. (20分)
z1ef(z),，求 2. 设Res(f(z),,).1. 设，则. z,Rez,__,Imz,___2z,11,i zzz，，...，12nz,lim2. 若，则______________. limz,,n,,nn,,dz.n3. . 2,|z|,2z,，(9z)(zi)3. 函数e的周期为__________.
111f(z),4. 函数的幂级数展开式为__________ 2,1，zzze,14. 函数有哪些奇点,各属何类型(若是极点，指明它fz(),5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的阶数). 的_____________. 四. 证明题. (20分)
f(z)1. 证明:若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解f(z)7. 设，则. C:|z|,1(z,1)dz,___,C析.
4sinz2. 证明方程在内仅有3个根. 1,|z|,2z,6z，3,08. 的孤立奇点为
________.
z
z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___ 0z,z0
《复变函数》考试试题(五) ze Res(,0),10. _____________. nz二. 填空题.(20分) 三. 计算题. (40分)
z,1,3i1. 设，则. |z|,__,argz,__,z,__3z，1,01. 解方程 .
4
z2. 当时，为实数. z,___ez,1
的实部与虚部. 1. 求复数z3. 设，则. z,___e,,1z，1
2. 计算积分: z4. 的周期为___. e
， I,Rezdz,L5. 设，则. C:|z|,1(z,1)dz,___,C1，i在这里L表示连接原点到的直线段.
z2,,de,1I,3. 求积分:，其中0 7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内4. 应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里z,,(z)的_____________。 1f(z),8. 函数的幂级数展开式为_________. 在上解析，并 且. ,(z)|z|,1|,(z)|,121，z 四. 证明题. (20分) sinz 9. 的孤立奇点为________. 2f(z),|z|1. 证明函数除去在z,0外，处处不可微. z 2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数Rf(z)1 dz,___10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.n,C(z,a)及M，使得当时 |z|,R(为自然数) nn|f(z)|,M|z|，三. 计算题. (40分) 5 ix证明:是一个至多n次的多项式或一常数. f(z)称为_____________________. 10. 公式exix,，cossin 二、计算题(30分) n2,i,,《复变函数》考试试题(六) 1、. lim,,,,n6,,1. 一、填空题(20分) 2371,,，，n，21,Czz,,:32、设，其中，试求. fzdfi(1)，(),,n,,,zi,，，(1)limz,C1. 若，则___________. nnz,,1,nn 1zfz(),2. 设，则的定义域为fz()e23、设，求. ()Re((),)sfzifz,z，121z， ____________________________. sinz3. 函数的周期为_______________________. 3sinz4、求函数在内的罗朗 展式. 0,,,z2264. _______________________. sincoszz，,z z,1，,w,5、求复数的实部与虚部. nnz5. 幂级数的收敛半径为 ________________. z，1,n0,,,i3e6、求的值. ,m,1zz6. 若是的阶零点且，则是 的____________零fz()mfz()00三、证明题(20分) 点. 7631、方程在单位圆内 的根的个数为6. zzz，，,,96107. 若函数在整个复平面处处解析，则称它是 ______________. fz() D2、若函数在区域内解析，等于常数，fzuxyivxy()(,)(,),，vxy(,) 8. 函数的不解析点之集为__________. fzz(), D则在恒等于常数. fz() 539. 方程在单位圆内的零点个数为___________. 2380zzz,，，, 6 试卷一至十四参考答案 13、若z是的阶零点，则z是的阶极点. fz()mm 00fz()《复变函数》考试试题(一)参考答案 二(填空题 21,in,,2k, ; 2. 1; 3. ，; 4. zi,,; 5. 1. ()kz, ,01n,,,(计算下列积分((,分) 1 2z,2sinzdz(1) ; (2) ( dz2,,1z,4z,2,zz(3),26. 整函数; 7. ; 8. ; 9. 0; ,()z,(1)!n,2 2,d,10. . ,,(计算积分((,分) ,0三(计算题. 53cos，, ,(求下列幂级数的收敛半径((,分) 1. 解因为所以 01,,,z01,,z 2,,(!)nnnnz(1)，iz(1) ; (2) ( ,,n,,1z111nnnn,11n,,,z() . fz(),,,,,z22(1)(2)1zzz,,,00nn,,2(1),3232lfzmynxyixlxy()(),，，，,(设为复平面上的解析函数，试确定，2，的值((,分) 2. 解因为 mn 三、证明题( ,z，12DDfz(),(设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必fz()fz()Re()limlim1sfz,,,,, ,,,cossinzz,zz,,z,222为常数((,分) bazazb，，,0,(试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常a 数((,分) 7 2222,. 令fzuivfzuvc(),(),，,，,则z,12. Re()limlim1sfz,,,,,,uuvv，,0(1)cossinzz,,zz,,,,z,,xx222xy, 两边分别对求偏导数, 得 ,uuvv，,0(2)yy,1所以. dzisfzsfz,，,,2(Re()Re()0,,,z,2Duvuv,,,,因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变zcoszz,,,xyyx22 为 2,,,,()371,，，3. 解令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在zz,3 uuvv，,0,xx22()0uvv，,u. 消去得, . 内, ,xxvuuv,,0xx,,,()fzdziz,,()2() . ,,,c,z,221) 若, 则为常数. fz()0,uv，,0 ,, 所以. fiiziii(1)2()2(136)2(613),,,,，,,，,,，zi,， 1u,0CR..,v,0u,0,2) 若, 由方程 (1) (2) 及方程有 , yxxzabi,，4. 解令, 则v,0. y zabiab,，,，122(1)2(1)2. w,,,,,,,，111222222ucvc,,,cc,所以. (为常数). zzababab，，，，，，，，11(1)(1)(1)1212 za,，12(1)zb,12fzcic(),，所以为常数. 12 故 , . Re()1,,Im(),2222zab，，，1(1)zab，，，1(1) 0Re1,,z2. 证明的支点为. 于是割去线段的z,0,1fzzz()(1),,四. 证明题. z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. D1. 证明设在内. fzC(), 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时, 只有的幅角z,0,1zz 8 ,,，2k增加. 所以 ,i2. 则fzzrek(),(0,1),,,,的幅角共增加. 由已知所取 分支在支割线上岸取正值, fzzz()(1),,k,0 又因为在正实轴去正实值，所以. 2 ,,iz,,1于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 4 所以. fie(),2 ,,,i,i,,,3. 单位圆的右半圆周为, . ,ze,2故. fei(1)22,,,22 ,,iii,,22zdzdeei,,,2 所以. ,,,,,i,,22 《复变函数》考试试题(二)参考答案 4. 解 sinzdz二. 填空 题 ,,,2(sin)2cos,iz,iz,,,z,2,2z,z,(,)z2221,in,,,2=0. ,1.1，， i; 2. ; 3. ; 4. 1; 3(1sin2)，,i,四. 证明题. 201n,, fzcic(),，cc,1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数). fzcic(),,121212m,15. . uvuv,,,,0uxycvxyc(,),(,),,, 令. 则. xyyx12R2ki,,i6. ，. 7. 0; 8. ; 9. ; ()kz,Duvuv,,,CR..,fz()uv, 即满足, 且连续, 故在内解析. xyyx10. 0. fzuiv(),,(充分性) 令, 则 , fzuiv(),，三. 计算题 Dfz() 因为与在内解析, 所以 fz()nnnnn3212163，，，,,(1)(2)(1)2,,zz3uvuv,,,,uvvuvv,,,,,,,,,(),(), 且. xyyxxyyyxxsin(2)z,,1. 解 . ,,(21)!(21)!nn，，nn,,00Duvuv,,,,0uv,比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故xyyx D在内为常数. fz()i,2. 解令. zre,nn,1azazazaa，，,,,，，,,0(0)2. 即要证“任一次方程 n0110nn, 9 n，1有且只有个根”. ncnnn!(1)11，，nnnnn,1. 2. 解 limlimlim()lim(1),,,,，,efzazazaza()0,，，,,,，，,n 证明令, 取nnnn,,,,,,,,011nn,cnnnn(1)!，n，1 ,,aa，,,,，所以收敛半径为. e,,1n, 当在上时, 有 max,1R,zCzR:,,,zzaee1,,0,,()fz,3. 解令 , 则 . ,,,Re()sfz222nnn,,11,0z(9)zz,,z99. ,()()zaRaRaaaRaR,，,,,，，,，,,,，,,0z1110nnn, 2i, . ,fz(),,,2Re()isfz故原式. ,z,09nn,1azazaza，，,,,，，,0由儒歇定理知在圆内, 方程与 zR,962011nn,fzzzz()22,,，,4. 解 令 , . ,()8zz,,naz,0 有相 0C: 则在上均解析, 且, 故fzz()() 与,z,1fzz()6()8,,,,naz,0z,0同个数的根. 而在内有一个重根 . 因此nnzR,0由儒歇定理有 次方程在内有个根. nzR, . 即在内, 方程只有一个根. NfCNfC(,)(,)1，,，,,,z,1 四. 证明题. D1. 证明证明设在内. fzC(),《复变函数》考试试题(三)参考答案 2222二.填空题. fzuivfzuvc(),(),，,，,则令. ,，1eizzizC,,,,且1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. 2()kikz,,,, uuvv，,0(1),xx21,in,,xy, 两边分别对求偏导数, 得 ,; uuvv，,0(2),yy,01n,, ,i6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; zki,，(21),,Duvuv,,,,因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变xyyx110. . 为 (1)!n, 三. 计算题. uuvv，,0,xx221,，n2()0uvv，,,u. 消去 得, . ,xx11z22zvuuv,,0,，，，,,,,zez(1)1. 解 . xx,,2zzn2!!n,0 10 122. 1) , 则为常数. fz()0,uv，,0(1)!n， 三. 计算题. u,0CR..,v,0u,0,2) 若, 由方程 (1) (2) 及方程有 , yxx1. ,,,,2k，2k，3v,0. 解:z,,1,z,cos，isink,0,1,2y33 ,,13ucvc,,,cc,所以. (为常数). 1212z,cos，isin,，i13322 ,,z,cos，isin,,12fzcic(),，所以为常数. 12 ,,5513 z,cos，isin,,i33322rR,kn,2. 证明取 , 则对一切正整数时, zz,1neeeekfzkMr!()!()k2. 解 , . Re(),,Re(),,sfzsfz,,fdz(0). ， 1kk,,1,zrzz,,1，12，,12zz,2zr,1zz,,1()k,1kn,f(0)0, 于是由的任意性知对一切均有. r 故原式. ,，,,2(Re()Re())(),,isfzsfzieezz,,,11n z,fzcz(), 故, 即是一个至多次多项式或常数. fz()n,nn3. 解原 式,,,2Re()2. isfzi,,2,0kzi,,95,zzi,, zz,e，1《复变函数》考试试题(四)参考答案 11,zzzz(e,1)z,0,z,2k,i. z(e,1),0ze,14. 解 =，令，得，二. 填空题. k,,1,,2,？ 11zz1. , ; 2. ; 3. 2()kikz,,; 4. ,11z,e， 11,e22lim(,),lim,limzzzz,0,0,0zzzze,1(e,1)ze,1，ze,而 nn2(1)(1),,zz; 5. 整函数; ,ze1,n0,lim,,,zzzz,0z,06. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ,; 10. ？ z,02eeze，，为可去奇点 11 z一. 判断题. (k,0),z,e，1,0z,2k,i 当时， 1(?,(? ,(×,(?,(× 6(× ,(× ,(? ,(? 10(?. ,zzz二. 填空题. ,,(e,1)z,e,1，ze,0,,z,2kiz,2ki,？z,2k,i 而为,, ; 2. ; 1.2, 13，iakikza，,2(,),为任意实数3一阶极点. 3. , ; 4. ; 5. 0; (21)ki，,()kz,2,()kikz,,四. 证明题. 6. 0; Fzfz()(),z1. 证明设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异 z0,nn2z于的点, 考虑 (1)(1),,zz 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. 0,n0, FzFzfzfzfzfz()()()()()(),,,00021,in,, . limlimlim,,. zzzzzz,,,,000zzzzzz,,,00001n,, z而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此zfz()三. 计算题. 0 zabi,，1. 解令, 则 ,,Fzfz()(),, 从而在下半平面内解析. Fzfz()(),00 4,()zz,2. 证明令, , 则与在全平面解析, fzz()63,,，fz(),()z zabiab,，,，122(1)2(1)2且在上, , Cz:2,fzz()15()16,,,,. 1w,,,,,,,，111222222zzababab，，，，，，，，11(1)(1)(1)NfCNC(,)(,)4，,,,,故在内. z,211 za,，12(1)zb,12在上, , Cz:1,fzz()3()1,,,, 故 , . 2Re()1,,Im(),2222zab，，，1(1)zab，，，1(1)NfCNfC(,)(,)1，,,,故在内. z,1221，i2. 解连接原点及的直线段的参数方程为 zitt,，,,(1)01, 所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三f，,12,,z12,,z111， iReRe[(1)](1)(1)zdzitidtitdt,，，,，, 故. ,,,,,个根. c002 dzi,d,,a,03. 令, 则. 当时 ze, iz 《复变函数》考试试题(五)参考答案 12 ()(1)zaaz,,212,,12cos1(),，,,，，,aaazza, z 《复变函数》考试试题(六)参考答案 1dz1故,, 且在圆内只以 fz(),Iz,1,z,,1,，1ei2,二、填空题:1. 2. 3. 4. 1 5. z,1,,()(1)zaaz,,izaaz()(1) 1 为一级极点, 在上无奇点, 故za,z,1 m,1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 1110. 欧拉公式 , 由残数定理有sfza,,,,Re(),(01)2za,,,aza11za,三、计算题: 12,Iisfza,,,,2Re(),(01). ,22115,iza,ia,1,，,,1,1. 解:因为 69366C:4. 解令则在内解析, 且在上, fzz(),,,fzz(),(),z,1z,1 2,i, n,()1()zfz,,lim()0, 故. n,,6所以在内, , 即原方程在内只有NfCNfC(,)(,)1，,,,z,1z,1 2. 解: 123,，,,i一个根. 四. 证明题. 1()f,22uxyxyvxy(,),(,)0,，,1. 证明因为, 故？,fzd() ,,C,2iz,,uxuyvv,,,,2,2,0. xyxy2371,,，，z,0CR.., 这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, z d ,.,,Cz,0故只在除了外处处不可微. fz()z,, rR,kn,2. 证明取 , 则对一切正整数时, 2nfi()2(371),,,,,，，因此kfzkMr!()!()k,,fdz(0). ，1kk,,zr,2zr2fzizz()2(371),，，, 故 ()kkn,f(0)0, 于是由r的任意性知对一切均有. n fzcz(),, 故, 即是一个至多次多项式或常数. fz()nfiiziii(1)2(67)2(136)2(613)，,，,，,,，,,, . ,nn1，i,0k 13 zz与在单位圆内有相同个数的零点，根据儒歇定理， fz()fzz()()，,ee11,,，()23.解: zzizi，，,12763而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数fz()zzz，，,,9610 为6. ie Re((),).？,sfziDvv,,0 2.证明:设，则, 由于在内vxyabi(,),，fzuiv(),，xy2 nn321，,uv,,0uv,,,0解析，因此有 , . ,,(,)xyD(1)(),zxyyx3sin,z,4. 解: ,(21)!n，n,0 D于是故，即在内恒为常uxycdi(,),，fzacbdi()()(),，，，fz() 3n,sin(1)z,63n,？,z. 数. ,6zn(21)!，n,0 z 3.证明:由于是的阶零点，从而可设 fz()m022zxiyxyyi,,，，,， 11(1)2w,,,5(解:设, 则. zxiy,，m22fzzzgz()()(),, ， zziyxy，，，，， 11(1)0 22zgz()0,其中在的某邻域内解析且， gz()xyy，,1200？,,Re,Im.ww 2222(1)(1)xyxy，，，， 111,,于是 m,,ifzzzgz,()()(),,1036(解:eii,,，,,, cos()sin()(13).332 1gz()0,zDD由可知存在的某邻域，在内恒有，因此gz()0,6730011四、1. 证明:设 fzzzzz()9,()61,,,，,,gz() 则在上，即有. fzz()9,()1618,,,，，,,z,1fzz()(),,1Dz在内解析，故为的阶极点. m10fz() 14 10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，《复变函数》模拟考试试题 则在区域D内恒等于常数。( ) 《复变函数》考试试题,一, 二、填空题(4x5=20分) 一、判断题(4x10=40分): 1C、若是单位圆周，n是自然数，则__________。 1dz,n,1、若函数f(z)在z解析，则f(z)在z的某个邻域内可导。( ) C00(z,z)02、有界整函数必在整个复平面为常数。( ) 2222、设，则 f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C3、若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都f(z),u(x,y)，iv(x,y) _________。 limf(z),z,1，i在D内连续。( ) 1f(z),3、设，则f(z)的定义域为___________。 24、cos z与sin z在复平面内有界。( ) z，1 ，,5、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。( ) f(z)f(z)00nnz4、的收敛半径为_________。 ,n,06、若f(z)在z处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z解析。( ) 00 ze7、若存在且有限，则z是函数的可去奇点。( ) limf(z)0Res(,0),5、 _____________。 z,zn0z 8、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C三、计算题(8x5=40分): 1都有。( ) f(z)dz,0,f(z),CD,{z:0,|z|,1}f(z)(z,1)(z,2)1、设，求在内的罗朗展9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意式。 阶导数。( ) 15 1dzz，1 esinzdz，,,|z|,1|z|,32,i(z,1)(z,4)2、求。 3sin(2z)3、求函数的幂级数展开式。 1f(z),2,|z|,，,4、求在内的罗朗展式。 (z,1)(z,2) 45、求，在|z|<1内根的个数。 z,5z，1,0 《复变函数》考试试题,二, 一、判断题(4x10=40分): 1、若函数f(z)在z解析，则f(z)在z连续。( ) 00 2、有界整函数必为常数。( ) {Re z}{Im z}{z}3、若收敛，则与都收敛。( ) nnn f(z),C4、若f(z)在区域D内解析，且，则(常数)。( ) f'(z),0 16 5、若函数f(z)在z处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为三、计算题(8x5=40分): 0 幂级数。( ) 1dz. 1、,|z|,1cosz6、若f(z)在z解析，则f(z)在z处满足柯西-黎曼条件。( ) 00 iz7、若函数f(z)在z可导，则f(z)在z解析。( ) 00e2、求 Res(,i).2，1z8、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。( ) n9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。2,i,,3、lim.,,,,n6( ) ,, 12k,10、cos z与sin z的周期均为。( ) f(z),4、求在内的罗朗展式。 2,|z|,，,(z,1)(z,2)二、填空题(4x5=20分) 962z,2z，z,8z,2,05、求在|z|<1内根的个数。 dz,1、__________。 n,|z,z|,10(zz), 0 1 f(z),2、设，则f(z)的孤立奇点有__________。 2z，1 3、若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________。 22sinz，cosz,4、 _________。 5、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它 是D内的_____________。 17 《复变函数》考试试题,三, 一、判断题(3x10=30分): 1、若函数f(z)在z处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z解析。00 ( ) 2、若函数f(z)在z解析，则f(z)在z的某个邻域内可导。( ) 00 3、如z是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在。( ) 0 z,z0 4、若函数f(z)在z可导，则f(z)在z解析。( ) 00 5、若函数f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在D内连续，则二元函数u(x,y)与(x,y)。 ( ) sinz6、函数与在整个复平面内有界。( ) cosz 7、若函数f(z)在z处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为0 幂级数。( ) 8、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。( ) f(z)f(z)00 9、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。( ) 18 ix10、若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，称为 _____________.10、公式e,cosx，isinx 则数f(z)在区域D内为常数。( ) 三、计算题(8x5=40分): 二、填空题(2x10=20分) 2,,，，371n，21,1、设，其中，试求 fzd,()C,{z:|z|,3}f'(1，i).n,z,，i(1，)C1、若，则__________。 limz,n,zn,n,,1,nn 11dzz，1C2、若是单位圆周，n是自然数，则__________。 dz,esinzdz，2、求。 n,,,C|z|,1|z|,3(z,z)2,i(z,1)(z,4)0 zsinz3、函数的周期为___________。 ef(z),3、设，求 Res(f(z),,).21z,1f(z),4、设，则的孤立奇点有__________。 f(z)2z，11z,e4、求函数在内的罗朗展式。 0,|z|,，,nnx5、幂级数的收敛半径为 __________ ,z,1n,0w,5、求复数的实部与虚部。 z，1 6、若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点。 f'(z)00221， i1,i,,,,6、求 .，,,,,227、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它,,,, 是D内_________。、四、证明题(6+7+7=20分): 1、设是函数f(z)的可去奇点且，试证: ,limf(z),A,C8、函数的不解析点之集为________。 f(z),|z|z,, z。 Res(f(z),,),,limz(f(z),A)ez,,9、，其中n为自然数。 Res(,0),____________nz 2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且f(0),0，则 19 lim()fz。 f(z),0(,z,C)是f(z)的本性奇点，则一定不存在。( ) 2、如果z0zz,0 43、若存在且有限，则z是f(z)的可去奇点。( ) limf(z)03、证明方程在内仅有3个根。 1,|z|,2z,6z，3,0z,z0 4、若函数f(z)在z可导，则它在该点解析。( ) 0 {z}{Rez}{Imz}5、若数列收敛，则与都收敛。( ) nnn 6、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。( ) 7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。 ( ) 8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。( ) 9、若函数f(z)是区域D内的解析函数，且在D内的某个圆内恒等 于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。( ) 10、。( ) |sinz|,1(,z,C) 二、填空题(2x10=20分) z1、函数e的周期为__________。《复变函数》考试试题,四, ，,nnz2、幂级数的和函数为__________。 , 一、判断题(3x10=30分): n,0 z1、若函数f(z)在z解析，则f(z)在z的某个邻域内可导。( ) 003、函数e 的周期为__________。 20 1nf(z),4、设，则的孤立奇点有__________。 f(z)2,i,,21，zlim. 3、,,,,n6,,的收敛半径为_________。 1,zne4、求函数在内的罗朗展式。 0,|z|,，,nx5、幂级数的和函数为 ____________。 ,n,08525、求方程在单位圆内零点的个数。 z,4z，z,16、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它 是D内的_____________。 n1，i,,zzz，，...，lim6、求。 ,,12n,lim7、若，则______________。 limz,,,,n2n,,,,nn,,n 四、证明题(6+7+7=20分) ze1、设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D 内为常数的充要s8、________，其中n为自然数。 Re(,0),nz f(z)条件是在D内解析。 539、方程在单位圆内的零点个数为________。 2z,z，3z，8,0 2、如果函数在上解析，且，f(z)D,{z:|z|,1}|f(z)|,1(|z|,1)1f(z),10、函数的幂级数展开式为__________。 21，z则。 |f(z)|,1(|z|,1)三、计算题 (5x6=30分): 852z3、设方程证明:在开单位圆内根的个数为5。 z,4z，z,1,01、 dz.2,|z|,2,，(9z)(zi) ize2、求Res(,i). 2 ，1z 21 6、若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有 。( ) f(z)dz,0,C 7、若，则函数f(z)在是D内的单叶函数。( ) f'(z),0(,z,D) 8、若z是f(z)的m阶零点，则z是1/ f(z)的m阶极点。( ) 00 9、如果函数f(z)在上解析，且， D,{z:|z|,1}|f(z)|,1(|z|,1) 则。( ) |f(z)|,1(|z|,1) 《复变函数》考试试题,五, 10、。( ) |sinz|,1(,z,C)一、判断题(3x10=30分): 二、填空题(2x10=20分) 1、若函数f(z)在z解析，则f(z)在z连续。( ) 00n，21nz,，i(1，)1、若，则__________。 limz,nn2、若函数f(z)在z处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z解析。00z,，,1,nn 1( ) f(z),2、设，则的定义域为__________。 f(z)2z，13、若函数f(z)在z 解析，则f(z)在z处满足Cauchy-Riemann条件。003、函数sin z的周期为 ___________。 ( ) 224、________。 sinz，cosz,4、若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则。( ) f'(z),0(,z,D) ，,nnz5、幂级数的收敛半径为_____________。 ,5、若f(z)在单连通区域D 内解析，则对D内任一简单闭曲线Cn,0 都有f(z)dz,0。( ) ,C6、若z是f(z)的m阶零点且m>1，则z是f'(z)的 ______零点。 00 22 7637、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。在单位圆内的根的个数为6。 1、方程z，9z，6z,1,08、函数f(z)=|z|的不解析点之集为 __________。 f(z),u(x,y)，iv(x,y)2、若函数在区域D内解析，等于常 v(x,y)539、方程在单位圆内的零点个数为_________。 2z,z，3z，8,0 数，则在D内恒等于常数。 fx() ix10、公式称为__________。 e,cosx，isinx 3、若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点。 f(z)f(z)00三、计算题 (5x6=30分): n 2,i,,1、 lim.,,,,n6,, 2,,，，371,2、设，其中，试求 fzd,()C,{z:|z|,3}f'(1，i). ,C,z, ze3、设，求 ()fz,Re((),).sfzi21z， 3sinz4、求函数在内的罗朗展式。 0,|z|,, 6z z,1 w,5、求复数的实部与虚部。 z，1 , ,i3e6、求的值。 《复变函数》考试试题,六, 四、证明题(6+7+7=20分) 23 22一、判断题(3x8=24分) ________。 4、sinz，cosz, 1、若函数f(z)在z解析，则f(z)在z的某个邻域内可导。( ) 00，,22nnz5、幂级数的收敛半径为_____________。 ,2、若函数f(z)在z处解析，则f(z)在z满足Cauchy-Riemann条件。00n0, ( ) 6、若z是f(z)的m阶零点且m>1，则z是的______零点。 f'(z)003、如果z 是f(z)的可去奇点，则一定存在且等于零。( ) limf(z)0z,z0 7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。 4、若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则。( ) f'(z),0(,z,D) 8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。 835、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。9、方程在单位圆内的零点个数为_________。 3380zzz,，，, ( ) zeRes(,0),10、_____________。 6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，nz 则在区域D内恒等于常数。( ) 三、计算题(5x6=30分) 7、若z是f(z)的m 阶零点，则z是1/ f(z)的m阶极点。( ) 00221，i1,i,,,,1、求 .，,,,,8、。( ) |sinz|,1(,z,C)22,,,, 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- dz C 2 2．设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （ ） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。 3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。 A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。 4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ； B ．- =z z f )( ； C ．n z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5 A. ∑∞ =+08)56(n n n i ； C. ∑∞ =02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+= 2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。 3．计算积分? - C dz z z 4 )2 (sin π 4.计算积分 4=。 5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。 6.将函数) 2)(1(1 )(--=z z z f ，在圆环域21< 7.利用留数计算积分?C 四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。（7分） 参考答案 一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或 二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B . 三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：) sin (cos 2π π i z +=, （1分） 6 24 (cos 23166ππ k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += , )25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分） 2. 解 ) 2()2y xy i x -+,则 (),(22y x y x u -= y u x x u ,12=??-=?? 只在2 1 = y ,x v ??-（6分） 故只在2 1 =y 处可导，处处不解析。（7分） 3z 在2=z 内解析，（2分） ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 ?复变函数与积分变换?期末试题（A） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i- 的幅角是（）；2.) 1 (i Ln+ -的主值是 （）；3. 2 1 1 ) ( z z f + =，= )0()5(f（）； 4．0 = z是4 sin z z z- 的（）极点；5． z z f 1 ) (=，= ∞] ), ( [ Re z f s（）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数) , ( ) , ( ) (y x iv y x u z f+ =的导函数为（）； （A）y x iu u z f+ = ') (；（B） y x iu u z f- = ') (； （C）y x iv u z f+ = ') (；（D） x y iv u z f+ = ') (. 2．C是正向圆周3 = z，如果函数= ) (z f（），则0 d) (= ?C z z f． （A） 2 3 - z ；（B） 2 )1 (3 - - z z ；（C） 2 )2 ( )1 (3 - - z z ；（D） 2 )2 ( 3 - z . 3．如果级数∑ ∞ =1 n n n z c在2 = z点收敛，则级数在 （A）2 - = z点条件收敛；（B）i z2 =点绝对收敛； （C）i z+ =1点绝对收敛；（D）i z2 1+ =点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数) (z f在 z点可导，则) (z f在 z点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换 考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 4.34a rc ta n 3 A i π-+-的主辐角为 .a rg (3)a rg () B i i -=- 2 .rg (34)2a rg (34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. R e ()0z >表示上半平面 C. 0a rg 4 z π << 表示角形区域 D. Im ()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） .z A z e + 2 s in . 1 z B z + .ta n z C z e + .s i n z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．． 的是（ ） A. c o s z 是有界函数 B. 2 2L n z L n z = .c o s s in iz C e z i z =+ .||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第 3 页 共 10 页 年 级 重庆××大学《复变函数》期末考试 专业：理工科 课程名：复变函数 考核方式：闭卷 专 业 ： 班 级 ： 姓 名 ： 学 号 ： 题号 一 二 三 四 五 总分 分数 评卷 人 装 线 订 一． 填空题（每小题4分，共24分） 1． =+++-)1 21 311Re(i i i . 2． 若函数())6()1(232222y x xy i y m xy x z f +-+--+=在复平面内处处解析，那么实常数m = 。 3．设C 为1<=r z ，那么? --C z z dz ) 1)(1(3 2＝ 。 4．幂级数∑∞ =03n n n z 的收敛半径=R 。 5．设C 是沿2x y =自原点到i +1的曲线段，求dz z C ?＝ 。 6．函数3 41 )(-=z z f 在0=z 处的泰勒级数为 。 二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1．的主值为)1(i Ln -（） A ．4 2ln π i + B. 4 2ln π i - C ．2ln 4i +π D. 2ln 4 i -π 第 4 页 共 10 页 2．设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （ ） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。 3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。 A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。 4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ； B ．- =z z f )( ； C ．n z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5．下列级数中，条件收敛的级数是（） A. ∑∞ =+0 8)56(n n n i ； B. ∑∞ =??? ?? ?+-03)1(n n n i n ； C. ∑∞ =02 n n i ； D. ∑∞ =+0 )1(1n n i n . 三．计算题（每小题7分，共49分） 1．设i z 31+=求6 1z 。复变函数试题及答案
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