狄拉克与狄拉克方程
英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。
5、1 狄拉克算符
1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（Peter Leonidovich Kapitza ，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard ，1899～1944）。9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。例如，两个力学量相乘pq ≠qp ，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S ．Poisson ）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方
式有可能移植到量子力学中来。例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。
5、2 费米—狄拉克统计
1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方2
是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。 图10-12为狄拉克（左）和海森伯（右）在剑桥
在薛定谔多体波函数的启示下，狄拉克考虑到全同粒子的不可分辨性，得到了一类处于平衡态的粒子系统行为所遵从的费米—狄拉克统计。所谓全同粒子是指互换这类粒子并不导致系统出现新的状态。全同粒子系统可分两类，一类由对称波函数描述的粒子所构成的系统，称玻色系统。这种粒子遵循的统计称玻色—爱因斯坦统计，是由玻色（Bose Satendra Nath ，1894～1974）和爱因斯坦在1924年先后提出来的。另一类由反对称波函数描述的粒子所构成的系统，这种粒子必须遵循泡利不相容原理，每个量子态上至多只能有一个粒子，它们遵循的统计称费米—狄拉克统计。是由费米（Fermi Enrico ，1901～1954）和狄拉克在1926年先后提出的。
设近独立全同粒子组成的系统具有确定的粒子数N i 、能量E 和体积V ，以εi 和g i 分别表示单粒子的第i 个（i=1，2，3，…）能量和对应该能量的量子态数（简并度）。对于玻色系统，由于粒子的不可分辨和每个态上占据的粒子数不限，则给定的N i 个粒子分布在g i 个量子态的方式数，等于从N i +g i －1个元素中选取g i －1个元素的组合数)!
1(!)1(--+i i i i g N g N 。考虑各能级的结果，就得到对应粒子数分布｛N i ｝的系统微观状态数)!1(!)!1(,--+∏=i i i i i
E B g N g N W 。对于费米系统，N i 个不可分辨的全同粒子分布在g i 个状态上（每个态上至多只能有一个粒子）的可能方式数，就是从g i 个元素中选取N i 个元素的组合数，应该等于)!(!!i i i i N g N g -，则对应粒子数分布｛N i ｝的系统微观状态数：)!
(!!,i i i i i B F N g N g W -∏=。虽然这后一种统计法已由费米在几个月前就推导出来了，但狄拉克却更深刻地给出了统计类型与波函数对称性质间的内在联系，并且证明了在波函数为反对称的情况下费米统计是量子力学的必然结果。因此，后人称这种统计为费米—狄拉克统计。
5、3 狄拉克方程
1926年克莱因（Klein Osker ，1894～1977）和戈登（Gdrdon Walter ，1893～1940）提出一种相对论性波动方程，受到当时许多物理学家的赞赏。但狄拉克觉得，方程并不太美，因为它出现物理学上无意义的负几率。为了摆脱负几率，克莱因和戈登试图把几率密度改为电荷密度的权函数，但这一改变却意味着克莱因—戈登方程描述的不是单个电子而是正负电子的集合。1928年初，海森伯觉得，为了公平地对待实物与辐射，物质波与电磁场都必须量子化。同时对电子的电荷、质量和计算步骤，都将从第二次量子化中自然地产生，而不需要作为特定的假设来引进。并产生了海森伯与泡利的量子场论的方案，它将处理包括实物、辐射在内的任何种类的原子问题。
狄拉克又一次给出一个决定性的推进，1928年元月初，他向皇家协会报告了他的最新成就，相对论性电子波动方程，后来以“狄拉克方程”的名义载入史册。狄拉克建立了一种对时间坐标和空间坐标都是线性的描述单粒子行为的微分方程。狄拉克方程主要是把量子化过程应用于波函数本身，是对薛定谔波动方程的改进，同时，他对于量子力学的物理含义做出了自己的物理诠释。他的这项工作被称为“二次量子化”方案，并考虑到相对论效应建立了一个一阶方程，即狄拉克相对论电子波动方程；相对论电子波动方程可以列入20世纪科学的最高成就之一。狄拉克叙说道：“我的许多工作正是玩弄方程，并看它们给出些什么”，
引导他达到目的的游戏是他的观察：()12
2?=p p σ（其中1是2×2的单位矩阵）。“那是个漂亮的数学结果。我为此非常激动。看起来它必定有些重要的东西。”如何把它推广到四个而不是三个平方的和，并由此得出：4224232221c m p p p p -=+++，c
iE p =4。“这让我思考了好一阵子……之后我突然认识到不需要把量σ……固定在刚好二行二列上，为什么不想
到四行四列呢？”这样就诞生了狄拉克方程： ()∑∑=??
????+??ββμαβμαβμψδγ0 mc x ，ict x x , =μ。现在通常缩写为：0=??????+??ψγμμ mc x
。狄拉克把c iE p =4代入4224232221c m p p p p -=+++后，并令2p =232221p p p ++化简后得：
222c m p c E +±=。狄拉克对波函数的物理含义有很明确的看法，即波函数绝对值的平方等于微观客体某一时刻在某处表现的概率。以这一方程为核心内容的狄拉克电子理论，为20年代量子物理学中原先是各自独立的主要实验事实，包括电子的康普顿散射、塞曼效应、电子自旋等，提供了一种统一的、具有相对论不变性的理论框架，为氢原子提供了一种模型。狄拉克不仅考虑了相对论效应，同时引入了粒子的自旋，把这个方程应用于求解氢原子问题，所得到的结果与观察实验完全相符。但是，这一组十分对称的线性方程，得出的描述电子运动态的矩阵有4行4列，分别代表电子的两个状态（正能态和负能态）。而实际的观察结果只需要2项，分别代表电子的两个自旋态（正能态）。按照习惯的处理方法，要舍去无法观测到的负能态，因为在实验中从来没有观察到过从正能态到负能态的跃迁。
狄拉克认为，相对论薛定谔方程得出的对称的负能态解不能随意地被忽略掉，这样就破坏了方程的完美性。他认为：我们之所以不能观测到正能态向负能态的跃迁，是因为所有的负能态都已经被填满了。这时，如果有某个负能粒子跳出来，跃迁到正能态上去，原来被填满的负能“海洋”中就会留下一个“空穴”，这空穴就应表现为电荷相反的正能态粒子。起初，狄拉克很自然地想到这种与电子电荷相反的粒子是质子。但是质子的质量比电子大1000多倍，它们之间的跃迁太不可思议了。所以这种说法一提出，立即受到德国数学家韦耳（Weyl Hermann ，1885～1955）的批评；韦耳做过有关时空对称性的研究，认为存在于负能海洋中的电子的“反物质”，是电子的“镜象”，只能是和电子质量相等的粒子，而不可能是质量比电子大很多倍的质子。在哥廷根求学并早在剑桥就和狄拉克友情盛厚的美国物理学家奥本海默（Oppenbeimer Robert ，1904～1967）也提出：空穴的质量应当和电子的质量一样。但在自然界中至今没有观测到过这样的粒子，那一定是有某种特殊原因的，很可能是由于实验工作者尚未找到适当的方法，没有到适当的地方去寻找它们。
1931年，英国剑桥大学的物理学家布拉克特（Blackett Patrick Maynard Struart ，1897～1974）在宇宙射线中发现了一种和电子碰撞后发生“湮灭”现象的相反粒子。根据爱因斯坦的质能公式 E=mc 2，这一对粒子“湮灭”后产生的能量相当可观，以致引起连续性的粒子“簇射”。但布拉克特一时还没有把握判定这是一种什么粒子。正当他试图作进一步观察时，美国物理学家安德森（C ．D ．Anderson ）发表了自己类似的研究结果，他宣布自己发现了与电子质量、电荷数相同，但却是带正电荷的“反电子”，后来命名为正电子。安德森的实验设计确有其独到之处，他用一块铅板阻挡来自宇宙射线中的粒子，被阻挡后的粒子速度减慢，在威尔逊（Wilson ）云雾室的磁场下运动半径减小，因而运动径迹弯曲得比较厉害。从这种经过弯曲的变化出现在铅板的哪一侧，可以判定该粒子运动的方向；从径迹弯曲变化的
程度可以判定其质量和能量大小。观察表明，确实有一种和电子质量相符、在磁场作用下却朝相反方向运动的粒子，这表明它带有和电子相等的正电荷。狄拉克把它们称为反粒子或反物质，并进一步预言正反粒子对的产生和湮没，为物质存在的实物形式间的相互转换提供了一种作用机制。1932年8月，安德森在宇宙线实验中发现了正电子，1933年布拉克特和奥恰利厄（Occhialini Giuseppe Paolo Stanisalao，1907～）又在实验室中证实了正反电子对的产生和湮没。
狄拉克的真空图像
按通常的观点，所谓“真空”是空虚无物的空间，可是狄拉克却认为物理学上的真空状态并非是一无所有的绝对真空，而是由负能态电子所构成的“电子海洋”，这个负能电子海是被大量负能态电子所填满。因此整个电子海中所有能观察到的量，如电荷、质量、动量都是零。既然全部填满的负能电子海相当于真空，那么从电子海中挖出一个电子，就会出现一个正能态的电子和一个负能态的空穴。狄拉克认为激发出来的这个正能态电子就是普通电子，它带一个单位的负电荷；而电子被激发出来以后，在电子海中留下的空穴就表现为一个带正电荷的粒子。
由于真空是一个充满无穷多个负能电子的动力学体系，它带有能量、可以极化，这就势必影响到电子电荷与质量的观察值。正是根据这一真空图象，狄拉克于1933年首先提出对数发散的电荷的重正化理论。任何一个带电粒子都伴随有它自身固有的电磁场，而这个电磁场势必引起真空极化。于是整个真空作为一个有着无穷多个自由度的动力学体系，就将通过这个电磁场，对粒子的反作用而影响这一单个电子的动力学体系。因此，狄拉克原来作为正电子理论而提出来的相对论性方程就必须重新进行解释，把它们解释为场方程，即描写电子—正电子场的运动方程。而这正是建立量子电动力学的必要前提。狄拉克真空既然是个复杂的动力学系统，那它就不可能具有完全的对称性，这导致人们重新考虑“以太”观念，为一种新的“以太”理论开辟了道路。
现在人们已确切知道，正电子在现今宇宙中非常罕见，因为它们只在宇宙射线和超新星这类激烈的天体现象中产生，或者在质子过剩核里的一个质子转变成中子这种稀有β衰变中产生。一个正电子和一个电子相撞多半会互相湮灭而迸发出辐射，辐射则把它们的质量以能量形式带走，所以在普通物质里永远找不到正电子。发现正电子以后，人们终于认清每一类粒子都有相应的反粒子，它们质量相同，电荷相反，并有相似的其它守恒物理量。获得这个认识的一个决定因素是论证反粒子与一般粒子相撞多半会互相湮灭而发出辐射，辐射则把它们的质量以能量形式带走，所以在普通物质里永远找不到正电子。1934年泡利和外斯科夫（V．F．Weisskopf）证明了即使不能形成稳定的负能海的粒子也可以有相应的反粒子。1955年，张伯伦（Owen Chamberlain，1920～）、塞格雷（Emilio Gino Segre，1905～1989）与威干得（Clyde Weigand）和伊西兰提斯（Tom Ypsilantis）一道成功地在伯克利的10亿电子伏级加速器上产生出反质子。如果反质子和反中子构成的反原子核被正电子云所环绕，就构成反物质。至今为止，在可见宇宙的任何地方虽还未发现数量大到可察觉的反物质，但狄拉克的真空图象对于理论物理学的进一步发展却产生了极为深远的影响。
基于模型的阻抗控制六自由度电液斯图尔平台 摘要—本文详细描述了一个以模型为基础的阻抗控制六自由度电液斯图尔平台，刚体和电液伺服阀模型，包括所用伺服阀模型和一套完整的系统方程，也包括摩擦和泄漏液压原件。所设计的控制器是采用系统动力学和液压模型产生伺服阀电流。控制规则包括反馈和前馈两个单独的部分。根据指定的特性阻抗过滤器会修改所需的轨迹，修改后的轨迹被送入系统模型，以减少非线性液压动力的影响。提出了模拟的典型期望轨迹，并得到了拥有良好性能的控制器。 1．导言 最早的6自由度（DOF）斯图尔特高夫平台是在1954年发明的。在1965年，样机的平行机构被用做一个具有六自由度运动平台的飞行模拟器。此后，许多关于这种机构以及相关研究被发表，该机构可以是电动也可以是液动。许多研究人员已经研究了斯图尔特平台的动力学和运动学。然而驱动力却没有被考虑完全。虽然电动斯图尔平台已被广泛运用，但是很少有研究是关于包括驱动和控制的完整动力学。 阻抗控制被认为是一种积极的兼容的运动控制，主要需要行业应用并于周围环境相互作用，例如数控机床，铣床等。这种控制器同时具有安全性和灵活性，相对而言是首选。 液压科学与控制相结合，得到了新的液压系统的应用。这也是为什么液压系统会被作为一些工业和移动式应用机电驱动的首选。包括它们大批量快速生产的能力，它们的耐久性和刚度，还有他们的响应速度，液压体系不同于机电体系，在液压体系中力或例句输出与执行器的电流是不成真比的，因此，液压执行器不能作为力矩的来源模仿，但是可以作为受控阻抗，所以，要设计出了控制机器人的控制器。驱动力/力矩的虚拟设置在这里始终不可行。 控制技术被用来补偿电动液压伺服系统的非线性。研究人员已经提出了关于液压伺服系统的非线性自适应控制技术的假设、反推以及方式。一个强力的控制器是在非线性定量反馈理论的基础上设计的，已被工业液力执行机构所实现，同时考虑了系统和环境的不确定性。一个电动机械手控制的统一方式适用于任何提案。运动学约束议案，以及机机械臂及其环境之间的动态交互研究已经通过审查。制定所需的机械臂阻抗技术和对一个给定应用程序选择适当的阻抗的技术的最优化理论已经被提出。这里有两种控制机电驱动高夫斯图尔特并行平台机械阻抗的空间几何方法，第一种基于球形位置函数，第二种则是利用指数映射关联有限位移与扭转位移平衡的平台。 一个基于模型的高性能的压接头液压伺服系统前馈反馈阻抗控制器已经被提出，在这里，一个阻抗根据在自由空间或空间接触的行为来调整过滤器所需的轨迹，类似已提交的工作，其中基于位置阻抗控制器工业液压机械手已开发。此外，阻抗控制器研究已在遥控轮式液压伺服系统和重型工程中实施。 在这篇论文中，提及了一种基于模型的六自由度电液伺服斯图尔特关节对称平台阻抗控制器，用于描述刚体斯图尔特平台和液压驱动系统，对比其它方法，这里有伺服模型和摩擦模型。先进的控制方案在分析方案时，应用了刚体、驱动力学和伺服阀的输入电流矢量。控制规律包括两个信号，反馈信号和前馈信号。根据指定的行为阻抗过滤器会修改所需的轨迹。修改后的轨迹被送入系统模型，以减少非线性液压动力的影响。现金控制器的性能说明使用了典型的轨迹。拟议的方法可以扩展到串行或闭链机器人和模拟器。 2系统建模 在本节中，研究了六自由度电液伺服斯图尔特平台的动态模型，这是一个由支架和六个线性驱动器组成的闭环运动体系，该体系的原理如图1所示：
由于六自由度位置姿态调整平台动力学特性和串联机器人是相通的,所以可以借鉴。增强型PD控制器,这种控制器是在一个线性PD控制的基础上加上沿期望轨迹计算的名义动力学前馈部分以及一个非线性补偿部分,它的最大优点是可以根据规划好的期望轨迹离线计算前馈补偿部分,从而降低实时计算的计算量。计算力矩控制方法,它通过计算力矩的方式控制非线性系统沿期望轨迹运动,如果机器人动力学模型是准确的,计算力矩控制器可以实现动态解耦,并得到一个指数稳定的闭环动力方程,从而实现跟踪误差的指数收敛。 在并联机器人的控制策略中,除了常用的PID控制之外,还有自适应控制，滑模变结构控制，鲁棒控制以及智能控制等控制方法。 基于滑模控制的方法 在具有不确定性的系统的研究和应用中，滑模控制一直是一个非常有效的控制方法。滑模控制也叫变结构控制，其本质是一类特殊的非线性控制，且非线性表现为控制的不连续性。这种控制策略与其他控制的不同之处在于系统的“结构”不是一成不变的，而是可根据系统当前的状态有目的地不断变化。对于具有信号传输时延的交互控制遥操作系统，也可以应用滑模控制来实现。只要知道时延大小，滑模控制就可以实现变时延情况下的遥操作系统的稳定控制。由于滑动模态与系统对象参数及扰动无关，因此滑模控制具有响应快、对应参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点。 鲁棒控制 由于遥操作系统中操作对象的不确定性，以及操作任务的实时变化，导致遥操作系统的特性和参数随工作状态和工作环境的变化而变化，这样就无法得到精确的描述遥操作系统特性的数学模型，给控制系统的设计带来困难。鲁棒控制设计的目标就是在模型不精确和存在其他变化因素的条件下，使系统仍能保持预期的性能。因此鲁棒控制在遥操作系统中发挥了巨大作用，它较大程度地消除了主观上认识的模型和真实的被控对象之间的误差和不确定性。 基于干扰观测器(DOB)的鲁棒运动控制方法由Ohnishi提出,目前广泛应用于各类电动高精度机械伺服系统"干扰观测器设计基于被控对象的开环数学模型,其基本思想是将外部力矩干扰及模型参数变化造成的实际对象与名义模型输出的差异,统统等效到控制输入端,即观测出等效干扰,在控制中引入等量的补偿,实现对各种干扰的完全抑制,同时还可以减弱非线性环节对伺服系统性能的影响,具有很强的鲁棒性。 六自由度并联平台运动控制器的设计可以分为基于铰接空间控制和基于工作空间控制两大类。 基于铰接空间的控制器设计主要依靠平台机构的运动学关系和驱动装置的动态模型,而不考虑六自由度平台的动力学模型,它假设六个液压缸是独立、无耦合的关系,对每个液压伺服系统分别设计控制器而不用考虑其它关节的影响,这就使得并联平台的控制器设计任务转化为一系列单轴伺服系统的控制器设计。 基于工作空间的控制器设计则需要进行平台动力学分析,建立整个并联平台系统的动力学模型,在给定了平台期望的运动轨迹后,求出按照期望轨迹运动所需的力或力矩,然后控制各个液压伺服系统的驱动装置输出所求出的力或力矩,从而使平台按照期望轨迹运动。 常规PID控制 常规PID目前是最常用的工业控制方法，PID控制器各校正环节的作用
基于狄拉克方程的边缘态理论与应用 在量子霍尔效应的启示下，科学家们曾预言自然界中可能存在一种新的无自发对称破缺的物质状态。近年来发现的拓扑绝缘体恰好验证 了该项理论。拓扑绝缘体是当前凝聚态物理领域的热点问题，这类材料 的典型特征是体内元激发存在能隙，但在边界上具有受能隙保护的无能 隙边缘激发。我们基于狄拉克方程的边缘态解，从理论上讨论了边缘态 形成的主要原因，即体系哈密顿量在时间反演对称下保持不变，导致体 系具有两支在禁带内交叉形成狄拉克锥的稳定结构。为了更加深刻的理 解边缘态的概念，我们还利用Bernevig-Hughes-Zhang模型，从细节上 研究了由连续模型到附加边缘效应的过程。此外，我们简单介绍了第一 个从实验上实现的拓扑绝缘材料HgTe/CdTe量子阱。 关键词拓扑绝缘体; 量子霍尔效应; 狄拉克方程 第一章绪论 在经典物理学中，人们常常根据朗道对称破缺理论对物质进行分类，大多数物质的简单相态或相变，都可以从对称性破缺的观点来了解。但近年来，凝聚态物理中发现的一种新的物理态——整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应——颠覆了这项理论。为了弄清楚它们的结构，人们把拓扑这个近代数学中的重要概念引进到了凝聚态物理中，拓扑绝缘体正是基于这项理论而发展起来的。 传统材料按照其导电特性可分为：导体，半导体，绝缘体三种。导体在费米能级附近存在一定密度的电子态，当加上足够小的电压时，电荷元就能够被激发，系统中就会出现电流（如图1a）。半导体和绝缘体的费米面存在于禁带之中，电荷激发成为自由电子需要克服一个有限大小的能隙，需要很大能量，因而一般不易导电（如图1b）。拓扑材料则是一种十分特殊的绝缘体，理论上讲，这种材料内部是典型的绝缘体结构，但在它的表面，
本科毕业论文（设计） 题目（中文）六自由度机器人运动分析及优化 （英文） Motionanalysis and optimization of 6-DOF robot 学院信息与机电工程学院院 年级专业 2013级汽车服务工程（中德）） 学生姓名吴子璇正 学号 130154494 7 指导教师安康安 完成日期 2017 年 3 月
摘要 当今世界，工业化日趋成熟，机器人被广泛的应用于各行各业，最常用到的有四自由度，六自由度机器人。其中，自动化水平较高的汽车制造业和电子装配业经常常常要使用到六自由度机器人。因此对其实施运动学分析，是进行科学设计的基础，也是降低机器人生产成本，优化机器人运动轨迹的前提。此外，运动分析过程有效的模拟了机器人运动的真实情况，有助于提供有效可行的优化方案。本文主要探讨六自由度机器人的运动分析，基于经典运动学以及动力学的研究方法概念，首先通过solidworks做出机械臂各部分零件的三维图，然后通过SolidWorks装配出六自由度机器人机械臂的三维模型。通过该模型，选取其中一个关节和底座，并用SolidWorks进行运动学分析，对六自由度机器人的运动学和动力学计算方法进行了仿真验证。最后得到六自由度机器人的其中一个自由度的运动仿真实例。通过对该运动仿真实例的分析，得出最佳优化方案，优化机器人的运动轨迹提高机器人的工作效率，降低机器人生产成本。 关键词：六自由度机器人；运动分析；运动学；动力学；
目录 摘要................................................. I Abstract ............................... 错误!未定义书签。 1 绪论 (1) 1.1 课题背景及研究的目的和意义 (1) 1.2机器人国内外发展现状及前景展望--------------------------1 2 六自由度机器人运动学分析 (4) 2.1六自由度机器人的结构-------------------------------------1 2.2运动学分析----------------------------------------------1 3 六自由度机器人动力学分析 (6) 3.1综述----------------------------------------------------3 3.2机器人动力学研究方法------------------------------------3 3.2.1几项假设-------------------------------------------3 3.2.2目标-----------------------------------------------4 3.2.3数学工具-------------------------------------------5 3.3动力学原理----------------------------------------------3
1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。利用这个方程还可以讨论高速运动电子的许多性质，这些结果都与实验符合得很好。这些成就促使人们相信狄拉克方程是一个正确地描写电子运动的相对论性量子力学方程。 既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。 针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。这个理论认为由于电子是费米子，满足泡利不相容原理，每一个状态最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。因为这时任何一个电子都不可能找到能量更低的还没有填入电子的能量状态，也就不可能跳到更低的能量状态而释放出能量，也就是说不能输出任何信号，这正是真空所具有的物理性质。按照这个理论，如果把一个电子从某一个负能状态激发到一个正能状态上去，需要从外界输入至少两倍于电子静止能量的能量。这表现为可以看到一个正能状态的电子和一个负能状态的空穴。这个正能状态的电子带电荷-e，所具有的能量相当于或大于一个电子的静止能量。按照电荷守恒定律和能量守恒定律的要求，这个负能状态的空穴应该表现为一个带电荷为+e的粒子，这个粒子所具有的能量应当相当于或大于一个电子的静止能量。这个粒子的运动行为是一个带正电荷的“电子”，即正电子。狄拉克的理论预言了正电子的存在。 1932年美国物理学家安德森（Carl David Anderson）在宇宙线实验中观察到高能光子穿过重原子核附近时，可以转化为一个电子和一个质量与电子相同但带有的是单位正电荷的粒子，从而发现了正电子，狄拉克对正电子的这个预言得到了实验的证实。正电子的发现表明对于电子来说，正负电荷还是具有对称性的。狄拉克的空穴理论给出了反粒子的概念，正电子是电子的反粒
六自由度运动平台的仿真研究 天津工程机械研究院 杨永立 摘要：本文分析了六自由度运动平台分别采用球铰链和万向节铰链进行连接时的自由度，运用欧拉角、旋转变换的方法推导出位置反解方程，介绍了数值迭代法进行位置正解的过程。 关键词：并联，局部自由度，位置反解，位置正解。 1. 简介 运动平台按结构形式可分为串联和并联两大类。与串联形式相比，并联形式具有刚度大、承载能力强、结构简单、运动负荷小、能实现包括横移、纵移、升沉等多个自由度运动等特点。同时，串联形式的优点也很明显，其具有运动空间大，测量精度高，运动、受力分析相对简单、控制、测量的实现相对容易，且每个自由度都能独立运动等特点。 六自由度运动平台（如图1所示）是由六条油缸通过万向节铰链（或球铰链）将上、下两个平台连接而成，下平台固定在基础上，借助六条油缸的伸缩运动，完成上平台在三维空间六个自由度（X， Y，Z，α，β，γ）的运动，从而可以 模拟出各种空间运动姿态。 2. 自由度的确定 若在三维空间有n个完全不受约束 的物体，任选其中一个作为固定参照物， 因每个物体相对参照物都有6个运动自 由度，则n个物体相对参照物共有6(n-1) 个运动自由度。若在所有物体之间用运 动副联接起来组成机构，设第i个运动副 的约束为u i（1到5之间的整数），如果 运动副的总数为g，则机构的自由度M为：
∑=--=g i i u n M 1)1(6 利用上述公式计算一下如图1所示运动平台(采用球铰链)的自由度数。将油缸分解为缸筒和活塞杆，则总的构件数n=14，油缸与上下平台之间的连接为12个球铰链（约束为3），缸筒和活塞杆构成6个既可以相对移动，又可以相对转动的运动副（约束为4），则平台的自由度M 为： ∑=--=g i i u n M 1)1(6=6 (14－1)－(3×12＋4×6)=18 计算结果出人意料，平台似乎无法只通过六条油缸进行驱动。但是，如果保持上平台和缸筒固定不动，由球铰链的特性可知，活塞杆仍然可以相对其轴线转动；同理，缸筒也具有同样的效应。实践证明，这种转动并不影响上平台的空间运动姿态，因此属于局部自由度。 在六自由度运动平台的实际设计中，由于球铰链 的刚度差，结构不稳定，所以一般采用万向节铰链（如 图2所示，约束为4）来代替图1中的球铰链，则自由 度M 为： ∑=--=g i i u n M 1)1(6=6 (14－1)－(4×12＋4×6)=6 3. 六自由度运动平台空间姿态的解算 要实现对平台空间姿态的控制和测量，必须掌握它两个方向上的解算方法，即位置反解和位置正解。 3.1 位置反解（逆向解）： 已知输出件的位置和姿态，求解输入件的位置称为机构的位置反解。在运动平台的实际应用当中，用户所给定的一般都是平台的六个空间姿态参数X ，Y ，Z ，α，β，γ，然而要实现对平台的控制，需要的是六条油缸的长度L 1、L 2…L 6，这正好是已知输出求输入，属于位置反解。也就是说，要实现对平台空间姿态的控制，就必需推导出平台的位置反解方程。 如图1所示，在上平台建立动坐标系o-xyz ，在下平台建立静坐标系O-XYZ ， 图2 万向节铰链
第**卷第**期20**年*月 机械工程学报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING Vo l.** No.* *** 20** DOI：10.3901/JME.20**.**.*** 六自由度机械手的坐标建立及运动学分析 摘要：从运动学分析的基础上着手研究轨迹控制的问题，利用运动学逆解的方式分析复杂轨迹运动的可行性和实用性。通过建立机械手的笛卡尔坐标系，推导出机械手的正、逆运动学矩阵方程，并研究了正、逆 运动学方程的解；在此基础上建立机械手的工作空间，并讨论其工作空间的灵活性和存在可能性。 因此本文的另一种方式对六自由度串联机械手的复杂运动控制问题进行研究，提出以机械手示教手柄引导末端执行器对复杂运动轨迹进行预设计。然后通过记录程序进行复杂轨迹的再实现，再对记录程序进行预修改，最终通过现有的程序进行设计编程完成复杂轨迹设计任务。并利用MATLAB对轨迹进行仿真，对比其实际与计算的正确性。 最后本设计通过六自由度串联机械手实现平面文字轨迹，得出其设计的方式。即首先利用示教手柄实现轨迹预设，记录预设轨迹程序，然后再对比程序初始化坐标进行手动编程。 关键词：六自由度机械手，笛卡尔坐标系，运动学方程，仿真，示教手柄 The coordinates of six degrees of freedom manipulator and kinematics analysis is established WU Yanchao JIN Yuanxun ZHAO Xin LI Daohai SONG Ping MENG Ya ABSTRACT：T his article based on the analysis of kinematics to study the trajectory control problems, use of inverse kinematics of the complex mode of tracking movement of the feasibility and practicality. Through the establishment of the manipulator Cartesian coordinates, derived manipulator is the inverse kinematics matrix equation and the study is the inverse kinematics of the equation solution on the basis of this establishment manipulator working space. And discuss their work space The flexibility and the possibility exists. So in another way to the six degrees of freedom series manipulator motion control the complex issues of research, to handle the machinery Shoushi guide for the implementation of the end of the complex pre-designed trajectory. Then track record of the complicated procedure to achieve, and then record the pre-amended procedures.The eventual adoption of the existing procedures designed trajectory design of complex programming tasks. And using MATLAB simulation of the track, compared with its actual calculation is correct. The final design through six degrees of freedom series manipulator track to achieve flat text, draw their design approach. That is, first of all use of teaching handle achieve trajectory default the track record of default procedures, and then compared to manual procedures initialized coordinate programming. key words：Six degree-of-freedom manipulators，Cartesian coordinates， Equations of motion，Simulation， Demonstration handle
石墨烯电子结构之态密度 （2019年9月28日） 北京东之星应用物理研究所 (Estarlabs, Beijing ） 伍 勇 引言 有关石墨烯电子结构的前两篇文档在百度网发表以后，电子结构没有态密度(The density of states (DOS))的内容我总感觉有些缺失，现在我已完成两篇拓扑半金属的文档，在空余间隙里，把石墨烯电子态密度的图补上。 根据文献[1], 石墨烯电子态密度原始公式如下 ))k (E E () (k d )E (N -=?δπ2222 积分位于蜂房晶格的布里渊区，因子2考虑了自旋简并。对于小能量0→E ，积分贡献仅来自K 和 'K 点附近，并且)q (E E =线性依赖于一阶近似波矢的大小。于是 dq /dE )E (q ))q (E E ()(dq q )E (N πδπ22220 =-??=?∞ 对于电子和空穴 : vq E h ,e ±=，，得到态密度随能量的线性变化关系 2v E )E (N π= (K 和 'K 点附近,0→E ) (1) 而一般自由电子能谱m q E 22 2 =的D 2固态系统能态密度是常数: dE m E dE m mE )qdq dz 22222 ππππ==??=(21 22 ， 2 πm dE dz )E (N == (2) 在写本文档前两篇内容时，见到文献[2]包含四段区间的椭圆积分态密度的完全表达式，那时，我还不知道，怎么在整个布里渊区画出这个复杂的态密度图形。感谢文献[3],帮助我完成了这个作业，文献[3]给出一种更紧凑的石墨烯DOS 形式。
))()((K Re )()() t /()(D εεε εεπεε-+-+=3116314332 30<<ε 函数)x (K 是第一类椭圆积分。下面是在软件Mathematica 我输入的指令。 Plot[(4Abs[x]/(3.88*\[Pi]))/Sqrt[(Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x])]*Re[EllipticK[Sqrt[(16Abs[x])/((Abs[x]+1)^3*(3-Abs[x]))]]],{x,-3.1,3.1},PlotStyle->{Blue,Thickness[0.005]},PlotRange->{{2.7,-2.7},{0,1.25}},Frame->True,FrameTicks->{{{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2},None},{{-3,-2,-1,0,1,2,3},None}},FrameStyle->{{Directive[Thick,12],Directive[Thick,12]},Directive[Thick,12]}] 可以对照文献[1]提供的DOS 图： 在石墨烯电子能带M 处存在鞍点，也是态密度的范霍夫奇点：M E E ln )E (N --∝δ 对应图中在1±=ε点对数发散是态密度的范霍夫奇异性。 参考文献： [1] M. Katsnelson, GRAPHENE Carbon in Two Dimensions,2012 0.40.2 ε ) (D ε
石墨烯电子能带之数理演绎 （2015年2月20日） （为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考） 作者： 北京东之星应用物理研究所 伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师） 1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢 晶格原胞与基矢图?1 布里渊区与倒格子基图?2 图1中 )0,3,3(2)0,3,3(221a a a a -===这里a =1.42 A 是。 由正格子基矢（12 2(30,3,1(32)0,3,1(3221a a b a b -==ππ 由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点K ，' K 的坐标是：
下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac 点或K (' K )点 2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量 ∑∑> <+ +++-+=j i j i i i i i i pz c h b a t b b a a H ,2).()(ε 上式还可表为矩阵形式： ??? ? ?????? ??--=??? ? ?????? ??--+??? ? ??∑∑∑> <+ +><++++ j j j i ij pz ij pz i i j j j i i i i i i i i pz b a t t b a b a t t b a b a b a ,22,2)(00)()(δεδεε 模型不考虑电子自旋，
六自由度机器人结构设计、 运动学分析及仿真 学科：机电一体化 姓名：袁杰 指导老师：鹿毅 答辩日期： 2012.6 摘要 近二十年来，机器人技术发展非常迅速，各种用途的机器人在各个领域广泛获 得应用。我国在机器人的研究和应用方面与工业化国家相比还有一定的差距，因此 研究和设计各种用途的机器人特别是工业机器人、推广机器人的应用是有现实意义 的。 典型的工业机器人例如焊接机器人、喷漆机器人、装配机器人等大多是固定在 生产线或加工设备旁边作业的，本论文作者在参考大量文献资料的基础上，结合项 目的要求，设计了一种小型的、固定在AGV 上以实现移动的六自由度串联机器人。 首先，作者针对机器人的设计要求提出了多个方案，对其进行分析比较，选择
其中最优的方案进行了结构设计；同时进行了运动学分析，用D-H 方法建立了坐标变换矩阵，推算了运动方程的正、逆解；用矢量积法推导了速度雅可比矩阵，并计算了包括腕点在内的一些点的位移和速度；然后借助坐标变换矩阵进行工作空间分析，作出了实际工作空间的轴剖面。这些工作为移动式机器人的结构设计、动力学分析和运动控制提供了依据。最后用ADAMS 软件进行了机器人手臂的运动学仿真，并对其结果进行了分析，对在机械设计中使用虚拟样机技术做了尝试，积累了 经验。 第1 章绪论 1.1 我国机器人研究现状 机器人是一种能够进行编程，并在自动控制下执行某种操作或移动 作业任务的机械装置。 机器人技术综合了机械工程、电子工程、计算机技术、自动控制及 人工智能等多种科学的最新研究成果，是机电一体化技术的典型代表，是当代科技发展最活跃的领域。机器人的研究、制造和应用正受到越来越多的国家的重视。近十几年来，机器人技术发展非常迅速，各种用途的机器人在各个领域广泛获得应用。 我国是从 20 世纪80 年代开始涉足机器人领域的研究和应用的。1986年，我国开展了“七五”机器人攻关计划。1987 年，我国的“863”计划将机器人方面的研究列入其中。目前，我国从事机器人的应用开发的主要是高校和有关科研院所。最初我国在机器人技术方面的主要
狄拉克与相对论量子力学 物理与工程V o1.17No.62007 狄拉克与相对论量子力学 王长荣桂金莲 (浙江科技学院理学院,浙江杭州31OO23) (广东技术师范学院基础部,广东广州510075) (收稿日期:2007—03—19) 摘要以2O世纪2O年代物理学发展所遇到的困难为科学背景,从3个方面阐述了狄拉克相 对论量子力学形成的过程及其深刻的物理内涵;作为完全相对论量子理论中的一种单 粒子理论,狄拉克方程的建立又进一步推动了量子电动力学和量子场论等新理论的建 立与发展. 关键词狄拉克;相对论量子力学;科学含义DIRACANDRELATIVEQUANTUMMECHANICS WangChangrongGuiJinlian (ZheiiangUniversityofScienceandTechnology.Hangzhou,Zheiiang,310023) (GuangdongPolytechnicNormalUniversity.Guangzhou,Guangdong,510075) AbstractThepaperexpatiatedonthebirthprocessofDirac'Srelativequantummechanics andrevealedtheinherentphysicalmeaningfromthreeaspects,basingonthedifficultiesofthe developmentofphysicsin1920s.Asamonparticletheoryofthecompleterelativequantum mechanics,Dirac'Sequationboostedtheestablishmentanddevelopmentofquantumelectro — dynamicsandquantumfieldtheory. KeyWordsDirac;relativequantummechanics;scientificmeaning 1科学背景
本 科 毕 业 论 文（设 计） 题目（中文 学学 完 成 日 期 2017 年 3 月
摘要 当今世界，工业化日趋成熟，机器人被广泛的应用于各行各业，最常用到的有四自由度，六自由度机器人。其中，自动化水平较高的汽车制造业和电子装配业经常常常要使用到六自由度机器人。因此对其实施运动学分析，是进行科学设计的基础，也是降低机器人生产成本，优化机器人运动轨迹的前提。此外，运动分析过程有效的模拟了机器人运动的真实情况，有助于提供有效可行的优化方案。本文主要探讨六自由度机器人的运动分析，基于经典运动学以及动力学的研究方法概念，首先通过solidworks做出机械臂各部分零件的三维图，然后通过SolidWorks装配出六自由度机器人机械臂的三维模型。通过该模型，选取其中一个关节和底座，并用SolidWorks进行运动学分析，对六自由度机器人的运动学和动力学计算方法进行了仿真验证。最后得到六自由度机器人的其中一个自由度的运动仿真实例。通过对该运动仿真实例的分析，得出最佳优化方案，优化机器人的运动轨迹提高机器人的工作效率，降低机器人生产成本。 关键词：六自由度机器人；运动分析；运动学；动力学；
目录 摘要 ...................................................................................................................... I Abstract ............................................................................... 错误！未定义书签。 1 绪论 (1) 1.1课题背景及研究的目的和意义 (1) 1.2机器人国内外发展现状及前景展望--------------------------1 2 六自由度机器人运动学分析 (3) 2.1六自由度机器人的结构-------------------------------------1 2.2运动学分析----------------------------------------------1 3 六自由度机器人动力学分析 (5) 3.1综述----------------------------------------------------3 3.2机器人动力学研究方法------------------------------------3 3.2.1几项假设-------------------------------------------3 3.2.2目标-----------------------------------------------4 3.2.3数学工具-------------------------------------------5 3.3动力学原理----------------------------------------------3 3.3.1动量矩定理---------------------------------------------------------------6 3.3.2能量守恒定理--------------------------------------6 3.3.3牛顿—欧拉方程------------------------------------7 3.3.4达朗贝尔原理--------------------------------------8 3.3.5拉格朗日方程--------------------------------------9 4 六自由度机器人运动分析 (8) 4.1运动分析的软件背景---------------------------------------3 4.2运用solidworks建立六度机器人机械臂三维模型--------------9 4.3运用Solidworks对进行运动学分析-------------------------4 5 结论 (14)
低维带参非线性狄拉克方程 本文介绍了如何用由雅可比椭圆函数法演变而来的F展开法处理非线性狄拉克方程。量子场论如今作为描述微观现象的基本物理学理论已经广泛地应用于近代物理的各个分支，并且粒子物理学的发展不断为场论的研究引进新的问题，诸如对称自发破缺场论、复合粒子场论、真空理论和非阿贝尔规范场论等相互联系着的新发展理论。其中通过对Thirring模型的参数化非线性的研究中得到了一维非线性狄拉克方程。利用F-展开法的一般思想，来处理非线性狄拉克方程，然后查询所得到的F函数与雅可比椭圆方程系数之间的关系表，最终解出方程的精确解。通过分析得到的结果，发现Thirring模型下的带参低维非线性狄拉克方程的解具有亮孤子的特点。同时研究表明F-展开法在处理广义非线性狄拉克方程时依旧具有着突出的简洁性和实用性。 关键词：非线性；狄拉克；F-展开法
Abstract In this paper, we will introduce how to use F-expansion which derives from Jacobi elliptic function to deal with low-dimensional nonlinear Dirac equation with parameters. The quantum field theory as a basic physics theory describes the microscopic phenomena has been widely applied in various branches of modern physics and the development of particle physics has been introducing many new subjects. Through the research of parametric nonlinear Thirring model, we can get the one–dimensional nonlinear Dirac equation.by using the F-expansion method, to deal with the nonlinear Dirac equation, and by querying the relationship between the F-function and Jacobi elliptic equation coefficient, we will finally get the exact solution of the equation. Through the analysis of the result obtained, we found the solution with parameter of low dimensional nonlinear Dirac equation under the Thirring model has the characteristics of bright solation. At the same time, studies show that the F- method in the treatment of generalized nonlinear Dirac equation still has outstanding simplicity and practicality. Key word:Nonlinear; Dirac; F-expansion;
R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv} 其中G 为牛顿万有引力常数 这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。 该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。 加入宇宙学常数后的场方程为： 式右边应该是光速的4次方，即：c^4 狄拉克方程式 理论物理中，相对于薛定谔方程式之于非相对论量子力学，狄拉克方程式是相对论量子力学的一项描述自旋-?粒子的波函数方程式，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建立，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛仑兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正子(positron)而证实。 狄拉克方程式的形式如下： ， 其中是自旋-?粒子的质量，与t分别是空间和时间的座标。 狄拉克的最初推导 狄拉克所希望建立的是一个同时具有洛仑兹协变性和薛定谔方程形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的概率密度为正值，而不是像克莱因-高登方程那样存在缺乏物理意义的负值。考虑薛定谔方程 薛定谔方程只包含线性的时间一阶导数从而不具有洛仑兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的哈密顿量。这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是动量。 其中的系数αi和β不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛仑兹协变的。因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满 足洛仑兹协变性。如果系数αi是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量
狄拉克方程 1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。 从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。 1概念 自然单位制下的狄拉克方程 为了避免克莱因－高顿方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。 但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。 2应用
既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。 同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。 3空穴理论 针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。 这个理论认为由于电子是费米子，满足泡利不相容原理，每一个状态最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。因为这时任何一个电子都不可能找到能量更低的还没有填入电子的能量状态，也就不可能跳到更低的能量状态而释放出能量，也就是说不能输出任何信号，这正是真空所具有的物理性质。按照这个理论，如果把一个电子从某一个负