初高中数学衔接知识
目 录
引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式
1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差） 1. 3分组分解法
1. 4十字相乘法（重、难点）
1. 5关于x 的二次三项式ax 2+bx+c(a≠0)的因式分解．
第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用
第三讲
三角形的“四心”
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；
（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233
()()a b a a b b a b +-+=+；
（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-；
（3）三数和平方公式 2222
()2()a b c a b c a b b c a c
++=+++++； （4）两数和立方公式 3322()33a b a a b a b b +=+++；
（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．
解法一：原式=2222
(1)(1)x x x ??-+-??
=242(1)(1)x x x -++ =61x -．
解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-
=61x -．
例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习
1．填空： （1）22
1
111(
)942
3
a b b a -
=+
（ ）
； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．
2．选择题： （1）若2
12
x m x k +
+是一个完全平方式，则k 等于 （ ）
（A ）2m （B ）
21
4m （C ）213
m （D ）2
116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）
（A ）总是正数 （B ）总是负数
（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数
第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有
x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得
－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4
22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1
＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）=-+652x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652x x __________________________________________________。
（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。 （6）=+-18112x x __________________________________________________。 （7）=++2762x x __________________________________________________。 （8）=+-91242m m __________________________________________________。 （9）=-+2675x x __________________________________________________。 （10）=-+22612y xy x __________________________________________________。 2、()() 3 42++=+-x x x x
3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x （5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2） B 、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式22338b ab a -+得（ ）
A 、()()3 11-+a a
B 、()()b a b a 3 11-+
C 、()()b a b a 3 11--
D 、
()()b a b a 3 11+-
3、()()2082
-+++b a b a 分解因式得（ ）
A 、()()2 10-+++b a b a
B 、()()4 5-+++b a b a
C 、()()10 2-+++b a b a
D 、()()5 4-+++b a b a
4、若多项式a x x +-32
可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）
A 、10=a ，2=b
B 、10=a ，2-=b
C 、10-=a ，2-=b
D 、10-=a ，2=b
5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102
其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式
1、()()3211262
+---p q q p 2、2
2365ab b a a +-
3、6422--y y
4、822
4--b b
－1
1
x y
图1．1－5
2．提取公因式法
例2 分解因式：
（1） ()()b a b a -+-552
（2）32933x x x +++
解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a
（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或
32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33
(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+ ＝2(3)(3)x x ++ 课堂练习：
一、填空题：
1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。
2、()()()?-=-+-y x x y n y x m __________________。
3、()()()?-=-+-2
2
2
y x x y n y x m ____________________。
4、()()()?--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________。
5、()()?--=++---z y x z y x z y x m ______________________。
6、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________。 7．计算99992+=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）
2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）
3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）
4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）
3：公式法
例3 分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+
解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-
(2) ()()2
223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++
课堂练习
一、222b ab a +-，22b a -，3
3b a -的公因式是______________________________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、()??
? ??-??? ??+=-??? ??=-1.032 1.0321.03201.094
22
2
x x x x ………………………… （ ）
2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892
2
2
2-+=-=- ………………………………… （ ）
3、()()b a b a b a 45 4516252
-+=-………………………………………………… （ ）
4、()()()y x y x y
x y x -+-=--=-- 2
2
2
2
………………………………………… （ ）
5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 2
2……………………………………………… （ ） 五、把下列各式分解
1、()()2
2
9n m n m ++-- 2、3
132-
x
3、()2
2244+--x x 4、1224+-x x
4．分组分解法
例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．
（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．
或
222456x xy y x y +--+-=22
(2)(45)6x xy y x y +----
=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．
课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-
（2）91264422++-+-b a b ab a
5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．
若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式
2
(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.
例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．
解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-+21x =--，
∴221x x +-=(1(1x x ????--+---????
=(11x x +-++．
（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，
∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +-++．
练 习
1．选择题：
多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：
（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；
（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．
习题1．2
1．分解因式：
（1） 31a +； （2）424139x x -+；
（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数范围内因式分解：
（1）253x x -+ ； （2）2
3x --；
（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．A B C ?三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定A B C ?的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）0322
=-+x x (2) 0122
=++x x (3) 0322
=++x x }
我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为
2
2
2
4()24b b ac x a a
-+
=
． ①
因为a ≠0，所以，4a 2
＞0．于是
（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x 1，2＝
2b a
-±；
（2）当b 2
－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x 1＝x 2＝－
2b a
；
（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2
()
2b x a +
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x 1，2＝
2b a
-±
；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－
2b a
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
12
a x +
=
， 22
a x -=
．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，
所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，
所以
①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根
11x =+ 21x =- ②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而
变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根
12x a
=
22x a =
，
则有
122222b b b b x x a
a
a
a
-+
--
-+=
+
=
=-
；
2
2
1222
(4)42244b b b b ac ac c
x x a a a a a
-+
----=?===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a
-，x 1·x 2
＝
c a
．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其
两根，由韦达定理可知
x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，
即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2
560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．
所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3
5．
所以，方程的另一个根为－3
5
，k 的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65
，∴x 1＝－3
5
．
由（－3
5）＋2＝－
5
k
，得k＝－7．
所以，方程的另一个根为－3
5
，k的值为－7．
例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得m2－16m－17＝0，
解得m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则x＋y＝4，①
xy＝－12．②
由①，得y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴1
1
2, 6,
x y =-
?
?
=?或2
2
6,
2.
x
y
=
?
?
=-
?
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x2－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；
（2）求
2
2
1
2
11x x +
的值；
（3）x 13＋x 23．
解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，
∴1252
x x +=-，1232
x x =-
．
（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝25
3
()4()2
2
--?-
＝
254
＋6＝
494
，
∴| x 1－x 2|＝72
．
（2）
2
22
2
121212
2
2
2
2
2
2
1
2
12
1253
25
()2()
3
()211372
24
39()
9
()
24
x x x x x x x x x x x x --?-+++-+
=
=
=
==
?-．
（3）x 13＋x 23
＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]
＝(－52
)×[(－
52)2－3×(3
2
-)]＝－
2158
．
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会
遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则
12b x a
-+
=
，22b x a
--=
，
∴| x 1－x 2|
-
=
||||
a a =
=
． 于是有下面的结论：
若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|
||
a 中Δ＝
b 2－4a
c ）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x 的一元二次方程x 2
－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．
解：设x 1，x 2是方程的两根，则
x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②
由①得 a ＜4，
由②得 a ＜
17
4
．∴a 的取值范围是a ＜4． 练 习
1．选择题：
（1
）方程22
30x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根
（2）若关于x 的方程mx 2
＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值
范围是 （ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14
（C ）m ＜
14
，且m ≠0 （D ）m ＞－
14
，且m ≠0
2．填空:
（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则
1
2
11x x +＝ ．
（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3
|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实
数根？
4．已知方程x 2
－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．
习题2.1 A 组
1．选择题:
（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：
①方程x 2
＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73
-
；
④方程3 x 2
＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx 2
＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．
（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x 的方程x 2
－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x 2
＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ． 3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实
数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x 的方程x 2＋(k 2
－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为
（ ）
（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:
（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等
于 ．
（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3
的值
是 ．
3．已知关于x 的方程x －kx －2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．
4．一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和
12
2
x x +；
（2）x 13＋x 23．
5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直
角三角形的斜边长等于 （ ）
（A
（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2
－4x ＋1＝0的两个根，则
122
1
x x x x +
的值为 （ ）
（A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32
（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（ ） （A ）α＋β≥
12
（B ）α＋β≤
12
（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1
（4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋
4
c ＝0的根的情况是
（ ）
（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根
2．填空：
若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－
32
成立？若存在，求出k 的值；若不存
在，说明理由； （2）求使
122
1
x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；
（3）若k ＝－2，12
x x λ=
，试求λ的值．
4．已知关于x 的方程2
2
(2)04
m
x m x ---
=．
（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，
如作图（1）2x y = (2) 2x y -= (3) 322-+=x x y 教师可采用计算机绘图软件辅助教学}
问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝1
2x 2，y ＝－2x 2的图象，通
过这些函数图象与函数y ＝x 2
的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．
的x 2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2象可以由函数y ＝x 2的两倍得到．
＝
12
x 2
，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图
象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：
由于y ＝ax 2
＋bx ＋c ＝a (x 2
＋b
x a
)＋c ＝a (x 2
＋b x a
＋
22
4b
a
)＋c －
2
4b
a
2
2
4()24b b ac a x a
a
-=+
+
，
所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：
（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2
4(,
)24b ac b a
a
--，
对称轴为直线x ＝－
2b a
；当x ＜2b a
-
时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a
-
时，y 随着
x 的增大而增大；当x ＝2b a
-
时，函数取最小值y ＝
2
44ac b a
-．
（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2
4(,)24b ac b
a a
--，
对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b
a
-时，y 随着
x 的增大而减小；当x ＝2b a
-
时，函数取最大值y ＝
2
44ac b
a
-．
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
图2.2-3
图2.2-4
例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；
当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；
当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞
－1时，y 随着x 的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点
B 3
(
,0)
3
和
C 3
(,0)3
-
，与y 轴的交
点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a 决定
（2） 确定对称轴：对称轴方程为a
b x 2-
=
（3） 确定图象与x 轴的交点情况，①若△>0则与x 轴有两个交点，可
由方程x 2
＋bx ＋c=0求出②①若△=0则与x 轴有一个交点，可由方程x 2＋bx ＋c=0求出③①若△<0则与x 轴有无交点。
（4） 确定图象与y 轴的交点情况,令x=0得出y=c ，所以交点坐标为（0，
c ）
（5） 由以上各要素出草图。
练习：作出以下二次函数的草图
（1）62--=x x y (2)122
++=x x y
(3) 12
+-=x y
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产
每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的
最大值．
解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有
70130,
50150,
k b k b =+??
=+?
解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．
设每天的利润为z （元），则
z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，
∴当x ＝160时，z 取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．
解法一：y ＝x 2
＋bx ＋c ＝(x +2
b )2
2
4
b
c +-
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4
个单位，得到2
2
(4)22
4
b b
y x c =+
++-
+的图像，也就是函数y ＝x 2
的图像，所以，
2
40,2
20,4b b c ?--=????-+=??
解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；
（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；
（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；
（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2
；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论
的方法，对
a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练 习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2
－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x
（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）
（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题 （1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．
（2）已知二次函数y ＝x 2
+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当
m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点． （3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标
为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．
（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．
4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．
2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
①
图2.2－6
② ③
1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数．
当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有
ax 2＋bx ＋c ＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐
标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以
x 1＋x 2＝b a
-
，x 1x 2＝c
a ，
即 b a
＝－(x 1＋x 2)， c a ＝x 1x 2．
所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (2b c x x a
a
+
+
)
= a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2] ＝a (x －x 1) (x －x 2)．
由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2． ∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2
＋8x －7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为
22
12444a a
a a
--=-，
由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，
∴|－4a |＝2，即a ＝1
2
±．
所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－213
22
x x -+．
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x ＝－1． 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．
∴a ＝－12，或a ＝1
2
．
所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝1
2
(x ＋1)2－2．
说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，
利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
22,8,
842,a b c c a b c -=-+??
-=??=++?
解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．
所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
练 习
1．选择题:
（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定
（2）函数y ＝－1
2
(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）
（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可
设为y ＝
a ≠0) ．
（2）二次函数x 轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．
2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为 y ＝2(x －1)2－1，
初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：
课程名称 初高中数学衔接 年级：九年级 学科：初中物理 姓名：
目录 总论...........................................................................2 第一讲：垂径定理.........................................................8. 第二讲：直径所对的圆周角.............................................10 第三讲：因式分解（部分）与解方程（组）........................12 第四讲：函数图像的平移................................................14 第五讲：一元二次方程的根与系数的关系...........................18 第六讲：二次函数c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，0≠a (20)
总论 经过紧张的中考，暑期之后初三的同学们就要迎接紧张充实的高中生活。为了迎接高中的数学学习应该做些什么？良好的开端是成功的一半。我们今天主要谈一下从初中到高中的数学学科的衔接问题。很多同学还没有接触高中知识，我们既不谈那一个个知识点，也不谈那一个个大家耳熟能详的学习方法，主要讲讲为什么要做好衔接以及从精神上、认识上如何去准备。 一、为何要做好初高中衔接？ 从初中升入高中，大家普遍觉得上升了一个门槛。教学实践证明，踏好这个门槛，实现这个转折确实需要衔接。其原因是： 1.环境的改变对学生有影响。初中学校与高中学校的教学理念不完全相同，学校之间的差异或大或小，高一新生来自不同的学校，差异性较大。大家熟悉以前的校园、以前的人际关系、以前的各项规章制度及纪律要求。但进入新校园后，校园环境不同了，同学不同了，新学校有新学校的规章制度及具体纪律要求。对于这些变化，要使学生尽快融入新的集体、新的学校，这就必须做好衔接工作。对高一新生来讲，各方面可以说是全新的，新的同学、新的老师、新的管理措施与教育理念……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，如初三辛苦了，在高一休息一下，待高二认真一些、高三冲刺，使得高中入学后无紧迫感。
初高中数学衔接研究报告
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初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求，造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关
键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。 3．近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 １．找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 １、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。
初高中数学到底“衔接”什么？新生需掌握的八个知识点 很多新高一的同学，暑假里都忙着“衔接”，步入高中，无论是学习方法还是知识难度都有了很大的改变，大家都想趁着暑假来全方位提升自己，让这一级台阶迈得更稳。但是到底该衔接些什么内容，才可以达到事半功倍，直击问题的核心呢?为新高一的学生们答疑解惑，如何做好初高中衔接教育。 初高中数学到底“衔接”什么? 衔接≠上新课、竞赛培训、巩固复习课每年的暑假，都有不少新高一的学生去参加初高中衔接的课程，二八学习法温馨提醒：做好衔接方面的工作是必要的，但是不要盲目参加，要分清楚到底是不是衔接，衔接的是哪些知识。 初高中衔接教材：不是要急于学习高一的新课本，而是将一些初中应该提高与拓展的部分进行巩固。目前初高中数学衔接教学存在的三个误区： 误区之一：衔接课程讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课。 误区之二：衔接课程讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课。 误区之三：衔接课程仅仅是巩固初中知识，衔接课变成了复习课。 数学语言更抽象了思维方法更理性了王老师提醒，高中数学和初中有很大不同： 一是数学语言在抽象程度上突变：历来学生都反映，集合、映射等概念难以理解，离生活很远，似乎很“玄”。 二是思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。 三是知识内容的整体数量剧增，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。 王老师建议同学们做好课后的复习工作，理解新旧知识的内在联系，学会对知识结构进行梳理. 二八学习法初高中衔接教材系列的三大优势： 1.针对性强：内容衔接，复习已学过的内容，预习新学期学习的内容，温故知新。 2.新颖性强：通过《二八学习法讲义》掌握高效学习方法，并通过二八学习法视频加深对二八学习法的理解，并将掌握的方法运用于学习之中。资料部分，内容新颖，知（知识）、能（能力）、思（思考方法）并重，讲、练、评一体化。 3.实用性强：二八学习法讲义+视频讲解+资料（读和练）三维一体，相得益彰，高效学习，效率惊人！ 初中名师家教、高中名师家教、初高中衔接教材 产品类别内容（二八学习法讲义+DVD光盘+资料） 秋季开学新初一版语、数、英三科 秋季开学新初二版语、数、英三科 秋季开学新初三版语、数、英、理四科 秋季开学新高一版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高二版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高三版语、数、英、理、化五科 二八学习法，是指引学习方向的学习方略，方向正确，事半功倍，相信二八学习法会给你的学习带来神奇的效果！ 二八学习法五大系列产品是：名师家教、同步导学、复习指南、模法解题、试题分析 足不出户尽享名师家教 单科提分20-30分
初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-
数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223() 33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
初一 第一章有理数 1．1正数和负数 1．3有理数的加减法 1．4有理数的乘除法 1．5有理数的乘方 第二章整式的加减 2．1整式 2．2整式的加减 第三章一元一次方程 3．1从算式到方程 3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程 第四章图形认识初步 4．1多姿多彩的图形 4．2直线、射线、线段 4．3角 第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.2平行线及其判定 5.3平行线的性质 第六章平面直角坐标系 6.1平面直角坐标系 6.2坐标方法的简单应用 第七章三角形 7.1与三角形有关的线段 7.2与三角形有关的角 7.3多边形及其内角和 7.4课题学习镶嵌 第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 8.2消元——二元一次方程组的解法 8.3实际问题与二元一次方程组 8.4三元一次方程组解法举例 第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.2实际问题与一元一次不等式 9.3一元一次不等式组 第十章数据的收集、整理与描述 10.1统计调查 10.2直方图
10.3课题学习从数据谈节水，设计制作长方体形状的包装纸盒。初二 第十一章全等三角形 11.1全等三角形 11.2三角形全等的判定 11.3角的平分线的性质 第十二章轴对称 12.1轴对称 12.2作轴对称图形 12.3等腰三角形 第十三章实数 13.1平方根 13.2立方根 13.3实数 第十四章一次函数 14.1变量与函数 14.2一次函数 14.3用函数观点看方程（组）与不等式 14.4课题学习选择方案 第十五章整式的乘除与因式分解 15.1整式的乘法 15.2乘法公式 15.3整式的除法 第十六章分式 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程 第十七章反比例函数 17.1 反比例函数 17.2 实际问题与反比例函数 第十八章勾股定理 18.1 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第十九章四边形 19.1 平行四边形，平行四边形法则 19.2 特殊的平行四边形 19.3 梯形 19.4 课题学习重心 第二十章数据的分析 20.1 数据的代表 20.2 数据的波动 20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析
初高中数学衔接教材 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 2 2 ()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2 2 3 3 ()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2 2 3 3 ()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2 2 2 2 ()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 第一讲 因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2 ＋4x －12； （3）22 ()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2 分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上 的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2 －3x ＋2中的一次项，所以，有 x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)． 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得 x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得 2 2 ()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 习 题 一 一、填空题： 1、把下列各式分解因式： （1）=-+652x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652 x x __________________________________________________。 （5）()=++-a x a x 12 __________________________________________________。 （6）=+-18112 x x __________________________________________________。 （7）=++2762 x x __________________________________________________。 （8）=+-91242 m m __________________________________________________。 （9）=-+2 675x x __________________________________________________。 （10）=-+2 2 612y xy x __________________________________________________。 2、()() 3 42 ++=+-x x x x 3、若()()422 -+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） －1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －1 1 x y 图1．1－5
初高中数学衔接知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法
1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零 的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??--x 解法一：由01=-x ，得1=x ； ①若1
初高中数学衔接教材 1。乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; （2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； (２）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; （4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; （5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例１ 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? ＝242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- ＝61x -． 例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值。 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 １.填空: （1）221111 ()9423 a b b a -=+( ); （２）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ） 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题： (1)若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式,则k 等于 （ ) （A)2 m （B ）214m (C ）213m （D ）2116m （２）不论a ,b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 ( ) (Ａ）总是正数 （B)总是负数 (Ｃ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 ２.因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。 １.十字相乘法 例1 分解因式: (1）ｘ２－3x ＋2； (２)x 2＋4x －12； (3）22()x a b xy aby -++; （4）1xy x y -+-．
七年级上册 第一章有理数（12课时） 一、正数和负数（1课时） 二、有理数（3课时） 1、有理数 2、数轴 3、相反数 4、绝对值 三、有理数的加减法（3课时） 1、有理数的加法 2、有理数的减法 四、有理数的乘除法（3课时） 1、有理数的乘法 2、有理数的除法 五、有理数的乘方（2课时） 1、乘方 2、科学记数法 3、近似数和有效数字 第二章整式的加减（4课时） 一、整式（2课时） 二、整式的加减（2课时） 第三章一元一次方程（7课时） 一、从算式到方程（2课时） 1、一元一次方程 2、等式的性质 二、解一元一次方程（一）----合并同类项与移项 （1课时） 三、解一元一次方程（二）----去括号与去分母（1 课时） 四、实际问题与一元一次方程（1课时） 第四章图形认识初步（5课时） 一、多姿多彩的图形（1.5课时） 1、几何图形 2、点、线、面、体 二、直线、射线、线段（2.5课时） 1、角 2、角的比较和运算 3、余角和补角 七年级下册 第五章相交线与平行线（4课时） 一、相交线（1课时） 1、相交线 2、垂线 二、平行线（1课时） 1、平行线 2、直线平行的条件 三、平行线的性质（1课时） 四、平移（1课时） 第六章平面直角坐标系（3课时） 一、平面直角坐标系（1.5课时） 1、有序数对 2、平面直角坐标系 二、坐标方法的简单应用（1.5课时） 1、用坐标表示地理位置 2、用坐标表示平移 第七章三角形（3课时） 一、与三角形有关的线段（1课时） 1、三角形的边 2、三角形的高、中线与角平分线 3、三角形的稳定性 二、与三角形有关的角（1课时） 1、三角形的内角 2、三角形的外角 三、多边形及其内角和（1课时） 1、多边形 2、多边形的内角和 四、镶嵌 第八章二元一次方程组（2课时） 一、二元一次方程组 二、消元 三、实际问题与二元一次方程组 第九章不等式与不等式组（5课时）
初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４分式 1．2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的 １
初高中数学衔接知识点专题 临洮二中数学组董学峰 ★专题一数与式的运算 【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: .即. [2]绝对值的几何意义: 的距离. [3]两个数的差的绝对值的几何意义:表示的距离. [4]两个绝对值不等式:;. 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: ; [2]完全平方与公式: ; [3]完全平方差公式: . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式1] [公式2](立方与公式) [公式3] (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式 [1]式子叫做二次根式,其性质如下: (1) ;(2) ;(3) ; (4) . [2]平方根与算术平方根的概念: 叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根. [3]立方根的概念: 叫做的立方根,记为 4.分式 [1]分式的意义形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质: (1) ; (2) . [2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个就是分式时,就叫做繁分式,如, 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 例1 解下列不等式:(1) (2)＞4. 例2 计算: (1) (2) (3) (4) 例3 已知,求的值. 例4 已知,求的值. 例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1) (2) (3) (4) 例6 设,求的值. 例7 化简:(1) (2)
初高中数学衔接知识点专题（一） ★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1．绝对值 [1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>?；||(0)x a a >>? ． 2．乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++= [公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3] 33a b =- (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1] 0)a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 = ； (2) = ； (3) = ； (4) = ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作0)x a =≥，其 (0)a ≥叫做a 的算术平方根． [3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为x =4．分式 [1]分式的意义 形如 A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，如2m n p m n p +++， 说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
高中数学知识点总结
引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 ⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算
初中升高中衔接练习题（数学） 乘法公式1．填空：（1）221111()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22 )168(m m =++ )； (3) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若2 12 x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213 m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 因式分解 一、填空题：1、把下列各式分解因式： （1）=-+652x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652x x __________________________________________________。 （5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。 （6）=+-18112x x __________________________________________________。 （7）=++2762x x __________________________________________________。 （8）=+-91242m m __________________________________________________。 （9）=-+2 675x x __________________________________________________。 （10）=-+22612y xy x __________________________________________________。 2、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x （5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ） A.只有（1）（2） B.只有（3）（4） C.只有（3）（5） D.（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5） 2、分解因式2 2338b ab a -+得（ ） A ()( )3 11-+a a B ()()b a b a 3 11-+ C ()()b a b a 3 11-- D ()()b a b a 3 11+- 3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ） A 、()( )2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()( )10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32 可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ） A 、10=a ，2=b B 、10=a ，2-=b C 、10-=a ，2-=b D 、10-=a ，2=b 5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102 其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式 1、()()3211262 +---p q q p 2、22365ab b a a +- 3、6422 --y y 4、8224--b b 提取公因式法 一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。