习题一 (离散信号与系统)
1.1 周期序列，最小周期长度为 5。
1.2 (1) 周期序列，最小周期长度为 14。(2) 周期序列，最小周期长度为 56。
1.5
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1
s a
s s
a s
n
s s
a s
n
X j x t p t X jΩ P jΩ
2
n τ j n τ sin e 2 X jΩ jn nπ 2
n τ j n Sa e 2 X j jn T 2
π
τ τ
∞
=.∞
∞
=.∞
Ω = .. .. = .
. Ω . Ω = . . . . Ω
. .
. Ω . Ω = . . . Ω. Ω
. .
Σ
Σ
F
1.6 (1) kX (e jω ) (2) e jωn0 X (e jω ) (3) ( )
2
( ) 1
2
1 2 2
ω ω
j j X e + X .e (4) X (e j2ω )
1.7 (1) z.n0 (2) , | | 0.5
1 0.5
1
1 >
. . z
z
(3) , | | 0.5
1 0.5
1
1 <
. . z
z
(4)
, | | 0
1 0.5
1 (0.5 )
1
1 10
>
.
.
.
.
z
z
z
1.8 (1) ) , 0
1
( ) (1 2
1
1 >
.
.
= .
.
. z
z
X z z z
N
(2) z a
az
X z az >
.
= .
.
,
(1 )
( ) 1 2
1
(3)
z a
az
X z az a z >
.
+
= .
. .
,
(1 )
( ) 1 3
1 2 1
1.9
1.10 (1) . u(n) . 2n+1u(.n .1) (2) . 6(0.5)nu(n) . 4 . 2nu(.n .1) (3)
sin ) ( )
sin
(cos 1 cos 0
0
0
0 n nω u n
ω
ω
ω
+
+ (4) . aδ (n) + (a . a.1)a.nu(n)
1.11 (1) X (c.1z) (2) X (z2 ) (3) (1+ z.1)X (z2 ) (4) + . < < x x X (1/ z), 1/ R z 1/ R
1.12 (1) , 1
1
1 <
.
ab
ab
(2) 1 (3) 0
0
n an
1.13 (1) 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。
(2) 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。
(3) 线性系统时不变系统。
(4) 线性系统时不变系统。
(5) 线性系统时变系统。
1.14 (1) y(n) = 4δ (n +1) + 4δ (n .1) +δ (n .3) . 2δ (n .5) .δ (n .7)
(2)
. . .
. ≥
. ≤ ≤
= 0.5 . (2 0.5 ) 5
2 0.5 0 4
( ) 4 4 n
n
y n n
n
(3) y(n) =δ (n) + 2δ (n .1) + 3δ (n . 2) + 6δ (n . 3) . 4δ (n . 4) . 8δ (n . 5)
1.16 (1) 因果、稳定。 (2) n0<0 时系统非因果,不稳定。 (3) 当 n0＞0 时，该系统是因果系
统，当 n0＜0 时，该系统是非因果系统；系统稳定。 （4）因果、稳定。 （5）因果、稳定。
（6）因果、稳定。（7）因果、不稳定。（8）非因果、稳定。
1.17 (1)
y(n)=1, n=0
y(n)=4*3-n , n≥1
(2) ) ] ( )
3
(1
2
1
2
y(n) = [3 . . n u n
(3) ) ] ( 5)
3
[1 (1
2
) ] ( ) 3
3
(1
2
1
2
y(n) = [3 . . n u n + . n.5 u n .
1.18 y(n)=1, n=0
y(n)=3*2-n , n≥1
1.19 (1) ( ) 1 [a 1 (b) 1]u(n)
a b
f n n+ . n+
.
=
(2) f (n) = an.2u(n . 2)
(3)
1.22 (3)
a
H(e jω ) = 1
习题二 (离散傅里叶变换及其快速算法)
2.1
(2 1) 0 0,1, 1
(2 ) ( )
2
2 1
+ = = .
=
X k k N
X k X k
…
2.6 (1) 1 (2) n k
N W 0 (3) k
N
N
aW
a
.
.
1
1 (4)
. ..
...
.
=
.
≠
= .
0
2
( 1)
0
( ) 1
N N k
k
W
N
X k
k
N
2.10 (1) ) ( ) cos(2
2
n R n
N
N
N
π
(2) cos(2 ) ( )
2
n R n
N
N
N
π
. (3) sin(2 ) ( )
2
n R n
N
N
N
π
2.12 (1)
[ ]
[ ( ) ( )]
2
1
(( )) (( )) ( )
2
1
DFT ( )cos(2 )
*
X k m X k m
X k m X N k m R k
mn
N
x n
N N N
= . + +
= . + . +
..
.
..
. π
(2)
[ ]
[ ( ) ( )]
2
1
(( )) (( )) ( )
2
1
DFT ( )sin(2 )
*
X k m X k m
j
X k m X N k m R k
j
mn
N
x n
N N N
= . . +
= . . . +
..
.
..
. π
2.13
0,1,2, , 1
( ) ( )
= .
=
k N
Y rk X k
..
2.14
Y(k) = X ((k)) R (k) k = 0,1, ,rN .1 N rN ..
2.15 (1) x(n) a R (n) N
= n y(n) b R (n) N
= n
(2) x(n) =δ (n) y(n) = Nδ (n)
2.16 ( )
1
1 a R N
a N
n
. N
2.17 (1) X (k + N / 2) (2) W k X ( k)
N . .
2.18 7≤n≤19
2.19 (1) ( ) ( ) {6,3,6,10,14,12,9} ~
7 f n R n = (2) f (n)是~f (n)的主值序列
(3){1,3,6,10,14,12,9,5,0,0,0,0}
2.20 125.8ms, 0.712ms
2.25
2.27 (1) N=49 (2) M=51 (3) 49－99
2.28 (1)854Hz (2) 815Hz
1
习题三(IIR 滤波器设计)
3.1
1 3
1 2 2
3 1
2 2 1 2 2
3 ( )
( ) 2
1 ( )
z e e
H z
e e z e z
. . .
. . . . .
.
=
. + +
3.2 (1)
( ) 1 ( ) 1
1 1
( ) 2 2
1 a bj T 1 a bj T H z
e . . z. e . + z. = +
. .
= ( ) ( ) 1 2 2
1
1 [ ]
1 cos( )
. . . + . . .
. .
. + +
.
e e z e z
e bT z
a bj T a bj T aT
aT
(2)
0
1
( ) [ ]
( 1)!
m
m
s T
H z AT z d z
m dz ze
.
= .
. .
3.4
1 2
2
( ) 1 2
3
H Z z z
z
. .
.
+ +
=
+
3.6 1 s f = KHZ 100 c f = HZ
5 s f = KHZ 500 c f = HZ
200 s f = HZ 20 c f = HZ
3.7
1
1 1 2
( ) 1 1 0.665
1 0.368 1 0.786 0.368
H z z
z z z
.
. . .
. +
= +
. . +
3.8
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) 5.196(1 3 3 )
15.66 15.12 9.12 1.66
1 3 3
3.014 2.91 1.755 0.3195
0.33180 0.9954 0.9954 0.3318
1 0.9655 0.5806 0.106
H z z z z
z z z
z z z
z z z
z z z
z z z
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
+ + +
=
+ + +
+ + +
=
+ + +
. + .
=
. + .
3.9
2
1 2 3 1 2 3
2 2
( ) 1 3 3 0.1667 0.5 0.5 0.1667
6 2 1 0.3333
H z z z z z z z
z z
. . . . . .
. .
. + . . + .
= =
+ +
3.10
6 4 2
6 4 2
( ) 5.196( 3 3 1)
15.66 15.12 9.12 1.66
H z z z z
z z z
. + .
=
. + .
2 4 6
2 4 6
2 4 6
2 4 6
1 3 3
3.014 2.91 1.755 0.3195
0.3318 0.9954 0.9954 0.3318
1 0.9658 0.5827 0.1060
z z z
z z z
z z z
z z z
. . .
. . .
. . .
. . .
. + .
=
. + .
. + .
=
. + .
3.12
1 2
1 2
( ) 0.0674553(1 2 )
1 1.14298 0.412802
H z z z
z z
. .
. .
. +
=
+ +
3.14
8.11 36.77 75.2 19.47 7.55
( ) 0.28 0.36 0.36 0.28 4 3 2 1
4 3 1
. + . +
. + .
= . . . .
. . .
z z z z
H z z z z
1
习题四(FIR 滤波器)
4.1 （1） [sin[ ( )]
( )
( ) ( 1) ω α
π α
.
.
.
= n
n
h n c
n
d
其中，
2
.1
α = N
（2）因为 h(n)偶对称，所以若 N 为奇数，则属于第一种线性相滤波器，若
N 为偶数，则属于第二种线性相位滤波
器
（3）∵ )] ( )
1
[1 cos( 2
2
( ) 1 R n
N
w n n . N
= .
π
∴h(n) w(n)h (n) d =
4.2 (1)
( )
( ) 2cos[ 0 ( )]sin[ ( )]
π α
ω α ω α
.
. .
=
n
h n n c n
d 其中
2
.1
α = N ，
4.3 (1) sin[( ) ]sin[( ) ]
( )
( ) 2 0 α ω α ω
α π
. .
.
= n n
n
h n d c
4.4 (2) h (n) (n ) h (n) BR BP =δ .α . N N
2
.1
α = 必须为奇数
4.6 用 k N k H H . = ,又∵N 为奇数
∴ k
N
k N
π
θ ) 2
2
( ) ( 1
.
= . = (1 1 )
N
. kπ . =
15
. 14kπ
∵
)
2
1 ( 1
0 sin[( 2 / ) / 2]
( ) 1 ( ) sin( / 2) N
N j N k
k
j e
k N
H k N
N
H e
π
ω ω
ω π
ω +
.
. .
= Σ
.
=
将 j k
k H(k) = H e θ 带入上式，则
Σ=
. . +
.
=
14
0
)
15
(7
15
14
sin[( 2 /15) / 2]
sin(15 / 2)
15
( ) 1
k
j k j k
j k e e
k
H e H
π
ω
π
ω
ω π
ω
= ω
ω π
ω
ω π
ω
ω
ω 7 ]
sin( / 2 /15)
0.5sin(15 / 2)
sin( / 2 /15)
0.5sin(15 / 2)
sin( / 2)
[sin(15 / 2)
15
1 e. j
+
.
.
.
)] 0 14
15
14
15
[1 cos(2
15
h(n) = 1 + n . ≤ n ≤
π π
4.7 （1） ( ) ( ) ( ) 2 2
4
8
2
1 H k e j kH k e jπkH k
π
. .
= =
2
故 ~ ( ) ~ ( )
1 2 H k = H k
(2) 线性相位, (N-1)/2, h1(n)好于 h2(n)
4.8
. . . .
.
. . . .
.
.
. =
=
. =
=
=
.
.
.
.
k
e k
e k
e k
e k
H k
j k
j k
j k
j k
0 其它
0.39 24
0.39 8
25,26,...31
0,1,...7
( )
32
31
32
31
32
31
32
31
π
π
π
π
4.9 (1)
. . .
.
.. .
.
.
=
=
=
=
.
.
0 0,..11;22,...32
13,14,...20
0.39 12,21
( ) 33
32
33
32
k
e k
e k
H k j k
j k
π
π
(2)
. . .
.
.. .
.
.
=
=
=
=
. +
0 0,..11;23,...33
13,14,...,21
0.39 12,22
( ) 34
32
)
34 2
( 32
k
e k
e k
H k j k
j k
π
π
π
4.10 （1）
. ..
. ..
.
= .
= = .
=
=
+
.
.
+
.
.
2,3,... 2
0.4 1, 1
0 0
( )
)
2
( 1
)
2
( 1
e k N
e k k N
k
H k
N
j k N
N
j k N
π
π
π
π
（2）
. . .
.
. . .
.
.
.
+
. =
.
=
=
=
1 其他
, 1
2
0.4 1
2
0.4 1, 3
0 0
k N N
k N
k
Hk
. . .
.
. . .
.
.
.
+
+ =
.
. .
.
=
=
=
+
.
.
+
.
.
其他
)
2
( 1
)
2
( 1
, 1
2
) 1
2
0.4 ( 1
2
0.4 1, 3
0 0
( )
π
π
π
π
π
π
N
j k N
N
j k N
e
k N N
N
e j k N
e k N
k
H k
习题五(数字信号处理系统的实现)
5.1 (1)
1 2
1
1 0.25 0.3
( ) 2 0.25 . .
.
. +
+
=
z z
H z z
(2)
1 2 3 4 5
1 2 3 4
2 3
1 2
1 2
1 2
1 1.5 0.26 0.98 0.62 0.08
6 3.6 15.9 3 7.2
1 0.76 0.16
6 0.6 3.6
1 1.5 0.5
( ) 1 0.5 2
. . . . .
. . . .
. .
. .
. .
. .
. + . . .
+ + + +
=
+ +
+ +
.
. .
+ +
=
z z z z z
z z z z
z z
z z
z z
H z z z
5.7 +
.
= . .
.
1
16
1
(1 )[ 1
16
( ) 1
z
H z z ]
1 1.414
1 1.41
1 1.85
2 1.98
1 2
1
1 2
1
. .
.
. .
.
. +
.
+
. +
.
z z
z
z z
z
5.8
2 2 2 2 2 2
0 0
2 22
2 2
( ) ( 2( ) )
[ 1 2 1 1 ] 2 /12
1 1 1
n n n n n
f e e
n n
b
e e
e a c a ac c
a ac c
∞ ∞
= =
.
= + = + +
= + + =
. . .
σ Σ σ Σ
σ σ
5.9 (1)
2
cos ( ) 1
2
1
0
2 = ∫ 2 + = . ω θ θ
π
σ π
π x n d
b
e
x
q q
2
2 2 2
2
6 6 2
12
2
1
∴ = = = .
σ
σ
(2) b=(80-1.249)/6.02=13.08 (取整)=14
5.10 (1) 2.84 2 e σ (3) 7.93 2 e σ