常微分大作业--李雅普诺夫稳定性 11091059洪一洲 从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。 1.李雅普诺夫稳定性概念 忽略输入后，非线性时变系统的状态方程如下 ),(t x f x = （1） 式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 = 假定方程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。 平衡状态 如果对于所有t ，满足 0),(==t x f x e e （2） 的状态x e 称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态 方程，令0=x 所求得的解x ，便是平衡状态。 对于线性定常系统Ax x = ，其平衡状态满足0=e Ax ，如果A 非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态方程决定。 控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。
1 李雅普诺夫稳定性 系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。 自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。无外部输入作用时的系统称为自治系统。 设系统状态方程为),(t x f x = ，若对所有t ，状态x 满足0=x ，则称该状态x 为平衡状态，记为e x 。故有下式成立0),(=t x f e 。由此式在状态空间中所确定 的点，称为平衡点。 线性定常系统的平衡点：将方程),(t x f x = 化成Ax x = ，其平衡状态e x 应满足代数方程0=Ax 。解此方程，当A 是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点0=e x 。当A 是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。 如果A 的行列式值为0，则A 为奇异矩阵；行列式值不为0，则A 为非奇异矩阵。换言之，能求逆的矩阵为非奇异矩阵。 大范围渐近稳定性的理解： 系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡点附近且不断的向平衡点靠拢，则系统就是大范围渐近稳定。 对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。在此验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。 对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋向于无穷远。 2. 李雅普诺夫稳定性理论 李雅普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。 线性定常系统Ax x ≡ ，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A 的特征值λ均具有负实部，即()n i i ,2,1,0Re =<λ 李雅普诺夫第二法又称直接法。运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。 之间要用到二次型函数。 李氏第二法是从能量观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典力学振动系统中一个直观的物理事实上。如果系统的总能量（含动能和势能）随时间按增长而连读的衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。
基于正定二次型的 李雅普诺夫稳定性分析 张俊超 （控制科学与工程、控制理论与控制工程、2010010215） 摘要：李雅普诺夫稳定性理论以状态向量描述为基础，不仅适用于单变量、 线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统。但要应用李氏判据判断系统稳定性，就要涉及到系统矩阵A特征值的求解以及根据系统状态方程构造正定二次型的李雅普诺夫函数来判断系统稳定性。 1.问题的提出 我们在处理实际工程问题时，经常需要判断系统稳定性，一般稳定性判据都有一定局限性，李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统，它以状态向量描述为基础，结合正定二次型的相关知识对系统稳定性进行判断。 2.问题的求解 李雅普诺夫稳定性理论分析系统稳定性的两种方法： （1）利用线性系统微分方程的解来判断系统的稳定性 ——李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法的主要内容 1）用一次近似式表示状态方程，即：X=AX+B(x) 如果A的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点xe=0处是稳定的， 且系统的稳定性与高阶项B(x)无关。 2）如果X=AX+B(x)的A的特征值中至少有一个具有正实部，则无论B(x)如何，系统在平衡点xe=0处为不稳定的。 3）如果X=AX+B(x)的A的含有等于零的特征值，则系统的稳定性由B(x)决定。李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的。 （2）构造李雅普诺夫函数，利用构造的李氏函数判断系统稳定性 ——李雅普诺夫第二法（直接法） 观察振动现象，若系统能量(含动能和位能)随时间推移而衰减，则系统迟早会达到平衡状态。基本思想：若系统内部能量随时间↑而↓,最终到达静止状态，系统稳定。虚构一个能量函数（李雅普诺夫函数) V(x，t)=f（x 1，x 2 ， (x) n ，t） V(x)=f（x 1，x 2 ， (x) n ） V(x,t)或V(x)是一个标量函数。能量总大于零，故为正定函数。能量随随时间增加而衰减，即：V(x，t)或V(x)的导数小于零。
李雅普诺夫稳定性方法 李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。如果其解随时间而收敛，则系统稳定；如果其解随时间而发散，则系统不稳定。 李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解通常很烦琐，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。 对于系统[]t ,f x x = ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。如果存在一个标量函数()x V ,它满足()x V 对所有x 都具有连续的 一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV V x x = 为半负定，则平衡状态稳定； （2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状 态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定； （3） 若()x V 为正定，则平衡状态不稳定。 判断二次型 x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特
（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。 例： []正定。 则)(V 0 1121412110 ,0411 10,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=??? ????????????? 例： )x x (x x x ) x x (x x x 2 2212122221121+--=+-= (0,0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为 ∞→∞→<+-=+--++-=+=??+??=+=)V(,且当0 )x 2(x )]x (x x x [2x )]x (x x [x 2x x 2x x 2x dt dx x V dt dx x V )(V x x )V(2222122212122221121221122112 2 21x x x x 故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。
第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明： （1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的[]∞∈0 t ，恒有∞<≤k t h )(成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统 ∑),,(C B A 的传递函数矩阵为 Cx y Bu Ax x =+= BU A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+= B A sI C s G 1 )()(--= 当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为
第六章李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892 年俄国学者李雅普诺夫( Lyapunov )提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述(即外部描述)和状态空间描述(即内部描述) ，相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义(外部稳定性) ：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定 的。 ( 外部稳定性也称为BIBO( Bounded Input Bounded Output )稳定性) 说明： (1)所谓有界是指如果一个函数h(t) ，在时间区间[0, ]中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的t 0 ，恒有h(t) k 成立。 (2)所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统(A,B,C) 的传递函数矩阵为 x Ax Bu y Cx sX AX BU Y CX (sI A)X BU X (sI A) 1BU G(s) C(sI A) 1 B 当且仅当G(s) 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定(或BIBO稳定)的。 例6.1.1 】已知受控系统状态空间表达式为
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1．预备知识 (1) 1.1李雅普诺夫第一法 (5) 1.2李雅普诺夫第二法 (1) 1.3线性系统的特征 (2) 2．李雅普诺夫意义下的稳定性 (2) 2.1稳定与一致稳定 (2) 2.2 渐进稳定和一致渐近稳定 (3) 2.3 不稳定 (3) 3．李雅普诺夫稳定性定理 (3) 4．线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 (4) 小结 (7)
参考文献 (7)
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 摘要：在判定线性系统稳定性时，李雅普诺夫方法的优点在于无须求解系统方程的解，就能对系统的稳定性进行分析．文章介绍了李雅普诺夫稳定性分析在线性系统中的应用． 关键词：正定矩阵；标量函数；渐近稳定 Application of Lyapunov’s method in linear system Abstract:In determining the stability of linear systems,the advantages of the Lyapunov’s method is without solving the system equation,which can analyze the stability of the systems.we introduce the application in linear system analysis in Lyapunov stability in the paper. Keywords:positive definite matrix;Scalar function; asymptotic stability 前言 自动控制系统最重要的特性之一是稳定性．系统的稳定性，表示在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”[]1．本文中，我们把研究对象集中到线性系统上，来讨论线性系统的稳定性问题．对于这个问题的讨论，都是建立在李雅普诺意义的稳定性的基本概念之上的．１．预备知识 1.1李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性．对于线性定常系统，只需解出特征方程的解即可作出稳定性判断． 1.2李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法又称直接法，是通过构造一个类似于“能量”的李雅普诺夫函数，并分析它和其一次导数的定号性，直接对系统平衡状态的稳定性作出判断．
基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析 引言：对于一个给定的控制系统，稳定性是系统的一个重要特性。稳定性是系统正常工作的前提，是系统的一个动态属性。在控制理论工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理，都不可避免地要遇到系统稳定性问题，而且稳定性分析的复杂程度也在急剧增长。当已知一个系统的传递函数或状态空间表达式时, 可以对其系统的稳定性进行分析；当系统的阶次较高时，分析、计算的工作量很大, 给系统的分析带来很大困难。运用MATLAB 软件，其强大的科学计算能力和可视化编程功能, 为控制系统稳定性分析提供了强有力的工具。 一．MATLAB 语言简介 MATLAB 是MATrix LABoratory 的缩写, 它是MA TLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能, 为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境, 因此被称为第四代计算机语言。MA TLAB 发展至今, 现已集成了许多工具箱, 一般来说, 它们都是由特定领域的专家开发的, 用户可以直接是用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码，大大提高了分析运算的效率，为此MA TLAB 语言在控制工程领域已获得了广泛地应用。 二．控制系统稳定性的基本概念 稳定性是控制系统的重要特性, 也是系统能够正常运行的首要条件。如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施, 是自动控制理论的基本任务之一。1892年，俄国数学家李雅普诺夫（Lyaponov）提出了分析稳定性的两种方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析情况来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只能使用于平衡状态附近。第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法，对线性、非线性系统都适用。Lyaponov定义下的稳定性，是对任何系统都适用的关于稳定性的一般性定义。系统平衡态问题就是：偏离系统平衡态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结构因素，就能使系统返回到初始平衡，或者使之限制在平衡态的有限邻域内。 三．Lyaponov第二法的稳定性判据 3.1 在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。 3.1.1 Lyaponov第二法又称直接法，从能量的观点来研究系统的稳定性问题。其基本思想是：系统所具有能量是状态矢量x的标量函数，且平衡状态具有的能量最小。进而通过能量函数V（x）和的正负判断系统的稳定性。 3.2 设系统的状态方程为
§6.4 李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的. 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数)(x V 和通过微分方程所计算出来的导数 dt x dV )(的符号性质, 就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. 为了便于理解,我们只考虑自治系统 ) (x F d t d x =n R x ∈ (6.11) 假设T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{}K x R x G n ≤∈=上连续,满足局部利普希茨条件,且 O O F =)(. 为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数 R G x V →:)( 满足0)(=O V ,)(x V 和 i x V ??) ,,2,1(n i =都连续,且若存在K H ≤<0,使在 {}H x x D ≤=上)0(0)(≤≥x V ,则称)(x V 是常正(负)的;若在D 上除O x ≠外总有 )0(0)(<>x V ,则称)(x V 是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数. 通常我们称函数)(x V 为李雅普诺夫函数.易知: 函数2 22 1x x V +=在),(21x x 平面上为正定的; 函数 )(2 22 1x x V +-=在),(21x x 平面上为负定的; 函数222 1x x V -=在),(21x x 平面上为变号函数;
函数 21x V =在),(21x x 平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数),(21x x V V =. 在三维空间),,(21V x x 中, ),(21x x V V =是一个位于坐标面21Ox x 即0=V 上方的曲面.它与坐标面21Ox x 只在一个点,即原点)0,0,0(O 接触(图6-1(a)).如果用水平面 C V =(正常数)与),(21x x V V =相交,并将截口垂直投影到21Ox x 平面上,就得到一组一 个套一个的闭曲线族C x x V =),(21 (图6-1(b)),由于),(21x x V V =连续可微,且 0)0,0(=V ,故在021==x x 的充分小的邻域中, ) ,(21x x V 可以任意小.即在这些邻域中 存在C 值可任意小的闭曲线C V =. 对于负定函数),(21x x V V =可作类似的几何解释,只是曲面),(21x x V V =将在坐标面21Ox x 的下方. 对于变号函数),(21x x V V =,自然应对应于这样的曲面,在原点O 的任意邻域,它既有在21Ox x 平面上方的点,又有在其下方的点. 定理6.1 对系统(6.11),若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定; (2) )(1 ) 11.5(x F x V dt dV i n i i ∑=??= 常负, (a) (b)
李雅普诺夫稳定性定理的应用—— 设计模型参考自适应律 2010.04.14 理论依据 李雅普李雅普诺夫直接法一致渐近稳定的条件：接致渐稳定条件V (x , t 正定V (x , t 负定?
á假设可调系统与参考模型在数学模型的结构上完全相同，该设计要求设计可调参数的变化规律（自适应律），以使得可调系统的外特性能够完全趋于参考模型的外特性。 例题 试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数可调试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数调的模型参考自适应律，其中参考模型和可， 调系统的传递函数分别是： k ?(s =g 参考模型：s +a k v ?v (
s =可调系统：g s +a v 解：给予参考模型和可调系统以相同的输入u ，假设它们的输出分别是y 和y v ，当然它们都是可以直接量测的所要求的模型参考自是可以直接量测的。所要求的模型参考自适应律就是当 a v =a v (t , u , y , y v 及k v =k v (t , u , y , y v 时可调系统实现对参考模型的自适应时，可调系统实现对参考模型的自适应，即： =k ?k →0?k v ? =a ?a v →0?a ?e =y ?y → 0v ? 将参考模型和可调系统都写成微分方程的形式： y (t + a ? y (t = k ? u (t yv (t + av yv (t = kvu (t 于是：e (t = y (t ? y v (t = ku (t ? a ? y (t ? k v u (t + a v y v (t = k u (t ? k v u (t ? a y (t + a y v (t ? a y v (t + a v y v (t = ( k ? k v u (t ? a[ y (t ?y v (t ] ? ( a ? a v y v (t ~ ~ = ? a ? e (t + k ? u (t ? a ? y (t v 设系统的广义状态变量是 ~ ~ x (t = [ e(t k (t a (t ]T 则前述自适应的目标就是广义系统渐近稳定。为此取李雅普诺夫函数 ~2 ~ v( x = P e (t + P2 k (t + P3 a 2 (t 1 2 Pi > 0 显然是正定泛函，另一方面观察 ~~ ~~ v( x = 2 P e e + 2 P2 k k + 2 P3 a a 1 ~ ~~ ~ y + 2P k k + 2P a a ~~ = 2 P e (?a e + k u ? a v 1 2 3 ~ ~~ 2 ~ ~~ = ?2 P a e + 2 P e k u + 2 P2 k k ? 2 P e a yv + 2 P3 a a 1 1 1 ~ ~ ~ ~ = ?2 P a e 2 + 2 k ( P e u + P2 k ? 2a ( P e yv ? P3 a 1 1 1 显然，只要保证a > 0, ~ P e u + P2 k = 0, 1 ~ P e yv ? P3 a = 0 1 就能确保 v( x < 0 ，即为负定泛函。即为负定泛函即可求出~ P k = ? 1 e u, P2 ~ = P ey 1 a v P3 最
第二讲 §5.2 李雅普诺夫（Liapunov ）第二方法(5课时) 一、教学目的：了解Liapunov 在处理稳定性中的两种方法；了解 Liapunov 函数的特征与构造；理解Liapunov 第 二方法并学会运用它来判定自治系统的稳定性。 二、教学要求：了解Liapunov 函数的特征与构造；理解Liapunov 第二方法并学会运用它来判定自治系统解的稳定性。 三、教学重点：运用Liapunov 第二方法判定自治系统解的稳定性。 四、教学难点：如何构造Liapunov 函数。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 1．相关概念 上一节我们介绍了稳定性概念，但是据此来判明系统解的稳定性，其可解范围是极其有限的. Liapunov 创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利 用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的Liapunov 函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数 ()dV X dt 的符号性质，就能直接推断出解的稳 定性，因此又称为直接法。本节主要介绍Liapunov 第二方法。
为了便于理解，我们只考虑自治系统 (),dx F x dt = n x R ∈ (5.11) 假设1 ()((),,()) T n F x F x F x = 在{}n G x R x K =∈≤上连续，满足局部李普 希兹条件，且F(0)＝0． 为介绍Liapunov 基本定理，先引入Liapunov 函数概念. 定义5.3 若函数 ():V x G R →满足V(0)＝0, ()V x 和 (1,2,,) i V i n x ?=? 都连续，且若存在0H K < ≤,使在 { }D x x H =≤上()0(0)V x ≥≤，则称()V x 是常正(负)的；若在 D 上除x=0 外总有()0(0)V x ><，则称()V x 是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的. 通常我们称函数()V x 为Liapunov 函数. 易知：函数2 2 12 V x x =+在12(,)x x 平面上为正定的； 函数 2212()V x x =-+在12(,)x x 平面上为负定的； 函数 2 2 12()V x x =-在12(,)x x 平面上为变号函数； 函数 2 1 V x =在12(,)x x 平面上是常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义.
非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析
目录 1、前言 (7) 1.1发展状况 (7) 1.2 Lyapunov稳定性实际应用 (7) 1.3 Lyapunov应用研究现状 (9) 1.4 Lyapunov关于稳定性定义 (10) 1.5 Lyapunov第一方法 (11) 2 、非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析 (13) 2.1 引言 (13) 2.2 问题描述 (13) 2.3 Lyapunov第二方法直观解释 (13) 2.4 标量函数的符号性质 (14) 2.5 Lyapunov第二方法相关定理 (14) 2.6非线性连续系统Lyapunov第二方法稳定性分析 (16) 3、仿真示例 (20) 4、总结与展望 (23) 致谢 (24) 参考文献 (25)
摘要 对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此Lyapunov第二方法就显示出很大的优越性。Lyapunov第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。Lyapunov第二方法的局限性在于，运用时需要系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的Lyapunov函数，而且还能确定系统的稳定区域。本文主要通过分析李雅普诺夫当前发展状况和在实际中的应用，进而研究非线性连续系统Lyapunov第二方法的稳定性分析。关键字：非线性连续系统 Lyapunov第二方法稳定性
Abstract Directly determine the stability of system state equation. The limitations of lyapunov second method is that the need when using the stability of the system problem. Now, with the development of computer technology, with the aid of a digital computer can find not only the need of lyapunov function, but also can determine the stability regions of the system. In this paper, by analyzing the lyapunov's current development status and application in the actual, and study the nonlinear stability analysis of continuous system lyapunov second method. Keywords：Stability of nonlinear; continuous system; Lyapunov second method
李雅普诺夫稳定性定理的应用 ——设计模型参考自适应律 2010.04.14
理论依据 李雅普接致渐稳定条件李雅普诺夫直接法一致渐近稳定的条件：(),V x t 正定 (),V x t ?负定
假设可调系统与参考模型在数学模型的结á 构上完全相同，该设计要求设计可调参数的变化规律（自适应律），以使得可调系统的外特性能够完全趋于参考模型的外特性。
例题 试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数调试用李雅普诺夫稳定性理论设计参数可调的模型参考自适应律，其中参考模型和可， 调系统的传递函数分别是： k ?参考模型：a s s g +=)(可调系统：v v v a s k s g +=)( ?
解：给予参考模型和可调系统以相同的输入u ，假设它们的输出分别是y 和，当然它们都是可以直接量测的所要求的模型参考自v y 是可以直接量测的。所要求的模型参考自适应律就是当 及时可调系统实现对参考模型的自适应(,,,)v v v a a t u y y =) ,,,(v v v y y u t k k =时，可调系统实现对参考模型的自适应，即： ?00v k k k =?→? 0v a a a e =?→??=?→v y y ?
将参考模型和可调系统都写成微分方程的形式： ?? )()()()()()(t u k t y a t y t u k t y a t y v v v v =+=+ 于是： ) ()()()()()()(t y a t u k t y a t ku t y t y t e v v v v +???=?=)()()()()()(t y a t y a t y a t y a t u k t u k v v v v v ?????=+?+??=)(~)(~)() ()()]()([)()(t y a t u k t e a t y a a t y t y a t u k k v v v v v ???+?? =