基础达标检测
一、选择题
1．已知tan α＝1
2，则cos2α＋sin2α＋1cos 2α等于( ) A ．3 B ．6 C ．12 D.32
[答案] A
[解析] cos2α＋sin2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3.故选A.
2．(文)(2012·江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )
A ．－34 B.3
4 C ．－43 D.43 [答案] B
[解析] 本题考查三角恒等变形，弦化切． 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12得tan α＋1tan α－1＝12 即2tan α＋2＝tan α－1，
∴tan α＝－3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝－6－8＝34.
(理)(2012·江西高考)若tan θ＋1
tan θ＝4，则sin2θ＝( )
A.15
B.14
C.13
D.12
[答案] D
[解析] 本题考查了三角恒等变形与三角函数的求值． ∵tan θ＋1
tan θ＝4，
∴tan θ>0且tan 2θ－4tan θ＋1＝0， ∴tan θ＝2＋3，
sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2(2＋3)1＋(2＋3)2＝1
2，
故选D.
3．(2013·新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos 2
(α＋π4)＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23 [答案] A
[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．
由半角公式可得，cos 2(α＋π
4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－2
3
2＝1
6，故选A.
4．(文)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π
4)＝( ) A ．－7210 B.7210 C ．－2
10
D.210
[答案] A
[解析] 由于α是第三象限角且cos α＝－4
5， ∴sin α＝－3
5，
∴sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π
4 ＝22(－45－35)＝－710 2.
(理)若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π
4)＝( ) A ．－7210 B ．－2
10 C.210 D.210
[答案] B
[解析] 由α∈(－π2，π2)，sin α＝35可得cos α＝4
5，
由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－2
2(cos α－sin α)＝－2
10，故选B.
5．(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋3
2 C.
3 D ．22－1 [答案] C
[解析] 本题考查非特殊角三角函数的求值问题． 4cos50°－tan40°＝4cos50°cos40°－sin40°cos40°
＝4cos50°sin50°－sin40°cos40°＝2sin100°－sin40°cos40° ＝2sin (60°＋40°)－sin40°cos40°
＝2sin60°cos40°＋2cos60°sin40°－sin40°cos40° ＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°
＝ 3. 6．函数f (x )＝sin 2
x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π
2]上的最大值是( )
A ．1 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 3
[答案] C
[解析] f (x )＝1－cos2x 2＋3
2sin2x ＝sin ? ??
??2x －π6＋12， 又x ∈??????π4，π2，∴2x －π6∈????
??π3，5π6，
f (x )max ＝1＋12＝3
2，故选C. 二、填空题
7．(2013·新课标Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝1
2，则sin θ＋cos θ＝________.
[答案] －105
[解析] 本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式．
由tan(θ＋π4)＝12得1＋tan θ1－tan θ＝12
，∴tan θ＝－1
3，
∵θ为第二象限角，
由???
sin 2θ＋cos 2
θ＝1，tan θ＝－1
3，得?
??
sin θ＝1010，cos θ＝－31010，
∴sin θ＋cos θ＝－10
5.
8．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－11
14，α、β∈? ????0，π2， 则β＝________. [答案] π
3
[解析] ∵α、β∈? ????0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin α＝437，sin(α＋β)＝53
14， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1
2， ∵0<β<π2，∴β＝π
3.
9．函数f (x )＝sin(2x －π
4)－22sin 2x 的最小正周期是________． [答案] π
[解析] f (x )＝sin(2x －π
4)－22sin 2x ＝sin(2x －π
4)－2(1－cos2x ) ＝sin(2x －π
4)＋2cos2x － 2
＝sin2x cos π4－cos2x sin π
4＋2cos2x － 2 ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π
4)－2， 所以T ＝2πω＝2π
2＝π. 三、解答题
10．(文)(2013·四川高考)在△ABC 中，已知cos(A －B )·cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－3
5.求sin A 的值．
[解析] 在△ABC 中，sin(A ＋C )＝sin B ， cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C ) ＝cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝cos(A －B ＋B ) ＝cos A ＝－3
5. ∵0 ∴sin A ＝1－cos 2A ＝4 5. (理)(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos(x －π 12)，x ∈R . (1)求f (－π 6)的值； (2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (2θ＋π 3)． [解析] (1)f (－π6)＝2cos(－π6－π 12) ＝2cos(－π4)＝2cos π 4＝1 (2)f (2θ＋π3)＝2cos(2θ＋π3－π12)＝2cos(2θ＋π 4)＝cos2θ－sin2θ 因为cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，所以sin θ＝－4 5 所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－24 25， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－7 25 所以f (2θ＋π3)＝cos2θ－sin2θ＝－725－(－2425)＝17 25. 能力强化训练 一、选择题 1．(文)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2 33，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53 [答案] B [解析] tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，即2 331－tan A tan B ＝ 3. 解得tan A tan B ＝1 3，故选B. (理)若α，β∈? ????0，π2，cos ? ????α－β2＝32，sin ? ????α2－β＝－1 2，则cos(α＋ β)的值等于( ) A ．－3 2 B ．－12 C.12 D.32 [答案] B [解析] ∵sin ? ????α2－β＝－12，α 2－β∈? ?? ??－π2，0 ∴α2－β＝－π 6① ∵cos ? ????α－β2＝32，α，β∈? ????0，π2， ∴α－β2∈? ????－π4，π2，∴α－β2＝－π6或π 6② 由①②有????? α＝π3 β＝π 3 或????? α＝－π9 β＝π9 (舍去)， ∴cos(α＋β)＝cos 2π3＝－1 2. 2．(文)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝37 8，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74 D.34 [答案] D [解析] 本题考查了三角函数的恒等变形以及倍半角公式． 由θ∈[π4，π2]可得2θ∈[π 2，π]， cos2θ＝－1－sin 2 2θ＝－1 8， sin θ＝ 1－cos2θ2 ＝3 4. (理)若sin ? ????π6－α＝13，则cos ? ?? ?? 2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C.13 D.79 [答案] A [解析] cos ? ????2π3＋2α＝cos ?????? π－2? ????π6－α ＝－cos2? ?? ??π6－α＝2sin 2? ?? ??π6－α－1＝－7 9. 二、填空题 3．(2013·四川高考)设sin2α＝－sin α，α∈(π 2，π)，则tan2α的值是________． [答案] 3 [解析] 本题考查三角函数恒等式的应用．主要是倍角公式． sin2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12. ∴α＝23π，∴tan2α＝tan 4π3＝tan π 3＝ 3. 4．函数y ＝sin ? ? ???x ＋π3sin ? ????x ＋π2的最小正周期T ＝______. [答案] π [解析] 解法1：f (x )＝sin ? ? ???x ＋π3sin ? ????x ＋π2 ＝－12??????cos ? ? ???2x ＋5π6－cos ? ????－π6 ＝－12cos ? ????2x ＋5π6＋34.∴T ＝π. 解法2：y ＝? ?? ??12sin x ＋3 2cos x cos x ＝14sin2x ＋34cos2x ＋34 ＝12sin ? ????2x ＋π3＋3 4，∴T ＝π. 三、解答题 5．(文)(2013·广东高考)已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R . (1)求f (π 3)的值； (2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (θ－π 6)． [解析] (1)f (π3)＝2cos(π3－π12)＝2cos π 4＝1. (2)∵cos θ＝35，θ∈(3π 2，2π)， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－4 5. ∴f (θ－π6)＝2cos(θ－π 4) ＝2(cos θcos π4＋sin θsin π4)＝－1 5. (理)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π 4)． (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)设α∈(0，π4)，若f (α 2)＝2cos2α，求α的大小． [解析] (1)由2x ＋π4≠π 2＋kπ，k ∈Z ，得 x ≠π8＋kπ 2，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为???? ??x ∈R ??? x ≠π8＋kπ2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π 2. (2)由f ? ????α2＝2cos2α，得tan ? ?? ??α＋π4＝2cos2α，sin ? ????α＋π4cos ? ??? ?α＋π4＝2(cos 2 α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos α cos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈? ? ???0，π4，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2 ＝12，即sin2α＝1 2. 由α∈? ????0，π4，得2α∈? ????0，π2. 所以2α＝π6，即α＝π12. 6．已知34π<α<π，tan α＋1tan α＝－10 3. 求5sin 2α 2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－8 2sin (α－π 2)的值． [解析] ∵tan α＋1tan α＝－10 3， ∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0， 解得tan α＝－3或tan α＝－1 3. 又∵3π4<α<π，∴tan α＝－13. ∴5sin 2α 2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－8 2sin (α－π 2) ＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2－8－2cos α ＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α ＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22 ＝－526. 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 <3 2 10、若 X ［二,2 订 cosx = ，则x 等于 咼职咼考二角函数专题测试 选择题：(每小题5分，计75分) 1、已知角a 的终边通过点 P(-3,4),则sin a - cosa - tana = ( 23 17 1 17 A.- B. C.- D.- 15 15 15 15 2、sin 240 0的值是 1 1 3 A.- B.: 2 2 C . -_2" ° T 3、y-丄si n 2 x 的最小正周期是 2 兀 A.— B. n C.2 n D. 4 n 2 4、设 tana =2，且 sin :：:0,则 cosa 的值等于 () B. 1 5 1 A. C. D. 5 5 5 5 5、函数y=c ;OS 2(2X )是 A .周期为 -的奇函数 B.周期为- 的偶函数 2 2 C.周期为 n 的奇函数 D.周期为 n 的偶函 数 1 、3 1 .3 A.— B. C. 一一 D.- — 2 2 2 2 71 n , 6、 命题甲：sin x=1，命题乙：x=，则甲是乙的 2 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分，也非充要条件 7、下列函数在定义域是偶函数的是 A. y=cosx B. y=tanx C. lg x D .sinx JI &函数y = tan(3x ?—)的最小正周期为 2兀 A.3 n B. n C. ---- 3 9、函数y=cos3x- 3 sin3x 的最小正周期和最大值分别是 2 二 2 二 A. , 1 B. , 2 C.2n , 2 3 3 ( D.— 3 D.2 n , 1 1.2 《30°, 45°, 60°角的三角函数值》导学案 华阳九年制学校：王利祥 【使用说明及学法指导】 1.先学习课本第8至9页内容，然后开始做导学案； 2.用红色笔将重难疑点勾画岀来； 3?针对预习自学及合作探究找出疑惑 点，组内外“兵教兵”，相互讨论交流，答疑解惑 【学习目标】1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【重难点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的 运算式 教学过程: 由此发现：在直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦均与 _________ 和 ____ 边有关，正切只与 ________ 边有关。 2.如图：P 是/ 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 贝U cos = ________ ， sin = _________ ，tan = __________ . （二）、设问导读（自学课本第8至9页的内容，完成下面的问题 ） 1、请阅读思考课本第 9页探究内容，会求并熟记30 °、45°、60。角的正弦值、余弦值、 正切值并填写特殊角的三角函数值表，总结记忆口诀。 0"-\^三角函数 锐角a 正弦sin a 余弦cos a 正切tan a 30° 45° 60° 2、记忆口诀: （一）温故互 查: 要求1. 认真复习旧知识 2 .课前用时 1 ?如图所示，在 Rt A ABC 中，/ C = 90° 5 sin A ― ) ，cos A -— ) 斜边 斜边 tan A ( ) ；sin B ( A 的邻边 斜边 cosB （ ） 斜边 tan B （ ） A 的邻边 3 科 锐角三角函数与特殊角专题训练 【基础知识精讲】 一、 正弦与余弦： 1、 在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记 作A sin ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边 的邻边 斜边 的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ， 则c a A = sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0< 高一数学必修4第一章三角函数单元测试班级姓名座号评分 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（） A． B．－ C． D．－ 3、已知的值为（） A．－2 B．2 C． D．－ 4、已知角的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边（） A．在轴上 B．在直线上 C．在轴上 D．在直线或上 5、若,则等于 ( ) A． B． C． D． 6、要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单 位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位 7、如图，曲线对应的函数是（） A．y=|sin x| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sin x| 8、化简的结果是 ( ) A． B． C． D． 9、为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数的图象（） A．关于原点对称B．关于点（－，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称 11、函数是 （） A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 12、函数的定义域是 （） A． B． C． D． 二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分） 13、已知的取值范围是 . 14、为奇函数， . 15、函数的最小值是． 16、已知则 . 三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（8分）求值 18、（8分）已知,求的值. 19、（8分）绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体 W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm? 20、（10分）已知α是第三角限的角，化简 21、（10分）求函数在时的值域(其中为常数) 锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案 一、填空题：（30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，2a=b ，则tanA=______，sinA=_______。 2．sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是____<____<____。 3．在△ABC 中，∠C=90°，如果 31tan =A ，则cosB=_______。如果03cos 42=-A ，是∠A=______度。 4．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是_________。 5．如图6-29，某飞机于空中A 处探测得地面目标C ，此时飞行高度AC=h 米，从飞机上看到地面控制点B 的俯角为α，则飞机A 到控制点B 的距离是__________米。 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。 7、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。 8、已知tan α＝ 12 5，α是锐角，则sin α＝ 。 9、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 10、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东 60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． （1） （2） （3） 1136cm ，则一底角的正切值为 . 12、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 13、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 14、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=3 3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 15、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子 x O A y B 第一章三角函数单元测试 一.选择题（60分） 1.将－300o 化为弧度为（） A ．－ B ．－ C ．－ D ．－ 2.如果点位于第三象限，那么角所在象限是（） Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．下列选项中叙述正确的是（） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．锐角是第一象限的角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 4．下列函数中为偶函数的是（） A ． B ． C ． D ． 5已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则（） . . 6．函数的单调递减区间（） 43 π ； 53π；76π；74π；)cos 2,cos (sin θθθP θsin ||y x =2sin y x =sin y x =-sin 1y x =+sin()y A x B ω?=++0,0,||2 A π ω?>> < 4=A 1ω=6 π ?= 4=B 3sin(2)6 y x π =+ A B ． C ． D ． 7．已知是三角形的一个内角,且,则这个三角形( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形 8．等于（） A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 9．若角的终边落在直线 y =2x 上，则sin 的值为（） A. B. C. D. 10．函数y=cos 2 x –3cosx+2的最小值是（） A ．2 B ．0 C ． D ．6 11．如果在第三象限，则 必定在（） A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限 C ．第三或第四象限D ．第二或第四象 12．已知函数在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数 的解析式为（） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（20分） 13、已知角α的终边经过点P(3，)，则与α终边相同的角的集合是______ 14．、、的大小顺序是 5,12 12k k π πππ??- + ??? ?()k Z ∈511,1212k k ππππ??++???? ()k Z ∈,36k k ππππ??-+????()k Z ∈2,63k k ππππ??++???? ()k Z ∈α3 2 cos sin = +αα)2cos()2sin(21++-ππαα15±12 ±4 1 α2 α )sin(φ?+=x A y 3 π=x x y 23 sin 2=)23sin(2π+=x y )23sin(2π-=x y x y 3sin 2 1=31tan 2tan 3tan 高三文科数学三角函数专题测试题 1．在△ABC 中，已知a b ＝sin A cos B ，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) A . 6 B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C . 3 D . 32 在△ABC 中， AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2 ＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 高考数学专题复习：三角函数与解三角形 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。) 1．(2011·宁夏银川一中检测)y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 [答案] D [解析] y ＝(sin x ＋cos x )2－1＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是最小正周期为π的奇函数． 2．(2011·宁夏银川月考、山东聊城一中期末)把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π 6个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解 析式为y ＝sin x ，则( ) A ．ω＝2，φ＝π 6 B ．ω＝2，φ＝－π3 C ．ω＝12，φ＝π 6 D ．ω＝12，φ＝π 12 [答案] B [分析] 函数y ＝sin(ωx ＋φ)经过上述变换得到函数y ＝sin x ，把函数y ＝sin x 的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象． [解析] 把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的1 2倍得到的函数解析式是y ＝ sin2x ，再把这个函数图象向右平移π 6个单位，得到的函数图象的解析式是y ＝sin2????x －π6＝sin ????2x －π3，与已知函数比较得ω＝2，φ＝－π 3 . [点评] 本题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解决问题的灵活性，本题也可以根据比较系数的方法求解，根据已知的变换方法，经过两次变换后函数y ＝sin(ωx ＋φ)被变换成y ＝sin ????ωx 2＋ωπ6＋φ比较系数也可以得到问题的答案． 3．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( ) A.??? ?－π 8，0 B.???? π8，0 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C 《三角函数高考真题》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A ．?2 B ．? C ．2 D ．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a sin A ? b sin B =4 c sin C ，cos A =?14 ，则 b c = A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ． 3 2 C ．1 D ．12 5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0， π 2 ），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ω?ω?=+>><是 奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到 原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ?? = ??? 3π8f ??= ??? A ．?2 B ． C D ．2 8．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π ()s i n(2)3cos 2 f x x x =+ -的最小值为___________． 9．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知 b sin A +a cos B =0，则B =___________. 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在 线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已 知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q 4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 北师大版九年级数学 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 知识点： 1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c （勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 34 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 解直角三角形的定义 1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 222(注意：2(1)(2)1:m 3OC 、OD 的方向向角。 所以,OA 、北偏东30南偏西60 例1：已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c = ，tan b B a =和222a b c +=；由3s i n 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===， 所以选A ． 例2 ：104cos30sin 60(2)2008)-??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 104cos30sin 60(2)2008)-??+-- =13412222 ??? ?+--= ???， 故填3 2． 1. A ．8米 2. 一架5A ．5sin 40° 3. 线，∠ABC 是（ ） A C ． 4. 铅直高度BC A ． 米C ．15米 D ． 5．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5 2018届高考数学二轮复习： 三角函数 单元测试卷（A ） 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 1．sin 600°＋tan 240°的值是( ) A ．－32 B ． 32 C ．－1 2 ＋ 3 D ．1 2 ＋ 3 2．已知点P ? ?? ?? sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值 为( ) A ．π 4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π4 3．已知tan α＝3 4，α∈? ?? ??π，32π，则cos α的值是( ) A ．±4 5 B ．45 C ．－45 D ．35 4．已知sin(2π－α)＝45，α∈(3π 2，2π)，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－7 D ．7 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π 8对称，则φ可能取值 是( ) A ．π2 B ．－π4 C ．π4 D ．3π4 6．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( ) A ．? ????π2，3π4∪? ????π，5π4 B ．? ????π4，π2∪? ???? π，5π4 C ．? ????π2，3π4∪? ?? ??5π4，3π2 D ．? ????π2，3π4∪? ?? ??3π4，π 7．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( ) 8．为了得到函数y ＝sin ? ?? ?? 2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象 ( ) A ．向右平移π 6个单位长度 B ．向右平移π 3个单位长度 C ．向左平移π 6 个单位长度 D ．向左平移π 3 个单位长度 9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100 秒时，电流强度是( ) A ．－5 A B ．5 A C ．5 3 A D ．10 A 10．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π2 B ．ω＝12，θ＝π 2 C ．ω＝12，θ＝π 4 D ．ω＝2，θ＝π 4 锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。 （2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=， 得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。 说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值，求角 例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。 三角函数专项复习 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对 边 C 7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做 坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。 :i h l =h l α 锐角三角函数经典总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 锐角三角函数与特殊角专题训练 【基础知识精讲】 一、 正弦与余弦： 1、 在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做 A ∠的正弦，记作A sin ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边 的邻边 斜边 的对边 A A A A ∠= ? ∠= cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ， 则c a A =sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
最新高职高考三角函数专题测试
北师大版初三数学下册《特殊角的三角函数》
锐角三角函数经典总结
2016高考三角函数专题测试题 及答案
初三锐角三角函数知识点与典型例题
九年级数学北师大版《锐角三角函数》单元测试题及答案解析
北师大版高中数学必修四《三角函数》单元复习测试题1及答案解析.docx
高三文科数学三角函数专题测试题(后附答案)
人教中考数学锐角三角函数-经典压轴题附详细答案
高考数学专题复习：三角函数与解三角形测试题及详解
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
《三角函数高考》专题
锐角三角函数专项复习经典例题
北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结及典型习题(超级详细)
2018届高考数学二轮复习：三角函数 单元测试卷AB卷含解析
锐角三角函数的题型及解题技巧
初三锐角三角函数知识点总结典型例题练习
锐角三角函数经典总结
相关主题
文本预览