第五讲二次根式
归纳1：二次根式的意义及性质
基础知识归纳：
二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．
注意问题归纳：
1．首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．
2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
【例1x的取值范围为（）
A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1
【例2】当﹣1＜a＜0=．
归纳2：最简二次根式与同类二次根式
基础知识归纳：
1．最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
注意问题归纳：
最简二次根式的判断方法：
1．最简二次根式必须同时满足如下条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
【例3】下列二次根式是最简二次根式的是（）
A B C D
归纳3：二次根式的运算
基础知识归纳：
（1）．二次根式的加减法：实质就是合并同类二次根式．
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）．二次根式的乘除法
二次根式的乘法：
ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）． 二次根式的除法：b a b a =（a ≥0，b ＞0）．
注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键
【例4】下列计算正确的是（ ）
A ．﹣
B •）
C ． D
归纳 4：二次根式混合运算
基础知识归纳：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 注意问题归纳：注意运算顺序．
【例5】计算：2）2
【例6】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p 2a b c ++=
，
那么三角形的面积为S =．如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别记为a ，b ，c ，若a =5，b =6，c =7，则△ABC 的面积为（ ）
A．
B．
C．18D．
19
2
归纳5：二次根式运算中的技巧
基础知识归纳：1．二次根式的被开方数是非负数；2．非负数的性质．注意问题归纳：
【例7】“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，
22
++
==
除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，
如：
设
x=
，
故x＞0，由x2
=
2=33
2
=2，解得x
=
=
后的结果为（）
A．B
．5C．
5D
．5﹣
【基础练习】
1
．函数y=x的取值范围是（）
A ．x ＜2
B ．x ≤2
C ．x ＞2
D ．x ≥2
2．下列运算正确的是（ ）
A ．a 2+a 3=a 5
B ．3a 2•4a 3=12a 6 C.533-=5 D ．236⨯= 3．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A ．12
B ．2
C ．4
D ．12 4．化简12的结果是（ ）
A ．43
B ．23
C ．32
D ．26
5．若式子12
x x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1且x ≠2 B ．x ≤1 C ．x ＞1且x ≠2 D ．x ＜1
6.下列运算正确的是（ ）
A ．347+=
B ．12=32
C ．()22-=-2
D ．142136
= 7.计算：（1﹣π）0+|23-|12-+（
12
）﹣1．
【提升练习】 8．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2
B ．2
C ．22
D ．6
9．下列各式不成立的是（ ）
A ．8718293-=
B ．223+=223
C ．818492+=+=5
D ．13232
=-+
10．计算：
2）2018
2）2019的结果是．
11．观察下列等式：
①3﹣
=
1）2，②5﹣
=
2，③7﹣
=
2，…
请你根据以上规律，写出第6个等式．
12．若|1001﹣a
|=a，则a﹣10012=．13．观察下列各式：
=1
1
12
+=
⨯
1+（1
1
2
-）
=1
1
23
+=
⨯
1+（
11
23
-）
，
=1
1
34
+=
⨯
1+（
11
34
-），…
请利用你发现的规律，计算：
1
2018
++
为
．
14与最简二次根式是同类二次根式，则a=．
【突破练习】
15．阅读下面材料：
我们知道一次函数y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P
（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=计算．
例如：求点P（3，4）到直线y=﹣2x+5的距离．
解：∵y=﹣2x+5，∴2x+y﹣5=0，其中A=2，B=1，C=﹣5，∴点
P（3，4）到直线y=
﹣2x+5的距离为：
d====
根据以上材料解答下列问题：
（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7=0的距离；
（2）如图，直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间
的距离．
1．x的取值范围是（）
A．x＞2B．x≥2C．x=2D．x≠2
2x的取值范围是（）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2
32得（）
A．2B．﹣4x+4C．﹣2D．4x﹣4
4x的取值范围是．
5最接近的整数是．
6．（已知x=，y=x2﹣2xy+y2的值是．
7
的结果是．
8的结果是．
9．化简：(02= ．
10．计算：
)
1111()3--
11．计算：2﹣
1+（π﹣3）0﹣|4|．
12．计算：
（1）⎛÷ ⎝ （2）())
2122+．
13．我们将、称为一对“对偶式”，因为）
=2）2=a ﹣b ）
和-中的去掉于是二次根式除法可以这样解：
==，
3==+母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1_______
（用“＞”、“＜”或“=”填空）；
=y=x2+y2的值；
（2）已知x
（3
1 / 7 二次根式 一、基础知识 一. 二次根式的概念： 1. 定义： 式子a a ()≥0叫做二次根式． 注意：（1）根式定义中的a ≥0是定义的一个重要组成部分，不可省略； 因为负数没有平方根，所以当a <0时，a 没有意义．如-2不是二次根式，()-22是二次根式，当a ≤0时，-a 是二次根式．（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式． 2. 最简二次根式 （1）最简二次根式的定义： ①被开方数不含有分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． （2）化二次根式为最简二次根式的方法： ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简． ②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来． “一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或质因式）的幂的积的形式． “二移”即把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上． “三化”即化去被开方数的分母． 二. 二次根式的性质： 1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3. a a a a a a 200==≥-
第五讲 二次根式的化简 【学习目标】 1、 本节的重难点是2a 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行，而2a 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论。 2、 能够利用二次根式的性质化简二次根式，且结果为最简二次根式。 3、 通过二次根式的学习，让学生形成分类讨论的数学思想与方法。 【知识要点】 1、二次根式的重要性质 ： 注1：式子中a a =2中的a 可以取任意实数，同时注意与a a =2)(的区别。 注2：中a 既可以是单个数字，单个字母，单项式，也可以是可进行因式分解的多项式，等等，总之它是一个整体概念。 2、最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 3、同类二次根式的概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式成为同类二次根式 【典型例题】 例1、计算下列各题，并回答以下问题： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）； （6）
（7） ； （8） ． 1、各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？ 2、各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？ 3、用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论。 例2、填空题 1、当 _________时， ； 2、当 时， ，当 时， ； 3、若a a -=-1)1(2，则 ________； 4、 当 时，=2)2(a a ； 5、当a+2<0时，442++a a 的化简结果是； 6、23 8n m 化为最简二次根式是； 例3、选择题 （1）如果x x =-2成立，那么（ ） （A ）x=0 （B ）x<0 （C ）x ≥0 （D ）x ≤0 （2） 下列各式中正确的是（ ） （A ）112-=-a a （B ）b a a b b = （C ）b a b a +=+2)( （D ）24a a = （3）下列各组中，是同类二次根式的是（ ） （A ）2与6 （B 3与9 （C ）2与8 （D ）3与6 例4、（1）化简232a （ ）
第5讲 二次根式 一、考点知识梳理 【考点1 二次根式的概念和性质】 1．平方根、算术平方根 若x 2＝a ，则x 叫a 的平方根．当a≥0时，a 是a 的算术平方根．正数b 的平方根记作± b.a 是一个非负数，只有非负数才有平方根． 2．立方根及性质 若x 3＝a ，则x 叫a 的立方根．求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数a 的立方根记作3a ；3 a 3＝a ，(3a)3＝a ，3－a ＝－3 a ． 3．二次根式的概念 (1)形如a(a≥0)的式子叫二次根式，而a 为二次根式的条件是a≥0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的性质 (1)ab ＝a·b(a≥0，b≥0)；a b ＝a b (a≥0，b ＞0)； (2)(a)2＝a(a≥0)； (3) a 2＝|a|＝⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a （a≥0） －a （a ＜0）. 【考点2 二次根式的运算】 二次根式的运算 (1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法：a·b ＝ab(a≥0，b≥0)； (3)二次根式的除法： b a = b a (a≥0，b ＞0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间； (5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号)． 二、考点分析
第5讲 二次根式及其运算 1．二次根式的有关概念 考试内容 考试 要求 二次 根式 一般地，形如a( )的式子叫做二次根式． a 最简二 次根式 必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应 含有根号)． 2.二次根式的性质 考试内容 考试 要求 两个重要的性质 (a)2＝a(a____________________)； a 2＝|a|＝ 错误! a 积的算术平方根 ab ＝a ·b(a ≥0，b ≥0)． 商的算术平方根 a b ＝a b (a ≥0，b>0)． 3.二次根式的运算 考试内容 考试 要求 二次根式的加减 先将各根式化为 ，然后合并被开方数 的二次根式． b 二次根式的乘法 a · b ＝ (a ≥0，b ≥0)．
二次根式的除法 a b ＝ (a ≥0，b ＞0)． 二次根式的混合运算 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算 ， 最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)． 考试内容 考试 要求 基本 方法 1.整式运算法则也适用于二次根式的运算． c 2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼近”的方法，即首先找出与该数邻近的两个完全平方数，可估算出该无理数的整数部分，然后再取一位小数进一步 估算即可． 3.绝对值：|a|；偶次幂：a 2n ；非负数的算术平方根：a (a ≥0)是常见的三种非负数形式．非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零． 1．(2015·湖州)4的算术平方根是( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D . 2 2．(2017·宁波)要使二次根式x －3有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠3 B ．x ＞3 C ．x ≤3 D ．x ≥3 3．(2016·杭州)下列各式变形中，正确的是( ) A ．x 2·x 3＝x 6 B .x 2＝|x| C .??? ?x 2－1 x ÷x ＝x －1 D ．x 2 －x ＋1＝????x －122 ＋14 4．(2017·宁波)实数－8的立方根是____________________． 5．(2017·湖州)计算：2×(1－2)＋8.
第五讲 二次根式 【知识梳理】 知识点一：最简二次根式 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3，二次根式化成最简二次根式的一般步骤： 1，把根号下的带分数，小数都化成假分数， 2，将被开方数中能开的尽方的数，用算术平方根把它开出来。 3，如果被开方数是多项式的，要先分解因式，变形为积的形式，再把因式移到根号 外面。 4，划去分母中的根号 5，约分 将 )0(大于b b a 分母有理化公式：有理化的公式为： b a = b b b a ? 将 a b c -分母有理化的公式为： a b c -= )()()-(a b a b a b c ++? 将 a b c +分母有理化的公式为： a b c += ) () _()(a b a b a b c -? + 知识点二：实数的运算 1，在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数是一致的；有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用。 2，有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多 项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 3、下面这些公式在实数范围内仍然适用 平方差公式：22 ))((b a b a b a -=-+ 完全平方差公式：ab b a b a 2)(222 -+=- 完全平方和公式：ab b a b a 2) (222 ++=+ 4.同类二次根式加减： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
第一节勾股定理专题 第二讲二次根式乘除法 第三讲二次根式专题 第四讲二次根式专题 2 第五讲二次根式测试题 第六讲非负数的性质 第七讲二元一次方程组 第八讲二元一次方程组复习题 第九讲二元一次方程组解应用题专项1 第十讲二元一次方程组应用题2
【知识要点：】 1.勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， （即： 222c b a =+）。 2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c += 那么这个三角形是直角三角形。 3.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①．先找出最大边（如:c ） ②．计算2c 与22a b +，并验证是否相等。 若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。 若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。 4.勾股数：（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数． （2）勾股数中各数的相同的正整数倍，仍是勾股数， 如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①．3、4、5 ②．5、12、13； ③．8、15、17； ④．7、24、25； ⑤．10、24、26； ⑥．9、40、41． 5．直角三角形相关性质： （1）直角三角形中，如果两条直角边分别为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在的关系： 面积：ch ab s 2 121==（即：c ab h =.） 周长：c b a l ++= （2）直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半；（反之，如果在直角三角形中有一条直角 边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）（即：2:3:1::=AB AC BC ） （3）在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2倍 （等腰直角三角形斜边上的高正好是斜边的一半。） （即：2:1:1::=AB BC AC ） 【课堂练习题：】 a b c h a b=3a 30° c=2a C A B C A B B A
第五讲二次根式 归纳1：二次根式的意义及性质 基础知识归纳： 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0． 注意问题归纳： 1．首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0． 2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 【例1x的取值范围为（） A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1 【例2】当﹣1＜a＜0=． 归纳2：最简二次根式与同类二次根式 基础知识归纳：
1．最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2．同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 注意问题归纳： 最简二次根式的判断方法： 1．最简二次根式必须同时满足如下条件： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； （2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 【例3】下列二次根式是最简二次根式的是（） A B C D 归纳3：二次根式的运算 基础知识归纳： （1）．二次根式的加减法：实质就是合并同类二次根式． 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）．二次根式的乘除法
八年级奥数专题 第一讲：勾股定理及应用----李 第二讲：实数的性质-------李 第三讲：二次根式（1） 第四讲：二次根式（2） 第五讲：一次函数的图像和性质 第六讲：待定系数法------李 第七讲：一次函数的应用- 第八讲：二元一次方程组和不定方程 第九讲：三元一次方程组与不定方程组 第十讲：二元一次方程组的应用 第十一讲：等腰三角形与等边三角形-------张琼方 第十二讲：线段的垂直平分线 第十三讲：角平分线 第十四讲：一元一次不等式与一元一次不等式组 第十五讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（1） 第十六讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（2）------方案设计------罗 第十七讲：因式分解（1） 第十八讲：因式分解（2） 第十九讲：因式分解（3） 第二十讲：因式分解（4） 第二十一讲：因式分解（5）-----刘 第二十二讲：分式 第二十三讲：分式的运算 第二十四讲：含字母系数的方程和分式方程 第二十五讲：分式方程的应用 第二十六讲：平行四边形性质与判定---杨洁 第二十七讲：矩形 第二十八讲：菱形 第二十九讲：正方形 第三十讲：三角形的中位线 第三十一讲：梯形 第三十二讲：梯形的中位线------张皓 第一讲勾股定理及应用 1、勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠ a2＋b2=c2 2、勾股定理及逆定理的应用 ①作已知线段a的2，3，5……倍 ②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③证明线段的平方关系等。
3勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数. 4勾股数的推算公式 a) 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,m 2+n 2是一组勾股数。 b) 如果k 是大于1的奇数，那么 k, 2 12 -k ,212 +k 是一组勾股数。 c) 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122 -⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122 +⎪⎭ ⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。 d) 如果a,b,c 是勾股数，那么na,nb,nc(n 是正整数)也是勾股数。 5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。 【例1】.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知，AB=8cm ，BC=10cm,求 CF 和 EC . 【巩固】.如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠， 使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕 EF 的长为 。 【例2】.如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积 分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 . (1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?. 拓展与提升
二次根式的加减教案 课题：二次根式的加减，及二次根式的混合运算 重点：理解同类根式的概念，掌握二次根式的加减法则，及二次根式的混合运算 难点：二次根式的混合运算 教学过程：例1．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 1 21 = - ， = = ，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 + ） ）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 解：原式= +…… × ） = ） ） =2002-1=2001 第五讲二次根式的加减法（1） 要点：首先要对二次根式进行化简，然后考察根号下的被开方数：被开方数相同的就是同类二次根式；被开方数不同的就不是同类二次根式。 1 ② C） A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2、下列说法正确的是（ C ） A、被开方数不同的两个二次根式一定不是同类二次根式； B、3与3 3不是同类二次根式；
C 、a 1 与a 不是同类二次根式； D 、被开方数完全相同的二次根式是同 类二次根式。 3、两个正方形的面积分别为2和8.则这两个正方形边长和为__23________ 5、已知最简二次根式15232+a 和 172--a 是同类二次根式： ①求a 的值 ②求它们合并后的结果 (a=1或-1,合并后结果为621) 多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法 （1）))((b a b a -+ )0,0(≥≥b a （a-b ） 例1．计算: （1）（2）（-3 解：（1） 解：（2÷ -3 2 例2．计算 （1）+6）（） （2） 解：（1）+6）（）-） （2）=2- 2 =10-7=3 二. 一元二次方程 了解一元二次方程的概念；一般式ax^2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 例1．将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
第三讲 二次根式的乘除运算 一：知识要点 1、实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用。 2、 分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化. 分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。 三种类型（1）1a （a 为非负数） （2） 1a b +（a+b 为非负数） （3）1a b ±（a 、b 都为非负且不相等） 例1、（1）说出下列各式的有理化因式：12-a 472- x ++11 （2） 133+ 23341+ )(n m n m n m ≠+-（提醒此题也可以约分做） （3） 计算： 154510-- （4） 已知2 231+=x ，求31-x 的值 （5） （21-）x ﹥1 （6）x x 332>- 例2、先化简，再计算：已知32-=x ，求1121222-+----x x x x x x 的值。
例3、（1）、12( 6)(242)23-⨯+ （2）、2(31)+ （3）、32（212－4 8 1＋348） （4）、（ab ab ab b a ∙-+)33 （5）（73＋27）2 （6）（5＋3＋2）（5－3＋2） （7）、（x ＋2xy ＋y ）÷（x ＋y ） （8）、（x 2－y 2）÷（x ＋y ） （9）化简：（b a b ab ab a ab ab --÷+- ) ()532310.32b ab a b b a ⎛⎫⋅-÷ ⎪⎝⎭ 例4．已知：x ＝ 231+，y ＝3＋2，求22353y xy x +-的值．
例5．已知a 2＋b 2－4a －2b ＋5＝0，求 a b b a -+3的值． 例6、a 21a a +-化简二次根式号后的结果是_____．（2） a 21a a +-把a 放到根号内的结果是_______ 例7、在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 例8、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 例9 ()083623233 x x y y x xy y ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛- （5分）
第五讲二次根式教学设计 一、复习目标： 1.二次根式的概念与性质是二次根式化简的依据,也是二 次根式运算的基础与关键，因此，在复习时要弄清二次 根式的概念的内涵与外延. 2.二次根式的化简与运算是中考热点之一，应通过各种形 式的题目进行训练.此类题目往往含有一定的技巧性，并 多与实数的运算结合在一起. 二、考向重难点： 1.命题方式为二次根式的化简与运算，常常结合分式的化 简求值题目进行考查，题型以填空题、解答题为主； 2.命题热点为二次根式性质的运用，二次根式的运算，利 用 (a ≥0)确定自变量的取值范围. 三、基础知识 （考点一）二次根式的3个概念 1、定义：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。 练习：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？ 2、 最简二次根式 （1）被开方数不含 __________________ （2）被开方数中不含开得尽方的_________ 我们把上述两个 条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （注意：二次根式的计算和化简结果，一般都要化成 ______ 二 次根式。） 练习：下列各式中，最简二次根式的是（ ） A 64 B x x 43 C 32a D 432a 3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方
数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 练习：下列二次根式，那些是同类二次根式： 12 ， 24， 271 ， b a 4， b a 32， 3ab - 二、（考点二）二次根式的3个性质 1、双重非负性 a 0 ,a 0 2、两个基本性质：①()2 a = ( ) ②2a = ={ 练习：实数a 满足510〈〈a ，则()()11422--+a a 化解后为 。 计算 () 18212+-的值 三、(考点三)二次根式的两个公式 1、乘法公式：=⨯b a 2、除法公式：b a = 练习：计算 241221348+⨯- ÷
八年级奥数专题 第一讲：勾股定理及应用 第二讲：实数的性质 第三讲：二次根式（1） 第四讲：二次根式（2） 第五讲：一次函数的图像和性质 第六讲：待定系数法------李 第七讲：一次函数的应用- 第八讲：二元一次方程组和不定方程 第九讲：三元一次方程组与不定方程组 第十讲：二元一次方程组的应用 第十一讲：等腰三角形与等边三角形-------张琼方 第十二讲：线段的垂直平分线 第十三讲：角平分线 第十四讲：一元一次不等式与一元一次不等式组 第十五讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（1） 第十六讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（2）------方案设计------罗 第十七讲：因式分解（1） 第十八讲：因式分解（2） 第十九讲：因式分解（3） 第二十讲：因式分解（4） 第二十一讲：因式分解（5）-----刘 第二十二讲：分式 第二十三讲：分式的运算 第二十四讲：含字母系数的方程和分式方程 第二十五讲：分式方程的应用 第二十六讲：平行四边形性质与判定---杨洁 第二十七讲：矩形 第二十八讲：菱形 第二十九讲：正方形 第三十讲：三角形的中位线 第三十一讲：梯形 第三十二讲：梯形的中位线------张皓 第一讲勾股定理及应用 1、勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠ a2＋b2=c2 2、勾股定理及逆定理的应用 ①作已知线段a的2，3，5……倍 ②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③证明线段的平方关系等。
3勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数. 4勾股数的推算公式 a) 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,m 2+n 2是一组勾股数。 b) 如果k 是大于1的奇数，那么 k, 2 12 -k ,212 +k 是一组勾股数。 c) 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122 -⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122 +⎪⎭ ⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。 d) 如果a,b,c 是勾股数，那么na,nb,nc(n 是正整数)也是勾股数。 5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。 【例1】.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知，AB=8cm ，BC=10cm,求 CF 和 EC . 【巩固】.如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠， 使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕 EF 的长为 。 【例2】.如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积 分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 . (1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?. 拓展与提升
第1页 第五讲：二次根式 姓名：_________ 日期：_________ 1．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A.1 2 B. 4 C. 3 D.8 2．下列计算正确的是( ) A.20＝2 10 B.2·3＝ 6 C.4－2＝ 2 D.－32＝－3 3．若a ＜1，化简a －12－1＝( ) A ．a －2 B ．2－a C ．a D ．－a 4．计算：32－2＝( ) A ．3 B. 2 C ．2 2 D ．4 2 5．如图，数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( ) A ．－2－ 3 B ．－1－ 3 C ．－2＋ 3 D ．1＋ 3 6．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5 7．若x －2y ＋9与|x －y －3|互为相反数，则x ＋y 的值为( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．27 8．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D.152 9．计算：12＋3＝__________；18－2 1 2＝________. 10．已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是__________．
第2页 一、二次根式 式子a （ ）叫做二次根式 ①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式 二、二次根式的性质 ①（a ）2= （a≥0） ② = （a≥0 ,b≥0） = (a ≥0, b≥0) 三、最简二次根式 1、被开方数的因数是 ，因式是整式 2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算 1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同 2 = （a≥0 ,b≥0） = （a≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算 4 、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如： = = 5、二次根式运算的结果一定要化成 。 考点一：二次根式有意义的条件 （a ≥o ） （a ＜o ）
第五讲二次根式计算 ------------------------------------------作者xxxx ------------------------------------------日期xxxx
1 -1 b a O 6、若y x -+-324=0，则2xy= 。 7、若 互为相反数，则 ______。 知识点一：最简二次根式 最简二次根式定义：：①被开方数中不包含分母；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 例1 在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 随堂练习： 1、下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A ．7 B ．3 C ． 1 2 D ．2 2、把下列各式化成最简二次根式： 3、如果x y （y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是
知识点四：分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． 例1： 观察下列分母有理化的计算： 111 21,32,43213243=-=-=-+++，从计算结果中找出规律，并利 用这一规律计算： 111 ( )(20081)213220082007++⋅⋅⋅+++++=_____________ 随堂练习： 1、化简1 32 +，甲，乙两位同学的解法如下 132 : 3 2. 32(32)(32) 132(32)(32) : 32 323232 -==-++--+-===-+++甲乙 对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（ ） A ．甲，乙的解法都正确 B ．甲正确，乙不正确 C ．甲，乙都不正确 D ．甲不正确，乙正确 2、分母有理化:(1) 132 =_________;(2) 112=________;(3) 10 25 =______. 3、已知a>b>0，a+b=6ab ，则 a b a b -+的值为（ ） A ． 2 2 B ．2 C ．2 D ．12 4、先化简，再求值：
初三数学上册第一章知识点第一课时二次根式（1） 1.二次根式的基本性质：当a≥0时，()2a = a； 例1．下列式子，哪些是二次根式， 1 x x>0） 1 x y + （x≥0，y•≥0）． x>0） x≥0，y≥0） 、 1 x 1 x y +． 例2．当x 在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意 义． 解：由3x-1≥0，得：x≥1 3 当x≥1 3 例3．当x 1 1 x+在实数范围内有意义？ 分析： 1 1 x+在实数范围内有意义， 0和 1 1 x+中的x+1 ≠0． 解：依题意，得 230 10 x x +≥⎧ ⎨ +≠ ⎩ 由①得：x≥-3 2 由②得：x≠-1 当x≥-3 2且x≠-1 + 1 1 x+在实数范围内有意义．
例4(1)已知 ，求x y 的值． (2) =0，求a2004+b2004的值． 第二课时1 a ≥0）是一个非负数； 2． 2=a （a ≥0）． 3、 a （a ≥0）． 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 答案： ()()()()()()( )3 232)3;222)2;33)12 -+-++-+x x x x x x x 第三课时 二次根式(3) 掌握 ⎩⎨ ⎧≤-≥==)0() 0(2a a a a a （3）例题： 1、=4 4 2、=-2)5.1( 1.5 3、 =-2 )1(x x-1 （x ≥1） 4 2(2)69(3) x x x ++≤-=π-3 5、 =+- 442x x x-2 （2≥x ） （4那么x 取值范围是（ ） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 （5）实数p 在数轴上的位置如图所示： 化简：2 2)2 ()1(p p -+-=p-1+2-p=1 一、选择题 1 ）． A ．0 B ．23 C ．42 3 D ．以上都不对 2．a ≥0 ）． A C ． · · · · 0 1 2 p
第一讲 二次根式的概念及有意义的条件 一、二次根式的概念 0a ≥)的式子叫做二次根式。a 被称为被开方数（式）， 例1：判断下列式子哪些是二次根式。 1234 56变式训练： 1、下列各式中是二次根式的是 。 1○2-34 5 6 2m 、n 应满足的条件是 。 二、二次根式有意义的条件 笔记： 例2：当x 为何值时，下列各式有意义？ （1 变式训练： 3 x 的取值范围是 。 4 P(a ,b )所在象限为 。 5、已知实数x 、y 满足等式：5y = ,求222x xy y -+的值。
当堂检测 1有意义的x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 12x ≠ C. 0x ≥且1 2 x ≠ D.一切实数 2m 的值为 。 3、下列各式中不一定是二次根式的是（ ） 4、y =x 的取值范围为 。 5x 的值为 。 第二讲2 具有双重非负性 2=a 例1：（10=,求x 、y 的值。 （22x+3y-1的值。 变式：已知实数x 、y |235|0x y --=,的值。
例2：（1）计算：2 2(-- (2)若22x =-,求x 。 （3）在实数范围内分解因式：44x - 2 2x -+ 变式：在实数范围内分解因式：4425x - 例3：在ABC ∆中，a,b,c 2||c a b -- 变式1= . 2、化简求值：2a 其中a = 当堂检测 1
2、在实数范围内分解因式：224x - 小试牛刀 一、选择题（每题5分，共35分） 1、使代数式 21 x -有意义的x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 12x ≠ C. 0x ≥且1 2 x ≠ D.一切实数 2、实数a,b 在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|,||a b +的结果为（ ） +b +b 3、若实数a,b 满足|1|0a +=,则()2013 ab 为（ ） D. 1± 4、使式子x 的取值范围是【 】 A ．x≥－1 B ．－1≤x≤2 C．x≤2 D．－1＜x ＜2 5、已知实数x ，y 满足x 4-，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是【 】 A ．20或16 B ． 20 C ．16 D ．以上答案均不对 6、下列各式正确的是（ ） A. （－2）2 ＝2 B. （－2）2＝－4 C. （－2）2＝2 D. （－x ）2 ＝－x 7、如果a 是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（ ）