一、一元二次方程知识点总结
学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。
一、知识框架
二、知识点、概念总结
1.定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过
整理，?都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，
是b 的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式
，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方
b a x =+2)(a x +0≥b b a x ±=+b a x ±-=222)(2b a b ab a +=+±222)(2b x b bx x ±=+±)0(02≠=++a
c bx ax )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x )0(02≠=++a c bx ax ac b 42-
程的根的判别式，通常用“”来表示，即 6.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
一元二次方程考点及练习
考点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
例题：
1、判别下列方程是不是一元二次方程，并说明理由.
(1)2x 2-x-3=0. (2)
4
y
-y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21
x -3=0. (7)x x 32- =2.
(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x 2-x
4
+6=0. (10)3x 2=
4
x
-3. 2、判断下列方程是否为一元二次方程：
)0(02≠=++a c bx ax ?ac b 42-=?)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a
b x x -
=+21a
c
x x =
21
)0(0).7(0
).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1
).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x x
x x x x ==+++-=-=+-=
==+
3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是
（ ）
（A ）()()2
3121x x +=+ （B ）
211
20x x
+-= （C ）20ax bx c ++= （D ）2221x x x +=+
4、下列方程中
，
不是一
元
二
次方程
的
是
（ ）
（A ）2x 2+7=0 （B ）2x 2+23x+1=0
（C ）5x 2+
x
1
+4=0 （D ）3x 2+(1+x) +1=0 5、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于2
6、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当
时，两根中有一个为零a 。
7、已知关于x 的方程()2
2
20m
m x x m --+-=：
（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。
考点二.一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。 特别警示：（1）“0a ≠”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
例题：
1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
2(1)109000x x --=
2(2)510 2.20x x +-= 2(3)2150x -= 2(4)30x x +=
(5)
3)2(2
=+x (6)0)3)(3(=-+x x
2、关于x 的方程2320ax x ++=是一元二次方程，则 （ ） （A ）0a > （B ）0a ≠ （C ）1a = （D ）0a ≥
3、将下列一元二次方程化成一般形式，并找出a 、b 、c 的值. (1) 2435x x -=；
(2) ()()
22831x x x ++=+
4、方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）
（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 5、关于x 的方程06232=-+x x 中a 是 ；b 是 ；c 是 。 6
、
方
程
()()()()49
5235232
=-+--++x x x x 的一般形式
为 。
7、方程(m-5)(m-3)x 2-m +(m-3)x+5=0中，当m 为何值时，此方程为一元二次方程?
考点三.一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。 例题：
1、已知方程2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 。
2、已知1x =是一元二次方程2210x mx -+=的一个解，则m 的值是 （ ）
（A ）1 （B ）0 （C ）0或1 （D ）0a ≥
3、若1x =是一元二次方程220ax bx +-=的一个根，则a b += 。 4
、
实
数
a
ac
b b 242-±是方程 的根
（ ）
（A ）02=++c bx ax （B ）02=+-c bx ax （C ）02=--c bx ax （D ）02=-+c bx ax
5、设a 是一元二次方程052=+x x 的较大根，b 是0232=+-x x 较小根，那b a + 的值是（ ）
（A ）-4 （B ）-3 （C ）1 （D ）2
6、已知关于x 的一元二次方程220x kx +-= 的一个解与方程1
31
x x +=-的解相同。 （1） 求k 的值；
（2） 求方程220x kx +-=的另一个解。
7、设12,x x 是关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根，121,1x x ++是关于x 的一元二次方程20x qx p ++=的两个根，则,p q 的值分别等于多少？
考点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：
（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一
半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解； （3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是
x =()2
40b ac -≥； （4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率
最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。 例题： 解方程：
1、方程2
250x -=的解是： （ ） （A ）125x x == （B ）1225x x ==
（C ）
125,5x x ==- （D ）1225,25x x ==-
2、方程2
20x x -=的解是： （ ）
（A ）121x x == （B ）121,3x x =-= （C ）122,0x x == （D ）122,0x x =-=
3、方程
)(211x x =的较简便的解法应选用 。
4、解下列方程：
（1）()2331x x +=+ （2）2230x x +-= （3）2230x x +-=
5、解下列方程：
（1）()()
y y 32322-=+（2）()()12
1131
2-=-x x （3）()2252)3(-=+x x
6、解下列方程：
（1）()()()2222263-++=-y y y
（2）()2
233??? ??
+=+m x m x
（3）()()
122122=++++x x x x
7、解方程：
（1）2330x x ---=
（2）()024142=++++m x m mx
考点五.一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式是24b ac -： （1） 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； （2） 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； （3） 当240b ac -<时，方程无实数根。 温馨提示：若方程有实数根，则有240b ac -≥。 例题：
1、已知方程2
30x x k -+=有两个不相等的实数根，则k= 。
2、关于x 的一元二次方程2
210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ） （A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10k k >-≠且 3、在下列方程中，有实数根 的是 （ ）
（A ）2
310x x ++= （B 1=-
（C ）2230x x ++= （D ）
1
11
x x x =-- 4、当m 满足何条件时，方程()019122=-+--m x m mx 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？
5、关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 无实根，试解关于x 的方程
()()02252=++--m x m x m 。
6、已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=，求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
7、将一条长20m 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后
的长度分别是多少？
（2） 两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？若能，求出两段铁丝的长
度；若不能，请说明理由。
考点六.一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为12,x x ，则
1212,b c
x x x x a a
+=-=。
温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。
例题：
1、关于
x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足
1212x x x x +=，则k 的值为： （ ）
（A ）
314-或
（B ）1- （C ）3
4 （D ）不存在
2、已知,αβ是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且
满足1
1
1
α
β
+
=-，则m 的值是 （ ）
（A ）3或-1 （B ）3 （C ）1 （D ）-3或1
3、关于x 的一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根12,x x ，
且12124x x x x >+-，则m 的取值范围是 （ ）
（A ）
53m >-
（B ）12m ≤
（C ）
53m <- （D ）51
32m -<≤ 4、方程2360x x --=与方程2630x x -+=的所有根的乘积是
5、两个不相等的实数m,n 满足2264,64m m n n -=-=，则mn 的值为 。
6、设12,x x 是关于x 的方程()()2100x m x m m +--=≠的两个根，且满足
12112
3
x x +=-，求m 的值。
7、已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程
()2223320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5，问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？
考点七.一元二次方程的实际应用
列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。
在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
例题：
1、某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元，则该玩具平均每次降价的百分率是。
2、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。
3、一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。
4、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
5、一根长22cm 的铁丝．
（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？
（2）能否围成面积是32 cm 2的矩形？并说明理由． 6、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
7、在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤3）。那么，当t 为何值时，△QAP 的面积等于2cm 2?
Q P
D
C
B
A
二、中考复习：一元二次方程重难点易错点
一、重点
1．一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。 2.判定一个数是否是方程的根；
3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。
4.运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程，领会降次──转化的数学思想。
5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
二、难点
1．一元二次方程配方法解题。
2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
3．用公式法解一元二次方程时的讨论。
4.通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）
2
=n （n ≥0）的方程。
5．建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。 6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
三、易错点
（一）.二次项系数“陷阱”
例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(22=+-+x a x a 有两个实数根.
错解:.1441444)12(2222+-=-+-=--=?a a a a a a .,4
1
,014实数根此一元二次方程有两个时即当≤
≥+-a a
分析:错误原因是忽视了一元二次方程的二次项系数02≠a 这一隐含条件.实际上一元二次方程02=++c bx ax 有两个实数根的条件应是00≥?≠且a .故本题的结论应是:当04
1
≠≤
a a 且时,方程01)12(22=+-+x a x a 有两个实数根. 小结：如果题设中所给的一元二次方程的二次项系数中含有字母,那么这个题目就已经设计了有关二次项系数的“陷阱”，此时务必要考虑“二次项系数不为零”这一隐含条件.
（二）.根的判别式“陷阱”
例 2.已知21x x 、是一元二次方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且
21x x 、满足不等式0)(22121>++x x x x ，求实数m 的取值范围.
错解: ∵的两个实数根，
是一元二次方程、03122221=-+-m x x x x ∴.2
311
2121m
x x x x -=?=+， ∵,0)(22121>++x x x x
∴
.02231>+-m
∴.3
5
分析:错误原因是忽视了判别式0≥?这一隐含条件.实际上一元二次方程有两个实数根,则必然有0≥?这一条件.根据此方程有两个实数根,可先列出不等式0)31(8)2(2≥---m ,解出61≥ m .故本题的结论是:3 561<≤m . 小结： 如果题目中已直接或间接给出了一元二次方程有两实根，那么这个题目就已经设计了有关判别式的“陷阱”，此时一定要考虑?的隐含条件. （三）.二次根式“陷阱” 例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 错解: .84)21(4)12(2+-=-++-=?k k k ∵关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的 实数根, ∴.021084≠->+-k k 且 ∴.2 12≠ 2 121≠ <≤-k k 且. 小结：如果题设中存在被开方数是有关字母的二次根式,那么这个题目很有可能设计了有关二次根式的“陷阱”，此时有必要考虑被开方数大于或等于零这一隐含条件. （四）.关键字“陷阱” 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)049 ≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)04 9 ≠->k k 且 错解: ∵关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根, ∴00≠≥?k 且, 即0k 049≠≥+且k , ∴0k 4 9 ≠-≥且k . 选(B). 分析:此方程形式上是一个一元二次方程,但从题设中的关键文字“方程”、“有实数根”来看，该方程不仅可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.本题需要这样讨论:若0=k 时,则该方程是一元一次方程,它有实根3 1= x ;若0≠k 时,则该方程是一元二次方程,当04 9 ≠-≥k k 且时,它有两个实数根.这两 种情况都满足题设条件,所以k 的取值应是4 9 -≥k (不必要求0≠k ,因为0=k 时 方程也有实数根).故选(C). 例5.关于x 的方程0132=-+x kx 有两个实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)049 ≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)04 9 ≠->k k 且 错解: 当0=k 时,原方程有实数根3 1 =x ; 当0≠k 时,关于x 的方程0132=-+x kx 有两个实数根, ∴00≠≥?k 且, 即0k 049≠≥+且k , ∴0k 4 9 ≠-≥且k . 这两种情况都满足题设条件,所以k 的取值范围应是4 9 -≥k .故选(C). 分析:分析题设中的关键词“方程”,该方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程;但是由后面的关键词语“有两个实数根”可知，该方程不可能是一元一次方程，所以只考虑它是关于x 一元二次方程.故正确答案是(B). 小结:在解有关一元二次方程的习题时，应特别注意 “方程”、“有实数根”、“有两个实数根”等关键文字，注意思考它们的隐含条件，以免陷入关键字“陷阱”. 巩固提高练习题： 1关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ） A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <0 练习：如果方程有两个同号的实数根，则的取值范围 是 （ ） A 、 ＜1 B 、 0＜≤1 C 、 0≤＜1 D 、 ＞0 022 =++m x x m m m m m 2.若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．m= —2 D ．2±≠m 练习：一元二次方程（m-2）x-4mx+2m-6=0有两个相等的实数根，m=______. 3．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞–14 B ．a ≥–14 C ．a ≥–14 且a ≠0 D ．a ＞–1 4 且a ≠0 4．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则21 12 x x x x +的值为______ 练习：设 x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则 =+2 111x x .x 12+x 22 = . 6. 关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______． 7.已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235 (2)362x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿ 8. 已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根． （1）求x 1，x 2 的值； 9．把一根长度为14cm 的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm 2，则这个 矩形的对角线长是________________cm. 10. (8分)用一块长方形的铁片, 把它的四角各剪去一个边长为4cm 的小方块, 然后把四边折起来, 做成一个没有盖的盒子, 已知铁片的长是宽的2 倍, 做成盒子的容积是 1536 cm 3, 求这块铁片的长和宽. 一元二次方程专项练习 一、选择题 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是 1.已知x=2是关于x的方程3 2 ( )． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，? 制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，?那么x满足的方程是( )．（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0 3.当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是( )． （A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 4.方程（x+1）（x+2）=6的解是( )． （A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 5.下列方程属于一元二次方程的是( )． （A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 =5 （D） x x2=0 6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1， ?那么这个一元二次方程是( )． （A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 7.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿 地面积的增长率是( )． （A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 8.下列方程中，无实数根的是( )． （A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0 （C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 9.方程x（x-1）=5（x-1）的解是( )． （A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 10.把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为( )． （A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 二、填空题 1.已知x2+y2-4x+6y+13=0，x，y为实数，则x y=_________． 2.请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是 ________，常数项是________． 4.已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x2-5x+3=0 的根，则这个三角形的周长为_______． 5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______． 一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(242 2≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a b ，二根之积等于 a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式： 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根。 考点四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。也就是 说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点五、一元二次方程的二次函数的关系 二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了 二次函数知识点 一、二次函数概念： 一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系 数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项 的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的 系数为b ，常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单 易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的 是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?” 来表示，即ac b 42 -=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 初中化学重难点 单质 化合物 氧化物 酸 碱 盐 有机物 其他：氨气NH3常见物质的俗名 碳酸钠苏打、纯碱Na2CO3氧化钙生石灰CaO 碳酸钠晶体天然碱、石碱、口碱Na2CO3·10H2O固体二氧化碳干冰CO2 碳酸氢钠小苏打NaHCO一氧化碳和氢气水煤气CO和H2 氢氧化钠烧碱、火碱、苛性钠NaOH硫酸铜晶体胆矾、蓝矾CuSO4·5H2O 氢氧化钙熟石灰Ca(OH)2甲烷沼气CH4 常见的化学方程式 化合反应 红磷在空气中燃烧，产生白烟：4P+5O22P2O5 白磷自燃：4P+5O2=2P2O5 木炭充分燃烧：C+O2CO2 木炭不充分燃烧：2C+O22CO 硫在空气（氧气）中燃烧：S+O2SO2 铁丝在氧气中燃烧：3Fe+2O2Fe3O4 铝在氧气中燃烧：4Al+3O22Al2O3 铝不易生锈的原因：4Al+3O2=2Al2O3 镁在空气中燃烧：2Mg+O22MgO 铜在空气中加热：2Cu+O22CuO 氢气在氧气中燃烧：2H2+O22H2O 将CO2变成CO：C+CO22CO 二氧化碳溶于水形成碳酸：CO2+H2O=H2CO3 用生石灰制取熟石灰：CaO+H2O=Ca(OH)2 一氧化碳燃烧：2CO+O22CO2 向澄清的石灰水中通入过量的二氧化碳，变浑浊的石灰水又变澄清：CaCO3+CO2+H2O=Ca(HCO3)2氢气在氯气中燃烧：H2+Cl22HCl 钠在氯气中燃烧：2Na+Cl22NaCl 镁在氮气中燃烧：3Mg+N2Mg3N2（注意氮元素的化合价） 镁在二氧化碳中燃烧:2Mg+CO2→点燃2MgO+C 上面三个化学方程式给我们的启示是：燃烧不一定有氧气参与。 一元二次方程 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 ． 难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 初三数学一元二次方程错题集 1．关于x 的方程是22(1)(1)20m x m x -+--=，那么当m______时，方程为一元二次方程；当m_____时，方程为一元一次方程. 2．m_____时，关于x 的方程22()(2)m x x x +=-+是一元二次方程？ 3．关于x 的方程22(1)3(2)420k x k x k ++-+-=的一次项系数是-3，则k=_______. 4．已知1x =是一元二次方程2 400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22 22a b a b --的值. 5．已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，那么代数式 2 35 (2)362 x x x x x -÷+---的值为________. 6、若x=-2是关于x 的方程0163)4(2=-++-n mx x m 的一个解，则 =-22100n m ______ 7、已知实数a,b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，且b a ≠, 则ab b a 322++的值为___________ 8、已知04 5 222=+--+b a b a ，则=+b a _________ 9、已知016 652422=+- +-b b a a ，则b a 42-的值为_________ 10、若关于x 的一元二次方程013222=-+-m x x 有两个实根21,x x ，且 42121-+>?x x x x ，则m 的取值范围是____________ 11、已知142+-mx x 可化为2)2(n x -的形式，则=+n m _________ 12、已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，那么代数式 )25 2(6332--+÷--x x x x x 的值为___________ 13、关于x 的一元二次方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则m 的最小整数值是（ ） A. -1 B. 2 C. 3 D. 4 14、已知方程0)3)((=-+x m x 和方程0322=--x x 的解相同，则m =( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15．若一个三角形的三边长均满足方程2680x x -+=，则此三角形的周长为______. 一元二次方程 知识点题集 （须用心按质完成） 1．方程12 x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12 x 2=0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形为___________________，原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________________（写一个即可）． 10．代数式12 x 2+8x+5的最小值是_________． 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对 12.一元二次方程x 2－4＝0的解是（ ） A ．x 1＝2，x 2＝－2 B ．x ＝－2 C ．x ＝2 D ． x 1＝2，x 2＝0 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1 14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 15．已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（ ）． A ．8 B ．8或10 C ．10 D ．8和10 17.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x + -= 18下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 19.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) 人教版初三化学生活中常见的盐易错达标检测卷含答案 一、初中化学生活中常见的盐选择题 1．向AgNO3、Cu(NO3)2的混合溶液中加入一定量的锌粉，充分反应后过滤，向滤液中滴加稀盐酸有白色沉淀产生。下列说法中，正确的是 A．所得滤渣中可能含有铜和锌B．所得滤渣中一定含有银和铜 C．所得滤液中可能含有Cu2+D．所得滤液中一定含有Ag+、Zn2+、Cu2+ 2．下列物质的提纯所用试剂和主要实验操作均正确的是（） A．A B．B C．C D．D 3．下列各组物质能够在溶液中大量共存的是（） A．HCl、NaHCO3B．KCl、NaNO3C．NaCl、AgNO3D．H2SO4、NaOH 4．下列各组离子在水中一定能大量共存，并形成无色溶液的是（） A．A13+、Na+、Cl-、NO3-B．Cu2+、H+、SO42-、Cl- C．K+、Ca2+，OH-、CO32-D．Na+、H+、CO32-、OH- 5．下列各组实验方案中，能达到实验目的的是（） A．A B．B C．C D．D 6．有碳酸钠、硝酸银、氯化钡及稀盐酸四瓶失去标签的溶液，为鉴别它们设计实验如下：用三支试管各取少量其中的三种溶液，再分别加入少量剩下的最后一种溶液。下列推测的现象或结论中，错误的是 A．若三支试管中都出现白色沉淀时，则最后加入的是硝酸银溶液 B．若两支试管中出现气泡，一支试管中出现白色沉淀时，则最后加入的是碳酸钠溶液C．若三支试管中的观象分别为出现气泡、白色沉淀、无明显变化时，则最后加入的是稀盐酸 D．若两支试管中出现白色沉淀，一支试管中无明显变化时，则最后加入的是氯化钡溶液7．向一定量的氯化铜溶液中加入过量的铁粉，加入铁粉的质量和所得固体质量关系如图1所示。过滤P点时的混合物，向滤液中不断加入硝酸银溶液，加入的溶液质量与生成沉淀质量如图2所示。下列说法不正确的是 A．N点时，所得沉淀质量为14.35g B．M点时，上层溶液中溶质有两种 C．O点和P点所得溶液中溶质种类相同 D．R到M点过程中，所得溶液的质量不断增大 8．一定温度下，向碳酸钠饱和溶液里不断加水(V)，溶液里碳酸钠的质量(W)、碳酸钠的质量分数(a%)、碳酸钠溶液的pH、以及碳酸钠的溶解度(S)，随加水的质量变化图示中正确的是（） A． B． C． D． 9．下列除去杂质的方法正确的是 选项物质杂质除杂方法 A CaCl2溶液稀盐酸加入过量的CaCO3，过滤 B盐酸硫酸加入过量BaCl2溶液，过滤 解一元二次方程专项练习题（带答案） 1、用配方法解下列方程： （1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x （3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x 2、用配方法解下列方程： （1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－ （3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝ 3、用公式法解下列方程： （1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x （3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x 4、运用公式法解下列方程: (1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x （3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x 5、用分解因式法解下列方程： （1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－ （3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x 6、用适当方法解下列方程： （1） 22(3)5x x -+= （2） 22330x x ++= （3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4 ) 2)(1(13)1(+-= -+x x x x 7、 解下列关于x 的方程: (1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7= (3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =0 8、解下列方程（12分） （1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0 （3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程： 一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； （2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4 )2(222 -+-b a ab 的值。 2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值． 3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49- ≤k (B)04 9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例：222 ()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582 =+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：()m x m m x ±=?≥=,02 一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们． （1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答） （2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程 中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%，购买数量和原计划一样：“美团”网 上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在 两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%，求出m的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】 试题分析：（1）本题介绍两种解法： 解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可； 解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价； （2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5 2 m%），在“美团”网上的购买实际消费 总额：a[120（1﹣25%）﹣9 20 m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元； （2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得： 120×0.8a（1﹣25%）（1+5 2 m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣ 9 20 m]（1+15m%）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 15 2 m%），即72a（1+ 5 2 m%）+a（72﹣ 9 20 m）（1+15m%）=144a （1+ 15 2 m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍）， m2=20． 答：m的值是20． 一元二次方程专题 知识点1：一元二次方程的概念及一般形式 1、方程（1）3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+= 知识点2：用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程： （1）2169x = （2）2450x -= （3）24(21)360x --= （4）（21)40x +-= 知识点3：用配方法解一元二次方程 4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为 （ ） A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程： （1）22410x x -+= （2）2213x x += 知识点4：用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程： （1）2410x x +-= （2）2441018x x x ++=- 知识点5：根的判别式（24b ac -）的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边，其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。 4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根; （2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围. 知识点6：用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程 （1）230x x += （2）2(3)4(3)0x x x -+-= 一元二次方程概念专项练习 知识梳理： 1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0) 2.一元二次方程的特点： ①整式方程 ②a不为0 ③只含有一个未知数 ④未知数的最高次数为2 3.重点：一元二次方程的识别与判断 4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论 一、选择题 1、在下列方程中是一元二次方程的是（） A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =0 2、下列方程为一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 3、下列方程中，一元二次方程个数（） ①、；②、；③、；④、；⑤、. A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（） A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2 5、以1，-2为根的一元二次方程是 A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2+x+2=0 6、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（） A．0 B．1 C．- 1 D． 7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（） A．1 B．-1 C．2 D．-2 8、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 A．1 B．2 C．1或2 D．0 9、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 10、若为方程的解，则的值为（） A.12 B.6 C.9 D.16 二、填空题 11、如果,则一元二次方程必有一个根是. 12、已知是方程的解，则代数式的值为 . 13、已知，则的值是 . 14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。 15、若实数a满足，则3___________． 三、简答题 16、关于的方程是否一定是一元二次方程？请证明你的结论. 17、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？ 18、已知关于x的方程． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ 一元二次方程易错题 一、填空题： 1、关于x的方程（m2 1）x2（m 1）x 2 0，当m_ 1______ 时，它是一元二 次方程，当m= 1_时，它是一元一次方程， 2、方程x2x的解是_____________ 方程x2 x的根是_______________ 3、若x2 mx 1是一个完全平方式，则m为1 4 --------- 4、关于x的一元二次方程kx2 x 1.5 0有两个不相等的实数根，则k的取值 1 范围k v 且k^0 6 5、配方：ax2 bx c _____________________________ & 已知：方程2x2 1 0，那么判别式的值为_^8 ____________________ 7、关于x的一元二次方程mf+m=x2_2x+1的一个根为0，那么m的值为 -1 . 8、已知a是方程x2-x -仁0的一个根，则a4- 3a- 2的值为0 . 9、当m _-6 _时，方程x2 5x m 0的两根之差是7 10、若二次三项式ax2 3x 4在实数范围内不能因数分解，那么a的取值范围是 二、选择题 11、若方程（m- 2）x lm| +x-仁0是关于x的一元二次方程，则m的值为（C ） A、±2 B 2 C 、- 2 D、不能确定 12、把一元二次方程2x （x- 1）= （x - 3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别 是（C ） A、2，- 3 B- 2，- 3 C、2，- 3x D、- 2，- 3x 2 2 2 2 2 2 2 13、已知（x +y ） -（x +y ）- 12=0，则（x+y ）的值是（B ） A、- 3 B 4 C 、- 3 或4 D 3 或-4 14、关于x的方程（m- 2）x2- 2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是（B ） 初中化学易错知识点的整理总结 一、化学的研究范围，对象，基本化学概念 1.纯净是相对的，不纯是绝对的 2.冰水共存物是纯净物，洁净的空气一定是混合物，纯净水是混合物，食盐是混合物 3.干冰不是冰，水银不是银 4.燃烧和及燃烧引起的爆炸都是化学变化。但爆炸不一定是化学变化，如轮胎受压爆炸 5.干冰升华是物理变化，导电导热是物理变化，生锈和腐烂是化学变化，利用沸点不同分离气体是物理变化 二、空气 1.通常情况下氮气不活泼，但那时通常情况，氮元素很活泼 2.二氧化碳不是空气污染物 3.氧气性质“较活泼”，不是“很活泼” 4.稀有气体也是有化合物的 5.氧气不可燃但可助燃，CO不可助燃但可燃 6.三个实验室制氧气的反应均为分解反应 7.不是所有生物都需要氧气，空气中氧气的浓度不是越高越好，不是任何时候大量呼吸纯氧气都有利于健康 8.铁丝在空气中不燃烧 9.氧在地壳中不止以单质存在 10.空气中的氧气含量是动态平衡的，而不是一直不变的 三、水 1.一种元素可以组成混合物，但一定不可以组成化合物 2.雨水、自来水、海水、河水、湖水都是混合物，新制的蒸馏水是纯净物，放久的蒸馏水不一定是纯净物，软水不一定是纯净物 3.汽化时分子体积不变，分子间隔变大 4.大部分物质熔化体积变大，但水例外，冰熔化体积减小 四、原子的组成、元素、化学式 1.中子数不一定等于质子数，中子数可以为0 2.相对原子量和分子量都没有单位，是一个比值 3.氢的相对原子质量不为1，而是比1稍大 4.由离子组成的化合物没有分子量，部分化合物如二氧化硅、碳化硅没有分子量，其化学式的意义仅仅说明了原子的个数比 5.C0 2、S0 2 、Si0 2 中均没有0 2 分子 6.食品和**的标签中标有x(元素符号)的含量，这个x指的是元素而不是原子，更不是单质 7.大部分金属单质常温常压下是固态，但汞是液态，铯、镓熔点接近室温且容易处于过冷状态 8.地壳中氧的含量位于首位，但空气中不是 9.地壳中含量最多的金属是铝而不是铁，人体内含量最多的金属是钙而不是钠，海水中含量最多的金属是钠而不是钾 一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值． 【答案】（1）134k ≤ ；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥， 解得134 k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-， () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134 k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系． 2．已知：关于的方程 有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值． 一元二次方程易错题剖析 一、 在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数 a 0 题目1关于X 的方程(k 2 -1)x 「心+ x + k =0是一元二次方程，求 错解：T k 2-2k -1=2 即 k 2- 2k -3=0 k i = 3, k 2 = — 1. 错因：方程ax 2+ bx + c =0 ( a 0)为一元二次方程，这里强调 —1时，使k 2 - 1 = 0,原方程是一元一次方程. 正解： 2 k -2k —仁 2, 2 …k = 3. k 2-1 0, 二、 在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数 题目2关于X 的一元二次方程(m + 1)x 2+ 2、、3mx + 3m -2=0有实根, 错解：T 方程有实根，二 > 0, 即(2.3m)2-4(m + 1)(3m -2) >0, ? ? —4m+8》0,. ? m W 2. 错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足 m + 1 0, 正解： ? m W 2,且 m — 1. 三、 忽视根的判别式和二次项的系数 a 应满足的条件 题目3已知关于X 的方程x 2- mx - n = 0的两根之积比两根之和的 根的平方和为22,求m , n 的值. k 的值. a 0.当 k 2 = a 求m 的取值范围. 2 倍小f ，并且两 错解：设两根分别为X1 , X2，则x1+ x2= m , x1x2= - n . 1 由题意，得2( X1 +X 2) —X1X 尸2, X 2+X ； =22. m != 7, 解得 27 或 ni = —亍 错因：因为方程有两根，说明根的判断式 > 0,即m 2+ 4n >0,但m = 7和n =— 27 不满足，应舍去?又这里二次项系数a = 1是已知的，解题时可不考虑。 2 正解： 当m = 7, n = — 27 时，=72 - 4 27 V 0,不合题意，舍去； 2 2 当 m = — 3, n =匹时， =(—3)2 + 4 逻>0, 2 2 1 3 ..m = 一 3, n = . 2 四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目4 a 为何值时，方程 亠+注=空也只有一个实数根. x +1 X X(X + 1) 错解：原方程化为2X 2— 2X + (1— a) = 0. 此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， . =(—2)2— 4 2(1 — a)=0 , . 1 …a= —. 2 错因：当方程2X 2—2X +(1— a) = 0的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原 方程的根时，命题也成立. 正解： 把 X = 0代入 2X 2—2X + (1— a)= 0，得 a = l ; 把 X = — 1 代入 2X 2— 2X + (1— a)=0，得 a = 5. 二当a 1=寸,a 2 = 1, a 3 = 5时，原分式方程只有一个实数根. 五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑 是二次方程时的情况，忽视是一次方 程时的情况. 2m + n =-, 2 m 2+2 n =22, m 2=—3 1321一元二次方程专项练习
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