22 第七章 恒定磁场
§7-1、2 恒定电流 电源 电动势
【基本内容】
一、电流
dq
I dt
=
二、（体）电流密度J
设通过ΔS 的电流为ΔI ，则该点处的电流密度J
0lim S I dI J n n
S dS ?→?==? 三、电源的电动势：k W d q ε==?? E l
电源的电动势表示在电源内非静电力移动单位正电荷从负极到正极所做的功。
规定电源电动势的指向为由负极指向正极。
§7-3、4 磁场 磁感强度 毕奥—萨伐尔定律
【基本内容】
一、毕奥—萨伐尔定律
设有通电导线L ，在L 上以电流元l Id ，l Id 到场点P 的矢径为r
，如图7.2，则l
Id
和。即
1、载流直导线的磁场分布，如图7.3，P 点的磁场：012(cos cos )4I
B a
μθθπ=- 半无限长直导线的磁场分布：04I
B a μπ=
无限长直导线的磁场分布： 02I
B a
μπ= 图 7.1
23
20
223/2
2()R I
B R x μ=+ 圆心处x=0： 002I
B R μ=
对长为L 的圆弧： 0022L B B B R θππ
=
= 3、长直螺线管、密绕螺绕环内的磁场nI B 0μ=
【典型例题】
利用磁场叠加原理求磁场
毕萨定律是计算电流产生磁场的一般方法，应按矢量积分的方法计算。 磁场叠加原理：
,i i B B B dB ==∑?
步骤：1、取电流元Idl 并求Idl 产生的dB
，2、由磁场叠原理求B ：
（1）若各dB
的方向相同，则直接积分B dB =?；
（2）若各dB
的方向不相同，则正交分解后积分
,x x y y x y B dB B dB B B i B j ==?=+??
【例7-1】 闭合载流导线弯成如图例7-1所示的形状，载有电流I ，试求：半圆圆心O 处的磁感应强度。
【解】 式，度分别为： AB CD B B =042DE FA I B B R μπ==
?
方向：垂直纸面向外。
02sin 424EF I B R μππ=?
?垂直纸面向外。
24
001224BCO I I
B
R R
μμ?
=?= 方向：垂直纸面向里。
方向：各dB 方向不同。
002200
20sin sin 2cos 0
x x y y I I
dB dB B d R R
I dB dBcoc B d π
πμμθθθππμθθθ=-?=-=-
=-?==?
? 02
I B i R μπ=- 2π
该圆形电流在O 点处产生的磁感应强度 大小：001
22
dI
dB dr r
μμσω=
=
方向：垂直纸面向外。 环心O 处的磁感应强度 00011
()222()
b
a
Q B dr b a a b μωμσωμσωπ==-=+?
方向：垂直纸面向外。
25
【分类习题】
一、选择题
1．电流I 由长直导线1沿对角线AC 方向经A 点流入一电阻均匀分布的正方形导线框，再由D 点沿对角线BD 方向流出，经长直导线2返回电源， 如图7.1所示. 若载流直导线1、2和正方形框在导线框中心O 点产生的磁感强度分别用B 1、B 2和B 3表示，则O 点磁感强度的大小为:
（A ）B = 0. 因为 B 1 = B 2 = B 3 = 0 .
（B ）B = 0. 因为虽然B 1 ≠ 0， B 2 ≠ 0， B 1+B 2 = 0， B 3=0 （C ）B ≠ 0. 因为虽然B 3 = 0， 但 B 1+B 2 ≠ 0 （D ）B ≠ 0. 因为虽然B 1+B 2 = 0， 但 B 3 ≠ 0
2．如图7.2所示，边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，则此
线圈在A 点（如图）产生的磁感强度为:
（A ）l I πμ420. （B ）l
I
πμ220.
（C ）
l
I
πμ02. （D ） 以上均不对. 3．在真空中有一根半径为R 的半圆形细导线，流过的电流为I ，则圆心处的磁感应强度为
(A)
R I ?πμ40; (B) R
I
?πμ20; (C) 0; (D)
R
I
?40μ。
4．若要使半径为m 1043
-?的裸铜线表面的磁感应强度为T 100.75
-?， 其铜线中需要通过的电流为(170A m T 104--???=πμ)
(A) 0.14A ; (B) 1.4A ; (C) 14A ; (D) 2.8A 。
5．如图7.3，载流的圆形线圈(半径1a )与正方形线圈(边长2a )通有相同电流I ，若两个线圈的中心O 1、O 2处的磁感应强度大小相同，则半径1a 与边长2a 之比21a :a 为：
(A) 1：1 (B)
1:2π
(C) 4:2π (D) 8:2π
6．一匝数为N 的正三角形线圈边长为a ，通有电流为I ， 则中心处的磁感应强度为 （A ）B = 33μ0N I /（πa ） . （B ） B =3μ0NI /（πa ） . （C ）B = 0 . （D ） B = 9μ0NI /（πa ） . 二、填空题
1．平面线圈的磁矩为p m =IS n ，其中S 是电流为I 的平面线圈 ， n 是平面线圈的法向单位矢量，按右手螺旋法则，当四指的方向代表 方向时，大拇指的 方向代表 方向.
2．一长直螺线管是由直径d= 0.2mm 的漆包线密绕而成。当它通以I = 0.5A 的电流时，
图
7.1
图7.3
×
×
26 其内部的磁感应强度B = 。(忽略绝缘层厚度)(270A N 104--??=πμ)
3. 一电子以速度v =1.0?107m/s 作直线运动，在与电子相距d =1.0?10-9m 的一点处，由电子产生的磁场的最大磁感强度B max = .
4．一载流为I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r )2(r R =的长直圆筒上，则两螺线管中的磁场R B r B 。
5．载有相等电流I 的四长直载流线均垂直于纸面，电流方向如图7.4。如其断面分布于边长为a 的正方形四顶角上，则正方形中心O 处磁场大小为 。
6．将半径为R 的无限长导体圆筒沿轴向割去一宽度为)(R h h <<的狭缝后，再沿轴向均匀流有电流，电流面密度为i ，如图7.5，轴上磁感强度的大小 。
7．载有电流I 的无限长直导线折成V 形，顶角为θ，如图7.6。则y 轴上一点),0(a P 处的磁场为 。
三、计算题
1．一半径为cm R 0.1=的无限长圆柱形导体薄片，沿轴向均匀流有电流A I 10=，如图7.7，求轴线上一点P 的磁场。并讨论当载流薄片为1/2圆周，其他条件不变时，P 处的磁场为多少？
2．真空中，边长为l 、电阻均匀分布的正三角形导体框架，电流由长直导线经a 点流入，由cb 边的延长线流出，如图7.8，求三角形中心O 处的磁场。
3． 两半无限长直导线1L 和2L 平行，并与半径为R 的均匀圆形电线共面相连形成回路，电流I 的方向如图7.9。求圆心O 处的磁场。
+ + +
+ + +
+
+
+
+
+ +
+ +
+
图7.7
P
R
图7.5
图7.6
图7.8
b
I
c
图7.9
图7.4
27
*4．半径为R 的薄圆盘均匀带电，总电量为Q . 令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀速转动，角速度为ω，求轴线上距盘心x 处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩.
§7-5、6 磁通量 磁场的高斯定理 安培环路定理
【基本内容】
一、磁场的高斯定律 1、磁感应线 磁感应线上每一点的切线方向表示该处磁感应强度的方向；磁感应线的疏密程度表示磁感应强度的大小；磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 2、磁通量：垂直通过某一面积元dS 的磁感应线的根数。
dS B S d B d m θφcos =?=
通过有限面积S 的磁通量则为： dS B S d B S
S
m ????=?=θφcos
3、磁场的高斯定理
通过任意闭合曲面的磁通量为零：
0=???S
S d B
意义：稳恒磁场是无源场，自然界中没有磁单极存在。
二、安培环路定理 1、定理的内容：
在稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径的线积分等于通过该闭合环路所包围的的所有电流强度I 的代数和的μ0倍。
0l
B dl I μ?=∑? 内
??l
l d B
：磁感应强度沿任意闭合回路的积分（环流）
。 ∑内
I
：闭合回路所包围的电流的代数和。
I 的正负：由所取回路的方向按右手定则确定。 2、定理的意义
稳恒磁场是一非保守场，是有旋场。
【典型例题】
用安培环路定理可求解某些磁场的B
，这些磁场分布有对称性，即激发磁场的电流分布，要有一定的对称性。例如
（1）无限长均匀载流圆柱体，无限长均匀载流圆柱面和无限长载流直线产生的磁场B
在垂直于圆柱轴线的平面上，以轴线上的任一点为圆心，半径为r 的圆周上各点的B
的大
小相等，方向沿该点的切线。若安培环路取这样的圆周，且通过需求B
的点，则可用安培
环路定理方便地求出该点的B
。
（2）载流长直螺线管，除去边缘效应管内是匀强磁场，方向沿螺线管的轴线，由于磁
28 场分布的对称性，可方便地用安培环路定理求出这种情况中的B
。 （3）螺绕环，螺绕环内的磁力线是以环心为圆心的同心圆，这种情况也可用安培环路
定理求出B
。
步骤：（1）选取积分回路l ，（2）求B
沿l 的环流
l
B dl ??
，
（3）求l 所包围电流强度的代数和，（4）由
【例7-4】径为R 径为r 电流密度为j 。
（1）求O （2【解】 个半径为R 应强度叠加而成。
（1）O 轴上一点的磁感应强度为：2010B B B O
+=
10B 和20B
分别为大圆柱和小圆柱在O 轴上一点产生的磁感应强度，如图例6-4题解，
由安培环路定理求得：22
020010200,222I jr B B j r d d d
μμμπππ===?= 故 d
jr B 2200μ=
，方向：垂直于/
OO 轴向上。
/O 轴上一点的磁感应强度为 ：/
20/10/B B B O += /10B 和/
20B 分别为大圆柱和小圆柱在/O 轴上一点产生的磁感应强度。
/10B 22202010jd d j d d I μππμπμ=?== 0/
20=B
故/10/0B B =20jd μ=，方向：垂直于/
OO 轴向上。
（2）设空腔内任一点P 距O 为1r ，距/
O 为2r ，明显d r r =-21。大圆柱和小圆柱在P 点的磁场大小为
1B 22102110jr r j r μππμ=?=，2B 2
2202
220jr r j r μππμ=?=
方向垂直于1r 和2r ，可得 1B 102r j ?=μ，2B 20)(2
r j
?-=μ P 点的合磁感强度为
29
21B B B +=102r j ?=μ+20)(2r j ?-μ =?B d j r r j
?=-?2)(20210μμ 大小 =B jd 2
0μ，方向垂直于/
OO 轴向上。
【讨论】这种设想用用反向电流填充空腔的方法称为补偿法，它使不对称的系统变成两个对称系统的组合，便于利用已知的结果。
【分类习题】 一、选择题
1．无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流. 设圆柱体内（r < R ）的磁感强度为B 1，圆柱体外（r >R ）的磁感强度为B 2，则有：
（A ） B 1、B 2均与r 成正比. （B ） B 1、B 2均与r 成反比.
（C ） B 1与r 成正比， B 2与r 成反比. （D ） B 1与r 成反比， B 2与r 成正比. 2．如图7.11所示，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，恒定电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿图中闭合路径的积分?
?L
l B d 等于：
（A ） μ0I . （B ） μ0I /3. （C ） μ0I /4. （D ） 2μ0I /3 .
3．如图7.12，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知
（A ） 0 d =??L
l B ，且环路上任意点B ≠0.
（B ） 0 d =??L
l B ，且环路上任意点B =0.
（C ）
0 d ≠??L l B ，且环路上任意点B ≠0.
（D ） 0 d ≠??L
l B ，且环路上任意点B =0.
二、填空题
1．如图7.13，一磁场的磁感应强度为(T)k c j b i a B
++=，则通
过一半径为R 、开口向z 正方向的半球壳表面的磁通量大小为 Wb 。
2．载流为I 的长直导线，平行于高为L 、半径为R 的圆柱面的轴/
OO ，如图7.13。则通过此圆柱侧面的磁通为 。
3.半径为R 的无限长圆筒形螺线管，在内部产生的是均匀磁场，方向沿轴线，与I 成右手螺旋；大小为μ0nI ，其中n 为单位长度上的线圈匝数，则通过螺线管横截面磁通量的大小为 .
4．在安培环路定理?∑=?i
i
i I l d B μ
中，i I 是指 ，B
是指 ，它是由 决定的。
图7.14
图7.13
30 5．在磁场空间分别取两个闭合回路，如两回路各自包围的导线根数不同，但电流的代数和相同，则磁场沿闭合回路的线积分 ，两个回路磁场分布 （填相同、不同）。
6．两根长直导线通有电流I ，图7.14所示有三种环路， 对于环路a ，
=??a
L l B d ； 对于环路
b ，
=
??b L l B d ； 对于环路c ，
=??c
L l B d .
7．圆柱体上载有电流I ，电流在其横截面上均匀分布，一回路L 通过圆柱内部，将圆柱体横截面分为两部分，其面积大小分别为S 1和S 2，如图7.15所示. 则
=??L
l B d .
三、计算题
1．在宽为d 的导体薄片上，沿长度方向均匀流有电流I ，如图7.16，求导体薄片中线附近的磁场。
2．在无限长直载流导线的右侧有面积为S 1和S 2的两个矩形回路， 回路旋转方向如图7.17所示， 两个回路与长直载流导线在同一平面内， 且矩形回路的一边与长直载流导线平行. 求通过两矩形回路的磁通量及通过S 1回路的磁通量与通过S 2回路的磁通量之比.
3．半径为R 的薄导体圆柱壳，沿轴向流有电流I ，截面上电流均匀分布。求柱壳内外磁场分布。
§7-7、8 带电粒子在电场和磁场中的运动
载流导线在磁场中所受的力
【基本内容】
一、磁场对载流导线的作用 1、安培定律
B l Id F d
?=
??=L
B l Id F
大小：sin dF IdlB θ=； 方向：由B l Id
?的方向决定。
图7。17
图7.16
31
若导线上的B 处处相同，则B L I F
?=
2、电流强度“安培”的定义：
设在真空中，两根无限长的平行直导线相距1米，通有大小相同的稳恒电流I ，若导线
每米长度上所受的力为2×10-7
N ，则每根导线中电流强度的大小规定为1“安培”。 二、磁场对载流线圈的作用
1、通过闭合线圈的磁矩m
P
：
m P
I 0为通过线圈的电流强度、2、匀强磁场中的载流线圈
磁矩为m P 度；（2）B P M m
?=，若≠M 讨论： （1）当2/πθ=时，M （2）当0=θ时，M=0M=03、磁感应强度B
的定义： max
m
M B P =
4、非均匀磁场中的载流线圈
在非均匀磁场中的载流线圈：（1）若0≠?=B P M m ，则产生转动；（2）0≠合F ，
使线圈向B
强处移动。
三、磁场对运动电荷的作用 1、洛伦兹力
洛伦兹力公式：B v q f
?=
特点：f v ⊥
。洛仑兹力不对运动电荷作功，不改变运动电荷的动能，只改变动量
2、带电粒子在均匀磁场中的运动
当B v
⊥时： 粒子在均匀磁场中作匀速圆周运动。
R mv qvB /2= mv R qB
= 2m T qB =
B v
//时： 粒子在磁场中作匀速直线运动。
v
与B 成角度θ时： 粒子在磁场中作螺旋运动。
//v v v ⊥=+
//cos v v θ=：使粒子沿B
的方向作直线运动。
sin v v θ⊥=：使粒子垂直于B
的方向作圆周运动。
/R mv qB ⊥= 2/T m qB π= ////2/h v T mv qB π==
【典型例题】
32 )
cos (21
02θπR a +F d
所受的安培力方向不同，正交分解： θθsin ,cos dF dF dF dF y x ==
)1(2cos cos 2cos )cos (222210021001
02R
a a
I I R a d R I I R a I dl I F b x +-=+=
+?
=??πμθθθπμθθπμπ
010********sin sin ln 2(cos )2cos 2b y I I I R I I d a R F I dl a R a R a R
πμμμθθθπθπθπ+=?==++-??
33
2sin(/2)cos /8.6910()z x x z F evB evB evB B F ev T πθθ-=-==?==?
)(10)569.8(2T j i j B i B B y x -?+=+=
【分类习题】
一、选择题
1．一张气泡室照片表明，质子的运动轨迹是一半径为10cm 的圆弧，运动轨迹平面与磁感强度大小为0.3Wb·m 2的磁场垂直. 该质子动能的数量级为
（A ）0.01MeV. （B ）1MeV .
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
B
图7.18
34 （C ）0.1MeV. （D ）10Mev
2.一匀强磁场，其磁感强度方向垂直于纸面，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图7.18所示，则 （A ） 两粒子的电荷必然同号. （B ） 两粒子的运动周期必然不同 （C ） 两粒子的动量大小必然不同.
（D ） 两粒子的电荷可以同号也可以异号.
3. 一铜板厚度为b =1.00mm ，放置待测的匀强磁场B 中，磁场方向垂直于导体的平面，如图7.19. 当铜板中的电流为56A 时，
测得铜板上下两侧边的电势差为U =1.10?10-5V . 已知铜板中自
由电子数密度n =4.20?1028m -3， 电子电量e = 1.60?10-19
C ，则待测
磁场B 的大小为
（A ）0.66T . （B ）2.64T.
（C ）1.32T. （D ）13.2T.
4. 一电子以速度v 垂直地进入磁感强度为B 的均匀磁场中，此电子在磁场中运动的轨道所围的面积内的磁通量是
（A ） 正比于B ，反比于v 2. （B ） 反比于B ，正比于v 2. （C ） 正比于B ，反比于v. （D ） 反比于B ，反比于v .
5．三条无限长直导线等距地并排安放， 导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别载有1A 、2A 、3A 同方向的电流，由于磁相互作用的结果，导线单位长度上分别受力F 1、F 2和F 3，如图7.20所示，则F 1与F 2的比值是：
（A ）7/8. （B ）5/8. （C ）7/18. （D ）5/4.
6．把轻质载流线圈（电流为I ）挂在磁铁的N 极附近，如图7.21。则线圈的运动。
（A ） 不动。 （B ） 发生转动，同时靠近磁铁。 （C ） 转动，同时远离磁铁。 （D ） 不转动，只靠近磁铁。
7．如图7.22所示. 匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平
面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是： （A ）ab 边转入纸内，cd 边转出纸外. （B ）ab 边转出纸外，cd 边转入纸内.
（C ）ad 边转入纸内，bc 边转出纸外. （D ）ad 边转出纸外，cd 边转入纸内. 8．有一由N 匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a ， 通有电流I ，置于均匀外磁场B 中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩M m 为: （A ）3Na 2IB /2； （B ）3Na 2
IB /4； （C ）3Na 2IB sin60? . （D ） 0 .
9．若一平面载流线圈在磁场中既不受力，也不受力矩作用，这说明： （A ）该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行. （B ）该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直. （C ）该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行. （D ）该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直. 二、填空题
图7.19
图7.22
Ⅲ Ⅱ Ⅰ 图7.20
35
1. 在电场强度E 和磁感应强度B 方向一致的匀强电场和匀强磁场中，有一运动电子，某时刻速度v 的方向如图7.23（a ）和图7.23（b ）所示. 设电子质量为m ，电量为q ， 则该时刻运动电子法向加速度和切向加速度的大小分别为
图（a ）中a n = .a t = ； 图（b ）中a n = .a t = . 2. 磁场中某点处的磁感强度B = 0.50 i +0.40 j （T ），一电子以速度v =-7.0?106
i +4.0?106
j （m/s ）通过该点，则作用于该电子上的磁场力F 为 （N ）.
3. 如图7.24所示， 在真空中有一半径为R 的3/4圆弧形的导线， 其中通以稳恒电流I ， 导线置于均匀外磁场中， 且B 与导线所在平面平行.则该载流导线所受的安培力大小为 .
4．三平行共面的等间距长直载流线，已知间距cm d 10=，
A I A I I C
B A 10,5===电流方向如图7.25，三导线每厘米受力大小为=dl dF A
，=dl
dF B ，=dl dF C 。 5．磁场中某点磁感强度的大小为2.0Wb/m 2，在该点一圆形试验线圈所受的磁力矩为最大磁力矩6.28×10-6m ?N ，如果通过的电流为10mA ，则可知线圈的半径为 m ，这时线圈平面法线方向与该处磁场方向的夹角为 .
6．长为cm 20，直径为cm 1，匝数为1000的螺线管，通以A I 10=的电流，今将其放入匀强磁场T B 2.0=中，则螺线管受到的作用力为 ，最大磁力矩为 。 三、计算题
1．一边长a =10cm 的正方形铜导线线圈（铜导线横截面积S =2.00mm 2， 铜的密度
ρ=8.90g/cm 3）， 放在均匀外磁场中. B 竖直向上， 且B = 9.40?10-3T ， 线圈中电流为I =10A .
线圈在重力场中 求:
（1）今使线圈平面保持竖直， 则线圈所受的磁力矩为多少.
（2）假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动，当线圈平衡时，线圈平面与竖直面夹角为多少.
2．两通有相同电流I 的无限长绝缘直导线，以交角α相交于
O 点，如图7.26。求单位长度导线受到的磁力对O 点的力矩大小。
图7.24
图7.25
I
B
B
e e 图(1)
图(2)
E 图7.23
图7.26
36 3．将载流为I 的闭合回路置于均匀磁场中，回路的法向与磁场方向的夹角为α，如通过此回路的磁通量为Φ，求回路受磁力矩的大小。
§7-9磁场中的磁介质
【基本内容】
一、磁介质中的磁场 1、磁化现象
磁化：在磁场作用下，原来不显磁性的物质呈现磁性的现象。 2、磁介质的磁场定理
高斯定理： 0=??S
S d B
环路定理： ∑?=?0I l d H l
H 称为磁场强度矢量，它与磁感应强度B 的关系为：H H B r
μμμ==0，μ—
—介质的磁导率。 二 磁介质的分类
磁介质分为三类，其相对磁导率如图7.1所示。
抗磁质：1
说明： 由于顺磁质和抗磁质的磁导率都接近于真空的磁导率，如无特殊说明，它们磁导率均可认为等于真空的磁导率。
【典型例题】
【例7-11】 半径为R 1的导线通有电流I ，外面包有一层半径为R 2的相对磁导率为μr
的磁介质，如图例7-6所示，求：
（1）空间H 、B 分布；（2）画出H （r ）、B （r ）曲线。 【解】：（1）求空间H 、B 分布
由安培环路定理： I R r I l d H l 2120ππ==?∑?
)0(2212
1
212R r R Ir
H I R r r H ≤≤=?=?ππ 当)(21R r R ≤≤或)(2R r >时，I I
=∑0
磁场强度分布：)0(,212
1R r R Ir
H ≤≤=
π
)(,221R r R r
I
H ≤≤=
π )(,22R r r
I
H >=
π
磁感应强度分布：当10R r ≤≤或2R r >时H B 0μ=；当21R r R ≤≤时
H B r μμ0=，可得
)0(,2121
0R r R Ir
B ≤≤=πμ
37
)(,2210R r R r I
B r ≤≤=
πμμ
)(,220R r r
I
B >=πμ（2）H （r ）、B （r ）曲线如图例7-11图解所示。
【分类习题】
一、选择题
1．磁介质有三种，其相对磁导率r μ，下列表述正确的是 ： （A ）顺磁质0>r μ，抗磁质0
2．用细导线均匀密绕成长为l 、半径为a （ l >>a ）、总匝数为N 的螺线管，管内充满相对磁导率为μr 的均匀磁介质. 若线圈中载有恒定电流I ，则管中任意一点
（A ）磁场强度大小为 H=NI ，磁感应强度大小为 B=μ0μr NI .
（B ）磁场强度大小为H=μ0NI/l ，磁感应强度大小为 B=μ0μr NI/l （C ）磁场强度大小为 H=NI/l ， 磁感应强度大小为 B=μr NI/l.. （D ）磁场强度大小为 H=NI/l ， 磁感应强度大小为 B=μ0μr NI/l .
3．图7.27所示为某细螺绕环，它是由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，若每厘米绕10匝线圈. 当导线中的电流I =2.0A 时，测得铁环内的磁感强度的大小B =1.0T ，则可求得铁环的相对磁导率μr 为 （A ）7.96?102 . （B ）3.98?102
. （C ）1.99?102. （D ）63.3.
4．如图7.28所示，一个磁导率为μ1的无限长均匀磁介质
圆柱体，半径为R 1，其中均匀地通过电流I . 在它外面还有一半
径为R 2的无限长同轴圆柱面，其上通有与前者方向相反的电流I
两者之间充满磁导率为μ2的均匀磁介质，则在0 < r 图7.28 例7.11图 例7.11图解 H 1 2I R π o 1R r 012r I R μμπ B 012r I R μμπ 012r I R μμπ 01 2r I R μμπ o 1R 2R r 38 （A ） 0. （B ） I /(2πr ) . （C ） I /(2πR 1). （D ） Ir /(2πR 12). *5．图7.29中，M 、P 、O 为软磁材料制成的棒，三者在同一平面内，当K 闭合后 （A ）P 的左端出现N 极. （B ）M 的左端出现N 极. （C ）O 的右端出现N 极. （D ）P 的右端出现N 极. 二、填空题 1．在国际单位制中，磁场强度H 的单位是 ；磁导率μ的单位是 ；磁感强度B 的单位是 。 2．空气中某处的磁感应强度B = 1T ，空气的磁化率χm = 3.04?10-4 ，那么此处磁场强度H = ，此处空气的磁化强度M = . 三、计算题 1．长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒导体组成，其间充满磁导率为μ的磁介质，两导体流有等值反向电流I ，求磁介质中磁场强度和磁感强度大小。 图7.29 第七章 恒定磁场 1．均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通 过S 面的磁通量的大小为 （ B ） (A) B r 22π． (B) B r 2π． (C) 0． (D) 无法确定的量． 2．载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为（ D ） (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 3．如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从 a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿图中闭合路径L 的积分??L l B d 等于（ D ） (A) I 0μ． (B) I 03 1 μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． 4．在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A 1 = 2 A 2，通有电流I 1 = 2 I 2，它们所受的最大磁力矩之比M 1 / M 2等于（ C ） (A) 1． (B) 2． (C) 4． (D) 1/4． 5．如图所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心O 点的磁感强度大小等于 （ D ） (A) R I π20μ； (B) R I 40μ； (C) )11(40π+R I μ； (D) )1 1(20π -R I μ。 6．如图所示，处在某匀强磁场中的载流金属导体块中出现霍耳效应，测得两底面M 、N 的电势差为 V V V N M 3103.0-?=-，则图中所加匀强磁场的方向为（ C ） （A ）、竖直向上； （B ）、竖直向下； （C ）、水平向前； （D ）、水平向后。 第七章 恒定磁场 7 －1 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足（ ） （A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ）r R B B 4= 分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比 2 1==R r n n r R 因而正确答案为（C ）。 7 －2 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（ ） （A ）B r 2π2 （B ） B r 2 π （C ）αB r cos π22 （D ） αB r cos π2 分析与解 作半径为r 的圆S ′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S ′的磁通量；S B ?=m Φ．因而正确答案为（D ）． 7 －3 下列说法正确的是（ ） （A ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C ） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D ） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零。因而正确答案为（B ）． 7 －4 在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P 1 、P 2 为两圆形回路上的对应点，则（ ） （A ） ? ??=?21L L d d l B l B ，21P P B B = （B ） ???≠?21L L d d l B l B ，21P P B B = （C ） ???=?21L L d d l B l B ，21P P B B ≠ （D ） ???≠?2 1L L d d l B l B ，21P P B B ≠ 分析与解 由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C ）． *7 －5 半径为R 的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之 习题 7-7一条无限长直导线在一处弯折成半径为R 的圆弧，如图7.7所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥—萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O 处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O 处的磁感应强度。 解（1）如图7.6所示，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O 位于直线电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。 根据比奥—萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向内。半圆弧在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 （2）如图7.6（b ）所示，同理，圆心O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O 位于电流AB 和DE 的延长线上，直线电流上的任一电流元在O 点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB 和DE 段在O 点不产生磁场。 根据毕奥—萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O 点产生的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 7-8 如图7.8所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A 电流，P 点在折线的延长线上，设a 为5cm ，试求P 点磁感应强度。 解 P 点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB 和BC 所产生的磁场叠加而成。AB 段在P 点所产生的磁感应强度为零，BC 段在P 点所产生的磁感应强度为p163(7-5) 式中120,,2 r a π θθπ= == 。所以 方向垂直纸面向里。 7-9 如图7-9所示，用毕奥—萨伐尔定律计算图中O 点的磁感应强度。 解 圆心 O 处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成， AB 段在P 点所产生的磁感应强度为 式中1200,,26 r r π θθ== = ，所以 方向垂直纸面向里。 同理，DE 段在P 点所产生的磁感应强度为 圆弧段在P 点所产生的磁感应强度为 O 点总的磁感应强度为 方向垂直纸面向里。 7-10 如图7.10所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的A 、B 两点，并与很远处的电源相接，试求环中心O 点的磁感应强度。 解 因为O 点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O 点不产生磁场，设第一段圆弧的长为1l ，电流强度为1I ，电阻为1R ，第二段圆弧长为2l ，电流强度为2I ，电阻为2R ，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得 电阻1 R S ρ =，而同一铁环的截面积为S 和电阻率是相同的，于是有 由于第一段圆弧上的任一线元在O 点所产生的磁感应强度为 第七章 稳恒磁场章节测试题 一、选择题： 1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为（ ） (A) 22r πB ． (B) 2r πB ． (C) 0． (D) 无法确定的量． 2、电流由长直导线1沿切向经a 点流入一个电阻均匀的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上电流强度为I ，圆环的半径为R ，且a 、b 和圆心O 在同一直线 上．设长直载流导线1、2和圆环中的电流分别在O 点产生的磁感强度为1B 、2B 、3B ，则圆心处磁感强度的大小 （ ） (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0，但021=+B B ，B 3 = 0． (C) B ≠ 0，因为B 1≠ 0、B 2≠ 0，B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3 = 0，但021≠+B B ． 3、一电荷为q 的粒子在均匀磁场中运动，下列哪种说法是正确的？（ ） (A) 只要速度大小相同，粒子所受的洛伦兹力就相同． (B) 在速度不变的前提下，若电荷q 变为-q ，则粒子受力反向，数值不变． (C) 粒子进入磁场后，其动能和动量都不变． (D) 洛伦兹力与速度方向垂直，所以带电粒子运动的轨迹必定是圆． 4、如图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大（ ） (A) 区域Ⅰ （B ）区域Ⅱ （C ）区域Ⅲ （D ）区域Ⅳ 5、若一平面载流线圈在磁场中既不受力，也不受力矩作用，这说明：（ ） (A) 该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行． (B) 该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行． (C) 该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直． (D) 该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直． 二、 填空题 1、如图所示，两导线中的电流1I 和2I 均为8A ，对图中所示的三条闭合曲线a 、b 、c ，则： （1）a B dl =? b B d l =? c B d l =? Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 第7章 恒定磁场 三、计算题 1. 边长为2l 的正方形导体框载有电流I ．求正方形轴线上离中心O 为x 处的磁感应强 度B 和磁场强度H ． 2. 如T7-3-2图所示，一无限长载流直导线载有电流I ，在一处弯成半径为R 的半圆弧．求 此半圆弧中心O 点的磁感应强度B ． 3. 两共轴载流线圈，半径分别为1R 和2R ，电流分别为1I 和2I ，电流流向如T7-3-3图所示．两线圈中心1O 和2O 相距为l 2，联线的中心为O ．求轴线上离O 点为r 处的磁感应 强度B ． 4. 如T7-3-4图所示，表面绝缘的细导线密绕成半径为R 的平面圆盘，导线的一端在盘心，另一端在盘边缘，沿半径单位长度上的匝数为n ．当导线中通有电流I 时，求离圆盘中 心距离x 处P 点的磁感应强度B ． 5. 如T7-3-5图所示，宽度为d 的“无限长”直导体薄片通有从下到上的电流I ，电流在导体横截面上均匀分布．图中P 点为通过导体片中线并与导体片面垂直的平面上的一点， 它与导体片的距离为r ．求P 点的磁感应强度B ． 6. 如图，一半径为R 的带电塑料圆盘，其中有一半径 为r 的阴影部分均匀带正电 荷，面电荷密度为σ+，其余 O x P I l 2 1 O 1R 2R 1 I 2 I 2 O O l l T7-3-1图 T7-3-2图 T7-3-3图 b O R I T7-3-4图 T7-3-5图 I P d r I P R x T7-3-7图 + B ???????????? - K L 部分均匀带负电荷，面电荷密度为σ-．当圆盘以角速度ω旋转时，测得圆盘中心O 点的磁感应强度为零，问R 与r 满足什么关系? 7. 星际空间里某区域内存在一均匀磁场B ，其大小为 高斯5 100.1-?．一电子在此磁场中运动，其速度沿磁场B 方向的分量为1%c ．当电子沿磁场方向前进了一光年时，它绕磁力线转 了多少圈? 8. 图7-3-7所示的结构中，两水银杯与一个带开关K 的电源相联结；上部分是一质量为m 的一段导线弯成了 形，上面一段长度为L ，置于垂直向里的均匀磁场B 中，下端也分别插入到两水银杯中．开关K 接通时，上面的的导线就会跳起来，设导线跳起的高度为h ，求通过导线的电量． 9. 一“无限长”直线电流1I 旁边有一段与之垂直且共面的电流2I ，载流2I 的导线长度为L ，其一端离“无限长”直线电流的距离也是L ．试求电流1I 作用在电流2I 上的磁场力． 10. 一线圈由半径为m 2.0的41圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流A 2，把它放在磁感应强度为T 5.0的均匀磁场中(磁感应强度B 的方向如T7-3-10图所示)．求： (A) 线圈平面与磁场垂直时，圆弧? AB 所受的磁力； (B) 线圈平面与磁场成 60角时，线圈所受的磁力矩． 11. 电流均匀地流过无限大平面导体薄板，面电流密度为j ，设板的厚度可以忽略不计，试用毕奥----萨伐尔定律求板外的任意一点的磁感应强度． 12. 如T7-3-12图所示，一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转，试求圆筒内部的磁感应强度． 13. 带电刚性细杆CD ，电荷线密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)，求： (1) O 点的磁感应强度o B ； (2) 磁矩m P ； (3) 若b a >>，求o B 及m P ． 14. T7-3-14图为两条穿过y 轴且垂直于x —y 平面的平行长直导 T7-3-8图 2 I 1I L L T7-3-6图 R ω O r C D O B I T7-3-10图 j T7-3-11图 O a b C D ω T7-3-13图 x P a a O y x I .I ? T7-3-14图 R σ T7-3-12图 ω 7章练习题 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线 方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2 B cos α． 2、如图所示，电流I 由长直导线1经a 点流入由电阻均匀的导线构 成的正方形线框，由b 点流出，经长直导线2返回电源(导线1、2的延长线均通过O 点)．设载流导线1、2和正方形线框中的电 流在框中心O 点产生的磁感强度分别用 1B 、2B 、3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0、B 3≠ 0，但 0321=++B B B ． (C) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B ． 3、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 4、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电 流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲 线表示B －x 的关系？ ［ ］ B x O R (D) B x O R (C) B x O R (E) 第七章稳恒电流 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线 方向单位矢量n 与B 的夹角为? ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B ． . (B) 2??r 2B ． (C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． 2、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲线表示B －x 的关系？ ［ ］ 3、如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接 到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B 沿图中闭合路径L 的积分 L l B d 等于 (A) I 0 ． (B) I 03 1 ． (C) 4/0I ． (D) 3/20I ． 4、如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动 或平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方 向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是： (A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动． (C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． 5、在一根通有电流I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为a 和b 的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为b ，如图所示．在此情形中，线框内的磁通量? =______________． n B S O B x O R (A) B x O R (B) B x O R (D) B x O R (C) B x O R (E) x 电流 圆筒 I I a b c d 120° I 1 I 2 b b a I 7+恒定磁场+习题解 答 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 第七章 恒定磁场 7 －1 两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R ＝2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感强度大小B R 、B r 满足（ ） （A ） r R B B 2= （B ） r R B B = （C ） r R B B =2 （D ） r R B B 4= 分析与解 在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比 2 1==R r n n r R 因而正确答案为（C ）。 7 －2 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（ ） （A ）B r 2π2 （B ） B r 2π （C ）αB r cos π22 （D ） αB r cos π2 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 分析与解 作半径为r 的圆S ′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S ′的磁通量；S B ?=m Φ．因而正确答案为（D ）． 7 －3 下列说法正确的是（ ） （A ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C ） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D ） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解 由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零。因而正确答案为（B ）． 第七章 恒定磁场 答案 一、选择题 1.C 注释：四段载流直导线在O 点的磁场，)135cos 45(cos 2440-=a I B πμ，B 与I 成正比，与a 成反比。 2.B 注释：思路同上题，由一段载流直导线的磁场分布公式)cos (cos 4210θθπμ-= a I B ，可分别求出两段载流导线在O 点的磁感应强度πθθ43,021==，和πθπθ==21,4 1。 3.D 注释：由磁场的高斯定理απφφcos 2r B S -=-=圆 4.D 注释：对磁场安培环路定理的记忆和电流正负的判断，a 回路的方向与I 方向满足右手定则故积分结果应为I l d B a 0μ=?? ，对于b 回路内部电流代数和为零，故0=??b l d B ，对于c 回路两个电流均满足右手定则，故积分结果I l d B c 02μ=?? 。 5.B 注释：此题考察对磁场安培环路定理的理解，B 沿某回路的线积分仅取决于回路内所包围电流的代数和，而与电流的形状和分布无关，但回路上各点的B 应取决于电流的具体分布，由此可得到正确答案。 6.C 注释： 载流线圈在磁场中所受最大磁力矩为mB M =max ，由此可知B R I M 2max π=。 7.A 注释：运动电荷垂至于B 的方向进入磁场后将作匀速圆周运动，因此可等效为一个圆电流，而载流线 圈的磁矩可表示为IS m =，其中22)(eB mv R S ππ==，qB m e T e I π2==，带入磁矩表达式，可得答案。 8.B 注释：略。 9.C 注释：由洛仑兹力的特性，始终垂直与运动电荷的速度方向，所以洛仑兹力不改变运动电荷的速度大小，只改变其方向，所以洛仑兹力对电荷不做功，但其动量发生了变化。 10.B 注释：运动电荷垂至于B 的方向进入磁场后将作匀速圆周运动，轨道曲线所围的面的磁通量为： B q mv qB mv B BS 22 2)()(ππφ===，由此可得答案。 11.B 注释：矩形线框左边框受力方向向右且较大，右边框受力向左且较小，所以整个载流线框受合力向右，所以要远离。 二.填空题 1. 4.0×10－5T 注释：由无限长载流直导线的磁场公式r I B πμ20=可得答案。 第七章 稳恒磁场 §7-1 磁感应强度 磁场的高斯定理 一、磁场 1、磁场：运动电荷或电流周围也有一种场，称为磁场。 2、磁场的主要表现 （1）力的表现：磁场对运动电荷或载流导体有作用力。 （2）功的表现：磁场对载流导体能做功。 3、实验表明：磁场与电场一样，既有强弱，又有方向。 二、磁感应强度 为了描述磁场的性质，如同在描述电场性质时引进电场 强度时一样，也引进一个描述磁场性质的物理量。 下面从磁场对运动电荷的作用力角度来定义磁感应强度。 设E 、V 、F 为电荷电量、速度、受磁场力。实验结果为： 1、q F ∝，V F ∝； 2、F 与V 同磁场方向夹角有关，当V 与磁场平行时，F =0；当V 与磁场垂直时， max F F =。如V 、磁场方向在x 、y 轴上，则max F 在z 轴上。 可知，qV F ∝max ，可写成：BqV F =max 。 可知：B 是与电荷无关而仅与O 点有关即磁场性质有关的量。 定义：B 为磁感应强度， 大小：qV F B max =， 方向：沿V F ?max 方向（规定为沿磁场方向）。 说明：（1）B 是描绘磁场性质的物理量，它与电场中的E 地位相当。 （2）B 的定义方法较多，如：也可以从线圈磁力矩角度定义等。 （3）SI 制中，B 单位为T （特斯拉）。 三、磁力线 在描述电场时，引进了电力线这一辅助概念，在描述磁场中，我们也可以引进磁力线这一辅助概念。 1、B ：方向，某点磁力线切向方向为B 的方向。 大小，规定某处磁力线密度=B 。 设P 点面元s d 与B 垂直，m d Φ为s d 上通过的磁力线数，则磁力线密度ds d m Φ，即 有： B ds d m =Φ， 可知：B 大处磁力线密；B 小处磁力线疏。 2、磁力线性质 （1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。 （2）磁力线不能相交，因为各个场点B 的方向唯一。 四、磁通量 定义：通过某一面的电力线数称为通过该面 的磁通量，用m Φ表示。 1、B 均匀情况 (1)平面S 与B 垂直，如图所示，可知 （根据磁力线密度定义） BS m =Φ （7-1） （2）平面S 与B 夹角θ，如图所示，可知： )n S S (S B cos BS BS m =?===⊥θΦ 2、B 任意情况 如图所示，在S 上取面元ds ，ds 可看成平面， ds 上B 可视为均匀，n 为s d 法向向量，通过ds 的 磁通量为 （7-2） 第七章 稳恒磁场习题 7-1 一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量为多少？ 解：取平面S ’与半球面S 构成闭合曲面，根据高斯定理有 0m mS mS ΦΦΦ'=+= 2cos mS mS r E ΦΦπα'=-=- 球面外法线方向为其正方向 7-2 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感应强度各为多少？ 08I R μ垂直画面向外 0022I I R R μμπ- 垂直画面向里 00+42I I R R μμπ垂直画面向外 7-3 如图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连。已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度。 解： 如图所示，圆心O 点磁场由直电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但∞A 和∞B 在O 点产生的磁场为零。且 θ -πθ==21221R R I I 电阻电阻 1I 产生1B 方向⊥纸面向外π θπμ2) 2(2101-=R I B 2I 产生2B 方向⊥纸面向里πθ μ22202R I B = ∴1) 2(2121=-=θ θπI I B B 有0210=+=B B B 7-4 如图所示，已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为6.0×10－5 T 。如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的，此电流有多大？流向如何？（已知圆 电流轴线上北极点的磁感强度() R I R R IR B 24202 /32220μμ= +=） 解：90 42 1.7310A RB I μ= =? 方向如图所示 7-5 有一同轴电缆，其尺寸如题图所示．两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感应强度：（1）r 第七章 练习题 1、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) πr 2B ． . (B) 2 πr 2B ． (C) -πr 2B sin α． (D) -πr 2B cos α． 2、如图所示，电流I 由长直导线1经a 点流入由电阻均匀的导线构成的正方形线框，由b 点流出，经长直导线2返回电源(导线1、2的延长线均通过O 点)．设载流导线1、2和正方形线框中的电 流在框中心O 点产生的磁感强度分别用 1B 、2B 、3B 表示，则O 点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0． (B) B = 0，因为虽然B 1≠ 0、B 2≠ 0、B 3≠ 0，但0321=++B B B ． (C) B ≠ 0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠ 0． (D) B ≠ 0，因为虽然B 3= 0，但021≠+B B ． 3、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 4、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上．图(A)～(E)哪一条曲线表示B －x 的关系？ ［ ］ 5、如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强 度B 沿图中闭合路径L 的积分??L l B d 等于 (A) I 0μ． (B) I 03 1μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ． I B x O R (D ) B x O R (C ) B x O R (E ) 电流筒 第七章 稳恒磁场 7.1 在定义磁感应强度B 的方向时，为什么不将运动电荷受力的方向规定为磁感应强度B 的方向？ 答：由于运动电荷在磁场中的受力方向与电荷运动方向有关，则不能用来描述磁场的性质，故不能规定该方向为磁感应强度的方向。 7.2 一无限长载流导线所载电流为I ，当它形成如图7.27所示的三种形状时，则o Q P B B B ,,之间的关系为 (1) o Q P B B B >> ； (2) o P Q B B B >>； (3) P o Q B B B >> ； (4) P Q o B B B ≥>。 解：a I B P πμ= 20 )(2 2120+ πμ= a I B Q )(2 1200π+ πμ= a I B P Q B B B >>∴ 0，故选（4）。 7.3 在同一根磁感应线上的各点，磁感应强度B 的大小是否处处相同？ 答：同一磁感应线上的各点，磁感应强度B 的大小不一定处处相等。 7.4 磁场的高斯定理??=?0s d B 表示的重要性质是什么？ 答： ?? =?0s d B 表示的重要性质是磁场是无源场， 磁感应线是无头无尾的闭合线。 7.5 如图7.28所示 ，两导线中的电流21I I ,均为5A ，对图中所示的三条闭合曲线a ，b ，c 分别写出安培环路定理式等号右边电流的代数和，并说明： (1) 在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的大小是否相等？ (2) 在闭合曲线 c 上各点的磁感应强度B 是否为零？为什么？ 答：电流代数和依次为1212I I I I --,, （1）不相等。 （2）不为零，这是因为与曲线C 环绕的电流代数和 I I P a 22 第七章 恒定磁场 §7-1、2 恒定电流 电源 电动势 【基本内容】 一、电流 dq I dt = 二、（体）电流密度J 设通过ΔS 的电流为ΔI ，则该点处的电流密度J 0lim S I dI J n n S dS ?→?==? 三、电源的电动势：k W d q ε==?? E l 电源的电动势表示在电源内非静电力移动单位正电荷从负极到正极所做的功。 规定电源电动势的指向为由负极指向正极。 §7-3、4 磁场 磁感强度 毕奥—萨伐尔定律 【基本内容】 一、毕奥—萨伐尔定律 设有通电导线L ，在L 上以电流元l Id ，l Id 到场点P 的矢径为r ，如图7.2，则l Id 和。即 1、载流直导线的磁场分布，如图7.3，P 点的磁场：012(cos cos )4I B a μθθπ=- 半无限长直导线的磁场分布：04I B a μπ= 无限长直导线的磁场分布： 02I B a μπ= 图 7.1 23 20 223/2 2()R I B R x μ=+ 圆心处x=0： 002I B R μ= 对长为L 的圆弧： 0022L B B B R θππ = = 3、长直螺线管、密绕螺绕环内的磁场nI B 0μ= 【典型例题】 利用磁场叠加原理求磁场 毕萨定律是计算电流产生磁场的一般方法，应按矢量积分的方法计算。 磁场叠加原理： ,i i B B B dB ==∑? 步骤：1、取电流元Idl 并求Idl 产生的dB ，2、由磁场叠原理求B ： （1）若各dB 的方向相同，则直接积分B dB =?； （2）若各dB 的方向不相同，则正交分解后积分 ,x x y y x y B dB B dB B B i B j ==?=+?? 【例7-1】 闭合载流导线弯成如图例7-1所示的形状，载有电流I ，试求：半圆圆心O 处的磁感应强度。 【解】 式，度分别为： AB CD B B =042DE FA I B B R μπ== ? 方向：垂直纸面向外。 02sin 424EF I B R μππ=? ?垂直纸面向外。第七章 恒定磁场 习题
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