数列综合练习题1
一、选择题
1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n (n≥2)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝(
) A ．n －1 B ．
nC ．2n －1 D ．2n 【答案】C
【解析】由已知可得S n －S n －
1
1，所以数列是等差数列，其公差为11n ，即
S n ＝n 2
，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
－(n －1)2
＝2n －1，当n ＝1时也适合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，选C.
2．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11,n a S =是数列{}n a 的前n
项的和，则
*216
()3
n n S n N a +∈+的最小值为 （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．
92
【答案】A ． 【解析】
试题分析：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13 成等比数列，∴（1+2d ）2
=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n ﹣1，∴S n =
=n 2
，
∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4
考点：等差数列与等比数列的性质
点评：本题考查了等差数列等比数列的定义和性质，通项公式，基本不等式。 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有 A ．201320140,0S S ><且 B ．201320140,0S S <>且 C ．201320140,0a a ><且 D ．201320140,0a a <>且 【答案】A 【解析】 试
题分析：
()()
12013120141201312014201320142013a +a 2014a +a a +a 0a +a 0S =
0S =022
＜，＞，＜，＞.
考点：等差数列.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则11S a ，2
2S a ，…，1515
S a 中最大的项为( ) A.
66S a B.77S a C.99S a D.88
S
a 【答案】D
【解析】由S 15＝()115152a a +＝15a 8>0，得a 8>0.由S 16＝()116152
a a +＝()98152a a +<0，
得a 9＋a 8<0，所以a 9<0，所以d<0.所以数列{a n }为递减的数列．所以a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 15>S 14>…>S 1>0.又a 1>a 2>…>a 8>0>a 9>a 10>…>a 15，所以最大的项为
8
8
S a ，故选D.
5．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 5·a 2n －5＝22n
(n≥3)，则当n≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )
A ．n(2n －1)
B ．(n ＋1)2
C ．n 2
D ．(n －1)2
【答案】C
【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝22n (n≥3)，∴a 1q 4·a 1q 2n －6＝22n
，即a 12·q 2n －2＝22n ?(a 1·q n －1)2＝22n ?(a n )2＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1
＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1
＝1＋3＋…＋(2n －1)＝
()1212
n +-·n＝n 2
. 6．若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +?
?
+-+=+++
???
，且15a =，则数列23n a n ??
?
?+??
的第100项为（ ） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+ 【答案】B
【解析】
试题分析：由
()(
)(
)()1123252325l g 1n n n a n a n n n +??
+-+
=+++ ???
可得：
)11l g (32521n n a n a n n +=+-++，记32b +=n a n n ，有)1
1lg(b 1n
b n n +=-+，由累加法得：1lgn b n +=，数列23n a n ??
??+??
的第100项为31100lg =+，故选B.
考点：递推数列及数列求和. 7．若f （x ）=
，则f （1）+f （2）+f （3）…+f （2011）+f （）+f （）+…+f （
）
=（ ）
A ．2009
B ．2010
C ．2012
D ．1 【答案】B
【解析】f （x ）+f （
）=+=+=1，
f （1）+f （2）+f （3）…+f（2011）+f （）+f （）+…+f（）=f （1）+[f （2）
+f （）]+[f （3）+f （）]+…+[f（2011）+f （）]=+1+1+…+1=2010．
故选B ．
8．已知数列{}n a 满足3
12ln ln ln ln 32258312n a a a a n n +????=- （*n N ∈），则10a =（）
A ．29
e B ．26
e C ．35
e D ．32
e 【答案】D
【解析】
试题分析：9n =时，
3
912ln ln ln ln 29258262a a a a ????= ； 当10n =时，3
91012ln ln ln ln ln 321625826292a a a a a ?????== ． 所以10
ln 2916229a ?=，解得10ln 32a =，3210a e ∴=．故D 正确．
考点：数列．
9．已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()
()2428f a f a -=-，设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若()n S f n =，则
41
n n S a
a --的最小值为（ ） A ．
276 B ．358 C ．143 D ．378
【答案】 【解析】
试题分析：由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．
由题意可得2
428a a -=-或28
42822
a a a +-+-=?
-（）， 解得a=1或a=-4，
当a=-1时，2
712f x x x =+-（），数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时，24f x x x =+（），24n
S f n n n ==+（），
()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，，
()2
2121134416122)11
(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++?
11311221212
n n =?+++≥????=+??（）（），
当且仅当13
11
n n
+=
+，即1n =时取等号， ∵n 为正数，故当n=3时原式取最小值37
8
，故选D ．
考点：等差数列通项公式；基本不等式
【方法点睛】利用基本不等式求最值的方法及注意点
（1）知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
（2）知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
（3）构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
（4）利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数（或式）均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
10．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足()
22n n n 2S 3n 4S ---﹣2（3n 2
﹣n ）=0，n ∈N *
．则数列{a n }的通项公式是（ ）
A ．a n =3n ﹣2
B ．a n =4n ﹣3
C ．a n =2n ﹣1
D ．a n =2n+1 【答案】A 【解析】
试题分析：由满足()
22n n n 2S 3n 4S ---﹣2（3n 2
﹣n ）=0，n ∈
N *
．变形为：
（S n +2）=0．已知数列{a n }的各项均为正数，可得2S n =3n 2
﹣n ，
利用递推关系即可得出． 解：由满足﹣2（3n 2
﹣n ）=0，n ∈N *
． 因式分解可得：
（S n +2）=0，
∵数列{a n }的各项均为正数，
∴2S n =3n 2
﹣n ，
当n=1时，2a 1=3﹣1，解得a 1=1．
当n≥2时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=3n 2﹣n ﹣2[3（n ﹣1）2
﹣（n ﹣1）]=3n ﹣2， 当n=1时，上式成立． ∴a n =3n ﹣2． 故选：A ．
考点：数列递推式．
11．数列{}n a 满足122,1,a a ==且
11
11
(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+??=≥--,则数列{}n a 的第
100项为（ ） A ．
10012 B ．5012 C ．1100 D ．150
【答案】D 【解析】
试题分析：由
11
11(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+??=≥--得，)2(21111≥=++-n a a a n
n n ,所以数列?
?????n a 1是以21为首项，以21为公差的等差数列。于是，21n
a n =,所以501100
=a ．故选D 。 考点：构造法求数列通向公式。
12．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6C ．8 D ．－9 【答案】A
【解析】∵a 4＋a 8＝－2，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋226a ＋a 6a 10＝24a ＋2a 4a 8＋2
8a ＝(a 4
＋a 8)2
＝4，故选A.
二、解答题
13．已知数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，数列}{n b 满足)
12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n = ．
（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求数列}{n b 的通项n b ； （3）若n
b a
c n
n n ?=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
【答案】（1）12(1),
2(2).
n n n a n -=?=?≥?（2）22n b n n =-（3）n n n T 2)3(2?-+=
【解析】
试题分析：（1）利用数列的前n 项和n S 与第n 项n a 的关系1
1
1=2
n n n S n a S S n -=??
-≥?求
解.
（2）由()121n n b b n +=+-121n n b b n +?-=-
又()()()()12132431n n n b b b b b b b b b b -=+-+-+-++- 可转化为等差数列前n 项和问题.
（3）由（1）（2）可得1
2(1),(2)2
(2).
n n n c n n --=?=?
-?≥?
所以，13212)2(2221202-?-+???+?+?+?+-=n n n T 根据和式的特点可考虑用错位相减法解决. 试题解析：（1）∵n n S 2=, ∴
)2(,211≥=--n S n n ． 2
分 ∴
111222(2)n n n n n n a S S n ---=-=-=≥． 3分
当1=n 时，2121111==≠=-a S ， ∴1
2(1),
2(2).
n n n a n -=?=?≥? 4分
（2）∵)12(1-+=+n b b n n ∴112=-b b ，
323,b b -= 435,b b -=
123n n b b n --=- ,
以上各式相加得：
()()()()
2
111231352312
n n n b b n n -+--=++++-=
=
-
11b =-
22n b n n ∴=- 9分
（3）由题意得1
2(1),
(2)2(2).
n n n c n n --=?=?-?≥? ∴13212)2(2221202-?-+???+?+?+?+-=n n n T ， ∴n n n T 2)2(22212042432?-+???+?+?+?+-=，
∴n n n n T 2)2(2222132?--+???+++=--
n n n 2)2(2
1)21(21?----=-
=n n n n n 2)3(22)2(22?---=?---， ∴
n
n n T 2)3(2?-+=．
12分
考点：1、数列前n 项和n S 与第n 项n a 的关系；2、等差数列前n 项和；3、错位相减法求数列前n 项和. 14．已知函数()213
22
f x x x =
+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1
1n n n n n
a a c a a ++=
+
，证明：121222n n c c c n <+++<+ . 【答案】（1）()
1n a n n N *
=+∈；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用1n =时，11a S =以及2n ≥时，1n n n a S S -=-以此求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用基本不等式12
221
n n n c n n ++=+>++由此证明122n c c c n +++> ，利用裂项法得到11212
n c n n =+
-++，由此计算出数列{}n c 的前n 项和，于此证明12122
n c c c n +++<+
. （1） 点(),n n S 在()f x 的图象上，213
22
n S n n ∴=+， 当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+； 当1n =时，112a S ==适合上式，
()1n a n n N *∴=+∈；
（2
）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=
+=+>=++， 122n c c c n ∴+++> ，
又1211
22112
n n n c n n n n ++=
+=+-++++， 121111112233412n c c c n n n ????????∴+++=+-+-++- ? ? ???++????
????
111
22222
n n n =+
-<++， 121
222
n n c c c n ∴<+++<+
成立. 考点：1.定义法求数列通项；2.基本不等式；3.裂项法求和 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*21()n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2
）设13
1
,log n n n b c a ==，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【答案】（1）*
1()3n n a n N =
∈；（2
）1n T = （1）当1n =时，由1121S a =-得：3
1
1=a ． 当 2≥n 时，n n a S -=12 ① ； 1112---=n n a S ②上面两式相减，得：13
1
-=n n a a ．
所以数列{}n a 是以首项为31，公比为31的等比数列． 得：*
1()3
n n a n N =∈． (6)
分 （2）n
n
n a b )31(log 1log 1
3
13
1=
=
n
1
=
． ()1
1
111+-
=+-+=n n n n n n c n ． ……10分
121n n T c c c ?
=++???+=+++???+ ?
1=分) 考点：由n S 求n a ，等比数列的通项公式、对数式的运算、裂项相消法求和.
必修5 数列 单元测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( ) A ．是公比为2的等比数列 B ．是公差为2的等差数列 C ．是公比为1 2的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列 2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12 D ．－6 3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( ) A ．a n －1 B ．Na C ．a n D ．(n －1)a 4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128 5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－9 8 D.98 6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( ) A ．4 B.1 4 C ．－4 D ．－14 8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100 D ．190 9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( ) A ．S 7 B ．S 4 C ．S 13 D ．S 16 10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( ) A ．2 n －1 B ．2 n C ．2 n ＋1 D ．2 n ＋2 11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7 D ．不存在
五年级奥数－数列与数表 1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196) 2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那 么他最后一天读了多少页？ 3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数 的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？ 4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？ 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 …… …… 5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第 2008个算式的结果应该是多少？
五年级奥数－数列与数表答案 1.解析： 2，5，8，......，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+......+194=（2+194）×64÷2=98×64。4，7，10， (196) 每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。因此原式=98÷100=0.98。 2.解析： 设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程：（x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。 3.解析： 这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、 2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008 个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。 4.解析： 观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。 5.解析： 通过观察可以发现，题目中出现的算式的规律是：每一个算式的第一个加数比上一个算式的第一个加数多2，而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加数多3。以此推断，第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007，所以该算式的结果为5+2×2007+3+3×2007=10043。
数列单元测试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于() A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是() A．1，1 2， 1 3， 1 4，… B．－1,2，－3,4，… C．－1，－1 2，－ 1 4，－ 1 8，… D．1，2，3，…，n 3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.() A．2 C．6 D．7 4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为() A．49 C．51 D．52 5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是() A．90 C．145 D．190 6．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝() A．1 C．4 D．8 7．等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()
A ．无实根 B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根 8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列? ?????11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 D ．－1 9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n － 1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( ) A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 A ．1 033 034 C ．2 057 D ．2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） C. 约等于1 12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示： 则第七个三角形数是( ) A ．27 C ．29 D ．30 第II 卷(非选择题) 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
第二讲 数列与数表 知识要点： 数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。 一、基础应用： 【例1】 有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以 后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？ 【解析】 每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张； 撕了六次后一共得到15526+?=张纸片。 【例2】 一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都 相等，从左往右数，第几个数是196？ 【解析】 这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。 【例3】 计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+ ()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+ ()()121216360576312192021336932 +?=+++ ++=++ +++?=?= 【例4】 有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数 乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？ 【解析】 因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将 接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、 8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。 二、拓展训练： 【例5】 由三个数组成的数组按某种规律排成一列：(1,2,3)，(2,3,5)，(3,4,7)，(4,5,9)，……，那么其中第几个数组中的各数之和为1234？ 【解析】 此题如果由数组中单一一个数去考虑，题目会变得比较复杂，因为问题是
2，100，3，98，5，96，4，94，1，92，2，90，3，88，5，86，4，84，1，…，0。 请观察上面数列的规律，请问： ⑴这个数列有多少项是2？ ⑵这个数列所有项的总和是多少？ 下面的算式是按规律排列的：5＋1，3＋4，1＋7，5＋10，3＋13，1＋16，…，请观察上面数列的规律。请问：是否存在算式的运算结果是2012？是第几个？ 下面是按规律排列的三角形数阵：那么此数阵第2012行左起第三个数是多少？ 把正整数依次排成以下数阵：求 ⑴第20行第10列是哪个数？ ⑵第10行第20列是哪个数？ 数列与数表综合（一） (★★★) (★★★) (★★★) (★★★★)
从1开始的自然数按图所示的规则排列，并用一个正方形框出九个数，能否使这九个数的和等于：⑴2012；⑵2007；⑶2160。 若能，请写出正方形的中心数；若不能，说明理由。 本讲总结 多重数列——拧麻花 数表——行列联合，从问题入手 等差数列家族——差等差 整体考虑；快速判断 时刻要谨慎；细节定成败 重点例题：例1；例3；例5 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．3，100，4，96，5，92，3，88，4，84，5，…，0请观察上面数列的规律，那么这个数列有( )项是4，所有项的总和是( )。 A．9，1303 B．9，1403 C．10，1303 D．10，1403 2．下面的各算式是按规律排列的：1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第( )个算式的结果是2008。 A．997 B．1003 C．2005 D．2006 3．如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，那么136在第( )行。 A．14 B．15 C．16 D．17 (★★★★)
第17讲数列与数表 内容概述 通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算. 典型问题 兴趣篇 1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少? 答案：67；1783 解析：间隔是是等差数列。 2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求： (1)第20组中三个数的和； (2)前20组中所有数的和． 答案：120；1260 解析：（39，40，42），运用等差数列求和公式。 3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问： (1)第100项是多少? (2)前100项的和是多少? 答案：8；975 解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期 4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数． 答案：105 解析：四周数的差是一个等差数列。 5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问： (1)100在第几行、第几列?
(2)第20行第3列的数是多少? 答案：（1）第25行第6列；（2）79 解析：两行为一个周期。观察除以8的余数与在第几列之间的关系。 6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问： (1)100在第几行，第几列? (2)第5行第20列的数是多少? 答案：（1）第1第25列；（2）81 解析：两列为一个周期。 7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问： (1)100在第几行，第几列? (2)第20行第2列的数是多少? 答案：（1）第15行第2列；（2）138 解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。 8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)100在第几行?100是这一行左起第几个数? (2)第25行左起第5个数是多少? 答案：（1）第14行左起第9个数；（2）321 解析：观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。 3，10也是1一直加到行数之和。 9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于： (1)1997；(2)2016；(3)2349． 如果可以，请写出方框中最大的数． 答案：只有2349是可以的，最大为269.
一、数列的概念选择题 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174 B ．184 C ．188 D ．160 2．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ?? ? ??? 的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[ )3,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 3．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．数列{}n a 满足()1 1121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ） A ．1006 B ．1176 C ．1228 D ．2368 5．已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ，则3 a =( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 6．数列23451,,,,,3579 的一个通项公式n a 是（ ） A ． 21n n + B ． 23 n n + C ． 23 n n - D ． 21 n n - 7．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，() * 21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ） A ．4- B ．5- C ．4 D ．5 8．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072 B ．2073 C ．2074 D ．2075 9．3……，则 ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现
。 数列单元测试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( ) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 。 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A．1，1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，… B．－1,2，－3,4，… C．－1，－1 2 ，－ 1 4 ，－ 1 8 ，… D．1，2，3，…，n 3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( )￥ A．2 C．6 D．7 4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( ) A．49 C．51 D．52 5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( ) A．90 C．145 D．190 …
6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 C ．4 D ．8 7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2 ＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根 8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列?? ?? ?? 11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) ： A ．0 D ．－1 9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3 n －1 ，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的 数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( ) A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 A ．1 033 034 C ．2 057 D ．2 058 《 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） C. 约等于1 12．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示： 则第七个三角形数是( ) A ．27 C ．29 D ．30 <
第十讲 数列与数表 1. 观察数组（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），…的规律。求： （1） 第10组中三个数的和； （2） 前10组中所有数的和。 2. 请观察下列数列的规律： 1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100. 问：（1）这个数列一共有多少项？ （2）这个数列所有数的总和是多少？ 3. 一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一 项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。请问：（1）第100项是多少？ （2）前100项的和是多少？ 4. 如图，方格表中的数是按照一定规律填入的。请观察方格表，并填出“？”处的数。 5. 如图，数阵中的数是按一定规律排列的。请问： （1）100在第几行、第几列？ （2）第20行第3列的数是多少？ 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第1行 1 2 3 4 第2行 5 6 7 8 第3行 9 10 11 12 第4行 13 14 15 16 91 78 66 55 ？ 6 3 45 120 10 1 36 136 15 21 28
第5行 17 … … … … … … … … 6. 如图，从4开始的自然数是按某种规律排列的。请问： （1）100在第几行第几列？ （2）第5行第20列的数是多少？ 7. 如图，把偶数2,4,6,8…排成5列，各列从左到右一次为第1列、第2列、第3列、第4 列和第5列。请问： （1）100在第几行第几列？ （2）第20行第2列的数是多少？ 8.如图，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来。请问：（1）第10行左起第3个数是多 少？（2）99在第几行左起第几个数？ 9.如图。从1开始的自然数按某种方式排列起来。请问：（1）100在第几行？100是这一行左起第几个数？（2）第25行左起第5个数是多少？ 1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 11 … … … … … … … … … 4 11 12 19 20 ... 5 13 ... 6 10 14 18 ... 7 15 ... 8 9 16 17 ... 2 4 6 8 14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 ... ... (1) 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 … … …
《数列》单元练习试题 一、选择题 1．已知数列}{n a 的通项公式432 --=n n a n （∈n N *），则4a 等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0 2．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） （A ）它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3- （C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则 =2 4 a S （ ） （A ）2 （B ）4 （C ） 2 15 （D ）217 4．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） （A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S < （D ）56S S = 5．已知数列}{n a 满足01=a ，1 331+-= +n n n a a a （∈n N *），则=20a （ ） （A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ） 2 3 6．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 7．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ） （A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+ （C ）5481a a a a +=+ （D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 9．设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且 30303212=????a a a a Λ，那么30963a a a a ????Λ等于 （ ） （A ）210 （B ）220 （C ）216 （D ）
知识要点 幻方与数表 一、 如果一个n n ?的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方 阵称为n 阶幻方。 二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。 对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2 n S n =个数。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2 n n n n ++++= ……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13) 1532 ++++++++?+==。 三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中 心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。 中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平 均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数2 2n S n =个数n = 幻和 。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212 n +。 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为2 1352 +=。 四、 在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++==== ，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2 b d i +=。 i h g f e d c b a
幻方 【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的 空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种） 200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014 【分析】 （方法一）第一步——求幻和： 幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=； 第二步——求中心数：中心数为603932013÷=； 第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。 答案如图所示。 （方法二）与1~9的3阶幻方相比，每个空格上的数都增加2008； 根据1~9的3阶幻方的8个图可以求出原题的答案。答案如图所示。 五、 若一个n n ?的方阵1111n n nn a a a a K M O M K 是n 阶幻方，则方阵 1111n n nn a b c a b c a b c a b c ?+?+?+?+K M O M K 也是n 阶幻方。 数表 中心数 幻和 三阶幻方的性质 幻方的构造 幻方 幻方与数表 （本讲）
中职数学数列单元测试题 Revised by Jack on December 14,2020
第六章《数列》测试题 一．选择题 1． 数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A ． a n =3(-1)n+1 B ． a n =3(-1)n C ． a n =3-(-1)n D ． a n =3+(-1)n 2．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于 ( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )． A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 5．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 6．．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8 7．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
8．设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和．若1011S S =，则1a =（ ） A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 9在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 10．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122- 二．填空题 11．在等差数列{}n a 中， （1）已知,10,3,21===n d a 求n a = ； （2）已知,2,21,31===d a a n 求=n ； 12． 设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =； 13．在等比数列{a n }中，a 1=12 ，a 4=-4，则公比q=______________； 14．等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为_____________； 15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______． 三．解答题 16．（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3． （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{a n }的前k 项和k S =-35，求k 的值． 17．在等差数列{a n }中，解答下列问题： （1）已知a 1＋a 2＋a 312=，与a 4＋a 5＋a 618=，求a 7＋a 8＋a 9的值 （2）设10123=a 与3112=n a 且d=70, 求项数n 的值 （3）若11=a 且2 11=-+n n a a ，求11a 18．在等差数列{a n }中，已知74=a 与47=a ，解答下列问题： （1）求通项公式n a （2）前n 项和n s 的最大值及n s 取得最大值时项数n 的值。 19． 解答下列问题： （1）在等差数列{a n }中，设1483=a ，公差,320,2==n a d 求该数列前n 项的和n s ； （2）等比数列{}n a 中，设,43,641-==a a ，前n 项的和n s =,32 129求该数列的项数n ． 20． 在数列{a n }中，已知11=a 且121+=+n n a a 解答下列问题：
第二讲数列与数表 1.等差数列： 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。 3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。 例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……
这是一个周期数列，周期为6。 4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法： 1寻找各项与项数间的关系。 2考虑此项与它前一项之间的关系。 3考虑此项与它前两项之间的关系。 4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。 5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。（“分组”是难点） 6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。 1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。 2.在解题中应用数列相关知识。 例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)× 5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。 分析：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+…+1990=(2+1990)×995÷2=991020。 例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 分析：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，
数列单元测试题 一、选择题 (本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 1．在等差数列{}n a 中，351028a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( ) A ．8 B ．13 C ．16 D ．26 2．巳知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()f x m =有两个不同的实根34,x x .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为( ) A ． B ． C ． D ． 3．已知正项数列{n a }中,a 1=1,a 2=2,22n a =21n a ＋+2 1n a -(n≥2),则a 6等于 （ ） A ．16 B ．8 C ． D ．4 4．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15 ，则实数t 的值为( )． A ．4 B ．5 C.45 D.15 5．已知数列{}n a 满足),2(5 2 5*11N n n a a a n n n ∈≥--= --，且{}n a 前2014项的和为403，则数 列{}1+?n n a a 的前2014项的和为( ) A ．-4 B ．-2 C ．2 D ．4 6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 7+a 10=9，S 14﹣S 3=77，则使S n 取得最小值时n 的值为（ ） 7．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项和记为S n ，若S 10=10,S 30=70，则S 40等于( ) A ． 150 B ． -200 C ． 150或-200 D ．400或-50 8．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，公差d<0，且a 2 013(a 2 012＋a 2 013) <0，则使数列{a n }的前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ) A ．4 027 B ．4 026 C ．4 025 D ．4 024 9．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且n a S n n +=2，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。则=+)()(65a f a f ( )
第六章《数列》测试题 一．选择题 1． 数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A ． a n =3(-1)n+1 B ． a n =3(-1)n C ． a n =3-(-1)n D ． a n =3+(-1)n 2．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5 ＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )． A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 5．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 6．．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8 7．在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 8．设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和．若1011S S =，则1a =（ ） A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 9在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 10．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11 1 22- 二．填空题 11．在等差数列{}n a 中， （1）已知,10,3,21===n d a 求n a = ；
六年级奥数－数列与数表 1.计算：（2+5+8+......+194）÷（4+7+ (196) 2.一本600页的书，小明每天都比前一天多读一页，16天刚好读完这本书，那 么他最后一天读了多少页？ 3.有一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数 的和：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。那么这个数列的第2005个数除以8所得的余数是多少？ 4.把自然数按照下列规则排列，那么2008应该排在左起第几列？ 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 …… …… 5.观察下面的一列有规律的算式：5+3，7+6，9+9，11+12，……则按照规律第 2008个算式的结果应该是多少？
六年级奥数－数列与数表答案 1.解析： 2，5，8，……，194是以3为公差的等差数列，共有（194-2）÷3+1=64项，则2+5+8+……+194=（2+194）×64÷2=98×64。4，7，10，……，196中每一项都比上面的等差数列中每一项多2，因此4+7+10+……+196=98×64+2×64=100×64。因此原式=98÷100=0.98。 2.解析： 设小明最后一天读了x页，则第一天读了x-15页，由题意可得方程： （x-15+x）×16÷2=600，解得，x=45。 3.解析： 这串除以8所得的余数依次是：0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，……。余数数列从第1个开始，以0、1、1、2、3、5、0、5、5、 2、7、1这12个数为一组依次循环出现的，又2008=12×167+4，所以第2008 个数除以8所得的余数与第4个余数相同，即为2。 4.解析： 观察数列可知，除了前5个数之外，后面的数以8为周期，由2008=8×250=8+8×249，所以2008与8在同一列，即2008在左边第2列。 5.解析： 通过观察可以发现，题目中出现的算式的规律是：每一个算式的第一个加数比上一个算式的第一个加数多2，而每一个算式的第二个加数比上一个算式的第二个加数多3。以此推断，第2008个算式的两个加数分别是5+2×2007和3+3×2007，所以该算式的结果为5+2×2007+3+3×2007=10043。
数列与数表 经典例题 例1：先观察下面各算式，找出规律，再在括号中填出适当的数。 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=（） 12345×9+（）=111111 （）×9+（）=1111111 （）×（）+（）=（） 练习1： 11×11=121 9×9=81 111×111=12321 99×99=9801 1111×1111=1234321 999×999=998001 11111×11111=（） 9999×9999=（）111111×111111=（） 99999×99999=（） 例2：观察数列的规律：10,1,10,2,10,3,10,4,10,5，……50。请问：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列中所有项的总和是多少？ 练习1：观察数列的规律：1,4,2,4，3,4,4,4,5,4,6,4……，30,4。请问：（1）这个数列中有多少项是4？（2）这个数列中所有项的总和是多少？
练习2：观察数列的规律：1,2,2,4,3,6,1,8,2,10,3,12,1,14,2,16,3,18……，50。请问：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列中所有项的总和是多少？ 例3：一串数按下面规律排列，那么第50个数是多少？这50个数字的和是多少？ 1,2，3, 2,3,4，3,4,5, 4,5,6，…… 练习1：有一串数按下面的规律排列：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6，……问从左边第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？ 练习2：观察数组（1,2,3），（3,4,5），（5,6,7），（7,8,9）的规律，求：（1）第20组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和。 例4：如图，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填 出“?”处的数．