试卷代号:7032
上海开放大学2017至2018学年第一学期
《高等数学基础》期末复习题
一.选择题
1.函数2sin(4)2()2
2
x x f x x k x ?-
=-??≥?
在2x =连续,则常数k 的值为()。
A .1;
B .2;
C .4-;
D .4
2.下列函数中()的图像关于y 轴对称。
A .cos x e x
B .cos(1)x +
C .3sin x x
D .x
x
+-11ln
3.下列函数中()不是奇函数。
A .sin(1)x -;
B .x x e e --;
C .x x cos 2sin ;D
.(ln x + 4.当0x →时,()是无穷小量。
A .sin 2x x
B .1(1)x x +1cos x .1sin x x
5.函数()sin 4f x x =,则0()
lim x f x x →=()。
A .0;
B .4;
C .1
4
;D .不存在
6.函数()ln f x x =,则2()(2)
lim 2
x f x f x →-=-()。
A .ln 2;
B .1x ;
C .1
2
;D .2
7.设)(x f 在点0x x =可微,且0()0f x '=,则下列结论成立的是()。
A .0x x =是)(x f 的极小值点
B .0x x =是)(x f 的极大值点;
C .0x x =是)(x f 的驻点;
D .0x x =是)(x f 的最大值点; 8.下列等式中,成立的是()。 A
=.222x x e dx de --=- C .3313x x e dx de --=-D .1
ln 33dx d x x
=
9.当函数()f x 不恒为0,,a b 为常数时,下列等式不成立的是()
)())((x f dx x f ='?.
)()(x f dx x f dx d b
a
=? c x f dx x f +='?)()(.)()()(a f b f x f d b
a -=?
10.曲线x y e x =-在(0,)+∞内是()。
A .下降且凹;
B .上升且凹;
C .下降且凸;
D .上升且凸
11.曲线321
233
y x x x =-+在区间()2,3内是()。
A .下降且凹
B .上升且凹
C .下降且凸
D .上升且凸 12.下列无穷积分为收敛的是( )。
A.
sin xdx +∞?
B.0
2x e dx -∞
? C.0
12x e dx --∞?
D.1
+∞? 13.下列无穷积分为收敛的是( )。
A.2
1
x dx +∞?
B.1
+∞?
C.21x dx +∞-?
D.2
1x e dx +∞?
14.下列广义积分中()发散。 A .1
2
1
x dx +∞-
?
;B .31
1
dx x
+∞
?
;C .211dx x +∞?;D .3
21x dx +∞-? 15.设函数)(x f 的原函数为()F x ,则211
()f dx x x
=?
()。 A .()F x C +;B .1()F C x -+;C .1()F C x +;D .1
()f C x
+
16.下列广义积分中收敛的是()
1.函数()
f x =
的定义域是。
2.函数y =
3.函数y =
的定义域是。
4.曲线2x y e -=在点M 处的切线斜率为22e --,则点M 处的坐标为。 5.曲线ln y x =在2x =处的切线方程为。 6.设函数(cos 2)y f x =可导,则=dy 。
7.设2()1f x x =-,则='))((x f f 。
8.设()f x 的一个原函数是sin 2x ,则=')(x f 。 9.已知()()F x f x '=,则2(1)xf x dx -=?。
10.1
1(x x dx -=?。
11.131
(cos 1)x x dx -+=?。
12.0
2cos x
d t t dt dx ?=。
13.设sin 0()x
t F x e dt -=?,则()2
F π
'=。
14.设()F x 为()f x 的原函数,那么(cos )sin f x xdx =?。 15.设2
(1)0()x
t F x e dt --=?,那么(1)F '=。
三.计算题
1、求极限1241lim 41x
x x x -→∞-??
?+??
2、求极限41
21lim 23x x x x -+→∞-??
?+??
3、求极限43lim
32x
x x x →∞??
?+??
4、求极限0x →
5、求极限2
x →6、求极限0
x →
7、设函数(
cos x y x e =-,求dy 。8、设函数1)y x =+,求dy
9、设函数(
2ln 2y x x =,求dy 。10、设函数31
cos 2x y x
+=,求dy 。
11、设函数321x
x
y e
=+,求dy 。12、设函数221x e y x -=+,求dy 。 13、设函数sin 21cos x y x =
+,求dy 。14、计算不定积分2sin 2
x
x dx ?
15、计算不定积分2cos 3x
x dx ?16、计算不定积分23x x e dx -?
四、应用题
1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。
2、求由抛物线2
y x =与直线2y x =-所围的面积。
-
24立方米,试问如何选取底半径和高7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米,侧面单位面积的造价为20元/平方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形(如图),为使长方形的面积最大,该长方形的底长和高各为多少。
9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 试卷代号:7032
上海开放大学2017至2018学年第一学期 《高等数学基础》期末复习题答案
一.选择题
1.D2.C3.A4.D5.
.C9.B10.B11.A12.B 13.C14.A15.B16.A
二.填空题
1.34x <<2.13x x ≥-≠且3.150x x -<≤≠且
4.()21,e -5.()1
ln 222
y x -=-6.2sin 2(cos 2)xf x dx '-
241x -4sin 2x -21(1)2F x C -+2
3
02cos x x -1e -(cos )F x C -+三.计算题
1、求极限1241lim 41x
x x x -→∞-??
?+??
解:121212414122lim lim lim 1414141x
x
x
x x x x x x x x ---→∞→∞
→∞
-+-????
?
?==- ? ? ?+++??
??
??
=e
1
2 -1 234
2、求极限41
21lim 23x x x x -+→∞-??
?+??
解:41
41
41
212344lim lim lim 1232323x x x x x x x x x x x -+-+-+→∞→∞
→∞
-+-????
?
?==- ? ? ?+++??
??
??
=8e
3、求极限43lim 32x
x x x →∞??
?+??
解:4432lim lim 13232x x
x x x x x →∞→∞
????=- ? ?++????
8
3
e -= 4
、求极限0
x →
解:0
033
lim 22x x x x
→→==--
5
、求极限2x →
解:22
3003lim 232
x x x x x →→?-==- 6
、求极限0
x →
解:02lim 12x x x
x →→-==- 7
、设函数(cos x y x e =-,求dy 。 解:3cos 2
2x
y xe
x =-
8
、设函数1)y x =+,求dy 。 9
、设函数(2ln 2y x x =,求dy 。 解:52
2
ln 2y x x x =- 10、设函数31
cos 2x y x
+=
,求dy 。
解:()()()()2
31cos 231cos 2cos 2x x x x y x ''+-+'=()()
2
3cos 2231sin 2cos 2x x x
x ++=
11、设函数321x
x
y e =
+,求dy 。 12、设函数22
1x
e y x -=+,求dy 。
13、设函数sin 21cos x
y x
=+,求dy 。
解:()()()()
2
sin 21cos sin 21cos 1cos x x x x y x ''
+-?+'=
+
14、计算不定积分2sin 2
x
x dx ?
2:x 解2x 20
+—+
2sin 2x x dx ?=-+++2
2cos 8sin 16cos 222
x x x x x C 15、计算不定积分2cos 3
x x dx ?
2:x 解2x 20
+—+
16、计算不定积分23x x e dx -?
解:2x 2x 20
+—+
四、 应用题
1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。
解:2
1221,2y x x x y x ?=-?=-=?
=-?
由 2、解:抛物线2y x =与直线2y x =-的交点为(2,4),(1,1)-
面积()12
2
2A x x dx -=--?
3、求由抛物线2y x x =-与直线y x =所围的面积。
y x
=-2
2y x =-y
x
解:2120,2y x x
x x y x
?=-?==?
=?由 所围的面积2
2
2
20
(())(2)S x x x dx x x dx
=--=-??
4、解:抛物线2
2y x =-与直线y x =的交点为(1,1),(2,2)--
面积()22
1
(2)A x x
dx -=--?
5、解:解:抛物线2y x =与直线6y x =-的交点为(3,9),(2,4)-
面积()22
3
6A x x dx -=--?
1256
= 6、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。
解:设圆柱体底半径为r ,高为h , 则体积24V r h π==2
4
h r
π?=
材料最省即表面积最小
表面积S =22r rh ππ+=22
42r r r πππ+?
=2
8r r
π+
'S =2
82r r
π-
,令'S =0,得唯一驻点r =
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为
10元/平方米,侧面单位面积的造价为20元/平方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
解:设圆柱体底半径为r ,高为h ,
则体积216V r h π==2
16
h r
π?=
且造价函数22640
1020210f r rh r r
πππ=+?=+
令2640200
f r r π'=-
=,得唯一驻点r =
所以当底半径为 8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形(如图),为使长方形的面积最大,该长方形的底长和高各为多少。
解:设长方形的底边长为2x ,高为y ,
则2228x y =
+y ?=
面积22S xy ==
令220S ?
'==
,得唯一驻点x =
所以当底边长为
9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
解:设底半径为r ,高为h ,则体积2108V r h π==2
108
h r
π?=
造价函数22216
2f r rh r r
πππ=+=+
令221620
f r r π'=-
=
,得唯一驻点r ==
所以当底半径为
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
高一数学单元测试题 一、选择题 1.已知{}2),(=+=y x y x M ,{} 4),(=-=y x y x N ,则N M ?=( ) A .1,3-==y x B .)1,3(- C .{}1,3- D .{})1,3(- 2.已知全集U =N ,集合P ={ },6,4,3,2,1Q={}1,2,3,5,9则() P C Q =U I ( ) A .{ }3,2,1 B .{}9,5 C .{}6,4 D {}6,4,3,2,1 3.若集合{} 21|21|3,0,3x A x x B x x ?+? =-<=?-?? 则A ∩B 是 ( ) (A ) 11232x x x ??-<<-<??? 或 (B) {} 23x x << (C ) 122x x ??-<??? (D) 112x x ??-<<-??? ? 4.已知集合A ={0,1,2},则集合B {x y |x A y A}=∈∈﹣,中元素的个数是( ) (A ) 1 (B ) 3 (C ) 5 (D ) 9 5.下列图象中不能作为函数图象的是( ) A B C D 6.下列选项中的两个函数具有相同值域的有( )个 ①()1f x x =+,()2g x x =+;②()1f x x = +,()2g x x =+; ③2 ()1f x x =+,2 ()2g x x =+;④22()1x f x x =+,2 2()2 x g x x =+ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 化简:22221 (log 5)4log 54log 5 -++= ( ) A .2 B .22log 5 C .2- D .22log 5-
【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案: 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A. 2 )()(x x f =,x x g =)( B. 2)(x x f = ,x x g =)( C. 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g 分析:判断函数相等的两个条件(1)对应法则相同(2)定义域相同 A 、2 ()f x x ==,定义域{}|0x x ≥;x x g =)(,定义域为R 定义域不同,所以函数不相等; B 、()f x x = =,x x g =)(对应法则不同,所以函数不相等; C 、3 ()ln 3ln f x x x ==,定义域为{}|0x x >,x x g ln 3)(=,定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ,定义域为R ;21 ()11 x g x x x -= =+-,定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同,所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于(C )对称. A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析:奇函数,()()f x f x -=-,关于原点对称 偶函数,()()f x f x -=,关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称, 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-,则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数,即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是(B ). A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析:A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=,为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-,为奇函数 或者x 为奇函数,cosx 为偶函数,奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =,所以为偶函数