C
E
A
B O
P
圆的切线证明（学生版）
1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.
求证：EF 与⊙O 相切.
（中考）2.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E, (1)求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若tan ∠ABE=2
1
,求sin ∠E.
3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA 与⊙O 相切.
4 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M
求证：DM 与⊙O 相切.
D
5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线
6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线.
9.（
11.（北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90?。
(1) 求证：直线AC是圆O的切线；
(2) 如果∠ACB=75?，圆O的半径为2，求BD的长。
12 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切.
13 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.
求证：CD是⊙O的切线.
14、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
（2009中考）17．（本题满分8分）
如图，Rt ABC
△中，90
ABC
∠=°，以AB为直径作O
⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是O
⊙的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF CF
=，求tan ACO
∠的值．
（2010中考）18．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
(1) 求证：直线PB与⊙O相切；
(2) PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
19.（2009桂林百色）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
求证：FD＝FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
20.(2009年本溪)22．如图所示，AB是O
⊙直径，OD⊥弦BC于点F，且交O
⊙于点E，若AEC ODB
∠=∠．
（1）判断直线BD和O
⊙的位置关系，并给出证明；
（2）当108
AB BC
==
，时，求BD的长．
C
E
B
A
O
F
D
21.（2009年包头）如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，2COB PCB ∠=∠． （1）求证：PC 是O ⊙的切线； （2）求证：1
2
BC AB =
； （3）点M 是?
AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若4AB =，求MN MC g 的值．
22.如图， AB 是⊙O 的直径，∠BAC =30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交
BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ． （1）证明CF 是⊙O 的切线；
（2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE ，求MO 的长．
.
23.(2008年南充市) 如图，已知的直径
垂直于弦
于点，
过点作
交的延长线于点
，连接
并延长交于点
，且．（1）试问：是
的切线吗？说明理由；
（2）请证明：是
的中点；
（3）若，求
的长．
24.（本题8分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
25.（2008年龙岩市）（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线F A⊥x轴于点A，点D在F A上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C.
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式.
26.（13分）如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交
⊙O于点D，∠BAD=∠B=30°
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理由。
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质
知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.
例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.
1、.已知：如图，CB 是⊙O 的直径，BP 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AC 平行于OP ． (1)求证：AP 是⊙O 的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm ，求AC ． 2、⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线 3、、如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，作D E ⊥BC 于E 。（1）求证：DE 为⊙O 的切线（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG 的长 4、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线． 5、如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．求证：BD 是⊙O 的切线； 6 ．如图，在中， ，以 为直径的分别交、于点、，点在的延长 线上，且 求证：直线 是⊙0的切线； O A B P E C
7、如图 9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上， 连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点， A ∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1 2 ，∴EC=4 tan DE C =. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC= 在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径.
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
专题解析——切线证明 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o ．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接 OC ，证明∠OCD ＝90o 即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o ． ∵∠CAB ＝30o ，∴BC ＝2 1 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o ． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o 即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 图1 图2
圆的切线判定证明题
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA ⊥x 轴于点A ，点D 在 FA 上，且DO 平行于⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C . （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 2．在Rt △ABC 中，BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ． （1）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证:AC 是⊙O 的切线; （2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求EF AC 的值． （1）证明： （2）解: 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，∠DAB ＝22.5o，延长AB 到点C ，使得∠ACD ＝45o． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB ＝22，求BC 的长． 4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分 BDE ∠．
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ； （2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径． 6． 如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ． （2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径． 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥ AC ，垂足为E . （1）求证：AB =AC ； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； （3）若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长. E C A
中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900 . 求证：CD 是⊙O 的切线. [习题练习] 例1如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上两点，并且OC=OD ，求证：AC=BD ． 例2已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC?交于点E ，求证：△ DEC
证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．
4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝ OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝21 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接 OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 图1 图2
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明 CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ． ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o．∴∠ODC ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 图3
初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C
圆切线证明题 1.如图，PA为O O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交O O于点B,延长B0与O O交于点D,与PA的延长线交于点E, 求证：PB为O 0的切线; 2如图，AB=AC AB是O 0的直径，O O交BC于D, DML AC于M 求证：DM与O O相切.
3如图，已知：AB是O 0的直径，点C在O O上，且/ CAB=30, BD=OB D在AB的延长线上 求证：DC是O 0的切线 3.已知：如图，A是LI 0上一点，半径0C的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC , 1 AC OB ? 2 (1)求证：AB是L O的切线；一一 (2 )若丄ACD=45°OC=2，求弦CD 的长. / \ 4.知：如图，在Rt A ABC中，? C=90〃，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的
圆与AC, AB 分别交于点D, E ，且.CBD A . (1 )判断直线BD 与LI O 的位置关系，并证明你的结论; 已知：如图，在 △ ABC 中, D 是AB 边上一点，圆 0过D B C 三点，.DOC2. ACD 90。 (1) 求证：直线AC 是圆0的切线； ,如图，AB=AC D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切. 如图，等腰三角形 ABC 中，AC= BC= 10，AB= 12。以BC 为直径作O O 交AB 于点D,交AC C B
于点G DF 丄AC 垂足为F ,交CB 的延长线于点 E 。 ⑴求证：直线EF 是O O 的切线； 如图，Rt △ ABC 中，N ABC = 90°以AB 为直径作O O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE . (1)求证：直线DE 是O O 的切线; 如图，点 O 在/ APB 的平分线上，O O 与PA 相切于点 C. (1) 求证：直线 PB 与O O 相切; 23.(2008年南充市)如图，已知］的直径』垂直于弦二 于点二，过」点作’ 交；的延长线于点 」，连接并延长交J U 于点；，且_［「__［」 . E B
2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF与⊙ O相切 . 证明：连结 OE， AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴ AD⊥ BC. 又∵ AB=BC， ∴∠ 3=∠ 4. ⌒ ⌒ ∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE， OF=OF， ∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） . ∴∠ OBF=∠ OEF. ∵ BF与⊙ O相切， ∴OB⊥ BF. ∴∠ OEF=90. ∴EF与⊙ O相切 . 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与⊙ O相切 . 证明一：作直径 AE，连结 EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠ DAB=∠ DAC.
∵PA=PD， ∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC. ∵∠ 2=∠ B+∠ DAB， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B=∠ E， ∴∠ 1=∠ E ∵ AE是⊙ O的直径， ∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90. ∴∠ 1+∠ EAC=90. 即 OA⊥ PA. ∴PA 与⊙ O相切 . 证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE. ∵AD是∠ BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥ BC. ∴∠ E+∠ BDE=90. ∵OA=OE， ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD，∴∠ PAD=∠ PDA. 又∵∠ PDA=∠ BDE, ∴∠ 1+∠ PAD=90 即 OA⊥ PA. ∴ PA与⊙ O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M 求证： DM与⊙ O相切 . 证明一：连结 OD. ∵A B=AC， ∴∠ B=∠ C.
A B 《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. ` (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： } （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①要证直线垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线； （2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. ， （4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. \ 2、与圆有关的计算： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所
中考专题-------圆的切线证明（学生版） 证明切线的方法： 1、连半径、证垂直（经过半径的外端且垂直于半径的直线必是切线） 2、作垂直、证半径（直线与圆的公共点未知时，通过圆心做作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径 3、切线的性质1、圆的切线垂直于经过切点的半径2、经过与圆心且垂直于切线的直线必过切点3、经过切点且垂直于半径的直线必过圆心
中考经典例题： 1.（2007北京中考）已知：如图，A 是O e 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点， OC BC =，1 2 AC OB =． （1）求证：AB 是O e 的切线； （2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长． 2.（2008北京中考）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长 4、 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. O A B C D D C O A E
求证：AC 与⊙D 相切. 6、（2011?北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=错误!未找到引用源。∠CAB ． （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB=5，sin ∠CBF=错误!未找到引用源。，求BC 和BF 的长． 17．（本题满分8分） 如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是O ⊙的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值． （2010中考）18．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长． C E B A O F D
专题-------圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ⌒ ⌒
∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900 . ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900 . ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C. ⌒ ⌒
C E A B O P 圆的切线证明（四） 1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. （2011中考）2.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线；（2）若tan ∠ABE=2 1 ,求sin ∠E. 》
3 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 【 4如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. D ，
5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D 在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 | 6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. ( 求证：PC是⊙O的切线.
】 7 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 8. （2006北京中考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的 ！ 延长线上，，∠CAD=30°. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.
9.（2007北京中考）已知：如图，A 是O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC BC =，1 2 AC OB = ． " （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长． < 9.（2008北京中考）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 10.（2009北京中考）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. * （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=1 3 时，求⊙O 的半径. O A B C D A
圆的切线证明 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
C E A B O P 圆的切线证明 1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作 OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交 于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O的切 线； 2 已知⊙O 中，AB是直径，过B 点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于 D，求证：CD是⊙O的切线。 3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相 切. 4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于 点，于点． D
（1）求证：是的切线； 5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD． (1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论． (2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长． 6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的 长；(3)求图中阴影部分的面积． 7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一 点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
8、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点 D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线； 9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。 10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦 BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。
1、.已知：如图，CB是⊙O的直径，BP是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AC平行于OP．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm，求AC． 2、⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，D E⊥AC 于E.求证：DE为⊙O的切线3、、如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作D E⊥BC于E。（1）求证：DE为⊙O的切线（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG的长 4、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线． 5、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．求证：BD是⊙O 的切线； O A B P
6．如图，在中，，以为直径的分别交、于点
、，点 在的延长线上，且 求证：直线是⊙0的切线；
7、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上，连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
C E A B O P 圆的切线证明（学生版） 1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. （中考）2.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E, (1)求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若tan ∠ABE=21,求sin ∠E. 3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点， 且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 4 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ， DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切. 5 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线 6 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP. 求证：PC 是⊙O 的切线. 9.（ 11.（北京中考） 已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，圆O 过D 、B 、C 三点，∠DOC =2∠ACD =90?。 (1) 求证：直线AC 是圆O 的切线； (2) 如果∠ACB =75?，圆O 的半径为2，求BD 的长。 12 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 13 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线. 14、（2011?北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB ． （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长． （2009中考）17．（本题满分8分） 如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连 D C E F D