现实生活中的大数定理及中心值定理的应用
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摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2)
2.1大数定律的发展历史 (2)
2.2大数定律的定义 (3)
2.3几个常用的大数定律 (3)
第三章大数定律的一些应用 (6)
3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6)
3.2大数定律在保险业的应用 (6)
3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11)
参考文献 (12)
对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现.
本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.
概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值.
在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1
1n
i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位.
大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.
第二章大数定律
2.1大数定律的发展历史
概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学, 而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来. 从概率的统计定义中可以看出: 一个事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增多, 事件的频率逐渐稳定在某个常数附近. 人们在实践中观察其他一些随机现象时, 也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性. 这就是说, 无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何, 大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关, 且不再是随机的. 深入考虑后, 人们会提出这样的问题: 稳定性的确切含义是什么? 在什么条件下具有稳定性? 这就是大数定律要研究的问题.
1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。
它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。
频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如契贝晓夫大数定律，伯努利大数
定律就是契贝晓夫大数定律的一个特例。再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。
2.2 大数定律的定义
大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性.
人们在长期的实践中发现,频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性,也就是说,无论个别测量值如何,其平均结果实际上与个别测量值的特征无关,几乎不再是随机的了.这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题.
阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律. 一般的大数定律都涉及一个随机变量序列{n X },为此我们给出如下定义. 定义 2.2.1 设有一随机变量序列{n X },假如对任意的0ε>,
有 1111lim ()1n n
i i n i i P X E X n n ε→+∞==??-<=????
∑∑ (1.1.1)
的性质,则称该随机变量序列{n X }服从大数定律.
2.3几个常用的大数定律
由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。
定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη…..，如果对于任意的0ε>，有()l i m 1n n P ηηε→∞
-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),p n n ηη??→→∞。
定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若
(){}l i m 1n n P ηωη→∞
==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a e n n ηη??→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ???,使得对任意
的0ε>,有
11lim 1n i n n i P a n ξε→∞=??-<= ???
∑ （8）
成立,则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律.
定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、r n
E η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0r
n n E ηη→∞-=则称n ηr 次平均收敛到η。记作 r
L n ηη??→。
此时必有r r n E E ηη=。 当r=2时是常用的二阶矩，2
L n ηη??→称为均方收敛。
定义5 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε?>有 11lim 1n n
k k n i i E n n ξξε→∞??-<= ???
∑∑ 则称随机变量序列12,,n ξξξ??????服从弱大数定律。
定义6 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε?>有
()1l i m 01n
k k n i
P E n ξξ→∞??-==????
∑或等价地.110n n a e k k i i E n n ξξ-??→∑∑， 则称12,,n ξξξ??????服从强大数定律。 上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞
从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。
定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数ε，有()2D P a ξ
ζεε-≥≤， 则称此式子为契贝晓夫不等式。
粗糙地说，如果D ξ越大，那么()P a ζε-≥也会大一些。
大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。
定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，
且A 在每次试验中出现的概率为p （0
l i m 1n n P p n με→∞??-<= ???
（5） 此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
定理3 （契贝晓夫大数定律） 设12,,n ξξξ??????是一列两两不相关的随机变量,
又设它们的方差有界,即存在常数0C >,使有,1,2,3i D C i ξ≤=???，则对于任意的0ε>,有
1111lim 1n n
i i n i i P E n n ξξε→∞==??-<= ???
∑∑ （9） 在上述的定理中，因为用到契贝晓夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。例如独立同分布时的辛钦大数定律
定理4 （辛钦大数定律） 设12,,n ξξξ??????是独立同分布的随机变量序列,
且有有限的数学期望()1,2i E a i ξ==???,则对于任意的0ε>,有
11l i m 1n i n i P a n ξε→∞=??-<= ???
∑ （10） 上式也可表示为11lim p
n i n i a n ξ→∞==∑或()11n p i i a n n ξ=??→→∞∑,并且称11n i i n ξ=∑依概率 收敛于.
定理5 （泊松大数定律）设12,,n ξξξ??????是相互独立的随机变量序列, ()1n n P p ξ==，()0n n P q ξ==，其中1n n p q +=，则12,,n ξξξ??????服从泊松大数定律。
泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n 的无限增大，在n 次独立试验中，事件A 的频率趋于稳定在各次试验中事件A 出现概率的算术平均值附近。
第三章 大数定律的一些应用
3.1大数定律在数学分析中的一些应用
3.1.1大数定律在极限、重积分上的应用
大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。
大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论。可以说大数定律是利用极限才得出的，同时利用大数定律可以来求解极限，这当然只是众多求极限方法之一，但也有它独特的简洁和巧妙。就以大数定律和极限这个概念的关系为例子，用它来对我们要求的重积分和极限相关的问题进行另一种方式的求解。极限伴随重积分出现的类型在高数中是常见的，在利用大数定律来求解这类重积分的极限的题目前，先介绍一个相关定理。
3.2大数定律在保险业的应用
3.2.1保险动机的产生
现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。
保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。
例如某企业有资金Z 单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为1Z 个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金1Z Z -单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为()f Z ，显然有()()f Z f Z K --，当1K Z =时为预期风险条件下利润损失额。当()()0f Z f Z K --≥
时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。
具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。
假设这种随机现象为(1,2,....,)i X i n =，则i X 的概率分布为： i X 取值
0 1Z 概率 1P - P
上表中，P 为风险发生的概率，1Z 为风险发生时企业的损失额。那么知道
该事件的数学期望为()1i E X Z P =。
根据契贝晓夫大数定律，当1Z 有限时，0ε?>，
111lim 0n i n i P X Z P n ε→∞=??-≥= ???
∑. 0ε?>，上述式子可以表述为：n 个具有某种同类风险，且风险的发生是相互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。
在n 重伯努利实验中，事件A 在每次试验中出言的概率为p ，(01)p <<，n μ为n 此试验中出现A 的次数，则
2
21lim 2t x n n np P x e dt npq μπ--∞→∞??-<=? ? ????。 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量
σμn n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=??? ??-=∑∑∑∑====11
11
)( 的分布函数F n （x ）对于任意x 满足
?∑∞--=∞→∞→=???
???????????≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ 根据上述中心极限定理，由事先约定的0β>，则
11121(1)n i i n P X Z P n P p εεβ=??????-≥≈-Φ≤ ? ? ? ? ?-?????
?∑ 这样，由事先给定的P εβ、、确定出参加某种风险保障的企业最小数目n.
例如：当=0.01=0.0012P ε、，则当约定=0.001β时，一定有n 130≥,也就是说当n 130≥时，上述的结果成立。
依据上述结果，从两个方面来看，
从微观上看，因为01P <<,则11Z PZ >，由前面说的企业是看利润递增的原
则，显然有()()11f Z Z f Z PZ -<-。此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会保险比自保更有利。
从宏观上看，如果有n 个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为
()()()111n
i i i D f Z f Z Z ==--∑。
其中()i f Z 表示第i 个企业的利润函数（i=1,2,…..n ）.
而这n 企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为
()()()211n
i i i D f Z f Z PZ ==--∑。
则由于参加社会保险而产生的社会总效益为：
()()()12111n
n i i i D D D f Z PZ f Z Z ==-=---∑
由于 ()()11f Z Z f Z PZ -<-，i=1,2,……n.
所以此效益随着n 的增大而增大。[3]
综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利，利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。
保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条件有：
1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。
2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。这些都是大数定律的基本要求。
3.3大数定律在银行经营管理中的应用
到目前为止,大数定律在有些领域中的巨大作用并没有为人们所认知,或者人们的所作所为已经不知不觉地暗含了大数定律,但他们没有意识到.我们现在要谈的是大数定律在银行（尤其是在非国有中小银行）经营管理中的作用,就是属于这种情况.
为说明大数定律在银行（尤其是在非国有中小银行）经营管理中的作用,在此我们将结合非国有中小银行蓬勃发展的例子来加以说明.
鉴于目前我国非国有经济已经在工业增加值中占到70%以上,提供着95%以上的新增就业,支撑着80%以上的经济增长率,但其获得的信贷资源却极为有限.这种情况在很大程度上导致了非国有部门的投资、特别是中小非国有企业的投资难以明显增加.因而尽管宏观政策已经不再是信贷紧缩,但实际生活中却出现了“信贷萎缩”.针对上述情况,有些经济学家已经呼吁积极发展和非国有经济相适应的非国有银行体系.
事实上素以市场大省而闻名全国的浙江,其非国有中小银行的发展早几年就开始了,而且其中的一些已经取得了骄人的业绩.当然在成功的背后也不乏失败者,许多非国有小银行因经营不善而倒闭.诚如企业一样,非国有中小银行在竞争中有胜有败也是正常现象,不过仔细探究其中的成败得失并加以总结还是很有现实意义的.
事实上已经有一些专家学者就一些非国有中小银行蓬勃发展的现象进行了探讨.他们认为：这种非国有中小银行在根本上不同于国有或国家控股的传统金融机构,其产权安排清晰,激励约束机制完善,经营机制灵活,从源头上切断了一切非市场力量的不适当干预,与市场经济有着天然的亲和力和适应性,其竞争行为均按市场经济的效率原则进行,因而具有极强的生命力.
还有一点疑惑,为什么其他一些非国有中小银行也具有这些优势,但是却没有这么红火甚至关门倒闭呢？所以,除了上述原因外,一定还有另外一些深层的机理有待发掘.为此,进行了一系列调查,令人感兴趣的是我们发现这些蓬勃发展、运作很好的非国有中小银行有以下两个共同点：一是其老总原来都从事金融工作；二是对贷款零售业务,即对每家客户的贷款数目都不大.就其第二条而言,这几家银行在经营管理中已不知不觉地利用了大数定律.
我们知道,由于非国有中小银行经营规模较小,因而只有在每笔贷款数目都不太大时,才可能向尽可能多的客户放贷（当前在贷款时对客户要做适当的选择）.这样做尽管仍然会由于信息不对称以及另外一些因素而造成银行对每个借款人的还贷能力难以准确掌握.
由大数定律可知,在客户数量比较多时,所有贷出去的款项中会成为坏账的
数量在总的贷款中所占的比例会呈一个比较稳定的数值.因而若银行的管理者能事先对坏账占贷款总数的比例有个较为准确的估计,并进而在制定贷款计划时就将这个比例考虑进去,就能使银行的经营风险降到较低水平.而要做到这一点,就有赖于管理者的素质了,而上述几家信用社的老总由于拥有了原来就在金融部门工作多年的经历,恰好能做到这一点.
另外,由大数定律所要求的银行实行每笔贷款的小额化,还有一个非常重要的作用,就是可以降低因借款人的败德行为而给银行带来的损失.
在现实生活中不乏下列现象：一个人在借入钱的数额不大时,一般都是能准时归还（因这时若不还钱所得的收益和由此所造成的名誉损失相比是得不偿失的）,给人的感觉就是此人的信用很好,因而人们都乐于借钱给他；但当此人在借入了大笔的钱后,则他可能携款潜逃或先将财产转移后再以经营亏空为由,并摆出一付要钱没有、要命一条的样子,拒不还钱.这种道德败坏行为会给银行造成巨大损失,严重时甚至会导致那些经营规模较小的银行倒闭.
需要指出的是,尽管非国有银行体系在弥补国有金融体系缺陷、促进非国有经济发展上作出了不可磨灭的贡献,且今后随着非国有银行的不断发展,它将发挥越来越大的作用,但由于非国有银行普遍规模较小,经营者素质不高,技术落后,业务范围受擎,故其抵御金融风险的能力极弱,面临破产倒闭的情形时有发生.因此非常有必要加强非国有银行机构的风险防范、化解与监管工作.
对非国有银行机构的监管既有来自政府和国有金融方面的,更应有侧重于增强其内生风险处理机制的功能,促进其内控体系的建立与完善.因而努力降低经营风险,采取稳健踏实的经营方式并在此基础上不断发展壮大应成为非国有中小银行经营者的经营策略.
从前面的分析中可知,如果非国有中小银行的经营者能充分利用非国有中小银行自身的灵活、便利和高效的优势,并能很好地领会和掌握大数定律的精髓并以此来指导自己的经营管理活动,做足做好小额化、零售化业务,那么非国有中小银行在国有大型银行的夹缝中照样能够稳健经营并且能不断发展壮大.
以上非国有中小银行的成功事例事实上也印证了这一点.而从世界范围来看,银行业务的零售化已经渐成潮流,跨国银行中的大哥大----花旗银行就是靠其对中小企业、个人的零售业务来支撑的.
结论
本文根据有关大数定律的定义、定理，得到大数定律更多的内容，比如强大数定律的定义等。总结起来，分别在理论上和实践上看到了大数定律的实际作用。
在理论上，利用大数定律的思想，我们可以得出求解极限、重积分以及级数的一种新思路，为我们解决一些数学分析中的难题提供了理论上的指导；另一方面，在实际生活中，保险体现“我为人人，人人为我”的互助思想，它是依据大数定律合理分摊、化整为零这一科学的数理计算方法，大数定律是保险业存在、发展的基础。从保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定中，大数定律起到不可或缺的作用。大数定律为促进人类社会和谐又好又快发展有着不可估量的价值。
参考文献
[1].章志敏.一个级数求和的概率算法[J].山东曲阜师范学院.1984.5.
[2]王玉皎.无形的商品—保险信息[J].山西财经学院学报.1994.
[3]薛蓓蕾.人身保险中的数学计算[J].哈尔滨高等专科学校学报.1999.
[4]王东红.大数定律和中心极限定理在保险业中的应用[J].数学的实践和认识.2005.35.
[5]岳金健.利用大数定律和中心极限定理求解极限[J].龙岩学院学报.2007.
[6]何英凯.大数定律与保险财政稳定性研究[J].税务与经济.2007.4.
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对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.
概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.
《概率论与数理统计》习题二答案 《概率论与数理统计》习题及答案 习题二 1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3，4，5,在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的 最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】 3535 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 故所求分布律为 ２.设在1５只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取１只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求： (１） X 的分布律； （2） Ｘ的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<． 【解】 3 1331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为
（２） 当x <0时，F (x ）＝P (X ≤x )=０ 当０≤x <1时，F (x )＝P (X ≤x )=Ｐ（Ｘ=0)= 2235 当1≤x <２时，F （x ）=P (Ｘ≤ｘ）=P （Ｘ=0）＋P （X =1)=3435 当x ≥2时，F (x )=P （Ｘ≤x ）＝1 故X 的分布函数 0, 022 ,0135()34,12351,2x x F x x x
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的，
一、单选题（共 15 道试题，共 75 分。） V 1. 下面哪个条件不能得出两个随机变量X与Y的独立性？ A. 联合分布函数等于边缘分布函数的乘积； B. 如果是离散随机变量，联合分布律等于边缘分布律的乘积； C. 如果是连续随机变量，联合密度函数等于边缘密度函数的乘积； D. 乘积的数学期望等于各自期望的乘积：E(XY)=E(X)E(Y)。 满分：5 分 2. 一袋子中装有6只黑球，4个白球，又放回地随机抽取3个，则三个球同色的概率是 A. 0.216 B. 0.064 C. 0.28 D. 0.16 满分：5 分 3. 设随机变量X的方差DX =σ2，则D（ax+b）= A. aσ2+b B. a2σ2+b C. aσ2 D. a2σ2 满分：5 分 4. 把4个球随机投入四个盒子中，设X表示空盒子的个数，则P(X=1)=( ) A. 6|64 B. 36|64 C. 21|64 D. 1|64 满分：5 分
5. 设随机变量X~N（2，4），且P{2 《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108 正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 最大似然估计学习总结(概率论大作业) 最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。 最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？ 我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。 2.设31)(=A P ，2 1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P 解: （1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P （2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； 吉林大学网络教育 大作业 1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A 表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)= )/()(3 1 B B i i i A P P ∑=, P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)= ) ()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.3573 2．设连续型随机变量X 的分布函数为 0, ,()arcsin ,,(0)1, ,x a x F x A B a x a a a x a ≤-??? =+-<<>?? ≥?? 求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ?? - ??? 内的概率．（3）X 的概率密度函数． 解：（1）F （a+0）=A-2πB=0，F （a-0） =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π 1 (2)P{-2a 习题2 2.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X 表示前后两次出现点数之和，求X 的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。 2.1解：样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω，且每个样本点出现的概率均为 36 1 ，X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有 {}{}{}363 )2,2(),1,3(),3,1()4(,36 2)1,2(),2,1()3(,361)1,1()2(= ====== ==P X P P X P P X P 类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X P ,363)10(,364)9(====X P X P ,36 1 )12(,362)11(====X P X P X 的概率分布为 36 118112191365613659112118136112111098765432k p X 满足： 136 2/652636543212366)(12 2 =??+=+++++= =∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}k P X k ae -==， k=1，2,…，试确定常数.a 2.2解：由于111 1 1)(1--∞ =-∞=-==== ∑∑e e a ae k X P k k k ，故111 1 -=-=--e e e a 2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率： （1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。 2.3解：设Y X ,分别为甲、乙投中的次数，则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ，因此有 2,1,0,)6.0()4.0()(,)3.0()7.0()(2222=====--k C k Y P C k X P k k k k k k （1） 两人投中次数相同的概率为 ∑======2 3142.0)()()(k k Y P k X P Y X P 1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件 =A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 =A {球的最小号码为1}. 3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}. 4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再 从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件 =A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, =B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}. 答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现. }),(),,({T H H H A =; }),(),,({T T H H B =; }),(),,(),,({H T T H H H C =. 2) 由题意,可只考虑组合,则 ? ?? ?? ?=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω; {})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A . 3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则 ??? ? ????? ?????????=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1( Ω; {})10,9(,),10,2(),10,1( =A . 4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则 {}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω; {}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =. 学习中心/函授站_ 姓 名 学 号 西安电子科技大学网络与继续教育学院 2018学年上学期 《概率论与数理统计》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1、大作业于2018年4月19日下发，2018年5月5日交回，此页须在答卷中保留； 2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计； 3、答案须手写完成，要求字迹工整、卷面干净。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．设A 、B 、C 是随机事件，且AB C ?，则（ ）。 A ．C A B ? B ．A C ?且B C ? C ．C AB ? D ．A C ?或B C ? 2．设一盒子中有5件产品，其中3件正品，2件次品。从盒子中任取2件，则取出的2件产品中至少有1件次品的概率为（ ）。 A ． 310 B ．510 C ．710 D ．1 5 3．设()F x 是随机变量X 的分布函数，则（ ）。 A ．()F x 一定连续 B ．()F x 一定右连续 C ．()F x 是单调不增的 D ．()F x 一定左连续 4．设连续型随机变量X 的概率密度为()x ?，且()()x x ??-=，()F x 是X 的分布函数，则对任何的实数a ，有（ ）。 A ．0()1()a F a x dx ?-=- ? B ．0 1 ()()2 a F a x dx ?-=-? C ．()()F a F a -= D ．()2()1F a F a -=- 5．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 22 6 (,), , x y f x y Ae x y +- =-∞<<+∞-∞<<+∞ 则常数A =（ ）。 A ． 12π B ．112π C ．124π D ．16π 6．设随机变量X 、Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则 ()P X Y <=（ ） 。 A. 15 B.13 C.25 D.4 5 7．有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人从中随机地抽取3张，则此人得奖 金额的数学期望为（ ）。 A ．6 B ．12 C ．7.8 D ．9 8. 设连续型随机变量X 的概率密度为 , 01 ()0, a bx x f x +< 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()= 1 3 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,,,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2 n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - C 、 2 22 1 ~(1)n n S X n σ-- D ~(1)n t n - 答案：B 9、容量为n =1的样本1X 来自总体~(1,)X B p ，其中参数01p <<，则下述结论正 学习概率论的体会 在刚刚开始学习概率论的时候，了解了一些有关概率论起源和发展的历史。概率论起源于16世纪的赌博，促使概率论产生的强大动力来自社会实践.首先是保险事业,保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 而18世纪是概率论的正式形成和发展时期,在名著《推想的艺术》中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括．这就使得概率论从研究特殊现象转变到能够研究一般问题的一个数学分支，概率论也就得到了广泛的应用。 但这似乎对于我们的生活没有什么关系，看看，我们又有那些需要用到概率论的。玩游戏，不需要，知道输赢就行；购物，更不需要，明白多少钱就行。如此一来，概率论似乎学与不学对于我们的生活没有多大的影响。但概率论的历史彰示着：概率论的发展离不开生活，而它的发展也必将服务与生活，它影响到生活的每一点一滴。 太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100％,或者说是，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨，买东西买到次品，同班同学生日相同概率，碰运气能否通过计算机等级考试VISUAL BASIC的笔试，彩票等等，这类事件的概率就介于O和100％之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 现在就用生活中的一个具体的例子来说明。其中就要涉及到概率统计中随机变量分布的应用。以计算机等级考试VASUAL BA—SIC笔试为例，因为到时候我们要考计算机二级证。计算机等级考试VASUAL BA—SIC笔试试卷100分制，一共50题，其中35道单选题，15道填空题，每题两分。60分以上为通过。填空题是无法猜测的，就排除在外，也就是说我们只能在选择题上用猜测的方法。在35道选择题中，每题答对的概率为P=0．25，若要答对6O 分以上必须在35题中选对30题以上。这就看作是一个35重的伯努利试验设随机变量x为答对的题数，则x～ b(k；35，0．25)，其分布为：P(X：k)=C35(取k)O．25k ×0．75(35－k)，k=1，2，. .35若要通过则k≥30，其概率为P(X＝k≥30)=Σc35(取k)O．25k X0．75(35－k)，k ＝30，31，. .35 ≈3．23 × 10－1 5=0．0000O00000000O3 由此可见这个概率是非常之小的，相当于在1000亿个碰运气的考生中只有0．00000323个人才能过，而地球上只有60亿人。因此不要存在侥幸心里通过碰运气考过，这是基本上没有可能的。其实，概率学与运气之间的关系，实质上是科学与运气的关系。可以这么说，概率学对碰运气是有帮助的，而关键在于如何应用和理解。概率是以科学为基础的，而运气是在对解释不清的事物所作的一种解释，或者说是概率学的一种随机现象。 人们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力。是以，我们要善于利用概率的知识去解决生活和工作中的问题，概率论就会对我们的生活产生积极的影响。 但是，概率也仅仅是个数字，它或许会代表着什么，会给我们的行为有些指导作用。面对这它的时候，切莫太过大意，也更莫失去自信。就比如有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，可结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，一来其他的人都失败了，觉得自己很幸运。二来自己中奖的机率高达50％。可结果他同样没中奖。这1％的概率和99％的概率有区别吗？有，概率有大小之分，但那不应该是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100％——绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。在自己没做一件事之前，不要在外界评价的“容易”和“困难”之间对号入座。要对自己有个清楚的认识，不要膨胀了“自信”，更不要埋没了自己的“潜质”。不要被“绝对有希望”所蒙蔽，也不要被“希望渺茫”所打垮。概率论课程期末论文大作业
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