2011年考研数学试题（数学一）
一、选择题
1、 曲线()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 的拐点是（ ）
（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是
()()
()()
2
34
12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的
关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===
(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞
→n n a ，()∑===
n
k k
n n a S 1
2,1 无界，则幂级数
()
1
1n
n
n a x ∞
=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）
(0，2]
【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】()∑
===
n
k k n n a S 1
2,1 无界，说明幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R ≤；
{}n a 单调减少，0lim
=∞
→n n a ，说明级数()1
1n n n a ∞
=-∑收敛，可知幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛
半径1R ≥。
因此，幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数
收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。
3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z =
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>'' 【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。 【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()() x y f x z f x f y z f y f y ''''== ，()()() xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，2 2 ()()(()) () () yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以0 (0)(0)0(0) xy x y f z f f ==''' '= =，00 (0)ln (0)xx x y z f f =='' ''=， 2 2 00 (0)(0)((0)) (0) (0)(0) yy x y f f f z f f f =='''-'' ''== 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需 (0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''?> 所以有0)0(1)0(>''>f f ， 4、设4440 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π π π = = = ? ? ? ，则,,I J K 的大小关系是( ) （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B 【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】(0, )4 x π ∈ 时，0sin cos cot 2 x x x << <<，因此ln sin ln cos ln cot x x x << 4440 ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π π π < < ? ? ? ，故选（B ） 5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单 位矩阵.记11001 100 1P ??? ?=??????,21 000010 1 0P ?? ?? =? ????? ,则A =( ) （A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）121P P - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以 1 1 1 12 1 2 1 A B P P P P P ---- == = ，故选（D ） 6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T 0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为（ ） (A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，， 【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。 【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *=，又由0A A A E * ==知，1234,,,αααα都是0=*x A 的解，且0=*x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又 ()1234131100,,,01100A αααααα???? ? ? ? ?==+= ? ? ? ????? ，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ） 7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( ) （A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x （C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥； ()()()()()() 1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞+∞-∞ -∞ +==? 。可知()()()() 1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。 8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,max =,{}y x V ,min =，则=)(UV E （ ） (A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE 【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量U V 进行处理，有一定的灵活性。 【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY == 可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选（B ） 二、填空题 9、曲线? ??? ? ? ≤≤= x x tdt y 0 40tan π的弧长s = 【答案】14 π - 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。 【解析】() 2 444' 2 2 4 tan sec 1tan 14 s y dx xdx x dx x x π π π π π = = = -=-=- ? ? ? 10、微分方程x e y y x cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y 【答案】sin x y xe -= 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为 11[cos ][cos ][sin ]dx dx x x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----??=?+=+=+?? 由0)0(=y ，得0C =，故所求解为sin x y xe -= 11、设函数()? += xy dt t t y x F 0 2 1sin ,，则 =??==2 02 2 y x x F 【答案】4 【考点分析】本题考查偏导数的计算。 【解析】()() 2223 2222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy F y xy F x x y x x y +-??==?+?+。故2202 4x y F x ==?=?。 12、设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 2 2 L y xzdx xdy dz ++ =? 【答案】π 【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式，再代入相应的计算公式计算即可。 【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =?? =??=+? ，其中t 从0到2π。因此 2 2 202 3 22 2 2 sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 2 2 L y xzdx xdy dz t t t t t t t t t dt t t t t t t dt π π π ++ =+-++ -= -- +- =??? 13、若二次曲面的方程为222 322 24 x y z a x y x z y z +++++=，经正交变换化为2 2 1144y z +=，则a = 【答案】1- 【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值，通过特征值的相关性质可以解出a 。 【解析】本题等价于将二次型222 (,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后 化为了22 114f y z =+。由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1,4,0。 该二次型的矩阵为113111 1a A a ?? ?= ? ?? ? ，可知2 210A a a =---=，因此1a =-。 14、设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY = 【答案】32μμσ+ 【考点分析】：本题考查二维正态分布的性质。 【解析】：由于0ρ=，由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立。因此 22 ()E XY EX EY =?。 由于(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，可知()2 2 2 2 ,EX EY DY EY μμσ==+=+，则 ()2 2 2 3 2 ()E XY μμσ μ μσ=+=+。 三、解答题 15、（本题满分10分）求极限1 1 0ln(1)lim x e x x x -→+?? ??? 【答案】12 e - 【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞形式的极限。计算时先按1∞未定式的计算方法将极限式变形，再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。 【 解 析 】 ： 1 11 1 00ln(1)ln(1)lim lim 1x x e e x x x x x x x --→→++-?? ? ?=+ ? ????? 2 0001 1 1ln(1)ln(1)1lim lim lim 1 2x x x x x x x x x x e x x e e e →→→-+-+-+-=== 01lim 2(1) 2 x x x x e e →-- +== 16、（本题满分9分）设(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导，且在1x =处取得极值(1)1g =，求2 1,1 z x y x y ?==?? 【答案】'' 1,11,2(1,1)(1,1)f f + 【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。 【解析】： ' ' ' 12(,())(,())()z f xy yg x y f xy yg x yg x x ?=+? 2 ''' 1,11,21' ' ' ' ' ' 2,12,22(,())(,())()(,())(,())()(,())()()(,())() z f xy yg x xy f xy yg x yg x f xy yg x x x y f xy y g x xyg x f xy yg x yg x g x f xy yg x g x ?=++??+++ 由于()g x 在1x =处取得极值(1)1g =，可知'(1)0g =。 故 2 ''' 1,11,21' ' ' ' ' ' 2,12,22' ' 1,11,2(1,(1))(1,(1))(1)(1,(1)) 1,1 (1,(1))(1)(1,(1))(1)(1)(1,(1))(1)(1,1)(1,1) z f g f g g f g x y x y f g g f g g g f g g f f ?=++==??+++=+ 17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数 【答案】1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根 【考点分析】：本题考查方程组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。 【解析】：令()arctan f x k x x =-，则(0)0f =，2 2 2 1()111k k x f x x x --'= -= ++， （1） 当1k <时，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，故此时()f x 的图像与x 轴 与只有一个交点，也即方程arctan 0k x x -=只有一个实根 （2） 1k =时，在(,0)-∞和(0,)+∞上都有()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞和(0,) +∞是严格的单调递减，又(0)0f =，故()f x 的图像在(,0)-∞和(0,)+∞与x 轴均无交点 （3） 1k > 时，x << ()0f x '>，()f x 在(上单调 增加，又(0)0f =知，()f x 在(上只有一个实根，又()f x (,-∞ 或)+∞都有()0f x '<，()f x 在(,-∞ 或)+∞ 都单调减，又 (0,lim ()x f f x →-∞ <=+∞ ，0,lim ()x f f x →+∞ >=-∞，所以()f x 在 (,-∞与x 轴无交点，在)+∞上与x 轴有一个交点 综上所述：1k ≤时，方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时，方程arctan 0k x x -=有两个实根 18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有111ln(1)1 n n n <+ < + （2）设111ln (1,2,)2n a n n n =+ ++ -= ，证明数列{}n a 收敛 【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度较大。（1）要证明该不等式，可以将其转化为函数不等式，再利用单调性进行证明；（2）证明收敛性时要用到单调有界收敛定理，注意应用（1）的结论。 【解析】：（1）令 1x n =，则原不等式可化为 ln(1),01 x x x x x <+<>+。 先证明ln(1),0x x x +<>： 令()ln(1)f x x x =-+。由于' 1()10,01f x x x =- >>+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增。 又由于(0)0f =，因此当0x >时，()(0)0f x f >=。也即ln(1),0x x x +<>。 再证明 ln(1),01 x x x x <+>+： 令()ln(1)1 x g x x x =+- +。由于'2 11()0,01(1) g x x x x = - >>++， 可知()g x 在[)0,+∞上单调递增。由于(0)0g =，因此当0x >时，()(0)0g x g >=。也即ln(1),01 x x x x <+>+。 因此，我们证明了ln(1),01 x x x x x <+<>+。再令由于，即可得到所需证明的不等式。 （2）111ln (1)1 n n a a n n +-=-+ +，由不等式 11ln(1)1 n n <+ +可知：数列{}n a 单调递 减。 又由不等式11ln(1)n n + < 可知： 11111ln ln(11)ln(1)...ln(1)ln ln(1)ln 022 n a n n n n n n =+ ++ ->+++ +++ -=+-> 。 因此数列{}n a 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列{}n a 收敛。 19、（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==， (,)D f x y dxdy a =??，其中{(,)|01,0D x y x y =≤≤≤≤ ，计算二重积分 (,)xy D I xyf x y dxdy ''= ?? 【答案】：a 【考点分析】：本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式，出题形式较为新颖，有一定的难度。 【解析】：将二重积分 (,)xy D xyf x y dxdy ''?? 转化为累次积分可得 11 (,)(,)xy xy D xyf x y dxdy dy xyf x y dx ''''= ?? ?? 首先考虑 1 (,)xy xyf x y dx ''? ，注意这是是把变量y 看做常数的，故有 1 1 1 1 1 (,)(,)(,)(,)(1,)(,)xy y y y y y xyf x y dx y xdf x y xyf x y yf x y dx yf y yf x y dx '''''''==- =- ? ? ? ? 由(1,)(,1)0f y f x ==易知'' (1,)(,1)0y x f y f x ==。 故 1 1 (,)(,)xy y xyf x y dx yf x y dx '''=- ? ? 。 1 1 11 (,)(,)(,)xy xy y D xyf x y dxdy dy xyf x y dx dy yf x y dx '''''= =- ???? ?? 对该积分交换积分次序可得：11 11 (,)(,)y y dy yf x y dx dx yf x y dy ''- =- ?? ?? 再考虑积分 1 (,)y yf x y dy '? ，注意这里是把变量x 看做常数的，故有 1 1 1 1 1 00 (,)(,)(,)(,)(,)y yf x y dy ydf x y yf x y f x y dy f x y dy '= =- =- ? ? ? ? 因此 11 11 00 00 (,)(,)(,)(,)xy y D D xyf x y dxdy dx yf x y dy dx f x y dy f x y dxdy a '''=- = = =???? ?? ?? 20、（本题满分11分）()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T T ααα===不能由 ()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T T a βββ===线性表出。①求a ；②将123,,βββ由123 ,,ααα 线性表出。 【答案】：①5a =；②()32 1 βββ()???? ? ? ?--=20 11024 51232 1 ααα 【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。 【解析】：① 由于321,,ααα不能由321,,βββ表示 可知053 1 421 3 11 321=-==a a βββ，解得5=a ②本题等价于求三阶矩阵C 使得()()123123,,,,C βββααα= 可知() () 1 1 1231231 01113,,,,01312411 513 5C αααβββ--???? ? ?== ? ? ? ?? ? ? ? 计算可得2 154 21010 2C ?? ?= ? ?--? ? 因此()32 1 βββ()???? ? ? ?--=20 11024 512 32 1 ααα 21、（本题满分11分）A 为三阶实矩阵，()2R A =，且1 11 10 000111 1A -???? ? ?= ? ? ? ?-? ??? （1）求A 的特征值与特征向量（2）求A 【答案】：（1）A 的特征值分别为1，-1，0，对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，??? ?? ??010 （2）0010001 0A ?? ??=? ????? 【考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。 【解析】：（1）????? ??=????? ??101--101-A ???? ? ??=????? ??101101A 可知：1，-1均为A 的特征值，????? ??=1011ξ与??? ? ? ??=101-2ξ分别为它们的特征向量 2)(=A r ，可知0也是A 的特征值 而0的特征向量与1ξ，2ξ正交 设??? ? ? ??=3 2 1 3x x x ξ为0的特征向量 有???=+-=+00 3131x x x x 得? ??? ? ??=0103k ξ A 的特征值分别为1，-1，0 对应的特征向量分别为????? ??101，????? ??101-，??? ? ? ??010 （2）-1 PΛP A = 其中???????? ? ?-= 01 1 Λ，???? ? ?? ???-=01 1 100011P 故1 1101 1100 0110011 1 001 1 0A ---??????? ?????=-??????????????? ??? ??????? ? ??????? ?-?? ??????? ?-??????????-=01 12102121021 01 1 01 1 100011 ???? ? ?????=00 1 000100 22. （本题满分11分） ()2 2 1P X Y == 求：（1）(),X Y 的分布； （2）Z XY =的分布； （3）X Y ρ. 【答案】：（1） （2）（3）0XY ρ= 【考点分析】：本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的是第一问联合分布的计算。 【解析】：（1）由于()2 2 1P X Y ==，因此()2 2 0P X Y ≠=。 故()0,10P X Y ===，因此 ()()()()1,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+===== 再由()1,00P X Y ===可知 ()()()()0,01,00,001/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+===== 同样，由()0,10P X Y ==-=可知 ()()()()0,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y ==-===-+==-==-= 这样，我们就可以写出(),X Y 的联合分布如下： （2）Z XY =可能的取值有1-，0，1 其中(1)(1,1)1/3P Z P X Y =-= ==-=，(1)(1,1)1/3P Z P X Y =====， 则有(0)1/3P Z ==。 因此，Z XY = 的分布律为 （3）2/3EX =，0E Y =，0,cov(,)0EXY X Y EXY EXEY ==-= 故0XY ρ== 23、（本题满分11分）设12,,,n x x x 为来自正态总体2 0(,)N μσ的简单随机样本，其中0 μ已知，20σ>未知，x 和2 S 分别表示样本均值和样本方差， （1）求参数2σ的最大似然估计^ 2 σ （2）计算^2 ()E σ和^ 2 ()D σ 【答案】：（1）2 ^ 2 01 () n i i X n μσ=-= ∑ （2）4 ^^2 2 2 2(),()E D n σσσσ== 【考点分析】：本题考查参数估计和随机变量数字特征的计算，有一定的难度。在求2 σ的最 大似然估计时，最重要的是要将2σ看作一个整体。在求^ 2 σ的数学期望和方差时，则需要 综合应用数字特征的各种运算性质和公式，难度较大。 【解析】： （ 1 ）似然 函数 ( )22 2 00122 221 1 ()()1,,,,exp 222n n i i n n n i i x x L x x x μμσ σσπσ==? ???--=-=- ? ? ???? ? ∑ ∏ 则 2 2 2 002 2 1 1 ()() 1 ln ln 2ln ln 2ln 2 22 2 2 n n i i i i x x n n n L n μμπσπσσ σ ==--=- -- =- - - ∑ ∑ () 2 02 2 2 2 1 () ln 1 22 n i i x L n μσ σ σ=-?=- + ?∑ 令 2 ln 0L σ ?=?可得2 σ 的最大似然估计值2 ^ 2 01 () n i i x n μσ=-= ∑ ，最大似然估计量 2 ^ 2 01 () n i i X n μσ=-= ∑ （2）由随机变量数字特征的计算公式可得 2 ^2222 0010111 2 ^ 2 2 2 00102 1 1 ()1 ()()()()1 1()()() n n i i i i n n i i i i X E E E X E X D X n n X D D D X D X n n n μσμμσ μσμμ====? ?-==-=-==? ???? ???-==-= -? ???? ? ∑ ∑ ∑ ∑ 由于()2100,X N μσ- ，由正态分布的性质可知 ()10 0,1X N μσ - 。因此 ()2 2 101X μχσ-?? ??? ，由2χ的性质可知2 102X D μσ-??= ??? ，因此2410()2D X μσ-=，故 4 ^ 2 2()D n σσ= 。 2002数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? ∞+e x x dx 2ln = _____________. (2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1 (0)1,(0)2 y y '== 的特解是_____________. (4)已知实二次型3231212 32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则 a =_____________. (5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题(每小题3分.) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?① (D)③?①?④ (2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数)11 ()1(11+++ -∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数)(x f 在+ R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞ →x f x 时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (B)当)(lim x f x '+∞ →存在时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (C) 当0)(lim 0=+ →x f x 时,必有0)(lim 0='+ →x f x (D) 当)(lim 0x f x '+ →存在时,必有0)(lim 0='+ →x f x . (4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和 )(y F Y ,则 (A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…（-） ，其中n为正整数，则 (0) f' =（ ） （A） 1 (1)(1)! n n - -- （B） (1)(1)! n n -- （C） 1 (1)! n n - - （D） (1)! n n - （3）设函数 () f t 连续，则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =（） （A ） 2 22 0 () dx x y dy + ? （B ） 2 22 0 () dx f x y dy + ? （C ） 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? （D ） 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? （4 ）已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛， 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛，则 α范围为（） （A）0<α 1 2 ≤ （B） 1 2< α≤1 （C）1<α≤ 3 2（D） 3 2<α<2 （5）设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，， （C ） 134ααα，， （D ） 234ααα，， （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1 =Q AQ -（） （A ）1 2 1?? ? ? ??? （B ）1 1 2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ?? ? （D ）22 1?? ? ? ?? ? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤2 2 ｛1｝ （ ） （A ） 1 4 （B ） 1 2 （C ） 8π （D ） 4 π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体 N σσ>2 （1，）（0）的简单随机样本，则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布（ ） （A ） N （0，1） （B ） (1) t （C ） 2 (1)χ （D ） (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→ 2011年考研数学二真题答案解析 2011年考研已经结束，以下是 2011年考研数学二真题答案解析，希望对考生有所帮助 2(111考研数学真题解析——数学二 2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 2010年考研数学三真题 一.选择题 1.若1])1(1[lim =--→x o x e a x x 则a = A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使 21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则 A 21,21== μλ B 21 ,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3 2,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是 A 0)(<'a f B 0)(>'a f C 0)(<''a f D 0)(>''a f 4设10 10 )(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x) 2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()() 4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()2 3 4 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函 数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1ΛΛ无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径 1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ， 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0 x = 考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 微积分 56% 线性代数 22% 概率论与数理统计 22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题(包括证明题) 9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性复合函数.反函数.分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念. 6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理.介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数.反函数和 2011考研数学一真题试卷 一选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A(1，０) B(2,０） C （3，0) D(４，０） 2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-n k n k x a 1)1(的收敛域 A （-1，1] B ［-1，1) Ｃ［0，2) D （0，2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ,则函数)(ln )(y f x f z =在点(0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 2011年考研数一真题及答案解析 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()() ()() 2 34 12340 y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数() 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域 为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2x =时 幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ） 0)0(1 )0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1 )0(>'' 2011年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 《数学三》试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()() 233 02lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1n n u ∞ =∑收敛，则2121 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1n n u ∞ =∑收敛，则2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π=?，40 ln cot J x dx π=?，40ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大小 关系是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第 二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ?? ?= ? ? ?? ，2100001010P ?? ? = ? ???，则A = ( ) (A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P (6) 设A 为43?矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( ) (A) 23 121()2 k ηηηη++- (B) 23 121()2 k ηηηη-+- (C) 23121231()()2 k k ηη ηηηη++-+- (D) 23 121231()()2 k k ηηηηηη-+-+- (7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( ) (A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x (C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该 总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和12111 1n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0 lim 13x t t f x x t →=+，则()f x '= . 2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1 n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π= ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大小关 系是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得 单位矩阵，记1100110001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A = ( ) (A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 1 21-P P (6) 设A 为43?矩阵， 123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( ) (A) 23 121()2 k ηηηη++- (B) 23 121()2 k ηηηη-+- n ∑a (x -1) ? ? ? ? 1 2 2 1 0 0 2011 年考研数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的 四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上． (1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3(x - 4)4 的拐点是( ) (A) (1, 0) ． (B) (2, 0) ． (C) (3, 0) ． (D) (4, 0) ． (2) 设数列{a n } 单调减少， lim a n = 0 ， S n = ∑a k (n = 1, 2, 无界，则幂级数 n →∞ k =1 ∞ n 的收敛域为( ) n =1 (A) (-1,1] ． (B) [-1,1) ． (C) [0, 2) ． (D) (0, 2] ． (3) 设函数 f (x ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 f (x ) > 0 ， f '(0) = 0 ， 则 函 数 z = f (x ) l n f ( y ) 在点(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f (0) > 1， f ''(0) > 0 ． (B) f (0) > 1， f ''(0) < 0 ． (C) f (0) < 1， f ''(0) > 0 ． (D) f (0) < 1， f ''(0) < 0 ． π π π (4) 设 I = ? 4 ln sin xdx ， J = ? 4 ln cot xdx ， K = ? 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大 小关系是( ) (A) I < J < K ． (B) I < K < J ． (C) J < I < K ． (D) K < J < I ． (5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 ? 1 0 0 ? 行得单位矩阵，记 P = 1 1 0 ? ， P ? 1 0 0 ? = 0 0 1 ? ，则 A = ( ) 1 ? 0 0 1 ? 2 ? 0 1 0 ? (A) P 1P 2 ． (B) P -1 P ． (C) P 2 P 1 ． (D) P P -1 ． (6) 设 A = (α ,α ,α ,α ) 是 4 阶矩阵， A * 为 A 的伴随矩阵，若(1, 0,1, 0)T 是方程组 1 2 3 4 ) n 备注：前期已经传了2003-2011年9年的真题，现将答案发布供大家参考！想只要真题的童鞋请搜索CZ_Victor 的文库下载，谢谢！ 2004年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0 =--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥-<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -= ?. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=> }{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==??-+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． (1) 曲线234 (1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( ) (A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞ =，1 (1,2,)n n k k S a n == =∑ 无界，则幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数 ()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<． (4) 设40 ln sin I x dx π = ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1 21P P -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组 0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( ) (A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα． 2011年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版 附答案分析及详解 一、选择题 1、 曲线()()()()4 324321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0， 2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()11n n n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时 2011年考研数学真题试卷及标准答案解析 ---------------------心若在，梦就在，谨以此献给2012考研的同学们！！ 一选择题 1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点 A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2设数列{}n a 单调减少，∑=∞ →?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数 ∑=-n k n k x a 1 ) 1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数 )(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 2011年概率论考研真题与答案 1. （2011年数学一、三）设1()F x 和2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与 2()f x 是连续函数，则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解：根据分布函数的性质，1221()()()()0f x F x f x F x +≥ 1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞ -∞ ∴ ? 12()() F x F x +∞=-∞ 1= 2. （2011年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记 {}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则()E UV =_________. 【B 】 A. ()()E U E V B. ()()E X E Y C. ()()E U E Y D. ()()E X E V 解：因为当X Y ≥时，,U X V Y ==；当X Y <时，,U Y V X ==. 所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = 根据X 与Y 相互独立，所以()()()E UV E X E Y =. 3. （2011年数学三）设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥ 是 来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1=1 1n i i T X n =∑和12=111 1n i n i T X X n n -=+-∑，有__________. 【D 】 A. 1212()(),()()E T E T D T D T >> B. 1212()(),()()E T E T D T D T >< C. 1212()(),()()E T E T D T D T <> D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解： ()X P λ (), ()E X D X λλ∴ == 1=1=1 11()()()n n i i i i E T E X E X n n λ∴ ===∑∑ 12=11111()()(1)11 n i n i E T E X X n n n n n n λ λλλ-=+=?-?+?=+--∑ 12()()E T E T ∴ < 2011年考研数学（三）真题及答案详解 一．选择题 1.已知当错误!未找到引用源。0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-错误!未找到引用源。与k cx 是等价无穷小，则 （A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 错误!未找到引用源。 （D ）3,4k c ==- 2．已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= （A ）()' 20f - （B ）()'0f - (C) ()' 0f (D)0 3．设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=+∑收敛 （B ）若 ()21 21n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 （C ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛 （D ）若 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 4．设44 40 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ π = ==? ??，则,,I J K 的大小关系是 （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵. 记1100110001P ????=??????,2100001010P ????=?????? ,则A = 2011年考研数学三真题 一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。) (1)已知当x→0时,f(x)=3sinx?sin3x与cx k是等价无穷小,则 (A）k=1,c=4(Ｂ) k=1,c=?4 (Ｃ)k=3,c=4 （D) k=3,c=?4 【答案】C。 【解析】 【方法一】 lim x→03sinx?sin3x cx =lim x→0 3cosx?3cos3x ckx （洛必达法则） =3lim x→0 ?sinx+3sin3x ck(k?1)x k?2 (洛必达法则） =1 c (lim x→0 ?sinx 2x +lim x→0 3sin3x 2x )（k=3) =1 c (?1 2 +9 2 )=1 由此得c=4。【方法二】 由泰勒公式知 sinx=x?x3 +o(x3) sin3x=3x?(3x)3 3! + o(x3) 则f(x)=3sinx?sin3x=3x?x 3 2?3x+(3x)3 3! + o(x3) =4x3+ o(x3)~4x3 (x→0)故k=3,c=4。 【方法三】 lim x→03sinx?sin3x cx k =lim x→0 3sinx?3x+3x?sin3x cx k = 1 c [lim x→0 3(sinx?x) x k +lim x→0 3x?sin3x x k ] = 1 c [lim x→0 3?(? 1 6x 3) x k +lim x→0 1 6(3x) 3 x k ] = 1 (? 1 + 9 ) (k=3) = 8 2c =1 故c=4 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—洛必达(Ｌ'Ｈoｓpiｔａl)法则 (2)已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,则lim x→0x2f(x)?2f(x3) x3 = (A)?2f′(0)(B)?f′(0) (C) f′(0) (D)０ 【答案】B。 【解析】 【方法一】加项减项凑x=0处导数定义 lim x→0x2f(x)?2f(x3) x3 =lim x→0 x2f(x)?x2f(0)?2f(x3)+2f(0) x3考研数学一历年真题(2002-2011)版)
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