李亚普诺夫函数 李亚普诺夫函数（李雅普诺夫函数, Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。李亚普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。 若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李亚普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李亚普诺夫候选函数，而找不到李亚普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李亚普诺夫候选函数。 针对自治系统的李亚普诺夫定理，直接使用李亚普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而寻找李亚普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李亚普诺夫函数。 李亚普诺夫候选函数的定义 令 为标量函数。 若要为李亚普诺夫候选函数，函数需为局部正定函数，亦即 其中是的邻域。 系统平衡点的转换[编辑] 令 为一个自治（autonomous）的动态系统，其平衡点为:
可利用的座标转换，使得 在新的系统中，其平衡点为原点。 若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，转换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。 自治系统的基本李亚普诺夫定理[编辑] 令 为以下自治系统的平衡点 且令 为李亚普诺夫候选函数的时间导数。 稳定平衡点[编辑] 若在平衡点的邻域，李亚普诺夫候选函数为正定，且其时间导数半负定： 则此平衡点为一稳定的平衡点。
李雅普诺夫稳定性方法 对于现代控制理论涉及的更广泛类型的系统，通常采用李雅普诺夫稳定性判据。李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解是非常烦琐的，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。现在已有一些典型系统寻找李雅普诺夫函数的方法，但迄今尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。 对于系统[]t ,f x x = ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。如果存在一个标量函数()x V , 它满足()x V 对所有x 都具有连续的一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV V x x = 为半负定，则平衡状态稳定； （2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定； （3） 若()x V 为正定，则平衡状态不稳定。 V(x)通常选为二次型，判断二次型x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。 例 []正定。 则)(V 01121412110 ,04 1110,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=??? ????????????? 例 )x x (x x x ) x x (x x x 22212122221121+--=+-= 可见，(0,0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为
126 第四章 稳定性与李亚普诺夫方法 自动控制系统最重要的特性是稳定性问题，如何判断一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃是系统分析与设计的一个首要问题。系统的稳定性—表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后系统自身仍有能力恢复在原来的平衡状态。 早在1892年俄国数学家李亚普诺夫提出判定系统稳定性问题为两种方法，李亚普诺夫第一法和第二法。 §4－1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 线性系统的稳定性只决定于系统的结构与参数，而与系统的初始条件及外界扰动无关。非线性系统的稳定性与初始条件与外界扰动的大小有关。李亚普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统等的方法。 系统状态的运动及平衡状态： 设所研究系统的齐次状态方程为： ),(t x f X = （4－1） 式中：X ——n 维状态矢量，f ——与X 同维的状态矢量，它是状态矢量X 的各元素n x x x ,,,21 和时间t 的函数，为时变的非线性函数，如果不显含t ，则为定常的非线性函数。 在给定初始条件下，),;(00t x t φ有唯一解： ),;(00t x t X φ= （4－2） ),;(0000t x t X φ=，0t 为初始状态。 t 是从0t 开始观察的时间变量。
127 上式是描述系统的运动状态的轨迹。 若系统式（4－1）存在状态矢量e X ，对所有t ，都使： 0),(≡t X f e （4－3） 成立，则称e X 为系统的平衡状态。如果系统是线性定常 的： AX t x f X ==),( （4－4） 当A 为非奇异矩阵时，0≡e AX 的解0=e X 是系统唯一 的平衡状态；A 为奇异矩阵时，系统将有无穷多个平衡状态。 对于非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态，它们是由式（4－3）所确定的常数解。例： 1132122 x x x x x x =-??=+-? （4-5） 有三个平衡状态： ?? ? ???=001 e X ，?? ????-=102e X ，? ? ????=103 e X 线性系统（定常）只有一个平衡点，非线性时变系统等有多个平衡点，应分别讨论。 李亚普诺夫意义下的稳定性： 若用||||e X X -表示状态矢量X 与平衡状态e X 的距离，用 包含所有各点的一个球域)(εS 表示以e X 为中心，ε为半径的超球体。)(εS X ∈ ε≤-||||e X X （4-6） ||||e X X -——为欧几里德范数。
lyapunov函数定义 Lyapunov函数是由俄罗斯数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李亚普 诺夫（Ale某andr Mikhailovich Lyapunov）于1892年提出的一个概念，它是用来描述非线性动力系统稳定性的一种数学工具。李亚普诺夫函数（Lyapunov function）可以判断系统的稳定性和不稳定性，它是随时间 变化的实数函数，具有一定的正定性和递减性。 李亚普诺夫函数的定义如下：对于一个非线性动力系统，如果存在一 个实值函数V(某)，使得满足下面两个条件，那么V(某)就是系统的一个Lyapunov函数： 1.V(某)是正定的：对于所有的某≠0，V(某)>0； 2. V(某)是递减的：对于所有的某，V(某)的导数满足dV(某)/dt≤0。 其中，某是系统的状态变量，t是时间。 根据Lyapunov函数的定义，当一个系统的Lyapunov函数存在时，可 以根据Lyapunov的稳定性定理来判断系统的稳定性： 1.当V(某)是正定的，即V(某)>0，只有在某=0时，V(某)=0，这表 明系统的平衡态某=0是一个稳定平衡态。 2. 当V(某)是严格递减的，即dV(某)/dt<0，对于所有的某≠0，这 表明系统的平衡态某=0是一个渐进稳定的平衡态。 根据上述推论，当一个系统的Lyapunov函数在其状态空间内是正定 的且严格递减的时候，系统的平衡态是稳定的。可以通过选择合适的Lyapunov函数来证明系统的稳定性。
Lyapunov函数的使用使我们能够更方便地分析非线性系统的稳定性，而不需要求解系统的精确解。它被广泛应用于控制理论、动力系统、优化 以及其他多个领域。 需要注意的是，Lyapunov函数只能判断系统的稳定性，不能给出收 敛到平衡态时的速度快慢。有时候，系统可能在一个Lyapunov函数下是 渐进稳定的，而在另一个Lyapunov函数下是指数稳定的。因此，在实际 应用中，选择合适的Lyapunov函数和判断系统稳定性的条件是非常重要的。 总而言之，Lyapunov函数是一个非线性动力系统中用于判断系统稳 定性的重要工具。它的定义使我们能够方便地判断系统的稳定性，并且可 以通过选择合适的Lyapunov函数来证明系统的稳定性，从而提供了便利 的方法来分析非线性系统的稳定性。
运动稳定性 运动稳定性（motion，stabilityof）物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。对任何运动，外干扰都是经常存在的，因此可以说，物体或系统的某一运动的稳定性就是它的存在性，只有稳定的运动才能存在。在工程技术上，要使设计对象的某些运动能够实现，那些运动必须是稳定的。 1学说发展 运动是一切事物的变化过程，所以研究运动的稳定性，涉及所有科学技术领域，包括社会科学。1892年俄国数学家A.M. 李亚普诺夫开创了运动稳定性研究的新纪元。他提出解决运动稳定性问题的两个方法：第一，是通过求解系统的微分方程分析运动的稳定性；第二，(直接法)是定性的方法，它不需求解微分方程，而是寻求具有某些性质的函数(称李亚普诺夫函数)，使这些函数与微分方程相联系，就可控制积分轨线的动向。李亚普诺夫第二方法是目前解决运动稳定性问题的基本方法，已在应用数学、陀螺力学、自动控制、航空航天等领域广泛应用。当今，如不作说明，运动稳定性常被理解为李亚普诺夫稳定性。 2线性系统的稳定性 有3种：稳定、临界情况和不稳定，它们分别对应于李亚普诺夫意义下的渐近稳定、稳定和不稳定。线性系统有以下两个常见的数学模型：①高阶微分方程，式中x(i)表示x的i阶导数，ai为标量系数。②一阶微分方程组，式中A为n×n 常值阵。下面分别给出这两个数学模型代表的线性系统的稳定性定理。 ①高阶微分方程线性系统稳定性定理。若上面第一个方程的特征根，即特征方程λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0的根，均具有负实部，则系统稳定；有一个零根 或一对虚根而其余根有负实部，则系统属临界情况；其他情况下，系统不稳定。为避免求根而直接由方程的系数判别系统的稳定性，有代数判据：A.赫维茨判据和E.J.劳思检验法。 ②一阶方程组线性系统稳定性定理。若上面第二个方程组的特征根，即特征方程det[λΙ－A]=0 的根，均具有负实部，则系统稳定；有一个正实部的根，则系统不稳定；实部为零的根代数重数等于其几何重数且其余根均有负实部，则属临界情况；实部为零的重根代数重数大于几何重数，则系统不稳定。 3定常非线性系统 定常非线性系统的稳定性
控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 内容提要 稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然，稳定性是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都不可避免的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。 随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不变系统或其它各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在19世纪所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要基础。 习题与解答 5.1 判断下列函数的正定性 1)222 1231213()2322V x x x x x x x x =++-+ 2)222 123121323()82822V x x x x x x x x x x =++-+- 3)22 131223()2V x x x x x x x =+-+ 4)222 123122313()104224V x x x x x x x x x x =+++-- 5)222 123122313()311242V x x x x x x x x x x =++-++ 解 1) 210()131011T T V x x Ax x x -?? ??==-?????? , 因为顺序主子式 21 20, 50,1 3 ->=>- 210111300 1 1 --=>
第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明： （1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的[]∞∈0 t ，恒有∞<≤k t h )(成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统 ∑),,(C B A 的传递函数矩阵为 Cx y Bu Ax x =+= BU A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+= B A sI C s G 1 )()(--= 当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为
李亚普诺夫方法范文 李亚普诺夫方法，也被称为李亚普诺夫直接法，是一种用于研究微分方程稳定性的方法。它是由俄罗斯数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李亚普诺夫在19世纪末提出的。该方法可以用来判断微分方程解的稳定性，并且也可以推导出方程解的一些性质。 对于一个线性微分方程，可以通过将方程表示为状态空间的形式来应用李亚普诺夫方法。首先，将方程表示为向量形式： x'=Ax 其中，x是一个n维向量，A是一个n×n维的矩阵。然后，构造李亚普诺夫函数V(x)，使其满足以下条件： 1.V(x)是一个正定函数，即对于所有非零的x，有V(x)>0； 2.V(x)是可微的； 3. V(x)的导数关于x的变化是负定的，即对于所有非零的x，有 dV(x)/dt<0。 满足以上条件的函数V(x)被称为李亚普诺夫函数。李亚普诺夫函数可以通过选择适当的函数形式和参数来构造。 如果找到了一个满足上述条件的李亚普诺夫函数V(x) 1.当V(x)=0时，方程达到一个平衡状态； 2.当V(x)>0时，方程的解处于一个不稳定状态，即解在该状态下会趋向无穷大或趋向无穷小；
3.当V(x)是有界的时候，方程解是稳定的。这意味着方程解在这种 状态下会收敛到一些有限的平衡状态。 通过分析李亚普诺夫函数的导数，可以判断方程解在不同时间点的变 化趋势。如果导数恒为负，那么解的变化是趋于稳定的；如果导数恒为正，那么解的变化是趋于不稳定的；如果导数既有正又有负的部分，那么解的 变化可能是复杂的。 需要注意的是，李亚普诺夫方法只能判断方程解的稳定性，而不能得 出方程解的具体形式。对于非线性方程，使用李亚普诺夫方法的难度会相 对较大，需要更复杂的分析和计算。 总结来说，李亚普诺夫方法是一种研究微分方程稳定性的方法，通过 构造李亚普诺夫函数来分析方程解的变化趋势。这种方法在理论物理、动 力系统等领域有着广泛的应用，为我们理解系统的行为提供了重要的工具。
微分方程的稳定性与相 微分方程是数学中重要的研究对象，广泛应用于自然科学、工程学以及社会科学等领域。微分方程可以描述动力系统的演化规律，而稳定性与相是微分方程研究中的重要问题。本文将探讨微分方程的稳定性与相之间的关系。 一、稳定性的概念 稳定性是描述系统状态在扰动下是否趋于平衡的性质。对于微分方程而言，稳定性可以分为两种：渐近稳定和非渐近稳定。 1. 渐近稳定：当系统状态在扰动下趋向于某个平衡点时，被称为渐近稳定。具体来说，如果微分方程的解对于任意的初始条件都趋于平衡点，那么系统就是渐近稳定的。 2. 非渐近稳定：当系统状态在扰动下不趋向于某个平衡点，但保持在某个有限范围内波动时，被称为非渐近稳定。非渐近稳定通常会出现周期解或者解的轨道在流形上运动的情况。 二、稳定性定理 微分方程稳定性的判断通常可以依靠稳定性定理。在这里，我们简要介绍两个常用的稳定性定理：线性稳定性定理和李亚普诺夫稳定性定理。 1. 线性稳定性定理：对于具有平衡点的线性微分方程，可以通过判断矩阵的特征值来确定其稳定性。如果特征值的实部都小于零，则系
统渐近稳定。反之，如果存在特征值的实部大于零，则系统非渐近稳定。 2. 李亚普诺夫稳定性定理：对于非线性微分方程，可以通过李亚普 诺夫函数来判断其稳定性。李亚普诺夫函数是满足一定正定性、下降 性和修正性条件的函数。如果存在一个李亚普诺夫函数，并且该函数 沿着系统的解递减，则系统是渐近稳定的。 三、相空间的理解 相空间是描述微分方程解的集合的空间。在相空间中，每个点代表 微分方程的一个解，而解的轨道则对应相空间中的一条曲线。相空间 的几何结构反映了微分方程的动力学行为，因此可以用来研究系统的 稳定性。 四、相图和稳定性分析 相图是相空间中描述微分方程解轨迹的图形。通过相图，我们可以 直观地观察系统的稳定性。稳定解对应相图中的吸引子，而不稳定解 则对应相图中的斥子。 稳定性分析的过程通常涉及以下几个步骤： 1. 绘制相图：根据微分方程的给定参数，绘制相图以观察解的轨迹； 2. 判定平衡点：在相图中，找到平衡点对应的点； 3. 判定稳定性：通过平衡点周围的轨迹形状，判断平衡点的稳定性。
基于李雅普诺夫稳定性原理设计航天器的姿态控制器 摘 要：本文以误差四元数和误差角速度为定位参数对航天器进行姿态控制。首先完成了基于四元数的航天器姿态运动学的数学建模和姿态动力学的数学建模；其次在忽略航天器上执行机构的基础上，根据李雅普诺夫稳定性原理设计了姿态控制器；然后根据建立的数学模型和设计好的姿态控制率，完成了在simulink 环境下搭建航天器姿态控制回路，并实现了航天器的姿态控制；最后，根据数学仿真的结果验证了结合误差四元数和误差角速度的反馈量进行航天器姿态控制的正确性，而且具有计算速度快，精度高的优点。 关键词：误差四元数；误差角速度；李雅普诺夫稳定性原理；姿态控制 中图分类号：xxxxxxx 文献标识码：A 文章编号：xxxxxxx Attitude Controller Design On SpaceCraft Based on Lyapunov's law WU Yong-sheng 1 （1. Beijing Institute of Technology ， Beijing 100081，China ） Abstract ：In this paper, the quaternion is taken for position parameters to control the attitude of a spacecraft. First, a varation-the error quaternion vactor can be attained. The non-single question of the end-attitude of the spacecraft can be solved. Second, themethod of non-liner three-axis attitude control is presented by a typical example, which uses the error quaternion as feedback and control moment gyros as a primary actuating device, and introduces Lyapunov function to control the non-liner system.It is a new methodology for a large spacecraft attitude https://www.doczj.com/doc/9f19157122.html,paring with Euler's method, the method issued in this method paper is much faster and higher precision. Keywords ： Error Quaternion;Error Anglerspeed;Lyapunov's Law; Attitude Control 0 引 言 传统的关于航天器姿态控制算法多以欧拉角法，这种方法在计算时要多次进行三角运算，而且在进行大角度机动时有奇点问题，因此，在解决大角度机动时不大适合。本文以四元数作为刚体定位参数，刚体位置可由绕特征轴的一次等价旋转给出，由此特征轴可得到姿态变化的最短路径，由此缩短了定位时间。而且刚体的运行学方程和动力学方程都不含三角函数，从而简化了运算。 此外，传统的非线性控制一般都是将非线性系统中的非线性项抵消，使闭环动态特性变成线性形式，这种方法要知道系统的数学模型。而本文同时以误差四元数和误差角速度作为反馈信号，不需要进行线性化处理，以该反馈信号构造李雅普诺夫函数，利用系统方程特性和李雅普诺夫稳定性判据推导出了模型的独立线性反馈控制率，为系统的稳定性设计提供了一种给位简洁的形式。实验证明，这种方法获得了很好的结果。 1 本文用到的计算公式 212121T ⨯ ⎡⎤=⎣⎦A ωA []01230ˆT T T d d d d d d d q q q q q ⎡⎤==⎣⎦Q q []0 12 30 ˆT T T e e e e e e e q q q q q ⎡⎤==⎣⎦Q q ()e d =Q M Q Q ，其中 1231 02323013 2 1 0()d d d d d d d d d d d d d d d d d q q q q q q q q q q q q q q q q ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦ M Q D e d BD d =-=-ωωωωA ω D d BD d =ωA ω D D d e BD d BD d ⨯=+ωωA ωA ω ()2 0330ˆˆˆˆˆ22T T BD e e e e e e e q ⨯⨯=-+-A q q E q q q q 2 基于四元数的姿态运动学和姿态动力学模型 运动学模型：
第四章 动态系统的稳定性分析 要点： 李雅谱诺夫稳定性定义 李雅谱诺夫间接法 李雅谱诺夫直接法 难点： 李雅谱诺夫直接法 §4-1李雅普诺夫稳定性定义 定义4-1 对n 阶自由系统. x =f (x ,t )，若存在某一状态e x ，对所有t 都有 0),(≡t x f e ，则称e x 为系统的平衡状态或平衡点。 定义4-2 （李雅普诺夫意义下稳定）对任意ε>0，存在δ(ε,0t )>0当 δ<-e x x 0，有δ<-e x t x )(，（对t >0t ）.则称平衡状态e x 是李亚普诺夫意 义下稳定，简称李氏稳定。若δ(ε,0t )= δ（ε），与0t 无关，则称一致李氏稳 定。 定义4-3 （渐近稳定） 若系统不仅是李亚普诺夫意义下稳定，且有e t x t x =∞ →)(lim ，则称平衡状态e x 是渐近稳定。若δ(e x ,0t )= δ（ε），与0t 无关，则称一致渐进稳定。 定义4-4 （大范围渐近稳定） 若对任意0x ，都有e t x t x =∞ →)(lim ，则称平衡状态e x 是大范围渐近稳定。 定义4-5 （不稳定） 若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个0x ，
当δ<-e x x 0，则有δ>-e x t x )(，则称平衡状态e x 不稳定。 §4-2李雅普诺夫间接法 李雅普诺夫间接法是根据A 的特征值卡判断系统的稳定性。 一、 线性定常系统的稳定性 定理4-1（间接法稳定判断定理） n 阶线性定常系统Ax x =. ，平衡点为e x =0，有 （1）e x 是李雅普诺夫意义下稳定的，其充要条件是A 的约当标准形J 中实部为零的特征值所对应的约当块是一维的，且其余特征值均有负实部。 （2）e x 是渐近稳定的充要条件是A 的特征值均有负实部。 （3）e x 是不稳定的充要条件是A 有，某特征值具有实部。 例4-1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=0010. x x 判e x =0平衡点的稳定性。 解 A 的特征值02,1=λ所对应约当块是二维的。 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==20100101)(x x t x e t x At =202010tx x x ++ 当,∞→t 有,)(∞→t x 故e x =0是不平衡点。 二、 非线性系统的稳定性 对线性系统. x =f （x ，t ），设e x 为其平衡点。首先将系统在e x 附近线性化，在e x 邻域内展成泰勒级数，即 )()(. x R x x x f x e x T e +-∂∂= 令e x T e x f A x x x ∂∂= -=- ,，则系统的线性方程为 - - =x A x . 在一次近似的基础上，李雅谱诺夫给出以下结论：
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据 1. 概述 在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。 2. 李雅普诺夫稳定判据的定义 李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。 3. 离散条件下的稳定性 在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。 4. 李雅普诺夫稳定判据的原理 李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。
5. Lyapunov 函数的选择 在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重 要的。一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。 6. 李雅普诺夫稳定判据的应用 李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。通过使用 李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。 7. 结论 离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具， 通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是 否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。希望本文的介绍对您 有所帮助。基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探 讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。 8. 李雅普诺夫稳定判据的数学表达式 在实际应用中，李雅普诺夫稳定判据可以用数学表达式来描述。以离 散系统状态方程为例，假设系统的状态方程为x(k+1) = f(x(k))，其中
基于低增益反馈的输入饱和系统的控 制方法研究 摘要： 随着电子技术的发展，输入饱和系统在信号处理、通信、控制等领域得到了广泛应用。然而，输入饱和系统具有非线性、时变、不确定等特性，给系统控制带来了较大的挑战。针对此问题，本文通过设计低增益反馈控制器，对输入饱和系统进行控制。首先，建立输入饱和系统的数学模型；其次，分析系统的稳定性，并利用李亚普诺夫函数证明了系统的稳定性；然后，设计低增益反馈控制器，并利用Lyapunov稳定性理论证明了 系统在控制器的作用下可以实现稳定；最后，通过数值仿真验证了本文所提出控制方法的有效性，并与常规控制方法进行比较。结果表明，基于低增益反馈的输入饱和系统控制方法能够有效提高系统的稳定性和抗干扰性，为实现输入饱和系统的高性能控制提供了参考。 关键词：输入饱和系统；低增益反馈；控制方法；稳定性；抗干扰 1. 引言 输入饱和系统广泛应用于信号处理、通信、控制等领域，例如工业机器人控制、飞行器导航等。但由于其非线性、时变、不确定等特性，给系统控制带来了较大的挑战，限制了系统的性能和稳定性。因此，控制输入饱和系统成为了研究的热点问题。
近年来，随着控制理论及技术的不断发展，出现了许多有效的控制方法，例如自适应控制、非线性控制等。然而，这些方法需要系统的完整状态或参数信息，且控制器设计复杂。相比之下，低增益反馈控制器具有结构简单、易于实现等优点，并可在不需要完整状态信息的情况下实现系统控制。因此，本文将基于低增益反馈控制器对输入饱和系统进行控制。 2. 输入饱和系统建模 输入饱和系统可用如下数学模型表示： $$ \begin{aligned} \dot{x}(t) &= f(x(t),u(t)) \\ y(t) &= h(x(t)) \end{aligned} $$ 其中，$x(t)\in R^n$表示系统的状态向量；$u(t)\in R^m$表示控制输入；$y(t)\in R^p$表示输出；$f(x(t),u(t))$和$h(x(t))$为已知的连续可微函数。输入饱和系统的非线性特性表现为当输入信号$u(t)$的绝对值超过一定阈值时，输出信号$y(t)$呈现线性饱和特性，即： $$ y(t) = \begin{cases}
精品资料 基于M A T L A B的李雅普诺夫第二法稳定性 分析 ........................................
基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析 引言：对于一个给定的控制系统，稳定性是系统的一个重要特性。稳定性是系统正常工作的前提，是系统的一个动态属性。在控制理论工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理，都不可避免地要遇到系统稳定性问题，而且稳定性分析的复杂程度也在急剧增长。当已知一个系统的传递函数或状态空间表达式时, 可以对其系统的稳定性进行分析；当系统的阶次较高时，分析、计算的工作量很大, 给系统的分析带来很大困难。运用MATLAB 软件，其 强大的科学计算能力和可视化编程功能, 为控制系统稳定性分析提供了强有力的工具。 一．MATLAB 语言简介 MATLAB 是MATrix LABoratory 的缩写, 它是MATLAB 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能, 为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境, 因此被称为第四代计算机语言。MATLAB 发展至今, 现已集成了许多工具箱, 一般来说, 它们都是由特定领域的专家开发的, 用户可以直接是用工具箱学习、应用和评估不同的方法而
不需要自己编写代码，大大提高了分析运算的效率，为此MATLAB 语言在控制工程领域已获得了广泛地应用。 二．控制系统稳定性的基本概念 稳定性是控制系统的重要特性, 也是系统能够正常运行的首要条件。如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施, 是自动控制理论的基本任务之一。1892年，俄国数学家李雅普诺夫（Lyaponov）提出了分析稳定性的两种方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析情况来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只能使用于平衡状态附近。第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法，对线性、非线性系统都适用。Lyaponov定义下的稳定性，是对任何系统都适用的关于稳定性的一般性定义。系统平衡态问题就是：偏离系统平衡态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结构因素，就能使系统返回到初始平衡，或者使之限制在平衡态的有限邻域内。三．Lyaponov第二法的稳定性判据 3.1 在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常
第6章控制系统的稳定性 系统能在实际中应用的必要条件是系统要稳定。 分析稳定性是经典控制理论的重要组成部分。 经 典控制理论对于判定一个线性系统是否稳定提供了多种方法。 本章主要介绍几种线形定常系统的稳定 性判据及其使用，以及提高系统稳定性的方法。 6.1系统稳定性概念及其条件 稳定是控制系统完成期望工作任务的前提。 系统在实际工作中，会受到外部干扰作用和内部某些 因素变动影响，偏离原来的平衡工作状态；在干扰或变动消失后，系统能否恢复到原来的平衡工作状 态一稳定性，这是我们最为关心的问题。稳定性是控制系统的重要性能，对其进行分析并给出保证系 统稳定的条件，是自动控制理论的基本任务之一。 6.1.1稳定性定义 控制系统稳定性定义为：如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后， 经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否 贝叽称这个系统是不稳定的。由此可见，稳定性是系统的一种内在固有特性，这种特性只取决于系 统的结构和参数。 例如，图6-1 (a )所示是一个悬挂的单摆示意图。其垂直位置 M 是原始平衡位置。设在外界干 扰作用下，摆偏离了原始平衡位置 M 到达新平衡位置 b 或c 。当外力去掉后，显然摆在重力作用下， 将围绕点M 反复振荡，经过一定时间，当摆因受空气阻碍使其能量耗尽后，摆又回到原始平衡位置 M 上。像这样的平衡点 M 就称为稳定的平衡点。对于一个倒摆，图 6-1 ( b )所示，摆的支撑点在下 方。垂直位置d 是一个平衡位置，若外力 f 使其偏离垂直位置平衡点 d ，即使外力消失，无论经过 多长时间，摆也不会回到原来平衡点 d 上来。对于这样的平衡点 d ,称为不稳定平衡点。 再如图6-2所示的小球，小球处在 a 点时，是稳定平衡点。因为作用于小球上的有限干扰力消 失后，小球总能回到a 点。而小球处于b 、c 点时为不稳定平衡位置， 因为只要有干扰力作用于小球, 小球便不再回到点 b 或c 。 上述两个实例说明系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。与上述力学系统相 似，一般的自动控制系统中也存在平衡位置。平衡位置的稳定性取决于输入信号为零时，系统在非 图6-1摆动平衡 d M (a )悬挂的单摆 (b )倒摆 图6-2小球的稳定性
非线性系统的稳定性分析与控制非线性系统广泛存在于各个领域，例如生物学、经济学、机械 工程、电子工程、材料学等等。非线性系统的行为对线性系统的 技术和方法提出了一系列挑战，因此非线性系统的研究成为了控 制工程中一个重要的研究领域。本文将从非线性系统的特点、稳 定性分析、鲁棒控制等多个角度进行探讨。 一、非线性系统的特点 非线性系统与线性系统相比，其最显著的特点是非线性叠加和 不可加性。这些性质为非线性系统的稳定性分析和控制带来了相 应的困难。线性系统遵循线性规律，因此可以使用微积分和线性 代数等工具方便地进行分析计算。而非线性系统则需要更高级的 数学工具才能处理，例如拓扑学、微分几何、非线性优化等。 此外，非线性系统的行为也很难预测，未知的非线性因素会导 致系统的不可预测性和不稳定性，这为非线性控制的设计带来了 许多挑战。因此，在非线性系统中，需要更多的实验和仿真验证，以了解系统的行为。
二、非线性系统的稳定性分析 稳定性分析是研究系统行为的基础，决定了系统是否会发生不 良的行为，例如振荡、震荡或崩溃。非线性系统的稳定性分析可 以分为两个部分：稳定性分析和鲁棒稳定性分析。 2.1 稳定性分析 对于非线性系统的稳定性分析，有两种方法：直接法和间接法。 直接法是通过严格的数学计算证明系统的稳定性，其中最常用 的是“李亚普诺夫稳定性定理”。该定理表明，系统如果具有李亚 普诺夫函数，且这个函数是单调下降的，则系统是渐进稳定的。 因此，根据李亚普诺夫定理可以确定非线性系统的稳定性，并进 一步设计控制器。 间接法是通过系统的局部动态特性，例如相图、等值线、线平 衡等等来确定系统的稳定性。局部动态特性可以通过线性化系统 来确定，然后使用线性控制方法，例如根轨迹法、频率响应法和 状态反馈法等进行分析。
动力学稳定性条件及临界点分析 动力学稳定性是研究系统在外部扰动下的稳定性问题。通过分析系统的稳定性条件和临界点，可以揭示系统的动态行为及其相应的稳定性特点。本文将探讨动力学稳定性条件及临界点的分析方法。 1. 线性稳定性条件 线性稳定性是指系统在扰动下能够保持平衡状态的性质。线性稳定性的判据是系统的特征根的实部小于零。也就是说，系统的特征方程解的实部都为负数时，系统是线性稳定的。这一条件可以用来分析系统的稳定性。 2. 非线性稳定性条件 对于非线性系统，线性稳定性条件不再适用。在这种情况下，可以采用李雅普诺夫稳定性理论来分析系统的稳定性。李雅普诺夫稳定性理论是基于李雅普诺夫函数的增量理论，通过确定李雅普诺夫函数的属性来判断系统的稳定性。 李雅普诺夫函数是满足以下三个条件的函数：首先，李雅普诺夫函数必须是连续可微的；其次，李雅普诺夫函数的导数必须是负定义的，即导数的值小于零；最后，李雅普诺夫函数必须是严格的，即在解空间中不存在平稳点。 3. 临界点分析 临界点是指系统在某些条件下发生突变的点。在动力学系统中，临界点通常与系统参数或外部输入信号发生改变的临界条件相关。 临界点分析是通过改变系统参数或外部输入信号，确定系统响应的变化规律。当系统的某个参数或外部输入信号达到临界值时，系统的动态行为将发生明显的变化。
临界点分析可以帮助我们理解系统的稳定性行为及其对参数或输入信号的敏感性。通过研究临界点附近的系统行为，可以预测系统的稳定性特性以及可能的不稳定性行为。 4. 应用举例 动力学稳定性条件及临界点分析在许多领域都有广泛的应用。以下是几个常见 的应用举例。 a. 金融市场稳定性分析：金融市场是一个复杂的动态系统，受到许多因素的影响。通过分析金融市场的动力学稳定性条件及临界点，可以预测市场的波动性和可能发生的风险。 b. 生态系统稳定性分析：生态系统是一个自组织的复杂系统，对环境变化非常 敏感。通过分析生态系统的稳定性条件及临界点，可以帮助保护生态环境，预防生态系统的破坏和崩溃。 c. 工程系统稳定性分析：在工程领域，各种系统都需要满足一定的稳定性要求。通过分析系统的动力学稳定性条件及临界点，可以优化设计方案，提高系统的稳定性和可靠性。 通过动力学稳定性条件及临界点分析，我们能够深入理解系统的动态行为及其 稳定性特征。这一分析方法在许多学科领域都有重要的应用价值，对于系统设计、优化和控制具有指导意义。因此，深入研究动力学稳定性条件及临界点分析对于促进科学研究和技术应用都具有重要意义。
非线性系统的动力学特征 随着科学技术的不断发展，我们的世界已经不仅仅是简单的直 线和等比例增长了。许多自然现象和社会现象都具备非线性效应，即当变化量一定程度时，响应量发生不同比例的变化。而这种非 线性效应在数学上就被称为非线性系统。非线性系统的复杂度比 线性系统高得多，因为它们的动力学特征更加多样化和复杂。本 文将介绍非线性系统的一些动力学特征。 混沌 混沌是非线性系统的重要动力学特征之一。混沌是指一种随着 时间的推移，系统状态看似随机变化，但在实质上，其随时间变 化的规律性是存在的。而且，即使是经过无数次重复，这种规律 性仍然不可能通过简单的数学公式来精确描述。 混沌现象最早在20世纪60年代被发现，但直到今天，仍然没 有一个统一的理论来描述它。不过，在实践中，混沌理论已经在 很多领域得到了广泛的应用，比如通信、物理、化学等等。 李亚普诺夫指数
李亚普诺夫指数是测量非线性系统混沌程度的指标之一。它可 以通过计算在系统离开初始状态后，所谓的李亚普诺夫指数能够 测量随着时间的推移，系统状态间的距离发生的相对距离的增加 速度。 通过计算李亚普诺夫指数，能够评估系统状态是否具有混沌特征，以及混沌程度大小的量化测度。对于非线性系统，李亚普诺 夫指数提供了一种量化分析混沌程度的方法，对于研究非线性系 统的动态行为具有重要意义。 分岔 分岔是指非线性系统中参数变化的一种动力学特征。简单地说，当改变系统参数的大小时，系统的行为方式也会发生变化。分岔 现象的本质是系统动力学行为的非线性响应。 分岔的一种典型形式是周期倍增分岔。这种分岔现象就是当系 统参数超过某个特定的临界值时，系统的周期性响应会呈现一种 倍增形式。在数学上，周期倍增分岔被称为Feigenbaum常数。这