人教B版数学必修4 第二章《平面向量》单元教学设计
一、教材分析
1.本单元教学内容的范围
2.1 向量的线性运算
2.1.1 向量的概念
2.1.2向量的加法
2.2.3向量的减法
2.1.4 向量数乘
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标表示
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
2.3 平面向量的数量积
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
2.3.2 向量数量积的运算律
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
2.4 向量的应用
2.4.1 向量在几何中的应用
2.4.2 向量在物理中的应用
2.本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景。向量是既有大小又有方向的量，大小反映了向量数的特征，方向反映了形的特征，因此是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现。它既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，从而向量是一个具有几何代数双重身份的概念。
从“数、量和运算”发展的角度理解向量，向量的加法、减法、数乘、向量和向量的数量积都是新的运算，向量代数是以前所有“数的运算”的一个发展和扩大。在中学引入向量为以后进入大学后选修矩阵及运算做了铺垫。
向量除了在日常生活中和数学各分支中有着广泛的应用，向量也是研究运动学、力学、电学、宇宙学、经济学等许多学科不可缺少的数学工具。特别是在物理学中得到广泛的应用。向量具有丰富的物理背景和实际背景。数学家在物理学家使用向量的基础上，又对向量进行了深入的研究，使向量成为研究数学和其他学科的有力工具。
在中学数学引入向量，通过向量对传统问题进行分析，可以帮助学生更好的建立代数和几何之间的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了基础。因而我们可以把向量的引入理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一。
3.本单元教学内容总体教学目标
通过本章的学习，应使学生了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的概念及其运算。通过实际问题的分析和求解，一方面应使学生体会平面向量是沟通代数与几何的一种重要工具，另一方面，应逐步提高学生的运算能力和解决实际问题的能力。
（1）平面向量的实际背景及其基本概念
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理
解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算
①通过实例，掌握向量加、减法运算，并理解其几何意义。
②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件
（4）平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②掌握平面向量的数量积与向量投影的关系。
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程。
知识与技能目标
(1)了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
(2)掌握向量加、减法运算，并理解其几何意义。
(3)掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
(4)了解向量的线性运算性质及其几何意义。
(5)了解平面向量的基本定理及其意义
(6)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
(7)会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算
(8)理解用坐标表示的平面向量共线的条件
(9)理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
(10)掌握平面向量的数量积与向量投影的关系。
(11)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
(12)运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
(13)会利用向量法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程
过程与方法目标
（1）通过本章的学习，研究用向量处理问题的两种方法----向量法和坐标法。
（2）经历向量的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用。
（3）经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等常用的工具，体会向量的工具性。
情感、态度与价值观目标
（1）通过力和力的分析、物理中“功”等实例，体会向量语言或运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用。
（2）向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通过本章的学习，体会他们之间的联系。
（3）本章的学习较多的运用了几何直观、类比、特殊到一般等思维方法，认真体会这些思想方法，逐渐提高理性思维能力。
（4）同过本章学习，逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴
趣，树立学好数学的信心。
4.本单元教学内容重点和难点分析
本章重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则做两个向量的和向量。向量减法的概念和向量减法的作图法。平面向量基本定理。平面向量的坐标运算，平面向量的数量积定义、运算规律及坐标表示。
难点：理解向量加法、减法的定义，加法、减法运算时方向的确定。平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。平面向量基本定理的理解与应用。向量的坐标表示的理解及运算的准确性。平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。
2.1．第一大节向量的线性运算：
包括向量的物理背景与概念、向量的加法、减法，数乘向量、向量共线的条件与轴上向量坐标运算。向量的加法、减法，数乘向量的综合运算，叫做向量的线性运算。
2.1.1向量的概念
本小节包括位移的概念、向量的概念、用向量表示点的位置。
重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的表示。
难点：对向量概念的理解。
2.1.2 向量的加法
本小节包括向量加法、向量加法的三角形法则、向量加法的平行四边形法则、向量求和的多边形法则、向量加法的交换律和结合律。
重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
难点：对向量加法的理解。
2.1.3 向量的减法
本小节包括向量减法、向量减法的三角形法则
重点：向量减法法则的运用
难点：对向量减法定义的理解
2.1.4 数乘向量
本小节包括数乘运算的定义、运算律
重点：数乘向量的定义、运算律。
难点：正确的运用法则、运算律进行向量的线性运算。
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
本小节包括平行向量基本定理、单位向量、轴上的坐标公式、数轴上两点间的距离公式。重点：平行向量基本定理
难点：平行向量基本定理的应用
2.2 向量的分解与向量的坐标表示
2.2.1 平面向量基本定理
本小节包括平面向量基本定理。
重点：平面向量基本定理及应用
难点：平面向量基本定理及应用
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标表示
本小节包括向量的直角坐标系、在直角坐标系中，给出了向量的坐标，定义了向量加法、减法和数乘向量的运算法则。
重点：向量的直角坐标运算
难点：应用向量的直角坐标运算的法则解决具体问题。
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
本小节包括用坐标表示向量共线的条件及其应用
重点：用坐标表示向量共线的条件
难点：用坐标表示向量共线的条件的应用
2.3平面向量的数量积
2.3.1向量数量积的物理背景与定义
本小节包括以力做功为背景引入向量的数量积的运算，两向量夹角的定义，两向量垂直的充要条件，向量在轴上的正投影，两个向量内积的性质。
重点：向量的数量积的定义及性质。
难点：对向量数量积定义及性质的理解与应用。
2.3.2 向量的数量积的运算律
本小节包括向量数量积的三条运算律
重点：对向量数量积运算律的理解与应用
难点：对向量数量积运算律的理解与应用
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
本小节包括向量数量积的坐标运算公式，两向量垂直的坐标公式，向量的长度、距离、夹角的坐标公式。
重点：向量数量积的坐标运算与度量公式。
难点：灵活运用公式解决有关问题
2.4向量的应用
2.4.1向量在几何中的应用
本小节包括向量在平面几何和解析几何中的应用
重点：利用向量解决平面几何问题和解析几何问题。
难点：利用向量解决平面几何问题和解析几何问题。
2.4.1向量在物理中的应用
本小节包括力向量、速度向量两种应用
重点：应用向量方法解决实际问题
难点：选择适当的方法解决实际问题。
5。其他相关问题
（1）本单元“大纲”与“课标”的比较
项目课标（12课时）大纲（12课时）
顺序必修4 第二章第一册（下）第五章（一）
内容向量的概念
向量的加法
向量的减法
向量数乘
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
平面向量基本定理
向量的正交分解与向量的直角坐标表示
用平面向量坐标表示向量共线条件
向量数量积的物理背景与定义向量
向量的加法与减法实数与向量的积
平面向量的坐标表示线段的定比分点
平面向量的数量积平面两点间的距离平移
向量数量积的运算律
向量数量积的坐标运算与度量公式向量在几何中的应用
向量在物理中的应用
要求了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示
掌握向量加、减法运算，并理解其几何意义
掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，
以及两个向量共线的含义
了解向量的线性运算性质及其几何意义
了解平面向量的基本定理及其意义
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算
理解用坐标表示的平面向量共线的条件
理解平面向量数量积的含义及其物理意义
掌握平面向量的数量积与向量投影的关系
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量
数量积的运算
运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量
积判断两个平面向量的垂直关系
会利用向量法解决某些简单的平面几何问
题、力学问题与其它一些实际问题的过程理解向量的概念掌握向量的几何表示了解共线向量的概念
掌握向量的加法与减法
掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件
了解平面向量的基本定理
理解平面向量的坐标的概念掌握平面向量的坐标运算
掌握平面向量数量积及其几何意义了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题掌握向量垂直的条件掌握平面两点间的距离公式掌握线段的定比分点和中点坐标公式并能熟练运用掌握平移公式
（2）变化之处
①删繁就简，降低了知识的难度。
②新教材在以前教材基础上增加了平面向量在物理和几何中的应用，强调了向量的工具作用。
③用向量的内积沟通和角公式与各度量公式之间的联系。
（3）人教B版教材特点
①向量的学习与平面图形的几何性质紧密结合,加强向量在几何和三角中的应用.用位移向量与合成引入向量及向量的加法运算.把平行与全等的性质转化向量及其运算律表示; 把图形的放大和缩小(相似)转化为数乘向量运算; 把正投影的性质转化为向量的数量积运算.研究向量在平面几何、解析几何和三角中的应用.
②强化向量知识的理论体系: 二条基本定理.建立起一维和二维坐标系的向量理论基础. 强化代数推理的训练, 强化算律的应用。在引进向量的线性运算与实数的运算及算律进行比较.让学生注意实数运算与向量坐标运算的关系.
③平面向量的学习对以后空间向量的学习具有重要意义，这部分知识可以类比到选修2——1空间向量中去，也为向量法解决几何问题奠定基础；
④向量的数量积有极其广泛的应用，它可以处理无理函数的最值问题，证明部分不等式，可以很简单的证明选修4——5中的柯西不等式，很多时候也可以替代柯西不等式进行求最值及新不等式的证明。
⑤提供了“练习A、练习B”，“习题A、习题B”，“计算机上的练习”，“巩固与提高”，“自测
与评估”，等多种形式的练习方式，为教学提供了丰富的可选择的空间.
二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
教学方式：讲授启发式、自主探究式
教学方法概述：
向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。
对本章教学的几个建议
1．引导学生关注向量的实际背景
在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例使学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。
2．加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路
向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。
值得特别注意的是，在本章的教学之初，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平。
3．引导学生认真体会向量法的思想实质
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具。教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量及其运算（运算律）与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
其中，由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量于一身，因而它在解决几何问题中的作用更大，应当通过适当的问题引起学生的注意。4．注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比
前已指出，向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比使学生体会向量研究中的问题与方法，使向量的学习有一个好的思维固着点。这样的类比是教学中提高思想性的有效手段，因此教学中应当予以充分的关注。另外，从思想实质来说，向量法与解析法是完全一致
的，教学中可以引导学生回顾数学2中归纳的解析法的“三步曲”，然后让学生自己概括出向量法的“三步曲”
三、本单元所需教学资源概述
1.课件：使用几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件帮助学生学习理解有关的数学问题.
2．练习、习题.
3．搜集能用向量方法解决的物理背景、几何背景、实际背景的问题。
四、本单元学时建议
2.1 向量的线性运算
2.1.1 向量的概念 1课时
2.1.2向量的加法 1课时
2.2.3向量的减法 0.5课时
2.1.4 向量数乘 0.5课时
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 1课时
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.1 平面向量基本定理 0.5课时
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标表示 1课时
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 0.5课时
2.3 平面向量的数量积
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 0.5课时
2.3.2 向量数量积的运算律 0.5课时
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 1课时
2.4 向量的应用
2.4.1 向量在几何中的应用 1课时
2.4.2 向量在物理中的应用 1课时
本章小结 2课时
共计12课时
第一学时～第四学时向量的线性运算
一、学习目标
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示
通过实例，掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.
通过实例，掌握数乘向量的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的条件.
了解向量的线性运算性质及其几何意义.
二、重点、难点
⒈关于向量的概念
重点是向量的概念、相等向量的概念、向量的表示;难点是对向量概念的理解.
⒉关于向量的线性运算
重点是向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则及运算法则的运用, 数乘向量的定义、运算律, 平行向量基本定理; 难点是对向量加法、减法定义的理解, 正确地运用法则、运算律,进行向量的线性运算,理解平面向量的共线条件.
三、教学内容安排
本节内容主要包括:向量的概念、向量的加法、向量的减法、数乘向量、向量共线的条件与轴上向量坐标运算等五小节内容.
四、教学资源建议
⒈用几何画板等辅助软件、教育资源网站为学生提供多媒体教学素材及试题等.
⒉方案1：练习、习题的选择以A组题为主，B组题为辅.
方案2：练习、习题的选择以B组题为主，A组题为辅.
⒊引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及其他方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野.
五、教学方法与学习指导策略建议
1．在本节教学过程中要利用学生的生活经验，其他学科的相关知识，创设丰富的问题情景，通过实例使学生了解有关概念的实际背景，使学生了解向量来源于生活并应用于生活。
2．在定义、法则的教学中，要借助于几何直观，通过几何背景，帮助学生理解向量线性运算的几何意义。
3．教学中要注重与数的运算进行类比。可采取引导发现法，通过探究引导学生自己类比数的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律。
第五学时——第六学时向量的分解与向量的坐标运算
一、学习目标
了解平面向量的基本定理及其意义。
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
二、重点、难点
本节教学的重点是平面向量的基本定理及应用，同时也是本节的教学难点。
三、教学内容安排
本节内容主要包括平面向量的基本定理，向量的正交分解与向量的直角坐标运算
四、教学资源建议
利用几何画板理解向量的基本定理及其正交分解．
方案1：建议“练习”“习题”的选择以A组题为主，B组题为辅．
方案2：建议“练习”“习题”的选择以B组题为主，A组题为辅．
五、教学方法与学习指导策略建议
1．作为向量数量化依据的平面向量基本定理，教材是通过具体的例子来说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这种表示是学生所不熟悉的。教学中应当充分用好具体例子，使学生形成对基本定理的直观理解，但不要加以证明。在进入平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算后，可以引导学生通过例题，在解决线段的定比分点、平移、平面上两点之间的距离等问题的过程中，使学生看到结果与在数学2中得到的一样，从而进一步体会平面向量基本定理的内涵。平面向量基本定理不作严格的证明。
2．正交分解和向量的应用是新课标中新增内容，相对原来的向量的学习有新的突破，课标中对这部分内容强调重视基础，不要过多挖掘难度，因此在教学中要注意基础知识的教学，控制例题、习题的难度。建议教学中采用合作学习法、探究教学法，教师放手让学生活动，然后作适当的点评。
第七学时～第八学时平面向量的数量积
一、学习目标
通过物理中“功”的实例，理解平面向量的数量积的含义及其物理意义；
体会平面向量数量积与向量投影的关系；
掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
二、重点难点
重点：平面向量数量积的定义及性质；向量数量积运算律的理解和应用；平面向量数量积的坐标运算与度量公式.
难点：对平面向量数量积定义及性质的理解和应用；向量数量积运算律的理解和应用；灵活运用公式解决有关问题.
三、教学内容安排
本节内容主要包括向量数量积的物理背景与定义，向量数量积的运算率，向量数量积的坐标运算与度量公式
四、教学资源建议
教材、教参、课标、多媒体、实物投影、尺规
方案1：课后习题以A组题为主，必要时补充B组题（酌情选用）.
方案2：课后习题以B组题为主
五、教学方法与学习指导策略建议
1.本节利用力做功这一物理问题，过渡到数学的向量问题，引导学生对向量的数量积的定义理解。本节主要学习向量积的概念及相关定义，在教学方法上可以尝试先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学. 对于向量内积的性质，可以引导学生自己去探索发现。
2.本节建议采用“自主、合作、探究”的教学方法，自主探究和讲解相结合，利用多媒体辅助教学．在教学中，注重学生学习的思维方式，即学生是如何接受知识的．要重视知识的形成过程，关注解题方法产生的思维过程，强化学生的应用意识，引导学生探究的解题规律．
3.关于向量数量积的运算律，建议在上一节课后，让学生思考这样一个问题，向量数量积的交换律和分配律是否成立，学生通过课下阅读课本了解了分配律的证明方法，课上教师答疑，培养了学生阅读自学的能力．通过这个证明过程，使学生体会向量加法在正投影变换下的不变性质，体会如何把二维问题转化为一维问题来处理．对于本小节的两个例题，例1得出的结论可直接运用，例2是利用向量知识证明几何问题，这为今后用向量解题的方法作铺垫．
4.在教学中，通过向量数量积的数与形两种表示的相互转化使学生进一步体会数形结合思想，增强向量法与坐标法处理向量问题的意识，使学生转化、化归的思想得到提升，提高学生的运算能力和解决实际问题的能力．在例题的教学中，要重视引导学生分析解题思路，总结解题规律．
第九学时——第十学时向量的应用
一、学习目标
经历用向量方法解决某些简单的几何问题、物理问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．发展运算能力和解决实际问题的能力。
二、重点、难点
教学重点是利用向量方法解决几何问题和与物理相关的实际问题．
教学难点是选择适当的方法，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，以及建立以向量为主题的数学模型，把物理问题转化为数学问题．
三、教学内容及课标要求
本节主要内容包括向量在平面几何中的应用;向量在物理中的应用．
四、教学资源建议
1．多媒体教学系统（展示相关图片和资料）
2．电脑和几何画板软件（画图并演示几何图形的性质）
3．引导学生通过网络等途径进一步了解向量在几何、物理以及在其他方法的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野．
4．方案1：练习习题的选择以A组题为主，B组题为辅．
方案2：练习习题的选择以B组题为主，A组题为辅
五、教学方法与教学指导、策略建议
1．本节教学以例题为载体，采用引导探究教学法，利用多媒体教学手段和丰富的素材，通过典型问题创设教学情景，让学生动手操作，观察思考，在探究中发现和提出问题，发现平面图形的几何性质．引导学生探究如何将平面几何、力学等问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的思维过程．
2．培养学生利用所学数学知识，用数学的思维观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识．待学生形成解决问题的思路后，解题过程则放手让学生自己去完成，并在完成解题的过程中锻炼与提高数学能力与素养．
3．本小节包括向量两方面应用，一是向量在平面几何中的应用，二是向量在解析几何中的应用。通过6个例题说明在这两方面的应用。教学中要注意通过例题教学，总结用向量解题的一般方法，让学生体会向量的工具作用，从而建立向量与平面几何、解析几何的联系，提高学生分析问题、解决问题能力。
4．通过例题，引导学生总结用向量方法解决平面几何问题的思路步骤：
⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素；（几何问题转化为向量问题，体现化归的思想，从具体到抽象）
⑵通过向量运算研究几何元素之间的问题。（重视运算、处理数据等基本技能训练）
把运算结果还原成几何元素（从一般到特殊）
5．通过例题，引导学生总结用向量方法解决物理问题的思路步骤：
（1）把物理问题转化为数学问题；（2）建立数学模型；（3）数学运算；（4）还原问题，解释物理现象
编写教师：昌平区进修学校高丽娟
昌平一中回春荣
昌平二中郑莉
按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
第一章空间几何体 第一章课文目录 1．空间几何体的结构 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 知识结构： 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质： 有两个面互相平行，而其余每相侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 一个面是多边形，其余各面 面是正多边 形，且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台
按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业
高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三）情感与态度目标
1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
北师大版高中数学必修4教案集 北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》全部教案 定边中学杜卫军整理 §1.1周期现象与周期函数 一、教学目标 知识与技能 （1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。 过程与方法 通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。 情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。 二、教学重、难点 重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。 难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。 三、学法与教学用具 学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。 教学用具:实物、图片、投影仪 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海
水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题) 【探究新知】 1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等） （板书：一、我们生活中的周期现象） 2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题： ①如何理解“散点图”？ ②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？ ③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？ ④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？ 以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。 （板书：二、周期函数的概念） 3．[展示投影]练习: 已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。 求f(x＋2T) ，f(x＋3T) 略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x) f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x) 本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。 (2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005 (3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8) 略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 【巩固深化，发展思维】
人教版A版高一数学必修2 全套教案
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的
新人教版高中数学必修三教案（全册）第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。直接计算 第一步：取错误！未找到引用源。=5； 第二步：计算错误！未找到引用源。； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程； 第二步：根据条件列出关于错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！ 未找到引用源。或错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 的方程组； 第三步：解出错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些 在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程 序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 四、知识应用 例5：（课本第3页例1）（难点是由质数的定义判断一个大于1的正整数错误！未找到引 用源。是否为质数的基本方法） 练习1：（课本第4页练习2）任意给定一个大于1的正整数错误！未找到引用源。，设计一个算法求出错误！未找到引用源。的所有因数. 解：根据因数的定义，可设计出下面的一个算法： 第一步：输入大于1的正整数错误！未找到引用源。 .
第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角
角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共
同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些容 六、布置作业 课本P8 练习题1.1 B组第1题 课外练习课本P8 习题1.1 B组第2题 教学反思：
第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法 回忆-观察-讲解-归纳-推广. 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360 ?? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360 ?? ~角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的
端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负角150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如教材图1.1-4中的30?角、 210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一
2019-2020学年高一数学教案 《空间中的距离》 新人教版必修2 例题： 1. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面，且6==AB PA ，则直线AD 与平面PBC 之间的距离为_________； 2. 正方体中，棱长为1，若点F E ，分别是棱1DD BC ，的中点，则点1B 到平面ABF 之间的距离为_______； 3. 棱长为1的正方体中，点O 为棱11C A 的中点，则点O 到平面11D ABC 的距离为__________；
空间中的角 异面直线成角：求异面直线所成的角，通常把异面直线通过找平行线（平行四边形或中位线）平移到同一个三角形中，通过解三角形求得.但要注意异面直线成角的范围是(]00900，； 直线与平面成角： 范围是[]00900，，若成角为00，则直线在平面内或直线与平面平行；若成角为090，则称直线与平面垂直； 若成角为()00900，，则直线与平面相交但不垂直，求解的一般方法是： ⑴确定斜线与平面的交点，即斜足； ⑵经过斜线上除去斜足外任意一点做平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影（斜足与垂足连线）； ⑶确定由垂线，斜线及其射影构成的直角三角形，其中斜线与射影的夹角即为直线与平面的成角； 例题： 1.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，090=∠BAC ，AB PA =，求直线PB 与平面ABC 所成的角； 2.BMC Rt ?中，斜边5=BM ，BM 在平面ABC 上的射影4=AB ， 060=∠MBC ，求MC 与平面ABC 所成角的正弦值； 练习： 1.正方体中，F E ，分别是111D A AA ，的中点，点O 是平面1BC 的中心，求： ().1B A 1与平面1BD 所成的角； ()EF .2与面11C A 所成的角； ().3AO 与平面ABCD 所成角的正切值； A B C D A B C D E F O
高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、
人教版高中数学必修2 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法： （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观： （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪。 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？（空间：4个） 2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子 吗？这些建筑的几何结构特征如何？
3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。 问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。 （二）、研探新知 空间几何体：多面体（面、棱、顶点）：棱柱、棱锥、棱台； 旋转体（轴）：圆柱、圆锥、圆台、球。 1、棱柱的结构特征： （1）观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片， 思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？ （学生讨论） （2）棱柱的主要结构特征（棱柱的概念）： ①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相平行。 （3）棱柱的表示法及分类：
§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
(北师大版)数学必修4全套教案 §1 周期现象与周期函数（1课时） 教学目标： 知识与技能 （1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。过程与方法 通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。 情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。 二、教学重、难点 重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。 难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。 三、学法与教学用具 学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，
感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。 教学用具:实物、图片、投影仪 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题) 【探究新知】 1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等） （板书：一、我们生活中的周期现象） 2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题： ①如何理解“散点图”？ ②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
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必 修 4 教 案 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角
的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2)
1.1.1 算法的概念（第1课时） (3) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解： 算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =2 ) 1(+n n 直接计算 第一步：取n =5； 第二步：计算 2 ) 1(+n n ； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程； 第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； 第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些 在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序 或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成 .