1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM 为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C
（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标
（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．
5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．
（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．
7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对
称．
（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；
（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；
（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点
C（0，），连接AC．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P 的坐标；
（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．
（1）求直线AC与直线BC的解析式；
（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；
①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；
②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T 为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；
（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．
参考答案与试题解析
1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB=OC，
∴∠OBC=45°，
∵PF∥OB，
∴∠PFE=∠OBC=45°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，
则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=?3?（﹣m2+2m+3）+?3?m﹣=﹣（m﹣）2+，
∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，
此时P（，﹣），
∵直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴F（﹣，﹣），
∴PF=，
∵△PEF是等腰直角三角形，
∴EF=EP=，
∴C△PEF最大值=+．
（3）①如图2中，
当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，
②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．
易知△PFN≌△PEM，
∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵M（1，﹣4），
∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），
∴m=或（舍弃），
∴P点横坐标为
所以满足条件的点P的横坐标为2或．
2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM 为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．
【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），C（0，3），
∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），
∵FH∥x轴，
∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），
∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，
∴FH的最大值为，
由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，
∵FH∥AB，
∴∠FHG=∠DAB=45°，
∴FG=GH=×=
故△FGH周长的最大值为×2+=；
（3）①当P点在AM下方时，如图1，
设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与?APQM重合部分的面积是?APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），
∴可知Q′在y轴上，
易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，
∴?APQM是矩形，
∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，
∵MQ⊥AM，
∴直线QQ′：y=﹣x+，
∴4+p=﹣×2+，
解得：p=﹣，
∴PN=，
∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；
②当P点在AM上方时，如图2，
设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
∵△PM Q′与?APQM重合部分的面积是?APQM面积的，
∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，
联立，解得：x=，y=，
∴H（，），∵H为QQ′中点，
故易得Q′（，），
由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，
将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，
解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），
∴P（0，7），
∴PN=5，
∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．
综上所述，?APQM面积为5或10．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1．
又∵tan∠ACO=，
∴OC=4．
∴C（0，﹣4）．
∵OC=OB，
∴OB=4
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．
∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．
（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，
∴D（3，﹣4）．
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．
∵直线AD的一次项系数k=﹣1，
∴∠BAD=45°．
∵PM平行于y轴，
∴∠AEP=90°．
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．
设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，
∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．
∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．
（3）如图1所示；当∠EGN=90°．
设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴时，△AOC∽△EGN．
∴=，整理得：a2+a﹣8=0．
解得：a=（负值已舍去）．
∴点G的坐标为（，0）．
如图2所示：当∠EGN=90°．
设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴时，△AOC∽△NGE．
∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．
解得：a=（负值已舍去）．
∴点G的坐标为（，0）．
∵EN在EP的右面，
∴∠NEG＜90°．
如图3所示：当∠ENG′=90°时，
EG′=EG××=（﹣1）×=．
∴点G′的横坐标=．
∵≈4.03＞4，
∴点G′不在EG上．
故此种情况不成立．
综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．
4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C
（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标
（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，
∴OA=1，则A（﹣1，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），
设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），
将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；
（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），
则BC=3，
∴S△BCD=×3×=3，
设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，
∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC
=?3?x+?3?（﹣x2+2x+3）﹣×3×3
==3，
解得x=1或x=2，
则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；
（3）设直线AE解析式为y=kx+b，
将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：，解得：，
则直线AE 解析式为y=﹣x﹣，
AE==，
设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），
∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，
作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，
由△PMG∽△AEO得=，即=，
∴MG=PM=NG，
∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．
5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．
（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），
设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，
∴a=﹣1，b=1，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，
（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），
二次函数中周长最小问题 专题训练 1.如图，已知抛物线y ＝ax 2 －4x ＋c 经过点A （0，－6）和B （3，－9）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在抛物线上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标； （4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ，使得△QMA 的周长最小．
解：（1）依题意有???a ×0 2 －4×0＋c ＝－6 a ×3 2 －4×3＋c ＝－9 即?????c ＝－69a －12＋c ＝－9 ····································································· 2分 ∴? ????a ＝1c ＝－6 ················································································· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2 －4x －6 ··············································· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2 －10 ∴对称轴方程为x ＝2 ·································································· 7分 顶点坐标（2，－10）·································································· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上 得m ＝m 2 －4m －6 ······································································ 12分 即m 2 －5m －6＝0 ∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ························································ 13分 ∴P （6，6） ∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称 ∴Q （－2，6） ··················································································· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M 由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b 则?????b ＝－66k ＋b ＝6 ∴?????k ＝2b ＝－6 ∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ） 则有n ＝2×2－6＝－2 19分 此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分
二次函数与三角形面积的综合 寻找类 1、重点：中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。能应对这部分题 的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用 2、难点：寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。尤其是遇到二次函数与 三角形面积的综合题的解题思路。运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？ 3、易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐 标在不在二次函数的图像上。这些都是在考试中容易失分的地方。 4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联 系，尤其是正切的运用。这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。 5.求面积常用的方法 a.直接法b。简单的组合c。面积不变同底等高或等底等高的转换 d.相似 e.三角函数f。找面积的最大最小值利用二次函数的性质 （1）直接法若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的
的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。 此题中的三角形的面积就能直接求出。 （2）通过简单的重新组合就能求出面积。 第6题 （2009年贵州安顺市）27、（本题满分12分） 如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
二次函数与三角形最大面积的3种求法 一．解答题（共7小题） 1．（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2013?茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标 为（3，0）． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等； （3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 4．（2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．6．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标． 二次函数与三角形最大面积的3种求法
1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值； （3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式； （2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是?APQM面积的时，求?APQM面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
二次函数中周长最小问题 专题训练 1.如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A（0，－6）和B（3，－9）． （1）求抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小． O A B x y -6 -9 3
解：（1）依题意有???a ×0 2－4×0＋c ＝－6 a ×3 2－4×3＋c ＝－9 即?????c ＝－6 9a －12＋c ＝－9 ····································································· 2分 ∴?????a ＝1c ＝－6 ················································································· 4分 ∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x －6 ··············································· 5分 （2）把y ＝x 2－4x －6配方，得y ＝(x －2)2－10 ∴对称轴方程为x ＝2 ·································································· 7分 顶点坐标（2，－10）·································································· 10分 （3）由点P （m ，m ）在抛物线上 得m ＝m 2－4m －6 ······································································ 12分 即m 2－5m －6＝0 ∴m 1＝6或m 2＝－1（舍去） ························································ 13分 ∴P （6，6） ∵点P 、Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称 ∴Q （－2，6） ··················································································· 15分 （4）连接AP 、AQ ，直线AP 与对称轴x ＝2相交于点M 由于P 、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M 能够使得△QMA 的周长最小 17分 设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b 则?????b ＝－6 6k ＋b ＝6 ∴?????k ＝2b ＝－6 ∴直线AP 的解析式为：y ＝2x －6 18分 设点M （2，n ） 则有n ＝2×2－6＝－2 19分 此时点M （2，－2）能够使得△QMA 的周长最小 20分
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
利“刃”在手亿“折”成“直” —例析坐标系中三角形周长最小值问题 在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考. 1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点 例1 (2019年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A 、C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF BC ⊥于点F .点D 、E 的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接,,PD PE DE .是否存在点P ，使PDE ?的周长最小?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由. 分析 存在.理由:易求抛物线的解析式为2188y x =- +.设21 (,8)8 P m m -+(80)m -≤≤， 则2221118(8),2888PF m m PD m =--+===+，故2PD PF =+, PDE ?的周长=2DE EP PD DE EP PF ++=+++. 如图2，过E 点作EG BC ⊥于点G .当,,E P F 三点共线，即点P 为EG 与抛物线的交点时， EP PF +的值最小，此时21 4,(4)868 P E P x x y ==-=-?-+=，所以PDE ?周长最小时点P 的坐标为 (-4,6). 点评 本例三角形的三个顶点中，点P 为动点，点,D E 均为定点.由于DE 的长为定值，欲使PDE ?的周长最小，只需满足PD PE +的值最小即可.进而利用“点P 运动的过程中，PD 与PF 的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线BC 上一动点F 与直线外一定点E 的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点P 的位置. 例2 (2019年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点 C ，点 D 是该抛物线的顶点.请在直线AC 上找一点M ，使BDM ?的周长最小， 求出M 点的坐标. 分析 易知(1,0),(3,0),(0,3),(1,4)A B C D -，故4,10AB AC ===，直线AC 的解析式为33y x =+.
二次函数线段、周长、面积最值问题 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． （变式）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x 轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知：抛物线l1：y=-x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，- 5/2）． （1）求抛物线l2的函数表达式； （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
二次函数与三角形 抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段； （2）抛物线上的点能否构成特殊的角； （3）抛物线上的点能否构成特殊三角形； （4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形； 这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。 1、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t 为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
2、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接 BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标； （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值． 3、已知函数2 3 2 2 y kx x =-+（k是常数）
二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。
练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出y x O A B
2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值；
练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2 0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． （4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于 x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长 最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值 3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的 面积来得到
周长最小值专题（完整版师用） A.线段和最小值 两种基本模型 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 求线段和最小值的一般步骤： ①选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A’ ②连结对称点A’与B之间的线段，交直线l于点P， 点P即为所求的点，线段A’B的长就是AP+BP的最小值。 基本解法::利用对称性,将“折”转“直”
基础训练 1.如图11，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 A.1 B. C. D.2 试题分析：连接AC，与MN所得交点即为所求P点，因为D与A关于MN对称，的最小值即符合两点之间线段最短，所以AC与MN交点即为所求P点。因为，，所以，所以，所以，此时，所以，即 2. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。 图4 分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC 的同侧，要在AC上找一点P，使PE+PB最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称，连结DE，此时DE即为PE+PB的最小值， 图5 图6
由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知， 322 3DE =?= 故PE+PB 的最小值为 3。 2.如图，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，则AP+BP 的最小值为___。 P 位于A ′B 与MN 的交点处，AP+BP 的值最小； 作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上， 连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA+PB 最小，此时PA+PB=PA ′+PB=A ′B ，连接OA 、OA ′、OB ， B.三角形周长最小值 1.彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10， （彰州）如图4，∠AOB=45°，P 是∠AOB 一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值． 分析：点P 是角部的一个定点，要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线． 解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2， 根据轴对称性易知：OP 1=OP 2=OP=10，∠P 1OP 2=2∠AOB=90°，因而P 1P 2=102， 故△PQR 周长的最小值为102． 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点， P 2 P 1 O A B P R Q O 图4
1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点A （1，0），C （0，3），且对称轴为直线x=﹣1． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 得面积为10，请写出所有点P 的坐标． 2、（2016秋·新泰市月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y= 212 x +bx+c 经过点A （-2,0），C （4,0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB ，BC. （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △B CD ：S △ABC =1:4，并求出此时点D 的坐标. 3、（永州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（03），点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长； （3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标． 4．（2012?）已知抛物线y=ax 2 +2x+c 的图象与x 轴交于点A （3，0）和点C ，与y 轴交于点B （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2011?）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 6．（2013?）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物 线交于点A、C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 7．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 8、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0,4），B（1,0），C（5,0）,对称轴与x轴相交于点M. （1）求抛物线的解析式和对称轴.
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用：
知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐
标． 2、如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使|MA -MB |最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0， 3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE 长度的最大值；
练习 1、如图，抛物线y =2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． （4）过点F 作FG 垂直X 轴，并与直线BC 交于点H ，求FH 的最大值。 2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x = -与抛物线214 y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．
））））））））） 二次函数与三角形最大面积的3种求法 一．解答题（共7小题） 21．（2012?广西）已知抛物线y=ax+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由． 茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y2．（2013?轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理
由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C （5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．）． ））））））））） ，）5，0，0），C（（黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A0，4），B （1．4（2012?．x轴相交于点M抛物线的对称轴l与）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（1为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的PM、）上的一点，若以A、O、（2）设点P为抛物线（x＞5 的坐标；正整数，请你直接写出点P的面积最大？若存在，请你求NAC，使△，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N（3）连接AC N的坐标；若不存在，请说明
WORD格式整理版 二次函数与三角形最大面积的3种求法 一．解答题（共7小题） 1．（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2013?茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标 为（3，0）． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等； （3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．
4．（2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴； （2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 6．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．