7.1.1 条件概率
1.通过实例,了解条件概率的概念；
2.掌握求条件概率的两种方法；
3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；
4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.
重点：运用条件概率的公式解决简单的问题
难点：条件概率的概念
1.条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,
.
称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=P(A⋂B)
P(B)
2. 概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则
P（AB）=P（A）P（B|A）.
我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.
3.条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.
设P（A）>0，则
（1）P（Ω|A）=1；
（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；
（3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）.
一、问题探究
在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A 与B 同时发生（积事件AB ）的概率的问题，当事件A 与B 相互独立时,有 P(AB )=P （A ）P （B ）
如果事件A 与B 不独立，如何表示积事件AB 的概率呢？下面我们从具体问题入手.
问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 在班级里随机选一人做代表， （1）选到男生的概率是多大？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？
团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30
15
45
问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
分析：求P （B|A ）的一般思想
因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的 样本空间为A.
因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，
A A B
即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A）=n(AB)
n(A)
.为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有
P（B|A）=n(AB)
n(W)
n(A)
n(W)
=P(AB)
P(A)
.
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,
称为条件概率,记作P(B|A), 而且P(B|A)=P(AB)
P(A)
.
问题1. 如何判断条件概率?
问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么?
条件概率与事件独立性的关系
探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地，P（B|A）与P（B）不一定相等。如果P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？
探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？
二、典例解析
例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。
跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.
1.已知P (AB )=1
2
,P (A )=3
5
,则P (B|A )等于( )
A.5
6
B.9
10
C.3
10
D.1
10
2.下列说法正确的是( )
A.P (A|B )=P (B|A )
B.P (B|A )>1
C.P (A ∩B )=P (A )·P (B|A )
D.P ((A ∩B )|A )=P (B )
3.设A ,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为3
10,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为1
2,则事件A 发生的概率为 .
4.某气象台统计,该地区下雨的概率为415
,刮四级以上风的概率为2
15
,既刮四级以上的风又下雨的概率为
1
10
.设A 为下雨,B 为刮四级以上的风,求P (B|A ).
5.在100件产品中,有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件产品.试求: (1)第一次取到不合格品的概率;
(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.
6.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少答对其中的4道题即可通过;若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
参考答案：
知识梳理
学习过程
一、问题探究
问题1 .随机选择一人作代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可以得出n(Ω)=45,n(A)=30,n(B)=25.
（1）根据古典概型知识可知选到男生的概率
P(B) =n(B)
n(Ω)=25
45
=5
9
.
（2）“在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A）.此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就
是积事件AB，包含了样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知：P（B|A）=n(AB)
n(A)=16
30
=8
15
.
问题2.观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩,则样本空间Ω={bb,bg,bg,gg},且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩” ，B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A ={bg,gb,gg},B={gg}.
（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
P(B) =n(B)
n(Ω)=1
4
.
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A），此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知
P（B|A）=n(AB)
n(A)=1
3
.
问题1. 题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.
问题2. P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.
P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.
条件概率与事件独立性的关系
探究1：直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，
这等价于P（B|A）=P（B）成立.
事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则
P(B|A)=P(AB)
P(A)=P(A)P(B)
P(A)
=P(B)；
反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则
P(B)=P(AB)
P(A)
⇒P(AB)=P(A)P(B)
探究2：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则
P（AB）=P（A）P（B|A）.
我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.
二、典例解析
例1.分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.
解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即n(Ω)=A52=5×4=20。
因为n(AB)= A31×A21=3×2=6
P（AB）=n(AB)
n(Ω)=6
20
=3
10
.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B
发生的概率。显然P（A）=3
5
.利用条件概率公式，得
P（B|A）=n(AB)
n(A)=
3
10
3
5
=1
2
.
解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为
P（B|A）=1
2
.
又P（A）= 3
5
，利用乘法公式可得
P（AB）=P（A）P（B|A）= 3
5×1
2
= 3
10.
从例1可知，求条件概率有两种方法：
方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求
P（B|A）；
方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。
例2：解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=A B,C=A B̅.P(A)=1
3
;
P(B)=P(A B)=P(A)P(B|A)=2
3
×
1
2
=
1
3
P (C )=P (A B
̅)=P (A )P (B ̅|A )=23×12=1
3
因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。
例3: 解：（1）设Ai=“第i 次按对密码”（i=1，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A=A 1
U A 1̅̅̅̅A 2. 事件A 1
与事件A
1̅̅̅̅A 2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 P （A ）=P （A 1）+P （ A 1̅̅̅̅A 2 ）= P （A 1） +P （A 1̅̅̅̅ ） P （ A 2 | A 1̅̅̅̅ ） =110+910× 19= 15 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为1
5. （2）设B=“最后1位密码为偶数”，则
P （A|B ）=P （A 1
|B ）+P （A 1̅̅̅̅A 2|B ）=15+4×15×4= 25； 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为2
5.
跟踪训练1.解:方法一(定义法)
设A i ={第i 只是好的}(i=1,2).由题意知要求出P (A 2|A 1).因为P (A 1)=6
10=3
5,P (A 1A 2)=6×5
10×9=1
3, 所以P (A 2|A 1)=
P (A 1A 2)P (A 1)
=5
9.
方法二(直接法)
因为事件A 1已发生(已知),故我们只研究事件A 2发生便可,在A 1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n (AB )=5,n (A )=9,所以P (A 2|A 1)=n (AB )
n (A )=5
9. 达标检测 1.解析:P (B|A )=P (AB )P (A )
=
1
235
=5
6
.
答案:A 2.解析:由P (B|A )=P (A⋂B )P (A )知,P (A ∩B )=P (A )·P (B|A ).
答案:C
3.解析:由题意知,P (A ∩B )=3
10
,P (B|A )=1
2
.
由P (B|A )=P (A⋂B )P (A )
,得P (A )=
P (A⋂B )P (B |A )
=3
5
.
答案:3
5
4.解:由题意知P (A )=415,P (A ∩B )=1
10, 故P (B|A )=
P (A⋂B )P (A )
=
110415
=3
8.
5.分析:由题意可知,100件产品中共有5件不合格品,不合格率为 5
100.在第一次取到不合格品的条件下,第二次又取到不合格品的概率为条件概率.
解:设第一次取到不合格品为事件A ,第二次取到不合格品为事件B ,则有: (1)P (A )=5
100=0.05.
(2)方法一:第一次取到一件不合格品,还剩下99件产品,其中有4件不合格品,95件合格品,于是第二次又取到不合格品的概率为4
99,由于这是一个条件概率, 所以P (B|A )=4
99.
方法二:根据条件概率的定义,先求出事件A ,B 同时发生的概率P (AB )=C 5
2C 1002=
1
495
,
所以P (B|A )=
P (AB )P (A )
=
1
4955100
=
4
99
.
6.解:设事件A 为“该考生6道题全答对”,事件B 为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”,事件C 为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”,事件D 为“该考生在这次考试中通过”,事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A ,B ,C 两两互斥,且D=A ∪B ∪C ,E=A ∪B ,由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )=P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C ) =C 106
C 20
6+
C 105C 10
1C 20
6+
C 104C 10
2C 20
6=
12 180C 20
6,P (E|D )=P (A ∪B|D )=P (A|D )+P (B|D )
=P (A )P (D )+P (B )
P (D )=210
C 20612 180C 20
6+
2 520
C 20612 180C 20
6=13
58,即所求概率为13
58.
7.1.1 条件概率 1.通过实例,了解条件概率的概念； 2.掌握求条件概率的两种方法； 3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法. 重点：运用条件概率的公式解决简单的问题 难点：条件概率的概念 1.条件概率 一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率, . 称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=P(A⋂B) P(B) 2. 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则 P（AB）=P（A）P（B|A）. 我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）. 3.条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）=1； （2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）； （3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）. 一、问题探究
在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A 与B 同时发生（积事件AB ）的概率的问题，当事件A 与B 相互独立时,有 P(AB )=P （A ）P （B ） 如果事件A 与B 不独立，如何表示积事件AB 的概率呢？下面我们从具体问题入手. 问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 在班级里随机选一人做代表， （1）选到男生的概率是多大？ （2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？ 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 分析：求P （B|A ）的一般思想 因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的 样本空间为A. 因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生， A A B
7.1 条件概率及全概率（精讲） 考法一条件概率
【例1】（1）（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则() P N M 等于（ ） A ． 2 3 B ． 59 C ． 12 D ． 13 （2）（2020·全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ） A ．3/5 B ．3/4 C ．1/2 D ．3/10 【答案】（1）B （2）C 【解析】（1）事件M 为“两次所得点数均为奇数”，则事件为()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，故()9n M =；N 为“至少有一次点数是5” ，则事件MN 为()1,5，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，()5n MN =，所以()5 9 P N M = .故选：B . （2）记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知3 ()5P A = ，3263()542010 P AB =⨯= =， 所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3 110()325 P B A = =．故选：C. 【一隅三反】 1．（2020·全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、 3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能 被3整除的概率为（ ） A ． 1 4 B ． 13 C ． 512 D ． 23 【答案】B 【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ， 事件B 包括的基本事件有{1}3， ，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5， 、{24}，共2个. 则()21 (|)()63 n AB P A B n B = ==，
2．2 二项分布及其应用 2．2.1 条件概率 [学习目标] 1.通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义． 2.掌握求条件概率的两种方法． 3利用条件概率公式解决一些简单的问题． [自主预习] [新知提炼] 1．条件概率 2.条件概率的性质 (1)P (B |A )∈ ． (2)如果B 与C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝ ． [注意] (1)前提条件：P (A )>0. (2)P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )，必须B 与C 互斥，并且都是在同一个条件A 下． [自我尝试] 1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A ，B 互斥，则P (B |A )＝1.( ) (2)P (B |A )与P (A |B )不同．( ) 2. 已知P (AB )＝310，P (A )＝35 ，则P (B |A )为( ) A.950 B.12 C.910 D .14 3. 由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件A 表示“第二位数字为0”，用事件B 表示“第一位数字为0”，则P (A |B )等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18
4. 一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每次取出后不放回，则若已知第一次取出的是好的，则第二次取出的也是好的概率为________． 讲练互动 探究点1利用定义求条件概率 例1：甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地为雨天的概念是多少？ [跟踪训练]以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”，则P(A)＝________，P(B|A)＝________． 探究点2缩小基本事件范围求条件概率 例2：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． [互动探究]
§7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 第1课时 条件概率 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 导语 集市上，有这样一个游戏很受孩子们的喜欢，游戏规则是： 袋中有两个球，一个白球，一个黑球，从袋中每次随机摸出1个球，现有两种方案： (1)若两次都取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱； (2)若已知第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱．你觉得这个游戏公平吗？摊主会不会赔钱？ 一、条件概率的理解 问题 抛掷一枚质地均匀的硬币两次． (1)两次都是正面向上的概率是多少？ (2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？ (3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示 (1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{}正正，正反，反正，反反， 其中两次都是正面向上的事件记为B ，则B ＝{}正正，故P (B )＝14 . (2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A ，则A ＝{}正正，正反，反正，那么，在A 发 生的条件下，B 发生的概率为13 .在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率产生了变化． (3)将第一次出现正面向上的事件记为C ，则C ＝{}正正，正反，那么，在C 发生的条件下，
B 发生的概率为12 .在事件C 发生的条件下，事件B 发生的概率产生了变化． 知识梳理 条件概率：一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A ) 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率． 注意点： A 与 B 相互独立时，可得P (AB )＝P (A )P (B )，则P (B |A )＝P (B )． 例1 判断下列几种概率哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率． (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率． (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率． 解 由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是． 反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 跟踪训练1 下面几种概率是条件概率的是( ) A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率 B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25 ，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 答案 B 解析 由条件概率的定义知B 为条件概率． 二、利用定义求条件概率 例2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则第1次和
7.1 条件概率及全概率(精讲) 考点一条件概率公式
【例1】(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校)甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率 为1 3 ，乙命中目标的概率为1 2 ，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为( ) A．1 4 B． 1 3 C．1 2 D． 2 3 【答案】C 【解析】设事件:A目标至少被命中1次，事件: B甲命中目标． 则 1111112 ()(1)(1) 3232323 P A=⨯+-⨯+⨯-=，11111 ()(1) 32323 P AB=⨯+⨯-=， 所以 1 1 3 (|) 22 3 P B A==．故选：C． 【一隅三反】 1．(2021·全国·高二课时练习)下面几种概率是条件概率的是( ) A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是2 5 ，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【答案】B 【解析】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率. A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率； B：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率； C：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率； D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率.. 故选：B 2．(2021·四川成都 )若随机事件A，B满足 1 () 3 P A=， 1 () 2 P B=， 3 () 4 P A B +=，则() P A B=( ) A．2 9 B． 2 3 C．1 4 D． 1 6 【答案】D
《7.1.1条件概率》教学设计 本节课内容选自普通高中教科书人教A 版数学选择性必修第三册第七章第一节《条件概率与全概率公式》，共2个课时，《7.1.1条件概率》是第一课时.通过本单元的学习，学生需要用数学的眼光看待随机事件的概率，能用概率的一般概念解释具体现象，并通过条件概率和独立性等数学概念分析复杂问题，寻找解决复杂问题的方法.学习过程中蕴含着数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.以下从内容与内容解析、目标与目标解析、教学问题诊断解析、教学过程分析四个方面说明这节课的理解和设计。 一、内容与内容解析 1. 内容：条件概率，概率的乘法公式. 2. 内容解析： 随机事件的条件概率是概率论的重要概念之一.由条件概率得到两个不独立 事件的概率乘法公式、全概率公式，它们是求很多复杂事件概率的有用工具.结合古典概型，研究随机事件的条件概率，并用它们计算较复杂事件的概率是概率学习的深入和提高.条件概率顾名思义是指一个事件A 已经发生的条件下另一个事件B 发生的概率.已知事件A 发生，试验的样本点属于A ，因此A 成为新的样本空间，所以条件概率(|)P B A 本质上是在缩减的样本空间A 上事件AB 的概率.条件概率同样具有概率的三条基本性质.通过古典概型得到的条件概率的概念及公式，对于一般随机事件的条件概率都适用，具有普遍意义. 3. 教学重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及应用. 二、目标与目标解析 1. 目标：结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系；能计算简单的随机事件的条件概率。 2. 目标解析： 1）通过实例引导学生探究发现，由特殊到一般，得到条件概率的定义式 ()(|)() P AB P B A P A 并简单应用. 2）在验证条件概率定义的过程中，体会条件概率的思想，感受其本质为基本事件范围 的缩小，并简单应用. 3）通过条件概率的发现过程提升学生的数学抽象素养，通过对条件概率定义的验证以 及模型的应用提升逻辑推理和数学建模素养. 三、教学问题诊断解析 1. 问题诊断： 由于具体问题中的许多条件概率问题与我们的直觉相悖，因此往往很难迅速得到正确的答案，这就是概率问题不同于其他数学问题之处.因此，学生在学习条件概率概念时可能会产生困惑，对条件概率定义的理解会存在偏差.由于古典概型的条件概率计算总可以通过缩小样本空间转化为非条件概率的计算，因此学生在学习心理上可能会不自觉地拒绝接受条件概率的概念.另外，独立性是概率论中极其重要的概念，独立性的概念可以用条件概率描述，但在实际操作中两个
第7章 7.1.2 A 级——基础过关练 1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( ) A ．35 B ．1949 C ．2049 D ．25 【答案】D 【解析】设A ＝{第一个人取到黄球}，B ＝{第二个人取到黄球}，则P (B )＝ P (A )(B |A )＋P (A )P (B |A )，由题意知P (A )＝2050，P (A )＝3050，P (B |A )＝1944，P (B |A )＝2049 ， 所以P (B )＝2050×1949＋3050×2049＝2 5 . 2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量占全厂产量的25%,35%,40%，而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那它由甲车间生产的概率约为( ) A ．0.013 B ．0.362 C ．0.468 D ．0.035 【答案】B 3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( ) A ．0.012 3 B ．0.023 4 C ．0.034 5 D ．0.045 6 【答案】C 【解析】由全概率公式，得所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5. 4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋子，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( ) A ．512 B ．37 C ．2041 D ．2141 【答案】D 【解析】设A ＝{取得红球}，B 1＝{来自甲袋}，B 2＝{来自乙袋}，则P (B 1)＝P (B 2)＝ 12，P (A |B 1)＝610，P (A |B 2)＝814 ，由贝叶斯公式得P (B 1A )＝
7.1.1 条件概率 ---A 基础练 一、选择题 1．（2021·湖南长沙长郡中学高二期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()P N M 等于（ ） A ．23 B ．59 C ．12 D ．13 【答案】B 【详解】事件M 为“两次所得点数均为奇数”，则事件为()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，故()9n M =；N 为“至少有一次点数是5”，则事件MN 为()1,5，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，()5n MN =，所以()59 P N M =.故选：B . 2．（2021·福建三明一中高二月考）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为（ ） A ．14 B ．13 C ．512 D ．23 【答案】B 【详解】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，事件B 包括的基本事件有{1}3， ，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个.事件AB 包括的基本事件有{1}5，、{24}， 共2个. 则()21(|)()63 n AB P A B n B ===，故选:B . 3．（2021·山东泰安实验中学高二月考）下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ） A ．0.63 B ．0.7 C ．0.9 D ．0.567
课时作业(八) 条件概率 一、选择题 1．(2021·贵州威宁高二月考)当P (A )>0时，若P (B |A )＋P (B )＝1，则事件A 与B ( ) A ．互斥 B ．对立 C ．独立 D ．不独立 答案：C 解析：∵P (B |A )＋P (B )＝P (B |A )＋1－P (B )＝1， ∴P (B |A )＝P (B )，即 P (AB ) P (A ) ＝P (B )， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )，∴事件A 与B 相互独立． 故选C. 2．(2021·河北承德第一中学高二月考)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A ，“两颗骰子的点数和大于7”为事件B ，则P (B |A )＝( ) A.512 B.13 C.712 D.56 答案：C 解析：同时抛掷红、蓝两枚骰子，观察向上的点数， 基本事件的总个数有6×6＝36(个)， 则红骰子向上的点数是3的倍数时，基本事件有12个，分别为： (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 则P (A )＝1236＝13， 红骰子向上的点数是3的倍数且两枚骰子的点数之和大于7包含的基本事件有7个，分别为： (3,5)，(3,6)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
则P (AB )＝7 36， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝7 12 . 故选C. 3．(2021·山西太原高三二模)A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为2 3，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是( ) A.34 B.89 C.79 D.56 答案：B 解析：在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜有两种情况： (1)第二局甲再次取胜，概率为2 3， (2)第二局甲败，第三局甲胜，概率为13×23＝2 9. 故A 最终能获胜的概率为23＋29＝8 9. 故选B. 4．(2021·河北秦皇岛高三二模)某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( ) A.38 B.310 C.311 D.35
第7章 7.1.1 A 级——基础过关练 1．已知A 与B 是两个事件，P (B )＝14，P (A |B )＝1 2，则P (AB )等于( ) A ．1 3 B ．1 4 C ．38 D ．18 【答案】D 2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．1 【答案】B 【解析】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是1 3 . 3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P (B |A )等于( ) A ．112 B ．14 C ．29 D ．23 【答案】C 【解析】由题意事件A 包含的基本事件是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，在A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件是{1,3}，{3,1}共2个，所以P (B |A )＝29 . 4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )和P (B |A )分别等于( ) A ．13，25 B ．23，25 C ．23，35 D ．12，35
【答案】C 【解析】P (A |B )＝ P AB P B ＝0.120.18＝23，P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝3 5 . 5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A “取到的2个数之和为偶数”，事件B “取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A ．1 8 B ．14 C ．25 D ．12 【答案】B 【解析】P (A )＝C 2 3＋C 2 2C 25＝25，P (AB )＝C 2 2C 25＝1 10，由条件概率的计算公式得P (B |A ) ＝P AB P A ＝1 1025 ＝14 . 6．若P (B |A )＝13，P (A )＝2 5，则P (AB )＝________. 【答案】215 【解析】P (AB )＝P (B |A )P (A )＝13×25＝2 15 . 7．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，既刮四级以上的风又下雨的概率为1 10.设事 件A 为该地区下雨，事件B 为该地区刮四级以上的风，则P (B |A )＝________. 【答案】38 【解析】由题意知P (A )＝415，P (AB )＝110，故P (B |A )＝P AB P A ＝1 10415＝38 . 8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________． 【答案】0.72 【解析】记“种子发芽”为事件A ，“种子长成幼苗”为事件AB (发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，又P (A )＝0.9，故P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.72. 9．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79 . (1)求白球的个数； (2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率． 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球有x 个，则P (A )＝1－C 2 10－x C 210＝7 9 ，解得x ＝5，即白球的个数为5.
第七章 随机变量及其分布 课时7.1.2 条件概率与全概率公式——全概率公式 1. 1.掌握全概率公式,并能应用公式解决一些简单的实际问题. 2. 2.了解贝叶斯公式*. 基础过关练 题组一 全概率公式 1.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为3 4 ,若他第1球投不进,则第2球投进的概率为1 4 .若他第1球投进的概 率为3 4,则他第2球投进的概率为 ( ) A.3 4 B.5 8 C.7 16 D.9 16 2.(多选)(2020山东六市部分学校高三下线上考试)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别用事件A 1,A 2和A 3表示从甲罐中取出的球是红球,白球和黑球;再从乙罐中随机取出一球,用事件B 表示从乙罐中取出的球是红球,则下列结论正确的是 ( ) A.P(B)=2 5 B.P(B|A 1)=5 11 C.事件B 与事件A 1相互独立 D.A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件 3.甲小组有2个男生和4个女生,乙小组有5个男生和3个女生,现随机从甲小组中抽出1人放入乙小组,然后从乙小组中随机抽出1人,则从乙小组中抽出女生的概率是 .
4.某保险公司把被保险人分为3类:“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明,这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3.如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,那么一个被保险人在一年内出事故的概率为. 5.已知甲袋中有6个红球,4个白球;乙袋中有8个红球,6个白球.随机取一个袋,再从该袋中随机取一球,求该球是红球的概率. 6.甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔,乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔.现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒,然后从乙文具盒中任取两支,求最后取出的两支笔都为黑色笔的概率. 题组二贝叶斯公式* 7.李老师一家要外出游玩几天,家里有一盆花交给邻居帮忙照顾,如果这几天内邻居记得浇水,那么花存活的概率为0.8,如果这几天内邻居忘记浇水,那么花存活的概率为0.3,假设李老师对邻居不了解,即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5,几天后李老师回来发现花还活着,则邻居记得浇水的概率为. 8.设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95,而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002,已知某城市居民患肺结核的概率为0.001.若从该城市居民中随机选出一人,通过胸透被诊断为肺结核,求这个人确实患有肺结核的概率.
第七章随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 新版课程标准 学业水平要求 1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率. 2.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率. 1.通过对具体情境的分析,了解条件概率的定义.(数学抽象) 2.掌握简单的条件概率的计算问题.(数学运算) 3.能利用条件概率公式、概率的乘法公式解决简单的实际问题.(数学模型、数学运算) 必备知识·素养奠基 1.条件概率 (1)定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率. 1.P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗?为什么? 提示:不同.P(B|A)是指在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,而P(A|B)是指在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同. 2.古典概型中的条件概率还可以怎样计算? 提示:P(B|A)= (2)特例:当P(A)>0时,当且仅当事件A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B). 2.概率的乘法公式 对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3.条件概率的性质 设P(A)>0,则 (1)P(Ω|A)=1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A). 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)P(A∩B)= P(AB).() (2)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1.( ) (3)P=P P.( ) 提示:(1)√.事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB),所以P(A∩B)= P(AB). (2)×.若事件A,B互斥,则事件A∩B是不可能事件,P(A∩B)=0,所以P(B|A)=0. (3)×.P=P P. 2.设A,B为两个事件,若P(A∩B)=,P(B)=,则P(A|B)=( ) A. B. C. D. 【解析】选C.由P(A|B)===. 3.某产品长度合格的概率为,质量合格的概率为,长度、质量都合格的概率为,任取一件产品,已知其质量合格,则它的长度也合格的概率为________. 【解析】令A:产品的长度合格,B:产品的质量合格,A∩B:产品的长度、质量都合格, 则P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=. 任取一件产品,已知其质量合格,它的长度也合格,即为A|B,其概率P(A|B)===.
（1）设Ω 为该试验的样本空间，记1A = “第一 次摸出红球第二次摸出蓝球”，2A = “第一次摸出红球第二次摸出红球”，它们能组成该试验的样本空间吗？如果不能，请说明理由？ （2）B = “第二次摸出红球”，求事件 B 的概率； 设计意图:通过回顾样本空间的概念，为求受多因素影响的复杂事件概率转化为简单的基本事情做铺垫；通过分析复杂事件B 的特征，把受两个因素影响的复杂事件表示为各因素下对应的简单互斥事件之和. 变式1：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2 个蓝球，1个黄球，显然，第1次摸到红球的概率为 2 5 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 变式2：一个箱子中装有a 个红球、b 个绿球、c 个黄球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 a a b c ++. 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 分析：用i R 表示事件“第i 次摸到红球”，i B 表示事件“第i 次摸到蓝球”，i Y 表示事件“第i 次摸到黄球”，1,2i =。事件2R 可按第1次可能的摸球结果（红球、蓝球或黄球）表示为三个个互斥事件的并，即2121212R R R B R Y R =⋃⋃ 2121212()()()()P R P R R P B R P Y R =++ 121121121()(|)()(|)()(|)P R P R R P B P R B P Y P R Y =++ 1111a a b a c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c -=⨯+⨯+⨯++++-++++-++++- a a b c = ++ 所以，第2次摸到红球的概率是a a b c ++. 以上证明蕴含着怎样的思想？ 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为三个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 12 3A A A =Ω 123123()()()()()P B P A B A B A B P A B P A B P A B ==++ 设计意图： 采取层进式问题链的方式，由简单到复杂的方法，让学
专题03 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．（2021·全国高二课时练习）已知1 ()2P B A =∣，3()8 P AB =，则()P A 等于（ ） A ． 3 16 B ． 1316 C ．3 4 D ．14 【答案】C 【详解】 由()()()P AB P B A P A =∣，可得()3 ()()4 P AB P A P B A ==∣. 故选：C. 2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知某种产品的合格率是 7 9 ，合格品中的一级品率是4 5.则这种产品的一级品率为（ ） A ．2845 B ．3536 C ． 4 5 D ． 23 【答案】A 【详解】 设事件A 为合格品，事件B 为一级品，则()7 9P A = ，()4|5 P B A =，则()()()4728 |5945 P B P A P B A ==⨯=. 故选：A. 3．（2021·全国高三专题练习（理））现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则() P B A =（ ） A ． 1 3 B ． 47 C ． 23 D ． 34 【答案】A 【详解】 解：由已知得22432 793()217C C P A C +===,232731 ()217 C P AB C ===，
则()P B A = ()1 73() 37 P AB P A ==， 故选：A 4．（2020·全国高二课时练习）2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ） A ．0.99% B ．99% C ．49.5%. D ．36.5% 【答案】C 【详解】 设A 为“某人检验呈阳性”，B 为“此人患病”. 则“某人检验呈阳性时他确实患病”为|B A ， 又()()() 99%0.1% |49.5%0.2% P AB P B A P A ⨯== =， 故选：C. 5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼，6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为（ ） A ． 34 B ． 130 C ． 12 D ． 16 【答案】D 【详解】 设“取到的都是同种月饼”为事件A ，“都是五仁月饼”为事件B ，“在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼”为事件|B A 3 431041()12030C P AB C ∴===，3343 106420241 (20105 )12C C P A C +====+
第七章随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 最新课标 (1)结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． (2)结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． (3)结合古典概型，会利用乘法公式计算概率． (4)结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． [教材要点] 要点一条件概率 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 状元随笔(1)所谓的条件概率，是试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率． (2)在条件概率的概念中，要强调P(A)>0.当P(A)＝0时，P(B|A)＝0. (3)由条件概率的概念可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即
P(B|A)与P(B)不一定相等． (4)P(B|A)＝P （AB ）P （A ） 可变形为P(AB)＝P(B|A)P(A)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值． (5)在事件A 发生的情况下，事件B 发生等价于事件A 和事件B 同时发生，即事件AB 发生．求P(B|A)时，可把A 看成新 的基本事件空间来计算B 发生的概率，即P(B|A)＝n （AB ）n （A ） ＝n （AB ） n （Ω）n （A ）n （Ω） ＝P （AB ）P （A ） .这样除条件概率的概念外，我们可以得到条件概率的另一种计算方法． 要点二 条件概率的性质 (1)P (Ω|A )＝1. (2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝________________． (3)设B － 和B 互为对立事件，则P (B － |A )＝1－P (B |A ). 状元随笔 利用公式P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求条件概率可使复杂的问题变得较为简单，但应注意这个性质是在“事件B 与事件C 互斥”这一前提下才具备的．这个性质的推导过程如下：因为事件B 与事件C 互斥，所以(B ∪C)A ＝BA ∪CA ， 且事件BA 与事件CA 互斥，所以P(B ∪C|A)＝P （（B ∪C ）A ）P （A ）
第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7．1.1 条件概率 新课程标准 新学法解读 1.了解条件概率的概念． 2.掌握求条件概率的方法. 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题. 课前篇·自主学习固基础 [笔记教材] 知识点1 条件概率 一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，我们称P (B |A )＝________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率． 韦恩图示： (1)对条件概率中“条件”的两点说明 ①一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率． ②通常情况下，事件B 在有“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的． (2)思考：P (A |B )与P (B |A )相同吗？ 答案：P (AB )P (A ) (2)提示：不同，前者是事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，
而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率． 知识点2概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝________，我们称上式为概率的乘法公式． 答案：P(A)P(B|A) [重点理解] 1．条件概率的性质： (1)0≤P(A|B)≤1； (2)P(A|A)＝1； (3)如果B与C互斥，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设B与B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)． 2．计算条件概率的方法 (1)直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)， 再利用公式P(A|B)＝P(AB) P(B) 计算． (2)缩减样本空间计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B， AB包含的样本点的个数，再利用公式P(A|B)＝n(AB) n(B) 计算． [自我排查] 1．下列式子一定成立的是() A．P(A|B)＝P(B|A) B．0 1.定义： 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率. 2. 条件概率的定义 设A 、B 是两个事件，且P(B)>0,则称 ()(|)()P AB P A B P B 为在事件B 发生的条件下,事件A 的条件概率.若事件B 已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A 中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B 已发生, 故B 变成了新的样本空间 , 于是有了以上公式 3. 条件概率的计算 1) 用定义计算: 2)从加入条件后可用缩减样本空间法 1.定义:由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B ,若P(A)>0，则()()() P AB P A P B A =,我们称上式为概率的乘法公式. 2.性质：设P(A)>0，则 , ) () ()|(B P AB P B A P =P (B )>0 一般地 条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系 若， 条件概率 无条件概率 （1）() 1P A Ω= （2）如果B 与C 是两个互斥事件，则 ( )()()() P B C A P B A P C A ⋃=+ （3）设B 和B 互为对立事件，则() () 1P B A P B A =- 1.全概率公式 一般地，设12,, n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃ ⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2, ,i n =， 则对任意的事件B ⊆Ω,有()()()1 n i i i P B P A P B A ==∑我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是 概率论中最基本的公式之一 由条件概率的定义： 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB) 定理若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)7.1条件概率与全概率公式- 2020-2021学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义
相关主题
文本预览