光弹性法简介
光弹性法是应用光学原理研究弹性力学问题的一种实验应力分析方法。利用光弹性法，可以研究几何形状和载荷条件都比较复杂的工程构件的应力分布状态。利用光弹性法，可以研究几何形状和载荷条件都比较复杂的工程构件的应力分布状态，特别是应力集中的区域和三维内部应力问题。对于断裂力学、岩石力学、生物力学、粘弹性理论、复合材料力学等，也可用光弹性法验证其所提出的新理论、新假设的合理性和有效性，为发展新理论提供科学依据。
光弹性法测试的原理主要为光弹性效应，即塑料、玻璃、环氧树脂等非晶体在通常情况下是各向同性而不产生双折射现象的，但当它们受到应力时，就会变成各向异性显示出双折射性质，这种现象称为光弹性效应。
当将受载模型置于正交圆偏振光场中时，获取的是图1a，b，c所示的等差线(又名等色线)的条纹图形。等差线代表模型内主应力差相等点的轨迹。
当受载模型置于正交平面偏振光场中时，则得到既有等差线又包含一条黑色粗条纹的图形，如图2所示。在两个偏振镜光轴保持正交(互相垂直)而又相对于固定不动的模型旋转时，那种随着转角改变位置而移动的黑色条纹称为等倾线，它是模型内各点主应力方向相同点的
轨迹。正交偏振镜光轴相对于模型转动的角度α，即表示主应力所指方向。当正交偏振镜光轴连续转动时，将依次出现对应于不同的α角的等倾线。一般用即时描图法或通过光电扫描，由计算机采集并绘制0°～90°范围内的，包含足够数量的等倾线综合图形(图3c)。
等差线与等倾线图合称应力光图。按等差线判断出各条纹的级次，用预先标定的条纹值，结合等倾线图，利用边界上某个已知条件，采用剪应力差法可得出该模型的全场应力。得出应力场后，由相似理论可换算出原型的应力分布图形，以此作为改进结构设计的依据。
光弹性法是研究接触应力最有效的模拟实验手段之一，优点是可测出接触表面任意点处的应力值，且精度极高(误差3 ％～4 ％)。当进行金属塑性加工工具工作状态下的应力分布情况的研究时，用光学敏感材料作变形元件(工模具)模型，而塑性介质(被加工金属)则由易熔材料，如铅或铅加碲及锑的合金，以及由环氧树脂与增塑剂等进行精心调配的聚合物等制作。为了使铅质模型材料性能高度均匀，铅必须预先承受锻造加工，以改变铸态组织为加工组织。上述一些变形介质与变形元件，可用来研究平面变形问题和轴对称变形问题。图3a，b为采用光弹性法研究在108 mm直径轧辊中，在无润滑状态下轧制时所得等差线图，c为等倾线图，d为经过计算所得出的剪应力和法线应力沿接触弧分布的图形。
以上所述为平面光弹性法。研究三维问题则需采用冻结应力法，即将制作的模型(包括
变形元件与塑性介质)，放入加载架置于应力冻结箱内，使温度缓缓升至一定温度后进行加载，然后升温至冻结温度(对于环氧树脂型材料，约128 ℃左右)并保温一段时间，再按3～4 ℃/h的速度降至室温出炉。将变形元件沿厚度(或高度)切成3～5 mm薄片并精细磨光，在光弹仪上用一次垂直照射、一次斜射获取两套应力光图，再进行辅助切片获取一套光图。有了这些资料，利用三维光弹理论，即可得到所研究对象的全场应力分布图。利用三维光弹法已得到挤压模具的一些有用信息，为改进模具设计提供了有价值的参考数据。
主要参考资料：
1、光弹性法_百科_搜搜钢：https://www.doczj.com/doc/014123597.html,/doc/view/45564.html；
2、光弹性法_互动百科：
https://www.doczj.com/doc/014123597.html,/wiki/%E5%85%89%E5%BC%B9%E6%80%A7%E6%B3%95#5；
3、光弹性效应_百度百科：https://www.doczj.com/doc/014123597.html,/view/827081.html?fromTaglist；
课程编号：05z8514 弹性力学Theory of Elasticity 学分学时：3/48 先修课程: 高等数学；线性代数；理论力学；材料力学 一、课程教学目标 《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程，是固体力学的一个分支。主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。本课程的主要研究对象为非杆状结构，如板、壳以及其它实体结构。通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。 二、教学内容及基本要求 1. 绪论（2学时） 弹性力学的发展史；研究内容；基本假设；矢量、张量基本知识。 2. 应力理论（4学时） 内力和应力；斜面应力公式；应力分量转换公式；主应力、应力不变量；最大剪应力；应力偏量；平衡微分方程。 3. 应变理论（4学时） 位移和变形；几何方程；转动张量；主应变和应变不变量；变形协调方程；位移场的单值条件；由应变求位移。 4. 本构关系（2学时） 热力学定律与应变能；本构关系；具有弹性对称面的弹性材料的本构关系；各向同性弹性材料的弹性常数；各向同性弹性材料的应变能密度 5. 弹性理论的建立与一般原理（4学时） 弹性力学基本方程和边界条件；位移解法和拉梅方程；应力解法与变形协调方程；叠加原理；解的唯一性原理；圣维南原理。 6.柱形杆问题（4学时） 圣维南问题；柱形扭转问题的基本解法；反逆法与半逆法，扭转问题解例；薄膜比拟；*柱形杆的一般弯曲。 7.平面问题（12学时） 平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；直角坐标解例（矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷）；极坐标中的平面问题基本方程；轴对称问题（均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞）；非轴对称问题（小圆孔应力集中、楔体问题）；关于解和解法的讨论。 8. 空间问题（2学时） 基本方程及求解方法；空间轴对称和球对称问题的基本方程；半空间体受重力及均布压力；半空间体在边界上受法向集中力；空心球受内压作用问题。 9．能量原理与变分法（6学时） 弹性体的变形比能与形变势能；变分法；位移变分方程；位移变分法；位移变分法应用于平面问题；应力变分方程与极小余能原理；应力变分法；应力变分法应用于平面问题；应力变分法应用于扭转问题。 10．复变函数解法或薄板弯曲（4学时）
第二章 变分原理与能量原理 2.1 功和能基本概念 能量法是与静力学方法平行的一种方法，对许多问题的求解更为方便，也能解决一些其它方法难以解决的复杂问题。 静力平衡方程方法——————————能量法 ? ? 解题复杂，有时甚至得不到全部平衡方程 能解决很复杂问题 （一） 外力功与应变能的一般表达式 1.常力(集中力)·直线运动 θcos S F W ?= 2.变力·曲线运动 ??==S S Fds w W 00cos θδ 3.变形体：?? =0δpd W （p 不是常力） （准静态，而非冲击，即非波） 对线弹性体(准静态) δk p = ?????===0202 k d k pd W δδδ ?= P W 21 （图示） 4.广义力与广义位移 集中力偶M ，转角θ ? =θMd W *问：线弹性结构外力功的计算是否能运用叠加原理? 答：不能。因()n i P P P ,,,21Λ=?。W 是i P 的二次函数而不是线性函数。 （二） 试述实功与虚功之区别。 当结构发生变形时，作用于结构的外力会在相应的位移上作功。这里可分为两种不同的情况： (1)外力在自身引起的位移上作功，这种功称为实功。例如，解6—1图(a)所示简支梁上外力1P 在位移叫11w 上所作之功即为实功，如解6—1图(b)中的阴影面积1A 所示。其中11w 为外力1P 引起的位移。
(2)外力在其它因素引起的位移上作功，这种功称为虚功。例如，解6—1图(a)所示简支梁上外力1P 在位移12w 上所作之功即为虚功，如解6-I 图(b)中的阴影面积2A 所示其中12w 为外力2P 在外力1P 处引起的位移。 实功与虚功的区别在于： (1)作实功时，外力随位移而变，故实功为变力作功；作虚功时，外力不随位移而变，故虚功为常力作功。 (2)作实功时，外力与自身引起的位移在方向上总是一致的，所以实功恒为正功；作虚功时，其它因素引起的位移与外力的方向就不一定一致了，所以虚功可正、可负。 以上仅就外力功作了讨论，至于内力实功与虚功的区别，请读者、自己思考。 （三） 弹性杆应变能的一般表达式 ()()()θ?δd x M d x T d x N dW dU 2 12121++== ()()()EI dx x M GI dx x T EA dx x N p 222222++=(忽略剪力，广义力乘广义位移) 在小变形条件下，变形与()x N ，()x T ，()x M 不耦合，可以叠加。 ()()()???++=l l p l dx EI x M dx GI x T dx EA x N U 222222 对于斜弯曲，弯矩沿主形心轴分解,
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时，应注意些什么问题 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力
同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷 2006—2007学年第 一 学期 课程名称：弹性力学 课号： 任课教师： 专业年级： 学号： 姓名： 考试（√）考查（ ） 考试（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌 教学管理室主任签名： 1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 ( ) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ?满足双调和方程02 2 =???，那 么由),(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （ ） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的 结 果 会 有 所 差 别 。 （ ） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （ ） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式： ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。 （ ） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （ ） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （ ） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 ( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（ ） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 ( ) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小 题2分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 。
第二章弹性力学基础 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。 弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。 材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。 结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。
第一节弹性力学假设 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。 1. 假设物体是线弹性的 假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。 由材料力学已知： 脆性材料的物体：在应力?比例极限以前，可作为近似的完全弹性体； 韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。 这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，
都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。 3. 假设物体是均匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。 对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。 弹性常数？ 凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。 4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。 因此 ①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。
弹性力学重点复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部 分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量 应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为 了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
弹性力学2005 期末考试复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz、、zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题？什么叫平面应变问题？各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑？各方面反映的是那些变量间的关系？ 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平 面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？ 试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为两类边界问题：
《弹性力学及有限元基础》复习思考题 ★1．对弹性体所做的基本假设? 答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程? 答：微元体的平衡微分方程的表达式为： 31 112111 2332 122221 23 132333 31 23000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ????+++=?????????+++=? ????????+++=? ???? 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()u t ρ?-?当作体力加到微元体上，由上式 可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程： 23111211 12123232 12222221 2321323333321 23()()() u f x x x t u f x x x t u f x x x t σσσρσσσρσσσρ?????+++=????????????+++=? ???????????+++=?????? ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义? 答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。 一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。 4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。 5．在什么情况下剪应力互等定律不成立? 答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。 6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么? 答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。 7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别? 答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性
1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应 力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是 相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是 相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的 改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。
2-1 已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。 解： 1、相容条件： 将形变分量带入形变协调方程（相容方程）
其中 所以满足相容方程，符合连续性条件。 2、在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为 3、平衡微分方程
其中 若满足平衡微分方程，必须有
分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件，若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。 例2-2 如图所示为一矩形截面水坝， 其右侧面受静水压力（水的密度为ρ）， 顶部受集中力P作用。试写出水坝的应 力边界条件。 解： 根据在边界上应力与面力的关系 左侧面：
第一章绪 论 学习指导 在学习本章时，要求学生理解和掌握下面的主要内容： 1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别； 2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处； 3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。 §1－1弹性力学的内容 弹性体力学，简称弹性力学，弹性理论（Theory of Elasticity或Elasticity），研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。这里指出了弹性力学的研究对象是弹性体；研究的目标是变形等效应，即应力、形变和位移；而引起变形等效应的原因主要是外力作用，边界约束作用（固定约束，弹性约束，边界上的强迫位移等）以及弹性体内温度改变的作用。 首先，我们来比较几门力学的研究对象。理论力学一般不考虑物体内部的形变，把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。结构力学研究杆系结构，如桁架、刚架或两者混合
的构架等。而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。 其次，从研究方法来看，弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的。例如，材料力学常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，使问题的求解大为简化；並在许多方面进行了近似的处理，如在梁中忽略了бy的作用，且平衡条件和边界条件也不是严格地滿足的。一般地说，由于材料力学建立的是近似理论，因此得出的是近似的解答。但是，对于细长的杆件结构而言，材料力学解答的精度是足够的，附合工程上的要求（例如误差在5%以下）。对于非杆件结构，用材料力学方法得出的解答，往往具有较大的误差。这就是为什么材料力学只研究和适用于杆件问题的原因。 弹性力学是固体力学的一个分支，实际上它也是各门固体力学的基础。因为弹性力学在区域内和边界上所考虑的一些条件，也是其他固体力学必须考虑的基本条件。弹性力学的许多基本解答，也常供其他固体力学应用或参考。 弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中占有重要的地位。这是因为，许多工程结构是非杆件形状的，须要用弹性力学方法进行分
一、判断题 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任 何空隙。 （√） 2、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它 们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。 （√） 3、如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们 不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。 （√） 4、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 （√） 5、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。 （√） 6、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。 （√） 7、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。 （√） 10、体力作用于物体部的各个质点上，所以它属于力。 （×） 解答：外力。它是质量力。 11、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。 （×） 解答：两者正应力的规定相同，剪应力的正负号规定不同。 12、当问题可当作平面应力问题来处理时，总有 0===yz xz z ττσ。 （√） 解答：平面应力问题，总有0===yz xz z ττσ 13、当物体可当作平面应变问题来处理时，总有 0===yz xz z γγε。 （√） 解答：平面应变问题，总有0 ===yz xz z γγε 14、已知位移分量函数() xy k v y x k u 2221,=+=，21,k k 为常数，由它们所求得形变分量不一定能满足相容方程。 （×） 解答：由连续可导的位移分量按几何方程求得的形变分量也一定能满足相 容方程。因为几何方程和相容方程是等价的。 15、形变状态()()0,2,,222≠==+=k kxy ky y x k xy y x γεε是不可能存在的。 （×） 解答：所给形变分量能满足相容方程，所以该形变分量是可能存在的。 16、在y 为常数的直线上，如0=u ，则沿该线必有0=x ε。 （√）
第四章应力和应变关系知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系弹性常数 各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系 一、内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二、重点 1、应变能函数和格林公式； 2、广义胡克定律的一般表达式； 3、具 有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系； 5、材料的弹性常数。 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求
解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。 1、应变能 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。 根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则 d W=d W1+d W2 其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律, d W1+d W2=d E - d Q 因为 将上式代入功能关系公式，则
第三章薄壁结构的构造与传力——板与壳3．1 飞机薄壁结构所承受的载荷 3．2 结构元件的功用 ·现代飞机结构是由蒙皮、横向加强件、纵向加强件组成的薄壁结构。他们中绝大多数用金属材料制成。近年来部分结构元件开始采用复合材料，包括金属基和陶瓷基复合材料。
·飞机结构的主要功用是支撑和传递飞机在使用中所遇到的载荷，提供最佳的气动外形，以及保障乘员、有效载重等免遭飞行和着路时所处外部环境条件的危害。 ·无论是机翼尾翼还是机身都可看作是蒙皮外壳+纵横加强元件组成： 每种元件在承力和传力过程中都有其各自独有的作用，实际人员可根据不同的传力方案来进行薄壁结构的不同布局。 （一） 机翼 机翼结构由蒙皮、翼肋、翼梁以及长桁等组成，如图3.1所示。 机翼支承在机身上，机身一侧的半个机翼?? ?比）像一根悬臂板（小展弦比）像一根悬臂梁（大展弦 机翼上的???? ? ????? ???????→?????????? ???????→→???????传到机身支承端 翼梁腹板剪流蒙皮剪流通过剪切扭转来承受蒙皮正应力翼梁腹板正应力翼梁突缘轴力长桁轴力由弯曲机翼上发生外挂载荷等油箱载荷起落架载荷气动力
?? ?? ?? ?? ? →?? ?→???? ???????→?? ?? ??????????→?翼梁腹板剪流 翼梁气动力蒙皮剪流翼肋腹板剪流翼肋气动力长桁气动力 拉伸剪切弯曲蒙皮气动力转变通过蒙皮 注意：（1）长桁支撑在翼肋上，就像一根具有多支点（即翼肋支点）的连续梁，将其上的空气动力转变为支点上的集中力而作用在翼肋上； （2）翼肋上的空气动力，加上长桁传来的集中力，通过翼肋本身的受力， 而以剪流形式传给蒙皮和翼梁腹板。 （二） 蒙皮 机翼蒙皮的主要作用是形成飞机结构光滑而密闭的表面，产生、支承并传递不均匀分布的空气动力。机翼之所以能成为飞机的主要升力面，就由于它能产生这种不均匀分布的空气动力(图 3.3和图3.4)。 蒙皮具有较强的抗拉能力。但是，薄的蒙皮却缺乏较高的抗压和抗剪能力。蒙皮愈薄，愈容易在受压和受剪时失去稳定性而发生屈曲。
1平面应变问题的无限长柱形体，以任一横截面为xy面，任 一纵向为z轴，试简述z面上的应力情况及原因。 Z面上由于z方向的伸缩杯阻止，所以所有一切应力分量，形变分量和位移分量都不沿z方向变化，所以σz不等于0，由于对称条件τzx=0，τzy= 0. 2、在什么条件下平面应力问题和平面应变问题的3个应力分 量σxσy和τxy与材料特性无关？并简述原因 当体力为常量事，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同边界形状，收到同样的分布外力，那么句不管这两个弹性体的材料是否相同，在平面应力或平面应变情况下σxσy 和τxy的分布是相同的，因为在体力为常量的情况下，平衡微分方程，相容方程，和应力便捷条件中都不包含弹性常数 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问 题的三类基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）哪些相同，哪些不同？并简述原因 平衡方程，几何方程相同，物理方程不同。在平面问题中，因为物体的搜有各点都不沿z方向移动即w=0，多亿z方向的线段都没有伸缩，即εz=0， σz=μ（σx+σy）带入其中可得 4、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分 别应用了哪些基本假定？ 连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形 5、有限单元法中，位移模式应满足什么条件？下列位移函数 甜=aix+a2y+a3x2v=blx+b2y+b3y2能否作为三结点三角形单元
的位移模式？简要说明理由。 位移模式必须能反应单元的钢铁位移， 6弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（B．边界条件）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、 应变、位移。 7弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系(平衡方程、几何方程相同，物理方程不同) 8根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列( A．静力上等效)的力系代替，则仅在近处应力分布有改变， 而在远处所受的影响可以不计 9三结点三角形单元中的位移分布为( B．线性分布)。 10在什么条件下，平面应力问题的仃。，仃，，T_与平面应变问题的仃。，a，，T可是相同的？ 边界相同，外力相同 11有限单元法中选取单元位移模式应满足什么条件？ 反应刚体位移，反应应力常量，反应位移连续性。
弹性力学及有限元试题 (一) 问答题（20分） 1、什么是圣维南原理？举例说明怎样把它应用于工程问题 的简化中。 2、什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态（要 求具体说明或表达）。 3、何谓逆解法和半逆解法？它们的理论依据是什么？ 4、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 5、要保证有限元方法解答的收敛性，位移模式必须满足那些条 件？ (二) (10分) 1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）。 2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 （三）已知，其他应力分量为零，求位移场。（10分） （四）设有矩形截面的悬臂粱，在 自由端受有集中荷载F；体力可以不
计。试根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答（10分）。 （五）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，试求应力分量（10分）。 提示：单位厚度上的力偶矩M的量纲是LMT-2，应力只能是M/ρ2的形式，所以可假设应力函数由：Φ=Φ(φ). (六) 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图5—18，只受重力的作用。设μ=0，试取位移分量的表达式为 用瑞利—里茨法求解（15分）。
（七）试按图示网格求解结点位移，取t =1m，μ= 0（15分）。 （八）用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K。（10分） 要求：单元刚度矩阵元素用e k形式表示；单元刚度矩阵用e K形式表 ij 示，其中e为单元号。
弹性力学在机械设计中的应用 在机械的运动分析和运动设计时，通常将机械按刚性系统来分析设计，这种方法称为静态分析和静态设计，其内容属于刚性力学的范畴。但是在实际的机械运动当中，许多机械运转速度较高、承载很大,机械的弹性变形对系统的影响不容忽视，必须将机械系统按弹性系统进行分析和设计，这就属于弹性力学范畴了。 1.弹性力学在凸轮机构设计中的应用 机械中的常用凸轮机构其激振频率f 与系统最低固有频率n f 之比：n f z f =。当z ≥0.1时，称为高速凸轮机构，其动态位移误差随z 值的增大而急剧增大，必须按弹性系统处理。其分析和设计如下： (1)弹性动力学模型的建立。为了简化设计，通常将构件的连续分布质量看作无质量的弹簧来表示构件的弹性，用无质量、无弹性的阻尼元件表示系统的阻尼,并忽略一些次要的影响因素，从而把凸轮机构简化成由若干无弹性的集中质量和无质量的弹簧以及阻尼元件组成的弹性系统。例如，对于图1所示的凸轮机构，在仅考虑从动件弹性情况下，其动力模型如图2所示。其中m 为从动件质量；f k 为从动件弹性刚度；s k 为力锁合弹簧的弹性刚度；c y 为从动件输入端 (尖底)位移，与凸轮轮廓曲线形状有关；s y 为从动件输出端位移；c 为阻尼系数；Q 为工作载荷。该弹性系统的运动微分方程为： 22()s s S F C s s d m c Q dt d y y d y y y k K t =----
(2)从动件输出端真实运动规律的确定。当已知c y (t)时，由式(a)可求得从动件输出端的真实位移规律s y (t)，即从动件输出端对激振的动态位移响应。 (3)从动件输出端运动规律的选择及凸轮轮廓曲线的设计。在设计高速凸轮机构时，为使c y (t)的一阶、二阶导数连续，以避免输入端冲击,s y (t)应满足四阶导数都连续。当选定s y (t)后，由式(a)可求得输入端运动规律c y (t)，再由此设计凸轮轮廓曲线。 2．弹性力学在齿轮机构设计中的应用 齿轮机构在设计时也运用了弹性力学的知识，渐开线作为齿廓曲线存在诸多优点，但用弹性力学知识加以分析便得出它存在一些固有的缺陷，现简要说明如下： 当两齿轮啮合传动时，根据弹性力学中的赫兹公式知，两齿轮在接触处的最大接触应力为δmax= 。式中P 为两齿面在接触线单位长度上的载荷；E Σ为与两轮材料有关的综合弹性模量，
弹性力学论文 篇一：弹性力学弹性力学的发展以及在实际当中的应用关键字：弹性力学发展过程应用摘要：文章简述了弹性力学的发展历程，介绍了弹性力学在各个领域当中的应用，并且在文章最后提到了弹性力学在未来可能的发展趋势。弹性力学是研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，只是简单地利用弹性原理，并没有完整的理论体系，比如弓箭的使用。而人们建立系统的弹性力学研究体系是从17世纪开始的。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论存在着很多缺陷，有的甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。弹性力学在各个领域当中有着广泛的应用。堤坝的整体强度、发电厂的发电机组临界转速、高层建筑顶端的晃动控制等土木工程问题都离不开弹性力学的帮助。弹性力学在地震预测方面也有重要应用，如地震有无确定前兆，如果有确定前兆，那么在原理上是否可探测，都是目前弹性
弹性力学基础知识归 纳
一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。
4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？ 由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。 平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4）各向同性假定。 （5）小变形假定。