成比例线段
知识点一、两条线段的比
两条线段比的概念：如果选用_________________量得两条线段AB.CD 的长分别为m ，n ，那么这两条线段的比就是它们的长度的比，即AB ：CD ＝___________或写成___________（注意：线段AB 与其长度的位置对应），其中，
线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的___________和___________。如果把m n 表示成比值k ，则AB CD
＝k 或AB ＝kCD. 提示：（1）两条线段的比其实就是___________的比。
（2）求两条线段的比时，两条线段的________________要统一
【例1】．如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC ＝OA ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是( )
A.3∶2 B ．1∶3C.2∶ 3 D.2∶2
【例2】．如图，在△ABC 中，AC ＝2 cm ，BC ＝3 cm ，则△ABC 的两高AD 与BE 的比是( )
A.23
B.32
C.35
D.53
知识点二、成比例线段
成比例线段的概念：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a =d c
（或a:b=c:d ），那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做__________，简称__________。反过来，如果这四条线段a ，b ，c ，d 成比例线段，则可以记作__________。
★注意：a ，b ，c ，d 必须按顺序写出。特别的若b a =c b
，则b 为a ，c 的比例中项。
【例1】判断下列线段a ，b ，c ，d 是否成比例线段：
a=4，b=6，c=5，d=10;
a=4cm ，b=2cm ，c=1cm ，d=3cm
【变式】已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否成比例？
a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm
a=0.8dm b=5cm c=0.06m d=10cm
（3）
，，，
【例2】．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段A.b 的比例中项，那么c=______．
【例3】．已知三条线段的长分别为3 cm ，6 cm ，8 cm ，如果再增加一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长可以为多少？
知识点三、比例的性质 （1）比例的基本性质：如果b a =d c
，那么__________。如果ad=bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么__________。
（2）比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m （b ＋d ＋f ＋…＋n≠0），那么____________________________.
（3）．合(分)比性质：若a b ＝c d
，则_____________________________． 【例1】填空：
已知3：x=8:y ，求y x =__________ （2）已知2723b a =+b ，求=b a __________
已知=+=y y y x 32x ，求__________ （4）已知==--b b a a a 5323b 3，则__________
【例2】若_________2________;y -x ________;,25x =+===y y x y x y y 则
【例3】若=+--+==z y x z y x z y x 232,432则____________。
_________)05(55)4(__________)032(322)3(________)0()2(________)0(e a 1=≠---=≠+-+--=≠+-+--=≠+++++f b f b e a f b b f d b e c a f d b f d b e c a f d b f d b c ）（【例4】已知,2a ===f e d c b 则
_________)05(55)4(__________)032(3232)3(________)0()2(________)0(e a 1=≠---=≠+-+-+-=≠+-+-+-=≠++++++f b f b e a f b b f d b e c a f d b f d b e c a f d b f d b c ）（ f d b e c 3232-a 3+-+）（(b-2d+3f≠0)=_________
【例5】已知a b c c a b c b a +=+=+=k ，求k 的值。
【例6】．已知A.B.c 是△ABC 的三边长，且
==≠0，求：
（1）的值． （2）若△ABC 的周长为90，求各边的长．
【变式】．已知线段A.B.c 满足a ：b ：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求A.B.c 的值；
（2）若线段x 是线段A.b 的比例中项，求x 的值．
【例7】．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，且a －b b ＝b －c c ＝c －a a
，判断△ABC 的形状，并说明理由．
【例8】．已知a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a ，求（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋c ）abc
的值．
【例9】．如图4－1－7，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC ＝AD DC
，BD 将△ABC 的周长分为30和15两部分，则AB 的长为
________．
【例10】．如图4－1－6，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.
(1)求k的值．
(2)如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，那么这三条线段能否构成三角形？如果能，请说出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
第四章图形的相似 4.1 成比例线段 第1课时 一、教学目标 1.结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段. 2.学会求两条线段的比，体会用比值表示两条线段之间的关系；掌握比例的基本性质及其简单应用. 3.能利用比例的基本性质解决有关问题. 4.通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识. 二、教学重难点 重点：理解线段比的概念及其求解，掌握比例的基本性质及简单应用. 难点：利用比例的基本性质解决有关问题. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等. 四、教学过程设计 【观察思考】 教师活动：教师展示两组图片，引导学生分别 观察他们的特征，教师引导学生观察并回答下 面问题. 问题：第一组图中两个亭子比较，你发现了什
【合作探究】 教师活动：那我们现在观察一组的几何图形，你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？ 预设答案： 教师引导，就上面一组图进一步观察思考下面问题： 1.图中形状相同的图形有什么不同？ 2.形状相同的图形其中的一个如何由另一个得到？ 3.形状相同的图形对应线段如何变化？ 4.形状相同而大小不同的两个图形，你认为如何描述它们的大小关系？ 预设答案： 1.形状相同，大小不同 2.图形之间的“放大、缩小” 3.图形上相应的线段也被“放大、缩小” 4.对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系.【归纳】 教师活动：展示ppt中讲解线段的比的定义并讲解：
如果选用同一个长度单位量的两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比. 记住：AB ∶CD =m ∶n ，或写成 ，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.若我们把m ∶n 表示成比值k ，则 或AB =k ﹒CD. 总结：两条线段的比实际上就是两个数的比. 【思考】 提出问题： (1)在求两条线段的比时应注意哪些问题？ (2)两条线段的比结果有单位吗？ (3)两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 预设答案并总结： ①两条线段的比就是长度的比，它没有单位； ②两条线段的比是有顺序的； ③两条线段比与所选的长度单位无关； ④求两条线段比时.如果单位不同，那么必须先化成同一单位，再求它们的比. 【想一想】 如图，五边形 ABCDE 与五边A′B′C′D′E′形状相同，AB =5cm ，A′B′=3cm.线段AB 与线段A′B′的比是________. 答案：5∶3 n m CD AB =k CD AB =
第01讲_比例线段 知识图谱 比例与比例线段 知识精讲 一．比例的性质 1.比例的基本性质： a c ad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b d b d a c =⇔=； 3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d c b a =)； 4.合比定理：a c a b c d b d b d ++=⇔= ； 5.分比定理：a c a b c d b d b d --=⇔= ； 6.合分比定理：a c a b c d b d a b c d ++=⇔= --； 7.等比定理：(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+． 二．成比例线段 1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a c b d =（即::a b c d =） ，那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a c b d =（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的 第四比例项．三条线段a b b c =（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中 510.618AC AB AB -=≈，35 0.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．
4．1 成比例线段 第1课时 线段的比和比例的基本性质 1．了解线段的比和比例线段的概念． 2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点) 阅读教材P76～79，完成下列内容： (一)知识探究 1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这 两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n .其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的________和________．如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD ＝k 或AB ＝k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比． 2．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称________． 3．比例的基本性质 如果a b ＝c d ，那么ad ＝________. 如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b ＝________. (二)自学反馈 1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( ) A ．1，2，3，4 B ．1，2，2，4 C ．3，5，9，13 D ．1，2，2，3 2．把mn ＝pq 写成比例式，错误的是( ) A.m p ＝q n B.p m ＝n q C.q m ＝n p D.m n ＝p q 活动1 小组讨论
例 如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的 三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝AD AB ，那么a 的值应当是多少？ 解：根据题意可知，AB ＝a m ，AE ＝13 a m ，AD ＝1 m. 由AE AD ＝AD AB ，得 13a 1＝1a ， 即13 a 2＝1. ∴a 2 ＝3. 开平方，得a ＝3(a ＝－3舍去)． 本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由 比例式得到等积式，再通过计算求得结果． 易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意． 活动2 跟踪训练 1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1 C ．2∶ 3 D ．1∶ 3 2．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( ) A ．2 B ．4 C ．4.5 D ．8 3．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( ) A ．2 250厘米 B ．3.6千米 C ．2.25千米 D ．36千米 4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.
成比例线段 一、有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是 a ： b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和 c 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 二、比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a = ⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪ ⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）
北师大版九年级上册数学期末复习知识点讲义 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 （八下前情回顾）★平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．．．．．，平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线 ．．．。 ★平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ★平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ★平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ★菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ★菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ★矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ★矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
★矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ★推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ★正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ★正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ★梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ★两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ★一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ★等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ★三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 ★夹在两条平行线间的平行线段相等。 ★在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分） 一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直 一个内角为直角 （或对角线相等） 图3
平行线分线段成比例解读 一、知识要点： 1、 平行线分线段成比例定理 2、 平行于三角形一边的直线的判定和性质（“A”、“X”型） 主要的基本图形 E D C B A A B C D E F E D C B A （图1） 平行线分线段成比例 （图2） 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例。（可看作性质1）及其的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（可看作判定） 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例。（可看作性质2 ） 对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，（共5点），其中作比的三点在一条直线上（AD ∶AB=AE ∶AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上。）在作辅助线的时候我们可以观察这些特征。而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得。 注意点：（1）平行线分线段成比例没有逆定理 （2）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线 的对应线段成比例（被判断的平行线本身不能参与作比例） （3）有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ∶ FE=BG ∶GC （4）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中。 CF 平移至过点A CF 平移至过点D G F E D C B A
北师大版九年级数学上册《图形的相似》 知识点归纳 北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似 一、成比例线段 1、定义： （1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a 与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0), 那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b 二、平行线分线段成比例 1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线 段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相 似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条件
1、两角分别相等的两个三角形相似。 2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3、三边成比例的两个三角形相似。 4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 1、利用阳光下的影子 2、利用标杆 3、利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有 OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
第四章图形的相似 1．成比例线段（二）说课稿 彬县公刘中学郭江平 说教材： 这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。 教学目标： （一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 （二）能力目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。 （三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 教学重点：让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。 教学难点：运用比例的基本性质解决有关问题。 说教法： 比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。 说学法： 在比例基本性质的推导和例题中都引入比例k，这是本节课的难点。学生可能理解不好，要把握好这个环节的教学。对于比的性质应用，教师在教学时，可补充一些练习做为随堂练习，以巩固这几个性质，达到当堂消化的目的。
说教学设计： 本节课设计了十个教学环节：第一环节：问题情境引入；第二环节：合作交流；第三环节：新知探究；第四环节：新知归纳；第五环节：范例讲解；第六环节：巩固练习；第七环节：合作交流；第八环节：新知归纳；第九环节：巩固练习；第十环节：课堂小结。 说板书设计： 一、复习三、例题讲解 1、成比例线段。、、、、、、、、 2、比例的基本性质。 二、新课讲解、、、、、、、、 1、等比性质。 2、合比性质。、、、、、、、、 说教学反思： 1、在复习时，有一个小问题，学生指出来，但当时没有改 正。复习不是很到位，花费的时间有点多。 2、情景问题导入新课时不是很顺理成章。 3、对学情掌握不是很好，没有充分估计学生的理解和准备 能力。 4、没有让学生板演。
4.1.1成比例线段（1） 【教学目标】 知识与技能：知道线段比的概念.会计算两条线段的比. 过程与方法 通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。 情感、态度与价值观 在获得知识的过程中培养学习的自信心． 【教学重难点】 教学重点：成比例线段、比例的性质 教学难点：会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 【导学过程】 【创设情景，引入新课】 、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。 （2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。 【自主探究】 (1) 自主学习完成课本60--62页试一试与概括：填写下列空格： （1）、“比例线段”的概念： 。 已知四条线段a 、b 、c 、d,如果 d c b a =（或a:b=c:d ） ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的 ， （2）“比例线段”和“线段的比”的区别 “比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 结论： （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a:b 和b:a 通常是不相等的。 比例线段也有顺序性，如d c b a =叫做线段a 、b 、 c 、 d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。 【课堂探究】 例1如图一块矩形的绸布长AB=am ，宽AD=1m ，按照图中所示的方式将它剪裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同。即 那么 a 的值应当是多少？ 判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10； （2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35． 解： AB AD AD AE =
4.1 成比例线段 第1课时 线段的比和成比例线段 ●教学目标 1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比.. 2.知道成比例线段的定义. ●教学重点 会求两条线段的比.注意线段长度的单位要统一. 成比例线段的定义. ●教学难点 会判断线段成比例. ●教学方法 自主探索法 ●教学过程 一.创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明. ［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等等. ［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习. 二.新课讲解 1.两条线段的比的概念 ［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ ［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作b a ；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小. ［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比. ［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2,对吗？ ［生］对. ［师］大家同意他的观点吗？ ［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. ［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？ ［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段的比（ratio ）就是它们长度的比，即AB ∶CD =m ∶n ，或写成 CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k ，或AB =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比. 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；
《成比例线段（2）》说课稿 说课教师:徐国飞 尊敬的各位专家、领导、老师： 大家好！ 首先感谢领导给我这次展示的机会，同时也感谢第四中学的大力配合和支持，下面我就本节课说说我的设计思路，希望得到专家和同行们的点评与指导。 一、教材分析 （一）教材的地位和作用： 本节内容是北师大版九年级数学上册第四章第一节成比例线段第2课时，在此之前学生已学习了线段的比，成比例线段和比例的基本性质等相关知识，这为进一步研究比例的性质打下了基础。本节课比例性质的研究也是我们今后解决比例相关问题的重要依据，因此，比例性质的研究为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础，也为今后利用比例解决实际问题有着重要的作用。 （二）教学目标： 根据《新课程标准纲要》对这部分内容的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为： 1．知识与技能目标：知道线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的性质及其简单应用。 2．过程与方法目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
3．情感与态度价值观目标：培养数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系，进一步发展学生的探究、合作交流意识。 （三）教学重点与难点 重点：让学生理解并掌握比例的性质及其简单应用。 处理方法：我将充分运用多媒体教学手段，设置问题、让学生展开小组实验、讨论、探究，教师演示和强调，突出重点。 难点：教学难点：运用比例的性质解决有关问题。 处理方法：我将通过设问和强调方式，引导和提醒学生找到运用知识的突破口，讲解必要的解题方法和技巧，此外通过典型例题的发展性作用，逐步突破难点。 二、教学方法的选择与应用 根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用“合作探究式”的教学法。教师着眼于引导，学生着眼于探索。意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过学习伙伴的讨论来深化对知识的理解。其主要流程可以分为“直觉观察——探究猜想——合作论证——概括总结——应用拓展” 本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。 三、学法指导 《数学新课程标准纲要》指出：动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。为了充分体现这一要求，培养学生的动手实践能力，
6．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长． 7．若a ＋23＝b 4＝c ＋56 ，且2a －b ＋3c ＝21.试求a ∶b ∶c . 8．如图所示，若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝3 2 ，求线段PQ 的长． （二）平行线分线段成比例 【知识梳理】 1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成比例__． 2．平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段__成比例__． 【典型例题】 考点1：平行线分线段成比例定理 【例4】如图，l 1∥l 2∥l 3，下列比例式错误的是( ) A.AC CE ＝BD DF B.AC AE ＝BD BF C.CE AE ＝DF BF D.AE BF ＝BD AC
,例4题图) ,变式题图) 【变式1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6 cm ，BG ＝1.2 cm ，CD ＝1.5 cm ，则CH ＝__ __cm. 【变式2】已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长． 知识点二：平行线分线段成比例定理的推论 【例5】如图，已知AB ∥CD ，下列结论不成立的是( ) A.AO OD ＝BO OC B.AO AD ＝OB BC C.OA OB ＝OD OC D.OA OB ＝BC AD 例5图) （例6） 【例6】如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG AD ＝ ． 【变式1】如图，在三角形ABC 中，点E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且有EF ∥BC ，如果EB AB ＝45，则AC FC ＝( ) A.94 B.59 C.54 D.95 【课堂训练】 1．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( ) A ．5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．2∶5 ,第1题图) ,第2题图) 2．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中，正确的是( ) A ．BC ∶DE ＝3 B ．B C ∶DE ＝1∶3
《成比例线段1》教学设计 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.会运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题 教学过程 一、创设情境、引入新课 欣赏几组图片，你发现了什么？ 图形的形状相同，但是大小不同 二、讲授新课、探索新知 1、线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m 、n ，那这 两条线段的比就是两条线段的长度比。 ）（或记作：n m CD AB n m CD AB ==:: 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD . 巩固练习1：（1）若线段AB ＝6cm ，CD ＝4cm ，则 （2）.若线段AB ＝8cm ，CD ＝2dm ，则 =CD AB =CD AB
2、比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 巩固练习2：判断下列a 、b 、c 、d 是否成比例线段，为什么？ 10,5,2,4)1(====d c b a 35,152,5,2)2(====d c b a 三、典例精讲、新知应用 例1 一块矩形绸布的长AB =a m ，宽AD =1 m ，按照图中所示方式将它裁成相同的三面 矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 那么a 的值应当是多少？ 变式练习：如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝acm ，宽BC ＝bcm ，E 、F 分别 为AB 、CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形 ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） 1:2.A 2:1.B 1:3.C 3:1.D 四、课堂小结 1.两条线段的比及比例线段的概念； 2.方程思想的体现； 3.比例线段在实际问题中的应用. 必做作业：习题4.1第1，2题. 选做作业：习题4.1第3题.
平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。 1 简介 编辑 平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则 平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。[1]
图1 2 定理证明 编辑 设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。 连结AE、BD、BF、CE 根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF， ∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE 根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。 由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。 3 定理推论 编辑 过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。 定理推论： ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 01 平行线分线段成比例的基本事实 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图 02 平行线分线段成比例的基本事实的推论 1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 2.符号表示：如图
数学北师大版九年级上册《4.1 成比例线段》 教案 第四章图形的相似 4.1 成比例线段 第1课时 一、教学目标 1．结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线 段的比和成比例线段． 2．掌握比例的性质． 3．掌通过现实情境，进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、 解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切 联系． 二、教学重点及难点 重点：比例的基本性质． 难点：比例的基本性质的运用． 三、教学用具 多媒体课件、直尺或三角板． 四、相关资源 《生活中的相似》图片. 五、教学过程 【情境引入】
在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片，这些形状相同的图片之间有什么关系呢？ 带着这个问题让我们开始今天的学习吧！ 师生活动：教师展示图片并出示问题，学生思考、讨论． 设计意图：通过生活中的图片引入本课，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】 想一想你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？用什么刻画、描述形状相同图形的不同点呢？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导学生回答． 答：第一个图形和最后一个图形形状相同，第三个图形和第六个图形形状相同，第四个图形和第五个图形形状相同；这些形状相同的图形的大小不同．对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系． 设计意图：让学生亲自观察、分析、探究，培养学生的观察能力，分析和解决问题的能力． 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶ CD=m∶ n，或写成．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成
第四章图形的相似 4.2 平行线分线段成比例 1.了解平行线分线段成比例的基本事实,会用平行线分线段成比例定理解决实际问题. 2.掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论. 平行线分线段成比例基本事实的灵活运用. 回答下列问题. 问题1:线段的比如何计算? 问题2:线段AB,CD,EF,GH成比例是什么意思? 问题3:教师展示绳子. (1)你能快速地将这根绳子分成相等的两根吗? (2)你能快速地将它分成长度比为1∶3的两根吗? (3)你能快速地将它分成长度比为2∶3的两根吗? 这节课我们就来学习如何将绳子分成规定的比. ·做一做 在图4-2-1中,小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于格点A1,A2,A3,B1,B2,B3.
(1)计算A1A2A2A3与B1B2B2B3,A1A2A1A3与B1B2B1B3,A2A3A1A3与B2B3B1B3的值,你有什么发现? (2)将l2向下平移到如图4-2-2的位置,直线m,n与l2的交点分别为A2,B2,你在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将l2平移到其他位置呢? (3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗? (2)成立.无论将l2平移到什么位置,上述结论都成立. (3)成比例. 平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. ·做一做 如图4-2-3,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3,过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于点C2,C3(如图4-2-4).图4-2-4中有哪些成比例线段?
4.1成比例线段 第1课时线段的比和成比例线段 教学目标 1.结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段的概念. 2.借助几何直观，了解比例的基本性质及其简单应用. 3.通过现实情境，进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力；进一步培养应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系. 教学重难点 【教学重点】 了解线段的比和成比例线段的概念，了解比例的基本性质及其应用. 【教学难点】 了解线段的比和成比例线段的概念. 课前准备 课件、图片等. 教学过程 一、情景导入 请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ 这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同. 二、合作探究 探究点一：线段的比 【类型一】求线段的比 已知线段AB＝2.5m，线段CD＝400cm，求线段AB与CD的比. 解析：要求AB和CD的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD 的单位统一. 解：∵AB＝2.5m＝250cm， ∴AB CD ＝ 250 400 ＝ 5 8 . 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【类型二】比例尺 在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是m.
解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离 ”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500. 方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：成比例线段 【类型一】判断线段成比例 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.3cm ，4cm ，5cm ，6cm B.4cm ，8cm ，3cm ，5cm C.5cm ，15cm ，2cm ，6cm D.8cm ，4cm ，1cm ，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四 条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615 .故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【类型二】由线段成比例求线段的长 已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm. （1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度； （2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度. 解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解. 解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得 a b ＝c d ，即38＝6d ，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ； （2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得 b a ＝ c d ，即83＝6d ，解得d ＝94 . 故线段d 的长度为94 cm. 方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长. 已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式. 解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论. 解：若x ：1＝2：2，则x ＝22 ；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2.
第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比与比例的基本性质 教学目标： 1.结合实际情境了解线段比的概念,并会计算两条线段的比. 2.结合实际情境了解比例线段的概念. 3.理解并掌握比例的基本性质,并能进行简单应用. 4.通过现实情境,进一步提高学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识. 教学重难点： 重点:理解线段的比与成比例线段的概念及求解. 难点:判断四条线段是否成比例及比例基本性质的灵活应用. 教学方法：讲授法、练习法 教学课时：1 教学过程： 导入新课 请观察下列几幅图片,你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗? 解:这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同,是因为它们图上对应的线段的长度不同. 讲授新知 知识点1线段的比 已知线段a=30 cm,b=60 cm,c=0.15 m,d=30 cm. (1)求线段a与线段b的比; (2)求线段c与线段d的比. [点拨]先化为相同单位,然后进行计算. 解:(1)a∶b=30∶60=1∶2. (2)0.15 m=15 cm,c∶d=15∶30=1∶2.
[归纳]如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ,n ,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n 或写成AB CD =m n .其中,AB ,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m n 表示成比值k ,那么AB CD =k 或AB=k ·CD. 知识点2 成比例线段 计算下列四条线段中a ∶b 与c ∶d 的值,你能发现什么? (1)a=2 cm,b=4 cm,c=3 m,d=6 m; (2)a=0.8,b=1,c=2.4,d=3. 解:(1)a ∶b=2∶4=1∶2;c ∶d=3∶6=1∶2,两个比相等. (2)a ∶b=0.8∶1=4∶5;c ∶d=2.4∶3=4∶5,两个比相等. [归纳]四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段. 注意:(1)若a ∶b=k ,说明a 是b 的k 倍; (2)两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致; (3)两条线段的比值是一个没有单位的正数. 知识点3 比例的基本性质 有四条线段:a=3,b=4,c=6,d=8,它们成比例吗?计算ad 与bc 的值,你能发现什么? 解:它们成比例,ad=bc. [归纳]如果a ,b ,c ,d 四个数成比例,即a b = c d . 那么ad=bc. 如果ad=bc (a ,b ,c ,d 都不等于0), 那么a b = c d . 范例应用 例1 如图所示,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=8 cm,AC=6 cm,CD 是斜边AB 上的高,求CD ∶
课题：4.1.1成比例线段 教学目标： 1．结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段． 2．借助几何直观，掌握比例的性质及其简单应用． 3．通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系． 教学重、难点： 重点：了解线段的比和成比例线段的概念，了解比例的基本性质及其应用． 难点：了解线段的比和成比例线段的概念． 课前准备：制作多媒体课件． 教学过程： 一、美图欣赏，情境导入 导语：同学们，色彩斑谰的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相同，这就是我们前面学过和全等形（多媒体出示图1）；有的只有形状相同，这就是相似图形（多媒体出示图2）．你知如何刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图形放大或缩小吗？从今天开始，我们学习第四章，本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，并利用图形的相似解决一些简单的实际问题．本节课就让我们一起从“成比例线段”开始学习本章．【板书课题：4.1成比例线段(1)】 图1 图2 处理方式：学生观看生活中的存在的全等形及相似形，体会数学来源于生活，在全等形的基础上感知相似图形． 设计意图：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形．初步感知相似图形，引发学生思考相似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣．为新课的学习做好情感铺垫． 二、探究学习，获取新知 活动1：两条线段的比 1．考考你的眼力（多媒体出示） 你能在下面的这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？