阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的.
根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式.
二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题:
研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用.
解决的主要问题:
1．了解分块矩阵的基本概念.
2．探讨分块对角化的性质.
3．研究分块矩阵的应用.
三、研究步骤、方法及措施:
研究步骤:
1．查阅相关资料, 做好笔记;
2．仔细阅读研究文献资料;
3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;
4．翻译英文资料;
5．撰写毕业论文;
6．上交论文初稿;
7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;
8．论文定稿.
方法、措施:
通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同组同学研究讨论, 用确定合理的方法来解决问题.
四、参考文献:
[1] 居余马. 线性代数[M]. 清华大学出版社,1992.
[2] 穆大禄, 裴惠生. 高等代数教程[M]. 山东大学出版社, 1990.
[3] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 高等教育出版社.
[4] 叶伯诚. 高等代数[M] . 青岛海洋大学出版社, 1989.
[5]张敏. 分块矩阵的应用[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版), 2003, 1(1): 120.
[6] S.K.Jain. Linear Algebra: An Interactive Approach[M]. 北京: 机械工业出版社, 2003,7.
[7] Hamilton J.D, “Time Series Analysis1” Princeton University Press[J].1999, 26 – 291.
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs
第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)
性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日
一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson 联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价：
矩阵的分块及应用 武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩
阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is
第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；
5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，
阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的. 根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式. 二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题: 研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用. 解决的主要问题: 1．了解分块矩阵的基本概念. 2．探讨分块对角化的性质. 3．研究分块矩阵的应用. 三、研究步骤、方法及措施: 研究步骤: 1．查阅相关资料, 做好笔记; 2．仔细阅读研究文献资料; 3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告; 4．翻译英文资料; 5．撰写毕业论文; 6．上交论文初稿; 7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述; 8．论文定稿.
分块矩阵乘法的例子 例 1 用分块法计算,AB 其中 00 51 2414 21,5 31001200 2 0-???? ? ?== ? ? ? ?-? ?? ? A B . 解 B A,如上分块， ???? ??=2221 1211 A A A A A ， ??? ? ??=2322 21 131211 B B B B B B B ， 其中 111221224 21(0,0),(5), ,,0 12????==== ? ?-?? ?? A A A A ()()()0,20,0,01,1342,51232221131211===??? ? ??-=???? ??=???? ??=B B B B B B ； 令==C AB ??? ? ??232221 131211 C C C C C C ，其中 =+=2112111111B A B A C )0()0)(5(51)00(=+??? ? ??， =+=2212121112B A B A C )00(()()()1002051342=+???? ??， =+=2312131113B A B A C )0()0)(5(01)00(=+???? ??-， =+=2122112121B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ?????? ??-514)0(21511024， =+=2222122122B A B A C ???? ??-=???? ??+???? ?????? ??-332014)20(2113421024， =+=2322132123B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ??-???? ??-04)0(21011024.
毕业论文文献综述 数学与应用数学 分块矩阵的应用研究 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关 主题争论焦点） 本论文的重要目的是通过查阅各种相关文献，寻找各种相关信息，来研究分块矩阵的计算方法和分块矩阵在化简行列式、行列式运算、求矩阵的特征值等方面的应用，首先我们先来介绍一些概念： 分块矩阵的概念[] 1： 当矩阵的行数与列数较大时, 为便于运算, 有时把它分成若干个小块, 每个小块是行数与列数较小的矩阵.把一个矩阵看作是由一些小块矩阵所构成, 这就是矩阵的分块.构成分块矩阵的每个小矩阵, 称为子块. 如对矩阵A 分块如下 ? ? ??? ???? ???-=1011 012100100001A 其中记? ? ? ???-=??????=???? ??=1121,0000,10011A O E ,则A 可表示为分块矩阵??????=E A O E A 1 矩阵的分块可以有各种不同的分法.如矩阵A 也可分块如下: ? ? ??? ???? ???-=1011012100100001 A 通过分块矩阵的定义和概念，我们将探讨分块矩阵的计算，并利用分块矩阵的思想把分块矩阵的应用联系到其它问题中.
二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问 题的评述） 作为解决线性方程的工具，矩阵已有不短的历史.拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究.矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的. 但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的＜九章算术＞中，在＜九章算术＞方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.随后移动处筹，就可以求出这个方程的解.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年. 1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德?威廉?莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants).1750年，加布里尔?克拉默其后又定下了克拉默法则.1800年，高斯和威廉?若尔当建立了高斯—若尔当消去法. 1848年詹姆斯?约瑟夫?西尔维斯特首先创出matrix 一词.研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉?卢云?哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯?诺伊曼. 分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在矩阵的某些运算中，对于级数比较高的矩阵，常采用分块的方法将一个矩阵分割成若干个小矩阵，在运算过程中将小矩阵看成元素来处理，对问题的解决往往起到简化的作用.本文通过一些例子来说明分块矩阵的一些应用. 预备知识[][]32- 分块矩阵的运算: 矩阵的分块技巧性较强，要根据不通的问题进行不同的分块，常见的方法有四种： （1）列向量分法 ),,2,1(),,,,(21n i a a a a A i n ΛΛ==为A 的列向量. （2）行向量分发 ),,2,1(21n i A i n ΛM =???? ? ? ??????=ββββ为A 的行向量. （3）分成两块 ),,(21A A A =其中21,A A 分别为B 的若干行.
设计题目线性方程组理论及其应用 学生姓名陈彦语学号1111124123 专 业 数学与应用数 学（师范类） 一、课题的目的意义： 高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（Cramer's Rule）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法，本文将更加系统的阐述求解线性方程组的几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中的应用。 线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支，其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。线性方程组的求解是数值计算领域十分活跃的研究课题之一，大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化。可以说，线性方程组的求解在现代科学领域占有重要地位。 二、近几年来研究现状： 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。 。三、设计方案的可行性分析和预期目标： 可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组的一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件的学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究的基础上，给出利用matlab软件求解几类常见线性方程组的方法。通过广泛收集线性方程组应用方向的文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域的应用，并实现线性方程组的求解过程。 预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高的角度来审视高等代数，对其中的线性方程组部分有一个更加深刻的理解和认识，锻炼自己的发散性思维和缜密的思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题的能力，从而达到对所学知识的融会贯通。
浅谈分块矩阵的性质及应用 摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知 逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。 关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换 On the nature of block matrix and its application Abstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言： 矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。 1.预备知识： 分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。 分块矩阵的运算：
1.2.1分块矩阵的加法： 设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有 A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ，1111n m mn B B B B B ?? ?= ? ??? K M O M L 其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A B A B ++?? ? ? ?++?? K M O M L 1.2.2分块矩阵与数的乘法： A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ,1111n m mn A A A A A λλλλλ?? ? = ? ??? K M O M L 1.2.3设A 为m l ?矩阵，B 为l n ?矩阵，分块成 1111111 1 t r s st t tr A A B B A B A A B B ???? ? ?== ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么 1111 r s sr C C AB C C ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中1 t ij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r) 1.2.4设1111 t s st A A A A A ?? ? = ? ???K M O M L ，则1111T T t T T T s st A A A A A ?? ?= ? ?? ? K M O M L 2. 分块矩阵的性质及应用： 分块矩阵的性质： 设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性 方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法 设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=， 其中ij A ，ij B 的级数相同， 则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘 设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法 设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置 设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：
矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：
矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的
CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用
本科生毕业设计(论文) 题目：分块矩阵在高等代数中的应用 Title: Block Matrix Of Application in Advanced Algebra 学号 0508060357 姓名邹维喜 学院数信学院 专业数学与应用数学 指导教师甘爱萍 完成时间 2008.4.15
分块矩阵在高等代数中的应用 【摘要】高等代数以其独特的理论体系而引人入胜，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境。作为高等代数中的一个工具——分块矩阵，分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，在高等代数中有着很重要的应用，本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念和其的初等变换以及证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵来算矩阵的乘积，利用分块矩阵求逆矩阵的问题，用分块矩阵求矩阵的行列式问题. 【关键词】：分块矩阵；矩阵乘积得秩；逆矩阵；行列式
Block Matrix in Advanced Algebra Application 【Abstract】 Higher Algebra for its unique and fascinating theoretical system based on abstract knowledge, skills and strong problem-solving approach, a little carelessness will be in trouble. Advanced Algebra as a tool - sub-block matrix, block matrix is of higher algebra an important share in higher algebra very important applications, this paper discusses the detailed and comprehensive array block matrix of the concept and its elementary transformation matrix, as well as the sub-block in the application of higher algebra, including matrices to count the product matrix, the use of sub-block matrix inverse matrix problem, with sub-block matrix of the determinant of the matrix problem. 【Key words】: sub-block matrix; matrix product of a rank; inverse matrix; determinant
矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,
（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2）
8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
毕业论文开题报告 数学与应用数学 矩阵特征值、特征向量的研究 一、选题的背景、意义 （1）选题的背景、意义 “矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。 线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量
空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今[]3[]4。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 （2）国内外研究现状和发展趋势 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）[]5。 ①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； ②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； ③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； ④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如
分块矩阵的若干应用 摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式. 关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩
Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix. Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank
目录 1 引言 (4) 2 分块矩阵的应用 (4) 2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4) 2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6) 2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10) 2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)
1 引言 矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1 .分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩 阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果. 矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用. 2 分块矩阵的应用 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法. 2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式 各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推 法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以?22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ?? = ???,则 （1） 当A 为r 阶可逆矩阵时, 1 A B W A D C A B C D -==-;