3、设 函数f (x)具有二阶连续导数,且 f(x) 0, f (0) 0,则函数z f (x)ln f (y)
2011年考研数学试题(数学一)
、选择题
1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是( )
(A ) (1, 0)
(B ) (2, 0)
( C ( 3, 0)
( D ) (4, 0)
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分 条件即可。
【解析】由y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4可知1,2,3,4分别是
2
3
4
y x 1 x 2 x 3 x 4 0的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的
关系可知 y(1) 0,y (2) y (3) y (4) 0
y (2) 0, y (3) y (4) 0,y (3)
0,y ⑷
0,故(3,0)是一
拐点。
2、设数列
a n 单调减少,lim
n
a n 0, S n
n
a k n 1,2
k 1
无界,则幕级数
a n x 1
n
的收敛域为(
) (A) (-1 , 1]
(B ) [-1 ,1) (C ) [0,2) (D )
n 1
(0,2]
【答案】C 【考点分析】本题考查幕级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项 级数收敛性的一些结论,综合性较强。
无界,说明幕级数 a n x 1 n 的收敛半径R 1 ;
n 1
半径R 1。
因此,幕级数
a n x 1 n 的收敛半径 R
n 1
收敛,x 2时幕级数发散。可知收敛域为
0,2。
n
【解析】S n
a k n 1,2
k 1
a n 单调减少,lim a n
n
0,说明级数 a n
n 1
1 n 收敛,可知幕级数
a n x 1 n 的收敛
n 1
1,收敛区间为 0,2。又由于x 0时幕级数
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) f(0) 1, f (0) 0 (B) f (0) 1, f (0) 0 (C) f(0) 1,
f (0)
(D)
f (0)
1, f (0)
【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件,直接套用二元函数取极值的充 分条件即可。
【解析】由 z f (x)ln f (y)知 Z x
f (x)ln f (y), Z y 丄^ f (y) , Z xy
f (x)
f (y) f(y)
f(y)
f (0)ln f (0)
0, f (0)ln f (0) f (0) 0
所以有 f (0) 1, f (0)
【答案】B
的大小即可。
5.设A 为3阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得矩阵 B ,再交换B 的第二行与第一行得单
Z xx f (x)ln f (y),
Z yy f(x)
f (y)f(y) (f (y))2
f 2(y)
所以Z xy 要使得函数z
0, Z xx
(f (0))2 f 2
(0)
f (x)ln f (y)在点(0,0) f (0)ln f (0),
0 0
f (0)
处取得极小值,仅需
4、设 I
o 4 In sin xdx,J
ln cotxdx K
4ln
cosxdx ,则UK 的大小关系是()
(A ) I J K ( B )I K J
(C ) J I K
( D ) K J I
【考点分析】本题考查定积分的性质,
直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数
【解析】x (0,)时,0 sin x
4
cosx cot x ,因此匕 Insin x In cos x In cot x
4 ln sinxdx 0
4 ln cosxdx
ln cot xdx ,故选(B )
10 0
10 0 位矩阵?记P 1
1 0 , F
2 0 0 1,则A () 0 0 1
0 1
即可。
x , F 2 x 为两个分布函数,其相应的概率密度 f 1 x , f 2 x 是连续函数,则必为
概率密度的是() (B) 2f 2 x F j x
(C ) f 1 x
F 2 x ( D )
x F 2 x f 2 x F 1 x
【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质:
f 1 x F 2 x f 2 x F 1 x 0 ;
(A ) RF 2
(B ) R 1
P 2
(C ) F 2F
1
(D) F 2 R
【答案】D 【考点分析
】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论 【解析】
矩阵与初等变换的关系知AR
B , F 2B E ,
A BR 1
F 2 1
P 1
1
F 2R ,故选(D )
6、设
3,
4是
4阶矩阵, 为
的伴随矩阵,若 1,0,1,0是方程组
的一个基础解系,则
x 0基础解系可为(
(A)
1, 3
(B)
1,
2
(C)
2,
3 (D)
2, 3, 4
【答案】D 【考点分析 】本题考查齐次线性方程组的基础解系,需要综合应用秩,伴随矩 阵等方面的知识,有一定的灵活性。 【解析】 由x 0的基础解系只有一个知 r(A) 3,所以 r(A ) 1,又由 A A A
知,
2, 3, 4都是 x 0
的解,且
x 0的极大线生无关组就是其基础解系,又
2,
3,
1, 2, 3, 4
0,所以
3线性相关,故
1, 2,
4为极大无关组,故应选( D )
7、设 F 1 (A ) f 1 X f 2 X
x
f 1 x F 2 x f 2 x F 1 x dx R x F 2 x
1。可知 f 1 x F 2 x
f 2 x F , x
为概率密度,故选( D )。
&设随机变量 与
相互独立,且
与
存在,记u
max x, y , V
min x, y ,
则(UV )()
(A)
U V (B)
(C)
U
(D)
V
【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变 量UV 进行处理,有一定的灵活性。
【解析】由于 UV max{X,Y}mi n{ X ,Y} XY 可知 E(UV) E(max{X,Y}min{X,Y}) E(XY) E(X)E(Y) 故应选(B ) 二、填空题
【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。 先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其 通
解,再根据定解条件,确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为
【答案】4
9、曲线
x
tan tdt 0 x 0
的弧长s =
4
【答案】
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算,直接代公式即可。
【解析】
'2 4
2
y dx tan xdx
sec x 1dx tanx x (4
10、微分方程
y e x cosx 满足条件
y (0) 0的解为y
【答案】y sin x
xe
1dx x 1dx
y e [ e cosx e dx C]
x
[ cosxdx C] e x [sin x C]
由 y(0) 0 ,得 C
0,故所求解为
sin xe
11、设函数F x, y
xy
si nt
0厂严,
【考点分析】本题考查偏导数的计算。
应的计算公式计算即可。
cost
2 2
y 1 4乙 4,则 a —
【答案】1
【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。 题目中的条件相当于告诉
了二次型的特征值,通过特征值的相关性质可以解出 a 。
【解析】本题等价于将二次型
f (x, y, z) x 2 3y 2 z 2
2axy 2xz 2yz 经正交变换后
化为了 f y ; 4z ;。由正交变换的特点可知,该二次型的特征值为
1,4,0。
1 a 1
该二次型的矩阵为 A a 3
1 ,可知A a
2 2a 1 0,因此a 1。
1 1 1
【解析】F ysinxy
2
F
~2~
x
2
2 2
3 .
2
y cosxy 1 x y 2xy sinxy 2F ---------- 。故匚2
x y
。故
12、设L 是柱面方程 x 2
1与平面z x
y 的交线,从z 轴正向往z 轴负向看去为逆
时针方向,则曲线积分
2
?xzdx xdy — dz
L
2
【答案】
【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。
首先将曲线写成参数方程的形式, 再代入相
【解析】曲线L 的参数方程为
sin t ,其中t 从0到2 。因此
cost sin t
2
y
Qxzdx xdy dz
L
2
2
cost (cost sin t)( sint)
0 2
cost cost 13
.丄 2 丄 sin 21 cost
sintcos t
2
cos 2
1
■ 2
sin t/
(cost sin t)dt
■ 3 .
Mt 2 若二次曲面的方程为x 2 3y 2
2
z 2axy 2xz 2yz
4,经正交变换化为
x
14、设二维随机变量(X,Y)服从N( , ; 2, 2;0),则E(XY 2) 【答案】3
2
【考点分析】:本题考查二维正态分布的性质。
E(XY 2) EX EY 2。
E(XY 2)
三、解答题
1
【答案】e 2
将极限式变形,再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。
x
lim
x 02x(1 x)
e
【答案】切⑴)4(1,1)
【考点分析】:本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件,主要考查考生的计算 能力,计算量较大。
Z '
【解析】:—
f 1 (xy, yg(x))y f 2(xy, yg(x))y
g (x)
【解析】:由于 0,
由二维正态分布的性质可知随机变量X,Y 独立。因此
由于(X,Y)服从N(,;
2
;0),可知 EX ,EY 2
DY
2
EY
2 2
,则
15、(本题满分10分)求极限
ln(1 x) x
【考点分析】:本题考查极限的计算, 属于1 形式的极限。计算时先按1
未定式的计算方法
lim 世— x 0 x
lim
x 0
ln(1 x) x
x
ln(1 x) x 1 lim
—
e x 0 x e 1
e x 0
x) x
x 0 2x
16、(本题满分9分)
f (xy, yg(x)),其中函数f 具有二阶连续偏导数,
函数
g(x)可
导,且在x 1处取得极值
2
g(1) 1,求 z
x y x 1,y 1
2
z '
' '
f"(xy,yg(x))xy f i,2(xy, yg(x))yg(x) f i (xy, yg(x))x
x y
f 2,i (xy,yg(x))xy
g (x) f 2,2(xy, yg(x))yg(x)g (x) f 2(xy, yg(x))g (x)
由于g(x)在x 1处取得极值g(1) 1,可知g '(1) 0。
故
f ;1(1,g(1)) f ;2(1,g(1))g(1) f ;(1,g(1))
f 2,1(1,g(1))
g '(1) f 2,2(1,g(1))g(1)g '(1)
f 2(1,g(1))
g '(1)
f ,1(1,1)「(1,1)
17、(本题满分10分)求方程karctanx x 0不同实根的个数,其中 k 为参数 【答案】k 1时,方程karctanx x 0只有一个实根
k 1时,方程karctanx x 0有两个实根
【考点分析】:本题考查方程组根的讨论,主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性
与只有一个交点,也即方程 k arctanx x 0只有一个实根
(2)
k 1 时,在(,0)和(0,)上都有 f (x) 0,所以 f(x)在(,0)和(0,)
是严格的单调递减,又 f(0) 0,故f (x)的图像在(,0)和(0,)与x 轴均无交点
(3)
k 1 时,x .厂 时,f (x) 0 , f(x)在(.1T1, Fl)上单调
增加,又f(0) 0知,f (x)在(.Fl, ■ ^1)上只有一个实根,又 f (x) ( , F^) 或(.k 1,)都有f (x) 0 , f (x)在(,.k 1)或C ,k 1,)都单调减,又
f( F7) 0, lim f (x)
, f(,n ) 0, lim f (x) ,所以 f(x)在
x
x
2
z
x y x 1, y 1 质。解题时,首先通过求导数得到函数的单调区间, 再在每个单调区间上检验是否满足零点
存在定理的条件。
k
【解析】:令 f (x) karcta nx x ,贝U f (0)
0, f (x) ---------- 2 1
1 x
k 1 x 2 1 x 2
(1)当 k 1 时,f (x) 0 , f (x)在(
)单调递减,故此时
f (x)的图像与x 轴
(,'-k 1)与x轴无交点,在0 k 1,)上与x轴有一个交点D
综上所述:k 1时,方程karctanx x 0只有一个实根
k 1时,方程karctanx x 0有两个实根
1 11
18、(本题满分10分)证明:(1)对任意正整数n ,都有二 in(1 -)-
n 1
n n
m
1 1 (2)设 a n 1 L
In n(n 1,2,L ),证明数列{a n }收敛
2
n
【考点分析】:本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明,难度较大。 (1)要证明该不等
式,可以将其转化为函数不等式,再利用单调性进行证明; (2)证明收敛性时要用到单调有
界收敛定理, 注意应用(1)的结论。
1
【解析】:(1)令一 x ,则原不等式可化为
x ln(1 x) x,x 0。
n
x 1
先证明ln(1 x) x, x 0 :
令 f (x) x
1
ln(1 x) o 由于 f '(x)
1 - 0,x 0,可知f(x)在0,
上单调递
增。
1 x
又由于f (0) 0,因此当x 0时,f(x)
f (0) 0。也即 ln(1 x) x, x 0 o
再证明x
ln(1 x), x 0:
x 1
x
'
1 1 令 g(x) ln(1 x)——。由于 g (x)
- ——2 0, x 0,可知 g(x)在 0, 上 x 1
1 x (1 x)
单调递增。由于g(0) 0,因此当x 0时,g(x) g(0)
0。也即亠 ln(1 x),x 0。
x 1
因此,我们证明了
x ln(1 x) x,x 0。再令由于, 即可得到所需证明的不等式。
x 1
1),由不等式
(2) a n 1
a n
1 ln(1 ln(1 1 -)可知:数列a n 单调递
n 1
n n 1
n
减。
又由不等式
ln(1 1
-
可知:
a n 1 - n n
1
ln(1 -) ... ln(1
L
1 . ln n ln(1 1) 1
) Inn ln(n 1) Inn 0。
2
n 2
n
因此数列 a n 是有界的。故由单调有界收敛定理可知:数列 {a .}收敛。
19、(本题满分11分)已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且 f(1,y) 0, f (x,1) 0,
f (x, y)dxdy a ,其中 D {(x, y) 10 x 1,0 y 1},计算二重积分
D
I
xyf xy (x, y)dxdy
D
【答案】a
【考点分析】:本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式 化为已知的积分式,出题形式较为新颖,有一定的难度。 xyf xy (x, y)dxdy 转化为累次积分可得
D
因此
【解析】:将二重积分
xyf xy (x, y)dxdy
D
1
1
dy xyf xy (x,y)dx
首先考虑
1
xyf xy 0
(x, y)dx ,注意这是是把变量
y 看做常数的,故有
1
xyf xy (x,y)dx
1
xdf y (x, y) xyf y (x, y)
1
y f y 0
(x, y)dx yf y (1,y)
1
yf y (x,y)dx
f (i,y)
f(x,1)
0 易知 f y (1,y)
f x (x,1)
1
xyf xy (x,y)dx
1
yf y (x,y)dx 。
xyf xy (x, y)dxdy
1
dy 0
1
xyf xy (x,y)dx
1
dy 0
1
yf y (x, y)dx
对该积分交换积分次序可得:
1 1
dy yf y (x, y)dx
0 0
1
dx
1
yf y (x, y)dy
1
再考虑积分
yf y 0
(x,y)dy , 注意这里是把变量 x 看做常数的, 故有
1
yf y (x, y)dy
1
ydf(x,y)
yf (x, y)0
1
f(x,y)dy
1
f (x,y)dy
xyf xy (x, y)dxdy
D
1
dx 0
1
yf y (x,y)dy
0 1
dx
1
f (x,y)dy f (x, y)dxdy a
0 D
20、(本题满分11分)
T
1
1,0,1 , 2
T
0,1,1 ,
3
1,3,5 T 不能由
T
1 1,a,1 ,
2 1,2,3
T
T
,3
1,3,5 线性表出。 ①求a ;②将
(1 )求A 的特征值与特征向量(2)求A
的特征值分别为1, -1,0,对应的特征向量分别为 (2)A 0
【考点分析】:实对称矩阵的特征值与特征向量,解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。
线性表出。
【答案】:①a 5 :②1
2
3
2
1 5
1
2
3
4
2
10
1 0 2
【考点分析】:本题考查向量的线性表出,需要用到秩以及线性方程组的相关概念, 解题时 注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。 【解析】:①由于
3不能由
1 ,
2,
3表示
可知
,解得a
②本题等价于求三阶矩阵
C 使得
2, 2,
可知C
2,
计算可得C 10
因此 1
2
3
10
21、(本题满分11分) A 为三阶实矩阵, R(A)
-1
【答案】(1)
-1 -1 1 1
【解析】:(1)
0 -
0 0 0
1
1 1
1
1 -1
可知:1, -1均为
的特征值,
1
0与2 0分别为它们的特征向量
1
1
r(A) 2,可知0也是
的特征值
而0的特征向量与 1,
2正交
X i
设3 X 为0的特征向量
X 3
X 3
的特征值分别为1 , -1 , 0
1
-1 0
0, 0 , 1 1 1
(2)
-1
1
1 1
0 其中
1
0 0
1
1 1 0
1
1 0 1
1 1
0 故A
0 0
1
1
0 0 1
1 1 0
0 1 1
1
1
1 1 0 1
2 A 2 A
0 0 1
1
-0 1
2 2
1 1 0
1 1
X i X i
X 3
对应的特征向量分别为
P X 1,Y 1 P X 1,Y 1 P X 0,Y 1 P Y 1 1/3
22.(本题满分11分)
X,Y 的分布;
Z XY 的分布; XY ?
【答案】:(1
)
0 1
-1 0 1/3 0 1/3 0 1
1/3
(2)
Z
-1 0 1 P
1/3
1/3 1/3
(3) XY 0
【考点分析】:本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中,最主要的 是第一问联合分布的计算。
【解析】:(1)由于P X 2 Y 2 1,因此P X 2 Y 2 0。 故P X 0,Y
1 0,因此
求:(1) (2) (3)
【考点分析]:
本题考查参数估计和随机变量数字特征的计算, 2
有一定的难度。在求 的最
2
A
2
再由P X 1,Y 0 0可知
P X 0,Y 0 P X 1,Y 0 P X 0,Y
0 P Y 0
1/3
同样,由P X 0,Y
1 0可知
P X 0,Y 1 P X 1,Y 1 P X 0,Y
1 P Y 1 1/3
(2)可能的取值有 ,, 其中 P(Z 1) P(X 1,Y 1) 1/ 3, P(Z 1) P(X 1,Y 1) 1/ 3,
则有 P(Z 0)
1/3。
因此,Z XY 的分布律为
(3)EX 2/3,EY 0,EXY 0,cov(X,Y) EXY EXEY 0
故
cov(X,Y) o XY
----------- --------- 0
.DX . DY
23、(本题满分11分)设x-i , x 2, L , x n 为来自正态总体 N( 0 已知,2
0未知,x 和S 2分别表示样本均值和样本方差,
A
2 2
的最大似然估计
2
)的简单随机样本,其中
(1)求参数
(2)计算E(
A
A
2
)和 D( 2)
【答案]:(1)
An
2
A
2
(X i
)
2 2
(2) E( ) ,D( . n
2
)
大似然估计时,最重要的是要将 看作一个整体。在求 的数学期望和方差时,则需要
综合应用数字特征的各种运算性质和公式,难度较大。 【解析】:
(X
o
)2
2
(X i o )2
D( A 2)?
A
E( 2
)
E n
(X i
)2
1 n E(X i
)2 E(X 1
)2 DX 1
2
i 1
n
n i1
A
n
八"
n
D( 2)
D
(X i
0J 2
1
2
D(X i
)2 1
D(X 1 °
)2
i 1
n
n
i 1
n
由于X 1
: N 0, 2
由正 态分布
的性 质可知
X 1
: N 0,1。
因此
X 1
2
2
:2 1, 由2 的性质可知D
1 0
2, 因此D(X 1
)2 2 4,故
由随机变量数字特征的计算公式可得
L X i ,X 2 丄,X n ,
-exp
o )2
exp
o
)2
则lnL
%2 2
n In
n
(x_
2
o )
2~
%2 2 n
in 2
1
~~2
(X i
)2
2
In L
2
In L
~2~
0可得 2的最大似然估计值
(X i
o
)2
最大似然估计量
(2)
2002数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? ∞+e x x dx 2ln = _____________. (2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1 (0)1,(0)2 y y '== 的特解是_____________. (4)已知实二次型3231212 32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则 a =_____________. (5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题(每小题3分.) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?① (D)③?①?④ (2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数)11 ()1(11+++ -∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数)(x f 在+ R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞ →x f x 时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (B)当)(lim x f x '+∞ →存在时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (C) 当0)(lim 0=+ →x f x 时,必有0)(lim 0='+ →x f x (D) 当)(lim 0x f x '+ →存在时,必有0)(lim 0='+ →x f x . (4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和 )(y F Y ,则 (A))(x f X +)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数
2011年考研数学二真题答案解析 2011年考研已经结束,以下是 2011年考研数学二真题答案解析,希望对考生有所帮助 2(111考研数学真题解析——数学二 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为() (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…(-) ,其中n为正整数,则 (0) f' =( ) (A) 1 (1)(1)! n n - -- (B) (1)(1)! n n -- (C) 1 (1)! n n - - (D) (1)! n n - (3)设函数 () f t 连续,则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =() (A ) 2 22 0 () dx x y dy + ? (B ) 2 22 0 () dx f x y dy + ? (C ) 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? (D ) 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? (4 )已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛, 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛,则 α范围为() (A)0<α 1 2 ≤ (B) 1 2< α≤1 (C)1<α≤ 3 2(D) 3 2<α<2 (5)设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ,,,为任意常数,则下列向量组线性相关的是( ) (A )123ααα,, (B )124ααα,, (C ) 134ααα,, (D ) 234ααα,, (6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?, 123=P ααα(,,),1223=Q αααα(+,,)则1 =Q AQ -() (A )1 2 1?? ? ? ??? (B )1 1 2?? ? ? ??? (C )212?? ? ? ?? ? (D )22 1?? ? ? ?? ? (7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则+P X Y ≤2 2 {1} ( ) (A ) 1 4 (B ) 1 2 (C ) 8π (D ) 4 π (8)设1234X X X X ,,,为来自总体 N σσ>2 (1,)(0)的简单随机样本,则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布( ) (A ) N (0,1) (B ) (1) t (C ) 2 (1)χ (D ) (1,1) F 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→ 2011年考研数学试题(数学一) 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界,则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0,2) (D ) (0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛,可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此,幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛,2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)(>x f ,0)0(='f ,则函数)(ln )(y f x f z = 2011年考研数学试题(数学一) 一、选择题 1、 曲线()()()() 4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()2 3 4 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函 数之间的关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,()∑=== n k k n n a S 1 2,1ΛΛ无界,则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0,2) (D )(0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径 1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a , 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛,可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此,幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0 x = 2011考研数学一真题试卷 一选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A(1,0) B(2,0) C (3,0) D(4,0) 2设数列{}n a 单调递减,∑=∞→?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim )无界,则幂级数∑=-n k n k x a 1)1(的收敛域 A (-1,1] B [-1,1) C[0,2) D (0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)0(,0)(>'>f x f ,则函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 2011年考研数一真题及答案解析 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()() ()() 2 34 12340 y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,则幂级数() 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域 为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0,2) (D )(0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛,可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此,幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛,2x =时 幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)(>x f ,0)0(='f ,则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A ) 0)0(1 )0(>''>f f , (B) 0)0(1)0(<''>f f , (C) 0)0(1 )0(>'' 2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1) 已知当0x →时,()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小,则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导,且()0f =0,则()() 233 2lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列,则下列命题正确的是 ( ) (A)若 1n n u ∞ =∑收敛,则 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1 n n u ∞ =∑收敛,则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛,则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π= ? ,4 ln cot J x dx π =?,40 ln cos K x dx π =?,则,,I J K 的大小关 系是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得矩阵B ,再交换B 的第二行与第三行得 单位矩阵,记1100110001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ? = ? ??? ,则A = ( ) (A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 1 21-P P (6) 设A 为43?矩阵, 123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解,12,k k 为任意常数,则Ax β=的通解为( ) (A) 23 121()2 k ηηηη++- (B) 23 121()2 k ηηηη-+- n ∑a (x -1) ? ? ? ? 1 2 2 1 0 0 2011 年考研数学一试题 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的 四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答.题.纸. 指定位置上. (1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3(x - 4)4 的拐点是( ) (A) (1, 0) . (B) (2, 0) . (C) (3, 0) . (D) (4, 0) . (2) 设数列{a n } 单调减少, lim a n = 0 , S n = ∑a k (n = 1, 2, 无界,则幂级数 n →∞ k =1 ∞ n 的收敛域为( ) n =1 (A) (-1,1] . (B) [-1,1) . (C) [0, 2) . (D) (0, 2] . (3) 设函数 f (x ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 , 且 f (x ) > 0 , f '(0) = 0 , 则 函 数 z = f (x ) l n f ( y ) 在点(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f (0) > 1, f ''(0) > 0 . (B) f (0) > 1, f ''(0) < 0 . (C) f (0) < 1, f ''(0) > 0 . (D) f (0) < 1, f ''(0) < 0 . π π π (4) 设 I = ? 4 ln sin xdx , J = ? 4 ln cot xdx , K = ? 4 ln cos xdx ,则 I , J , K 的大 小关系是( ) (A) I < J < K . (B) I < K < J . (C) J < I < K . (D) K < J < I . (5) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ,再交换 B 的第 2 行与第 3 ? 1 0 0 ? 行得单位矩阵,记 P = 1 1 0 ? , P ? 1 0 0 ? = 0 0 1 ? ,则 A = ( ) 1 ? 0 0 1 ? 2 ? 0 1 0 ? (A) P 1P 2 . (B) P -1 P . (C) P 2 P 1 . (D) P P -1 . (6) 设 A = (α ,α ,α ,α ) 是 4 阶矩阵, A * 为 A 的伴随矩阵,若(1, 0,1, 0)T 是方程组 1 2 3 4 ) n 2011年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版 附答案分析及详解 一、选择题 1、 曲线()()()()4 324321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞→n n a ,()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,则幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛域为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0, 2) (D )(0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,说明级数()11n n n a ∞=-∑收敛,可知幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。 因此,幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0x =时 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 曲线234 (1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( ) (A) (1,0). (B) (2,0). (C) (3,0). (D) (4,0). (2) 设数列{}n a 单调减少,lim 0n n a →∞ =,1 (1,2,)n n k k S a n == =∑ 无界,则幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A) (1,1]-. (B) [1,1)-. (C) [0,2). (D) (0,2]. (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数,且()0f x >,(0)0f '=,则函数 ()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)1f >,(0)0f ''>. (B) (0)1f >,(0)0f ''<. (C) (0)1f <,(0)0f ''>. (D) (0)1f <,(0)0f ''<. (4) 设40 ln sin I x dx π = ? ,4 ln cot J x dx π =?,40 ln cos K x dx π =?,则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<. (B) I K J <<. (C) J I K <<. (D) K J I <<. (5) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵,记11001 10001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ? = ? ??? ,则A =( ) (A) 12P P . (B) 112P P -. (C) 21P P . (D) 1 21P P -. (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T 是方程组 0Ax =的一个基础解系,则*0A x =的基础解系可为( ) (A) 13,αα. (B) 12,αα. (C) 123,,ααα. (D) 234,,ααα. 2011年考研数学真题试卷及标准答案解析 ---------------------心若在,梦就在,谨以此献给2012考研的同学们!! 一选择题 1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点 A (1,0) B (2,0) C (3,0) D (4,0) 2设数列{}n a 单调减少,∑=∞ →?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim )无界,则幂级数 ∑=-n k n k x a 1 ) 1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)0(,0)(>'>f x f ,则函数 )(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 2011年概率论考研真题与答案 1. (2011年数学一、三)设1()F x 和2()F x 为两个分布函数,其相应的概率密度1()f x 与 2()f x 是连续函数,则必为概率密度函数的是_________. 【D 】 A.12()()f x f x B.212()()f x F x C.12()()f x F x D.1221()()()()f x F x f x F x + 解:根据分布函数的性质,1221()()()()0f x F x f x F x +≥ 1221[()()+()()]f x F x f x F x dx +∞ -∞ ∴ ? 12()() F x F x +∞=-∞ 1= 2. (2011年数学一)设随机变量X 与Y 相互独立,且()E X 与()E Y 存在,记 {}max ,U X Y =,{}min ,V X Y =,则()E UV =_________. 【B 】 A. ()()E U E V B. ()()E X E Y C. ()()E U E Y D. ()()E X E V 解:因为当X Y ≥时,,U X V Y ==;当X Y <时,,U Y V X ==. 所以,UV XY =,于是()()E UV E XY = 根据X 与Y 相互独立,所以()()()E UV E X E Y =. 3. (2011年数学三)设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,12,,,(2)n X X X n ≥ 是 来自该总体的简单随机样本,则对于统计量1=1 1n i i T X n =∑和12=111 1n i n i T X X n n -=+-∑,有__________. 【D 】 A. 1212()(),()()E T E T D T D T >> B. 1212()(),()()E T E T D T D T >< C. 1212()(),()()E T E T D T D T <> D. 1212()<(),()()E T E T D T D T < 解: ()X P λ (), ()E X D X λλ∴ == 1=1=1 11()()()n n i i i i E T E X E X n n λ∴ ===∑∑ 12=11111()()(1)11 n i n i E T E X X n n n n n n λ λλλ-=+=?-?+?=+--∑ 12()()E T E T ∴ < 2011年考研数学(三)真题及答案详解 一.选择题 1.已知当错误!未找到引用源。0x →时,函数()3sin sin3f x x x =-错误!未找到引用源。与k cx 是等价无穷小,则 (A ) 1,4k c == (B )1,4k c ==- (C ) 错误!未找到引用源。 (D )3,4k c ==- 2.已知()f x 在0x =处可导,且()00f =,则()() 233 2lim x x f x f x x →-= (A )()' 20f - (B )()'0f - (C) ()' 0f (D)0 3.设{}n u 是数列,则下列命题正确的是 (A )若 1n n u ∞ =∑收敛,则 ()21 21 n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B )若 ()21 21n n n u u ∞ -=+∑收敛,则1 n n u ∞ =∑收敛 (C )若 1n n u ∞ =∑收敛,则 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D )若 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛,则1 n n u ∞ =∑收敛 4.设44 40 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ π = ==? ??,则,,I J K 的大小关系是 (A )I J K << (B )I K J << (C )J I K << (D )K J I << 5.设A 为3阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得矩阵B ,再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵. 记1100110001P ????=??????,2100001010P ????=?????? ,则A = 2008-2019年考研数学一 真题答案及解析 目录 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (2) 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (6) 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (10) 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (14) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (18) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (21) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (25) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (29) 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (34) 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (38) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (42) 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (46) 1 2 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 (1)当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k = (A )1. (B )2. (C )3. (D )4. (2)设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点,极值点. B.不可导点,极值点. C.可导点,非极值点. D.不可导点,非极值点. (3)设{}n u 是单调递增的有界数列,则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ (4)设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=??,那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . (5)设A 是3阶实对称矩阵,E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- (6)如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则 A.()()2,3r A r A == B.()() 2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()() 1,1r A r A == 2011年考研数学试题(数学二) 一、选择题 1. 已知当时,函数 A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 2. A B C D0 3. 函数的驻点个数为 A0 B1 C2 D3 4. 微分方程 A B C D 5设函数具有二阶连续导数,且,则函数在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件 A B C D 6.设 A I 16. 设函数y=y(x)有参数方程,求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区 间及拐点。 17. 设,其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导,且在x=1处取 得极值g(1)=1,求 18. 设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原 点,记是曲线l在点(x,y)外切线的倾角,求y(x)的表达式。 19.证明:1)对任意正整数n,都有 2)设,证明收敛。 20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面,该曲面由连接而成。 (1)求容器的容积。 (2)若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出,至少需要多少功?(长度单位:m;重力加速度为;水的密度为) 21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,,其中,计算二重积分。 22. X01 P1/32/3 Y-101 P1/31/31/3 求:(1)(X,Y)的分布;(2)Z=XY的分布;(3) 23.A为三阶实矩阵,,且 (1)求A的特征值与特征向量;(2)求A 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.) (1) 已知当0x →时,()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小,则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-. (2) 已知()f x 在0x =处可导,且()00f =,则()()23302lim x x f x f x x →-=( ) (A) ()20f '-. (B) ()0f '-. (C) ()0f '. (D) 0. (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( ) (A) ()x x a e e λλ-+. (B) ()x x ax e e λλ-+. (C) ()x x x ae be λλ-+. (D) 2()x x x ae be λλ-+. (5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数,满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==,则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''>< (6) 设40ln sin I x dx π=?,4 0ln cot J x dx π =?,40ln cos K x dx π=?,则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<. (B) I K J <<. (C) J I K <<. (D) K J I <<. (7) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵,记11001 10001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ?= ? ??? ,则A =( ) (A) 12PP . (B) 112P P -. (C) 21P P . (D) 121P P -. (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T 是方程组 2011年考研数学试卷各科分数分布比例 2011年考研数学真题各学科分数详细分布比例 题的内容,考查的内容基本一致,但难度有所提升,加强了对知识的综合运用能力。 从内容方面来看,考试大纲中的内容都有所涉及,在三份试卷当中相同的题目很多,这也是这些年命题非常重要的特点,数学一和数学二有相同的,数学二和数学三也有相同的,甚至数学一、数学二、数学三都相同的题目也有,这是带有规律性的。 从难度方面看,虽然比去年有所提升,但对广大考生来说,难度比较适中。只要能够掌握并理解考试大纲中的内容,在规定的时间内,答完题目没有问题。 从考查重点来看,很多知识点都是每年必考的,如高等数学中的极限、微分、积分、级数,线性代数中的矩阵、向量、方程组的特征值和特征向量,还有概率论中随机变量的分布等。 整体来看,2011年考研数学的三份试卷能充分地检验了考生对知识的掌握、理解、运用能力。只要考生平时多看、多写、多练,通过考试是没有问题的。 2011年考研数学(三)试题分析 今年数学三的试题整体难度不大,以考查考生的计算能力和综合运用知识的能力为主。对于基础扎实,经过良好训练的考生可以获得比较理想的成绩。首先分析一下高数部分。 第1题、第9题和第15题可以归结为求极限的题目,考查的是等价无穷小的概念,洛必达法则求导,常用的等价无穷小公式替换等等非常常用的求极限的方法。这类题目在同学的复习当中想必做得已经滚瓜烂熟,只要认真些,拿全分完全没问题。 第2题考查的导数的概念,和极限四则运算法则,这在平时的复习训练中也是很基本很常见的。 第3题考查的判断级数的敛散性,拿到这个题目同学们可能有似曾相识的感觉,不错,与04年真题类似。级数部分是广大考生比较薄弱的部分,但通篇关于级数部分只有这么一道选择题,因此可以说试卷难度真的不大。 第4题考查利用定积分的性质进行估值,第10题求全微分在某点的值,这类问题也属于常见题目。第11题求曲线在一点处的切线方程,第12题求旋转体体积这些题目大家在练习中,上课的讲义中再常见不过了,相信只要仔细,高数的选择题和填空题应该拿全分不成问题。 第16题综合考查二元函数取极值的条件和复合函数求偏导,第17题考查不定积分的计算,也属于比较常规的类型。主要考察考生的计算能力,对考生解题的熟练度和准确度有较高要求。 第18题考查方程根的个数的讨论,综合考查导数的应用与闭区间上连续函数的性质部分的知识。这类题目解题时应该先利用导数求出函数的单调区间,再在每个单调区间上运用闭区间上连续函数的介质定理(零点存在定理)就可以证明题目所要求的结论。关于利用微分中值定理证明的这部分内容一直是学员认为的难点,但这个题目相对来讲,用的思想和方法比较常见,难度不大。 高数的最后一道大题比较新颖,结合了二重积分和微分方程。考生解题时需要先利用二重积分的计算方法,将题目中所给的二重积分的不等式转化为微分方程,然后再利用相应类型方 2011年考研数学三真题一、选择题(18小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。) (1)已知当时,与是等价无穷小,则 (A)(B) (C)(D) 【答案】C。 【解析】 【方法一】 (洛必达法则) (洛必达法则) () 由此得。 【方法二】 由泰勒公式知 则 故。 【方法三】 故 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则 (2)已知在处可导,且,则 (A)(B) (C)(D)0 【答案】B。 【解析】 【方法一】加项减项凑处导数定义 【方法二】拆项用导数定义 由于,由导数定义知 所以 【方法三】排除法:选择符合条件的具体函数,则 而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的,故应选(B) 【方法四】由于在处可导,则 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数 和微分的四则运算 (3)设是数列,则下列命题正确的是 (A)若收敛,则收敛。 (B)若收敛,则收敛。 (C)若收敛,则收敛。 (D)若收敛,则收敛。 【答案】A。 【解析】 若收敛,则该级数加括号后得到的级数仍收敛 综上所述,本题正确答案是A。 【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件 (4)设,则的大小 关系为 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 【解析】 同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小, 由于当时, 又因为为上的单调增函数,所以历年考研数学三真题及答案解析
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