函数的极值与导数
注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最
大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所
示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f 。 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、
最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
极值点与导数的关系:
结论：0x 左右侧导数异号
0 是函数f(x)的极值点 )(0x '=0
反过来是否成立?各是什么条件?
点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.
例： 函数y =f (x )的导数y /与函数值和极值之间的关系为( )
A 、导数y /由负变正,则函数y 由减变为增,且有极大值
B 、导数y /由负变正,则函数y 由增变为减,且有极大值
C 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极小值
D 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极大值
函数的极值练习
一、选择题
1.下列说法正确的是 （ ） A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值
D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0
2.数y =
2
16x
x
的极大值为 （ ） A.3 B.4 C.2 D.5
3函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为 A.0 B.1 C.2 D.4
4.=2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于 （ ） A.6 B.0 C.5 D.1 二、填空题
5函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________. 6曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.
7函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________.
8.函数f (x )=x －32
2
3
x 的极大值是___________，极小值是___________.
9.函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则
a =___________,
b =___________.
三、解答题
10.函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.
13.y =f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x =2
1
时，f (x )的极小值为－1，求函数的解析式.
函数的最大（小）值与导数
观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中 是极小值，
是极大
值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是 ，最小值是
1.结论：一般地，如果()y f x =在[]b a ,上连续，那
么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值． 2．“最值”与“极值”的区别和联系
(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个 局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可 能没有一个
(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有 最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 3．利用导数求函数的最值步骤:
（1）
（2） 【知识点实例探究】 例1．求函数143
1)(3
+-=
x x x f 在[0,3]上的最大值与最小值。
变式：求下列函数的最值：
（1）已知]1,3
1
[,126)(3
-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。 （2）已知]2,1[,26)(2
∈--=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。 例2．已知函数a x x x f +-=2
3
62)(在[－2，2]上有最小值－37， （1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值。
函数的最大值与最小值作业
一、选择题
1.下列说法正确的是 （ ）
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3.函数y =2
342
13141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为 （ ） A.0
B.－2
C.－1
D.1213
4.下列求导运算正确的是 （ ） A ．211)1(x
x x +='+
B ．2ln 1)(log 2x x ='
C ．e x x 3log 3)3(?='
D ．x x x sin 2)cos (2-='
5.设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是 （ ）
A.27
B.－3
C.－1
D.1
6.设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则（ ） A.a =2,b =29 B.a =2,b =3 C.a =3,b =2 D.a =－2,b =－3 二、填空题
7.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________.
8.已知函数f (x )=2-x 2,g (x )=x ．若f (x )*g (x )=min{f (x ),g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是 ．
9. 函数2cos y x x =+在π02??
????
，上取最大值时，x 的值为
10. 函数543()551f x x x x =-++在[1
2]-，上的值域为 三、解答题
11. 求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值．