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初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。⑵正数的绝对值是他本
身，负数的绝对
a(a 0)
值是他的相反数，0 的绝对值是0 ，即a 0( a 0) ⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
a( a 0)
⑷两个绝对值不等式 : | x | a(a 0) a x a ； | x | a(a 0) x a 或 x a
2 乘法公式：⑴平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)
⑵立方差公式：a3 b3 ( a b)(a2 ab b2 )
⑶立方和公式：a3 b3 (a b)( a2 ab b2 )
⑷完全平方公式：( a b) 2 a2 2ab b2， (a b c) 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
⑸完全立方公式：(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1 ，这样的方程叫一元一次方程。⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程 ax b 解的讨论①当 a 0 时，方程有唯一解x b
0 ， b 0 时，方程无解；②当 a
a
③当 a 0 ， b 0 时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2 ）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个
解。（3 ）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4 ）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6不等式与不等式组（ 1 ）不等式：
①用符不等号（ > 、≠、< ）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等
式解集的过程叫做解不等式。（3 ）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：ax 2bx c 0(a 0) ①方程有两个实数根b24ac0
0 0
②方程有两根同号
x1 x2 c ③方程有两根异号
x1x2
c
a
0 0
a
④韦达定理及应用： x x b
, x x
2
c
1 2 a 1 a
x 12 x 22 ( x 1 x 2 ) 2 2x 1x 2 ,
x 1 x 2
( x 1 x 2 )2 4x 1 x 2
b 2 4ac
a
a
x 13 x 23 ( x 1 x 2 )( x 12 x 1x 2 x 22 ) ( x 1 x 2 ) (x 1 x 2 ) 2 3x 1 x 2
8 函数（ 1 ）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时， 通常用水平方向的数轴上的点自变量， 用竖直方向的数轴上的点表示
因变量。
（2 ）一次函数： ①若两个变量
y , x 间的关系式可以表示成 y kx b （ b 为常数， k 不等于 0）的形
式，则称 y 是 x 的一次函数。②当 b =0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 （3 ）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标与纵坐
标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数 y = k x
的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中， 当 k 0， b O ，则经 2 、3、4 象限；当 k 0，b 0
时，则经 1 、2 、 4 象限；当 k 0， b 0 时，则经 1、3 、4 象限；当 k 0， b 0 时，则经 1 、 2、 3 象限。④当 k 0 时， y 的值随 x 值的增大而增大，当 k 0 时， y 的值随 x 值的增大而减少。 （ 4 ）
二次函数： ①一般式： y
ax 2 bx c a( x b )2 4ac b 2 ( a 0 )，对称轴是 x
b , 顶
2a 4a
2a
点是（－ b , 4ac b 2
) ；②顶点式： y a(x
m)2 k ( a 0)，对称轴是 x
m, 顶点是
2a
4a
m , k ；③交点式： y a( x x 1 )( x x 2 ) ( a 0 )，其中（ x 1,0 ），（ x 2 ,0 ）是抛物线与
x 轴
的交点（ 5）二次函数的性质 ①函数 y
ax 2 bx c(a 0) 的图象关于直线 x
b 对称。② a 0
2a 时，在对称轴 （ x
b ）左侧， y 值随 x 值的增大而减少；在对称轴（
x
b ）右侧； y 的值
2a 2a
b 2
随 x 值的增大而增大。当
x b
4ac 0 时，在对称轴
（ x
b
时， y 取得最小值
4a ③ a
）
2a
2a
b
y 的值随 x 值的增大而减少。 当 x
b
左侧， y 值随 x 值的增大而增大； 在对称轴（ x
）右侧；
2a
2a
4ac b 2
时， y 取得最大值
10 平面直角坐标系 （1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成
4a
平面直角坐标系。水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴， x 轴与 y 轴统称坐标轴，他们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点。
（2 ）平面直角坐标系内的对称点：设
M ( x 1 , y 1) ， M (x 2 , y 2 ) 是直角坐标系内的两点，
x 1 x 2
① 若 M 和 M ' 关 于 y 轴 对称 ，则有
。 ② 若 M 和 M ' 关于 x 轴对 称，则 有
y 1 y 2
x 1 x 2 x 1
x 2
y 1
。③若 M 和 M ' 关于原点对称，则有
。
y 2
y 1
y 2
④若 M 和 M ' 关于直线 y
x 1 y 2
x 对称，则有
。
y 1 x 2
⑤若 M 和 M ' 关于直线 x
x 1 2a x 2
x 2 2a x 1 a 对称，则有
y 1 y 2
或
。
y 1
y 2
衔接知识点的专题强化训练
★ 专题一
数与式的运算
【要点回顾】 1 ．绝对值
[1] 绝对值的代数意义： ．即 | a |
．
[2] 绝对值的几何意义：
的距离． [3] 两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示
的距离．
[4]
两
个
绝
对
值
不
等
式 :
| x | a(a 0)
；
| x | a(a 0)
． 2 ．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1] 平方差公式： ； [2] 完全平方和公式： ； [3] 完全平方差公式：
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [ 公式 1] ( a b c)2
[ 公式 2] a 3 b 3 (立方和公式 ) [ 公式 3]
a 3
b 3 ( 立方差公式 )
说明 :上述公式均称为 “乘法公式” ． 3．根式
[1] 式子 a (a 0) 叫做二次根式，其性质如下：
(1)
( a) 2
； (2)a
2
； (3)ab
b ； (4)
．
a
[2] 平方根与算术平方根的概念：
叫做 a 的平方根，记作 x
a( a 0) ，
其中
a ( a 0) 叫做 a 的算术平方根．
[3] 立方根的概念：
叫做 a 的立方根，记为 x
3
a
4 ．分式 [1] 分式的意义
A 的式子，若
B 中含有字母，且 A 为分式 ．当 M ≠0 形如
B 0 ，则称
时，
A
B
B
分式
（ 1 ）
；
（2 ）
．
具有下列性质：
B
A
A
m n p [2] 繁分式
的分子、分母中至少有一个是分式时，
就叫做繁分式，如
当分式
B 2m ， [3] 分
B
n p
母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
【例题选讲】例 1 解下列不等式：（1 ）
x 2 1（ 2 ） x
1 x 3
＞ 4 ．
例 2
计算：
（ 1） ( x
2
2x 1
)
2
（ 2 ） (1 m
1
n)( 1
m 2
1
mn 1 n 2 )
3
5 2 25
10
4
（3 ）
(a 2)( a 2)(a 4
4a 2 16)
（ 4） ( x 2
2xy y 2 )( x 2
xy y 2 )2
例 3
已知 x
2
3x 1 0 ，求 x
3
1
的值．
x 3
例 4 （选做） 已知 a
b c 0 ，求 a(
1
1 ) b( 1 1) c( 1 1
) 的值．
b c c a a b
例 5 计算 (没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数 )：
（1 ）
2 3 3
（2 ）
(1 x) 2
(2 x) 2 ( x 1)
（3 ）
1 1
（4） 2
x
x 3
8x
a b
2
例 6
设 x
2 3
, y 2
3 ，求 x 3 y 3 的值．
2
3 2 3 x 2
例 7
化简：（1）
x
3x 9 6x x 1
1 x
（2 ）
x 2
27
9x x 2
【巩固练习】
x
6 2x
x 1
x 解不等式 x 3 x 2 7
设 x
1
, y
1
x 2 xy y 2
的值．
3 2 3 ，求代数式 x
y
2
（选做）当 3a 2
ab 2
0, b 0) ，求
a b a 2 b 2
2b 0( a b a
的值．
ab
（选做）设 x 5 1 ，求 x 4 x 2 2x 1 的值． 2
（选做）计算 ( x y z)( x y z)( x y z)( x y z)
6．化简或计算：
(1) (
18 4 1
1 )
3 (2)
2 2 2
(2
5)2
1 2
2 2
3 3
3
5 x x x y x xy y
(4)
( a
b
ab ) ( a
b
a b ) (3)
xy y 2
x x y y
a b ab b ab a
ab
★ 专题二 因式分解【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完全平方公式 )外，还有公式法 ( 立方和、立方差公式 ) 、十字相乘法和分组分解法等等．
1 ．公式法
常用的乘法公式：
[1] 平方差公式： ；[2] 完全平方和公式： ；
[3] 完全平方差公式：
．
[4] (a b c)
2
[5] a
3
b 3
( 立方和
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公式 )[6] a
3
b 3
( 立方差公式 )
2 ．分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
常见题型：（ 1 ）分组后能提取公因式
（ 2 ）分组后能直接运用公式
3 ．十字相乘法
（1 ） x
2
( p q) x pq 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是 1 ；②常数项是两个数之积；③
一次项
系数是常数项的两个因数之和．
∵x 2 ( p q)x
pq x 2
px qx pq x(x
p)
q( x p) ( x p)(x
q) ，
∴x
2 ( p q)x pq ( x p)( x q)
运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式．
（2 ）一般二次三项式 ax
2
bx c 型的因式分解
由 a 1a 2 x
2
(a 1c 2 a 2 c 1 )x c 1c 2 (a 1 x c 1)( a 2x c 2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a 1 a 2 ，
a 1 c 1
再相加， 就得到 a 1c 2 a 2c 1 ，
常数项 c 分解成 c 1c 2 ，把 a 1, a 2 , c 1, c 2 写成 a 2 c 2 ，这里按斜线交叉相乘， 如 果 它 正 好 等 于 ax 2 bx
c 的 一 次 项 系 数 b ， 那 么 ax 2
bx c 就 可 以 分 解 成 ( a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) ，其中 a 1, c 1 位于上一行， a 2 , c 2
位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，
从而将二次三项式分解因式的方法，叫做 十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三
项式能否用十字相乘法分解．
4 ．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法： （ 1）配方法 （ 2）拆、添项法【例题选讲】
例 1
（公式法） 分解因式： (1)
3a 3b 81b 4 ； (2) a 7 ab 6
例 2 （分组分解法） 分解因式：（1 ）ab(c 2
2
) (a 2
2
)cd
（ 2 ）
2
4xy 2y 2
8z 2
d b 2x
例 3
（十字相乘法） 把下列各式因式分解： (1)
x 2 5x 24 (2) x 2
2x
15
(3)
x 2 xy 6y 2
(4)
( x 2 x)2 8( x 2 x) 12
例 4 （十字相乘法） 把下列各式因式分解： (1) 12x 2
5x 2
； (2) 5x
2
6xy 8 y 2
例 5
（拆项法） 分解因式 x
3 3x 2
4 【巩固练习】
1 ．把下列各式分解因式：
(1) ab( c 2
d 2 ) cd (a 2 b 2 )
(2) x
2
4mx 8mn
4n 2
(3) x 4
64
（选做） (4)
x 3 11x 2 31x 21
（选做） (5)
x 3 4xy 2 2x 2 y 8y 3
2 ．已知 a b 2 ,ab 2 ，求代数式 a 2b 2a 2b 2 ab 2 的值．
3 ．现给出三个多项式， 1 x 2 x 1 ，
1 x
2
3 1 x 2
2 3x 1 ， x ，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解. 2 2 ，求证： a 3
a 2c
b 2
c abc b 3
4 ．（选做）已知 a b c 0 0 ．
★ 专题三
一元二次方程根与系数的关系
【要点回顾】 1 ．一元二次方程的根的判断式
一元二次方程 ax 2 bx c 0 ( a 0) ，用配方法将其变形为：．由于可以用 b2 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 b2 4ac 叫做一元二次方程ax 2 bx c 0 ( a 0) 的根的判别式，表示为：b2 4ac
对于一元二次方程ax 2＋ bx ＋ c＝0（a≠0），有
[1] 当0 时，方程有两个不相等的实数根：；
[2] 当0 时，方程有两个相等的实数根：；
[3]当0 时，方程没有实数根．
2 ．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax 2 bx c 0 ( a 0) 的两个根为x1, x2，那么：x1 x2 , x1 x2
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦
达定理”．上述定理成立的前提是0 ．
特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 2 ＋px ＋q ＝0，若 x ，x 是其两根，由韦达定理可知
x
2
1
x 1＋ 2 ＝－
p
， 1·2 ＝
q
，即
p
＝－ ( 1＋ 2 )，
q
＝ 1 ·2 ，x x x x x x x
所以，方程 x2＋ px ＋ q＝0可化为x2－( x1＋x2) x＋x1·x2＝0，由于 x1， x2是一元二次方程x2＋ px＋ q＝0 的两根，所以， x1， x2也是一元二次方程x2－(x1＋x 2)x＋x1 ·x2 ＝0．因此有
以两个数 x 1，x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2) x＋ x1·x2＝0．
【例题选讲】
例 1 已知关于x的一元二次方程3x2 2x k 0 ，根据下列条件，分别求出k 的范围：（ 1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根
（ 3）方程有实数根；（4）方程无实数根．
例 2 （选做）已知实数 x 、y满足 x2 y2 xy 2x y 1 0 ，试求 x 、y的值．
例 3 若 x1, x2 是方程 x2 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：
(1) x12 x2 2 ；(2) 1 1 ； (3) (x1 5)( x2 5) ；(4) | x1 x2 | ．
x1 x2
例 4 已知 x1, x2是一元二次方程4kx2 4kx k 1 0 的两个实数根．
(1) 是否存在实数 k ，使(2 x1 x2 )(x1 2x2 ) 3
k 的值；若不存在，请说明理成立？若存在，求出
2
由．
(2) 求使x1 x2
2 的值为整数的实数k 的整数值．x2 x1
解： (1) 假设存在实数k ，使 (2 x1 x2 )( x1 2x2 ) 3
成立．∵一元二次方程2
4k 0
4kx2 4kx k 1 k 0 ，又
0 的两个实数根，∴
( 4k ) 2 4 4k (k 1) 16k 0
x1, x2是一元二次方程 4kx2
x1 x2 1 4kx k 1 0 的两个实数根，∴k 1
x1x2 4k
∴
(2 x 1
x 2 )( x 1 2 x 2 ) 2( x 12 x 22 ) 5x 1x 2
2( x 1 x 2 )2 9x 1 x 2
k 9 3 k 9 ， 但 k
0 ． 4k
2
5
∴不存在实数 k ，使 (2 x 1 x 2 )( x 1 2x 2 ) 3 成立．
2
x 1 x 2 x 12 x 22 2 ( x 1 x 2 )2 4
4k 4
4
(2) ∵ x 1 2 x 1 x 2 x 1x 2
k 1 k 1
x 2
∴ 要使其值是整数，只需
k 1 能被 4 整除，故 k 1
1, 2, 4 ，注意到 k 0 x 1 x 2 2
，要使
x 1
x 2
的值为整数的实数
k 的整数值为 2, 3, 5
．
【巩固练习】 1．若 x 1, x 2 是方程 2x
2
6x 3 0 的两个根，则 1 1 的值为 ( )
x 1 x 2
A ． 2
B ． 2
C ． 1
D ．
9
2
2
2 ． 若 t 是一元 二 次方 程 ax
2
b 2
bx c 0 ( a
0) 的根， 则判别式
4ac 和完全 平 方式
M
(2 at b) 2 的关系是 (
)
A ．
M
B ．
M
C ．
M
D ．大小关系不能确定
3．设 x 1 , x 2 是方程 x
2
px q
0 的两实根， x 1 1, x 2 1 是关于 x 的方程 x 2 qx p 0 的两实
根，则 p = ___ __ ， q = _ ____ ．
4．已知实数 a,b, c 满足 a 6 b, c 2 ab 9，则 a = ___ __ ， b = _____ ， c = _____ ．
5 ． 已知关于 x 的方程 x
2
3x m 0 的 两 个实 数根的 平方和等 于 11 ，求证： 关于 x 的方 程
( k 3) x 2 kmx m 2
6m 4 0 有实数根．
6．若 x 1, x 2 是关于 x 的方程 x
2
(2 k 1)x k 2 1 0 的两个实数根，且 x 1, x 2 都大于 1 ．
(1)
x 1 1
求实数 k 的取值范围； (2) 若
，求 k 的值．
x 2 2
专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】
1 ．平面直角坐标系
[1] 组成平面直角坐标系。
叫做 x 轴或横
轴，
叫做 y 轴或纵轴， x 轴与 y 轴统称坐标轴，他们的公共原点
o 称为直角坐标系的原点。
[2] 平面直角坐标系内的对称点：
对称点或对称直线方程
对称点的坐标
x 轴
y 轴
原点
点 (a, b)
直线
直线
x a
y b
直线
直线2．函数图象
[1]一次函数：
0)
y x
y x
称 y 是x的一次函数，记为：y kx b (k、b是常数，k≠
特别的，
当b =0 时，称y是 x 的正比例函数。
[2] 正比例函数的图象与性质：函数 y= kx( k 是常数， k ≠0)的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y 随 x 的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，
y 随 x 的增大而．
[3] 一次函数的图象与性质：函数 y kx b (k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线 .设y kx b (k≠0)，则当时， y 随 x 的增大而；当时， y 随 x 的增大而．
[4] 反比例函数的图象与性质：函数 y k
(k≠0) 是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个x
象限中， y 随 x 的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大
而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线 y x 与 y x ；又是中心对称图形，对称中心是原点．【例题选讲】
例 1 已知 A 2, y1 、 B x2 , 3 ，根据下列条件，求出 A 、 B 点坐标．
(1) A 、 B 关于x轴对称；(2) A 、 B 关于y轴对称；(3) A 、 B 关于原点对称．
例 2 已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、 y 轴分别交于A、B两点， O 为原点，若 AOB 的面积为 2 ，求此一次函数的表达式。
例 3 如图，反比例函数y k
y mx b
的图象交于
A(13)，
，
B(n， 1)
两点．的图象与一次函数
x
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
y
解：
【巩固练习】
A
m
1．函数y kx m与y ( m 0) 在同一坐标系内的图象可以是（）O x x B y y y y
图（ 12）
x
O x x x
O O O
A ．B．C． D ．
2．如图，平行四边形ABCD 中，A 在坐标原点， D 在第一象限角平分线上，又知 AB 6，AD 2 2 ，求B , C , D 点的坐标．
3．（选做）如图，已知直线y
1 x 与双曲线y k( k 0)交于A，B两点，且点A的横
2x
坐标为4．
（1 ）求k的值；
大全
k （2 ）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y (k
0) 于 P ， Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点
x
顶点组成的四边形面积为 24 ，求点 P 的坐标．
专题五 二次函数
【要点回顾】
1 ． 二次函数 y ＝ ax
2 ＋bx ＋c 的图像和性质 问题 [1] 函数 y ＝ax 2
与 y ＝x 2
的图象之间存在怎样的关系？
问题 [2]
函数 y ＝a (x ＋ h )2＋ k 与 y ＝ ax 2 的图象之间存在怎样的关系？
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数
y ＝ax 2 ＋bx ＋ c (a ≠0) 的图象的方法：
P 为
y
A
O
x
B
由于 y ＝ ax 2
＋ bx ＋c ＝ a (x 2
＋ b
x )＋c ＝ a ( x 2＋ b
x ＋ b 2 )＋c － b 2
a(x
b )2 b 2
4ac ，所
a a
4a 2
4a
2a
4a
以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 的图象可以看作是将函数
y ＝ax 2 的图象作左右平移、 上下平移得到的， 二次函数
y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c (a ≠0) 具有下列性质：
[1] 当 a ＞ 0 时，函数 y ＝ ax 2
＋ bx ＋c 图象开口方向
；顶点坐标为 ，对称轴为直
线 ；当
时， y 随着 x 的增大而 ；当
时， y 随着 x 的增大而
；当
时，函数取最小值
．
[2] 当 a ＜ 0 时，函数 y ＝ ax 2
＋ bx ＋ c 图象开口方向
；顶点坐标为 ，对称轴为直 线
；当
时，y 随着 x 的增大而 ；当
时，y 随着 x 的增大而
；当
时，
函数取最大值
．
y
2
y
A (
b , 4a
c b )
b
x ＝－
2a
4a
2a
O
x
O
x
b 4a
c b 2
b
A (,
)
x ＝－
2a
4a
2a
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来． 因此，在今后解决二次函数问题时，
可以借助
于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 2 ．二次函数的三种表示方式 [1] 二次函数的三种表示方式：
（ 1）．一般式： ； （ 2）．顶点式： ； （ 3）．交点式：
．
说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法， 在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
①给出三点坐标可利用一般式来求；
②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求． ③给出三点，其中两点为与
x 轴的两个交点 (x 1 ,0) . ( x 2 ,0) 时可利用交点式来求．
3 ．分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
【例题选讲】
例 1求二次函数y＝－3x2－6 x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当
x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
例 2某种产品的成本是120 元 / 件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关
系如下表所示：
x /元130150165
y/件705035
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为
多少元？此时每天的销售利润是多少？
例 3已知函数y x2 , 2 x a ，其中a 2 ，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大
值和最小值时所对应的自变量x 的值．
例 4根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1 ）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝ x＋1上，并且图象经过点（ 3 ，－ 1）；
（2）已知二次函数的图象过点 (－3 ， 0)， (1 ， 0) ，且顶点到x轴的距离等于 2 ；
（3）已知二次函数的图象过点 (－ 1 ，－ 22) ， (0 ，－ 8) ，(2 ，8)．
例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过 20g 付邮资 80 分，超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分，超过 40g 不超
过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封x g(0 ＜x≤100) 的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函
数图象．
分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给
出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20 ＜x≤40 ）变化时，它所
对应的函数值（邮资）并不变化（都是160 分）．
解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为
80, x(0,20]
160 x(20,40]
y240, x (40,60] 320
x (60,80] 400, x
(80,100]
y(分 )
400
320
240
160
80
O 20 40 60 80 100 x(克)
图2.2－9
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示．
【巩固练习】 1．选择题：
（ 1 ）把函数 y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（）
（A ）（－ 1， 4 ）（ B ）（－ 1 ，－ 4 ）（C）（ 1 ，－ 4）（D ）（1 ，4 ）
（ 2 ）函数 y ＝－x2＋4 x＋6的最值情况是（）
（A ）有最大值 6 （ B）有最小值 6
（C）有最大值 10 （D ）有最大值 2
（ 3）函数 y ＝2 x 2
＋ 4 x － 5 中，当－ 3≤ ＜ 2 时，则
y 值的取值范围是
（
）
x
（A ）－ 3 ≤ ≤1
（ B ）－ 7≤ ≤1
y
y
（C ）－ 7 ≤y ≤11
（D ）－ 7 ≤y ＜11
2．填空：
（ 1 ）已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A ( －2，0) ，B (1 ，0) ，且过点 C （ 2 ，4），则该二次函数的表达
式为
．
（ 2 ）已知某二次函数的图象过点（－ 1，0 ），（0 ，3 ），（ 1 ，4 ），则该函数的表达式为 ．
3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1 ）已知二次函数的图象经过点
A （ 0，
1），B （ 1，0 ）， C （ 1，2）；
（2 ）已知抛物线的顶点为（ 1， 3 ），且与 y 轴交于点（ 0 ，1）； （3 ）已知抛物线与 x 轴交于点 M （ 3 ， 0），（5 ， 0），且与 y 轴交于点（ 0， 3 ）； （4 ）已知抛物线的顶点为（ 3， 2 ），且与 x 轴两交点间的距离为 4．
4．如图，某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为 6m ，问怎样围才能使得该矩形面积最大？
5 ．如图所示，在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P ，从
点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后，回到 A 点．设点 A 移动的路程为 x ， PAC 的面积为 y ．
（ 1 ）求函数 y 的解析式； D
（ 2 ）画出函数 y 的图像； C
（ 3 ）求函数 y 的取值范围．
P
★ 专题六 二次函数的最值问题
A
B
图 2.2－ 10
【要点回顾】
1 ．二次函数 y ax
2
bx c ( a
0) 的最值．
x 取任意实数时的最值情况
(当 a
b
二次函数在自变量
时，函数在 x
处取得最小值， 无最大
2a
b 处取得最大值
4ac b 2
值；当 a 0 时，函数在 x
4a
，无最小值．
2a
2 ．二次函数最大值或最小值的求法．
第一步确定 a 的符号 ， a ＞ 0 有最小值， a ＜ 0 有最大值； 第二步配方求顶点 ，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3 ．求二次函数在某一范围内的最值．
如： y
ax 2 bx c 在 m
x n （其中 m
n ）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x x 0 ；
第二步：讨论：
[1] 若 a
0 时求最小值或 a 0 时求最大值，需分三种情况讨论：
①对称轴小于 m 即 x 0 m ，即对称轴在 m x n 的左侧；
②对称轴 m
x 0 n ，即对称轴在 m x n 的内部；
③对称轴大于 n 即 x 0 n ，即对称轴在 m x n 的右侧。
[2] 若 a
0 时求最大值或 a 0 时求最小值，需分两种情况讨论：
m n
①对称轴 x 0
，即对称轴在
2
m
n
②对称轴 x 0
，即对称轴在
2
m x n 的中点的左侧；
m x n 的中点的右侧；
说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，
参考例 4 。
【例题选讲】例 1 求下列函数的最大值或最小值． （ 1） y 2x
2
3x 5 ； （ 2 ） y
x 2 3x 4 ．
例 2 当 1 x 2 时， 求函 数 y x 2 x 1 的 最大 值和 最 小 值 ． 例 3 当 x 0 时 ，求函 数
y x(2 x) 的取值范围．
例 4 当 t x
t 1
y
1 x 2
x
5
的最小值 (其中 t 为常数 )．
时，求函数
2
2
分析： 由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 y
1 x 2
x 5 的对称轴为 x 1．画出其草图．
2
2 1
(1)
当对称轴在所给范围左侧．即 t 1 x t 时， y min t 2
t
；
时：当 5
t
1 t 1 0 t 1时： 2
2
x 1
(2) 当对称轴在所给范围之间．即
当
时
，
y min
1 1
2 1 5
3 ；
2 2
t 1 1
t
0 时 ： 当 x t 1 时 ，
(3) 当 对 称 轴 在 所 给 范 围 右 侧 ． 即
y
min
1
(t 1)2 (t 1) 5 1 t 2 3 ．
2 2
2
1 t
2 3,t 0 2
综上所述： y
3,0 t 1 1 t 2 t 5
,t 1 2 2
例 5 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量
m (件) 与每件的销售价
x ( 元)满足一次函数 m 162 3x,30
x 54 ．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润
y 与每件销售价 x 之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【巩固练习】
1 ．抛物线 y x
2 (m 4) x 2m
3 ，当 m = _____时，图象的顶点在y 轴上；当m= _____时，图象的顶点在 x 轴上；当 m = _____时，图象过原点．
2 ．用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．
3 ．设 a 0 ，当 1 x 1 时，函数 y x2 ax b 1 的最小值是
4 ，最大值是 0，求a,b的值．
4 ．已知函数 y x2 2ax 1 在 1 x 2 上的最大值为4，求a的值．
5 ．求关于 x 的二次函数y x2 2tx 1 在 1 x 1 上的最大值(t为常数)．
★ 专题七不等式【要点回顾】
1．一元二次不等式及其解法
[1] 定义：形如为关于 x 的一元二次不等式．
及一元二次方程[2] 一元二次不等式ax2 bx c 0(或0) 与二次函数 y ax 2 bx c ( a 0)
ax 2 bx c 0 的关系 (简称：三个二次 )．
（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：
(1)将二次项系数先化为正数；
(2)观测相应的二次函数图象．
①如果图象与x 轴有两个交点(x1,0),( x2 ,0) ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根
x1, x2(也可由根的判别式0 来判断)．则
b ,0) ，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根
②如果图象与x 轴只有一个交点(
2a
b
x x x2 (也可由根的判别式0 来判断)．则：
2a
③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0 来判断) ．则：
（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：
(1)化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1 , x2 ．那么“0 ”型的解为x x1或 x x2(俗称两根之外)；“0 ”型的解为 x1 x x2(俗称两根之间)；
)2 4ac b2 ，结合完全平方
(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成ax2 bx c a( x b
2a 4a
式为非负数的性质求解．
2．简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.
3．含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为ax b 的形式．
[1] 当a 0 x b
0 x
b
时，不等式的解为：； [2] 当a 时，不等式的解为：；
a a
[3] 当a 0 时，不等式化为：0 x b ；① 若 b 0 ，则不等式的解是全体实数；②若 b 0 ，则不等式无解．【例题选讲】
例 1 解下列不等式： (1) x2 x 6 0 (2) (x 1)(x 2) ( x 2)(2 x 1) 例 2 解下列不等式： (1) x2 2x 8 0 (2) x 2 4x 4 0 (3)
x2 x 2 0 例 3 已知对于任意实数x ， kx 2 2x k 恒为正数，求实数k 的取值范围．
例 4
2x 3
(2)
1
解下列不等式：(1) 0 3
x 1 x 2
例 5 求关于 x 的不等式 m2 x 2 解：原不等式可化为： m(m
2mx m 的解．2) x m 2
(1) 当 m 2 0即 m 2 时，mx 1 ，不等式的解为 x 1
；
当 m 2 0即 m 2 时，mx 1 m
(2) ．
①0 m 2 时，不等式的解为x 1
；
1 m
②m 0 时，不等式的解为 x ；
m
③m 0时，不等式的解为全体实数．
(3)当 m 2 0即 m 2 时，不等式无解．
综上所述：当 m 0或 m
1
；当 0 m 2 时，不等式的解为x
1
2 时，不等式的解为x ；当
m m
m0 时，不等式的解为全体实数；当 m 2 时，不等式无解．【巩
固练习】
1．解下列不等式：
(1) 2x2 x 0 (2) x2 3x 18 0 (3)x2 x 3x 1 (4) x(x 9) 3( x 3) 2．解下列不等式：
(1) x 1 3x 1 2
1
2x2 x 1
x
0 (2) 2 (3) (4)
2x
1 2x 1 x 1
3．解下列不等式：
(1) x2 2 x 2x2 2 (2) 1 x2 1 x 1 0 4．解关于x的不等式
2 3 5
实用文档
(m 2) x 1
m ．5．已知关于 x 的不等式 mx 2 x m
0 的解是一切实数，求 m 的取值范围．
x 2 x 3
3 ，求 k 的值．
6．若不等式
1
2 的解是 x
k k