储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
对于加油站储存燃油的地下储油罐变位的罐容标定问题，我们需要研究各种不定因素对罐容标定的影响。本文主要考虑在油罐的几何形状确定的情形下，由于地基变形而引起的油液面倾斜等因素对罐容表的影响。
将理论推导和数据拟合情况综合分析，在理论推导方面，创新性的运用祖暅体积公式，使用操作更简单的近似计算，结合相应容积斜率表，将倾斜卧式椭圆油罐容积的计算等效替换为水平状态下相应部分体积的计算，并对其修正得出最符合实际情况的罐容表。使用体积补偿方法产生虚拟体积，对不规则体积进行规则变换，最终求得不规则立体的体积。探讨了使用SURFER软件对体积网格化求不规则立体体积的方法。
对两端平头的椭圆柱体形小椭圆型储油罐无变位和倾斜（倾斜角α=4.1）
情况进行分析，求出罐容表并对其进行分析。我们利用祖暅原理结合不定积分即可求出理论推导式，再用Matlab对实际所测数据进行拟合得出近似方程。对近似方程与理论推导出来的公式分别计算并进行比较，同时进行修正得出最符合实际情况的方程。
对实际的储油罐变位情况（纵向倾斜角度α，横向倾斜角度β）建立罐容
表。我们采用分割法利用竖直平面将储油罐分割，对于规则微小体积元，可以通过积分的方法计算规则体的体积；对于不规则的微小体积元，通过延长油罐的另一端使其转化成规则体元，计算出总的体积，减去虚拟体积。采用Matlab符号
运算工具箱，推导出变位油罐标尺高度h，α，β与体积V之间的关系，并与实
际测量数据拟合公式做比较，求出体积微小差异量，进行误差分析。结果表明，此模型与实际测量数据吻合程度较好。
关键词：祖暅原理;截面转化;等效变换;虚拟体积;体积网格化
一 问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
问题一
考虑一种典型的储油罐，其主体为圆柱体，两端为平头的小椭圆型储油罐水平放置而无变位和倾斜（倾斜角α=4.1）时的情况进行分析得出小椭圆型储油罐的罐容与标油计的计量h 同罐容V 的函数关系，并作出它们的罐容表进行比较，同时求出间隔为1cm 罐容表标定体积值。
问题二
由于地基的变化从而引起油罐倾斜而使原来的“油位计量管理系统”对倾斜后的油体积的测量不在适合。因而，我们利用已知形状的储油罐对倾斜后测量标油计所测的实际数据测量储油罐变位即纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β同时变化情况同油标记的计量h 与油罐体积(),,v h αβ的函数关系，并求出求出间隔为10cm 罐容表标定体积值。
二 问题分析
问题一
（1）由题意可知对于小椭圆型储油罐无变位情况我们只需要找出油标记的计量h 与油与小椭圆型储油罐相交形成的油面的关系，再利用规则椭圆柱体的体积公式即可求出罐容与小椭圆型储油罐无变位的油标记的计量h 的关系。 （2）对于小椭圆型储油罐变位情况即倾斜角α纵向变位（如图3），由于油面的高度不同，油面与油罐所形成的切面具有很大差别，同时油所形成的几何体并不规则，这就需要我们对其进行分割，利用积分求解，得出理论方程。同时利用Matlab 对实测数据拟合得出拟合方程，再进行比较和修正。 （3）利用以上所得方程，带入()*12
n n h n N +=
∈且120n ≤即可求出罐体变
位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
问题二
在实际生活中，由于土壤自然物理沉降，经加油站常会出现储油罐变位情况所以油罐的体积计算就显得尤为重要，因此如果能够建立油罐准确的罐容表，将大大方便生产生活。（如图）由于油所形成的形状不规则的几何体，因此我们可以采用体积积分分割油罐行成不规则体元，这样就可以通过解析几何与体积积分的方法计算不规则体积体积。但是，在实际计算中发现其积分过程过于复杂，通
过重新假设寻找方法，发现如果对油罐一端进行有限延长，然后使用减去虚拟体积，就可以通过数学软件求的近似结果。（如图）对于球缺部分，我们在将其切割，切割一小块利用微元，利用Matlab符号运算工具箱，推导出变位油罐液面高h与体积V之间的关系，与实际测量数据拟合公式减差，求的体积微小差异量，进行误差分析，通过合理猜想判断误差来源，进而找到最优结果。
三模型假设
1由于温度的变化影响油的体积变化较小，我们将其忽略不计。
2 由于油对罐面具有一定的粘度，但是在实际情况中罐壁上的粘度与底座是不同的，并且它还受温度的影响，在这里我们将其忽略，进行简化。
3 油罐倾斜时，在倾斜脚出有一定的体积用油标记是无法测到的，我们也将其简化，求出最大限度的体积看作该处的体积。
4 因为油浮子，进出口管都是有一定体积的，我们利用积分法求油的体积的时候是没有考虑的，如果考虑比较复杂，我们将其忽略不计，最后进行修正。
5 由于油罐可看作是一刚体，所以其形状不发生改变。
四符号说明
在没有标明情况下，长度单位默认为（m），体积单位默认为立方米（3
m），角度单位默认为弧度（rad）
h………………油面高度测量值
S………………油面与圆形截得的面积（图2）
1
………………油面与椭圆里截得的面积（图2）
S
2
()
V h a b lα……体积-油高函数
,,,,
H………………纵变位后油液面的高端液高
g
H………………纵变位后的低端液高
d
H………………纵变位后油面等效于无变位液高
H………………纵变位后的低端液高
k
五模型的建立与求解
1 无位变卧式椭圆罐部分体积
设椭圆柱形储油罐的长为l米，油液面距离油罐的最低点距离为h米，侧截面椭圆的长半轴为a米，短半轴为b米。以椭圆的中心为坐标原点，长、短半轴
所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的空间直角坐标系
图1 椭圆圆柱形油罐剩余油量示意图
z
y
x
h
a
b
a
-
b-
O
l
双壁埋地储罐1.1 双壁埋地储罐1.2
利用祖暅原理计算无变位进油, 描绘出油罐的侧面如右图所示: 为了方便表示，不妨假定油面处在如图所示的高度。
在图中作出一个半径为b 的圆，它的圆心与椭圆的中心重合。这样无论油面在哪儿，由祖暅原理，油面在圆上所截的长度与在椭圆上所截的长度都等于:b a ，即油面在圆形里截得的面积S 1与在椭圆里截得的面积
S 2之比例也是:b a 。由这一比例关系，就可用计算相对简单的油面与圆形截出的
面积来表出油面与椭圆面截得的面积（图中蓝色区域）。
计算油面与圆形截得的面积1S
cos
2arccos 12
b h h b b θ
θ-??
=
?=- ???
扇形面积（注θ是弧度制）：21
2
S b θ=扇ACB ；
三角形面积：(
2211sin 2sin cos 2222OAB S b b b h θθθ???
===- ???
(
21arccos 1OAB h S S S b b h b ???
=-=--- ???
扇ACB 利用比例关系，计算油面与椭圆面截得的面积2S
12S b S a =?(
22arccos 1a h S R b h b b ???
=--- ????? 综上，体积便很容易得到：
()2arccos 1102h h V S l al b h b b b ????==---≤≤ ? ?????
带入本实例中已知的数据，即把 2.45l m =, 1.780.892a m ==, 1.2
0.62
b m ==带入上式，并化简可得
()1308313083543614361arccos 10 1.21000010000320001200V h h h π???=
----≤≤ ? ???
此式即为理论上最简单，最理想化的无位变卧式椭圆罐部分体积函数()V h
y
O
θ
x
b a
b
h
a -
b -
图2 椭圆圆柱形油罐侧视图
A B D
E
F
从这一函数表达式出发，可以进一步讨论
油罐总体积，即最大储油量max 2 4.11015h b V V abl π===≈ 对该函数求一阶导数
436156h h dV dh -= 并描绘出体积函数()
V h 与其导函数的关系图（如右图所示）
从图中看出该曲线是挺符合实际的
首先曲线满足实际的增函数要求，其次从一阶导数看，通过它反映出来的体积函数的增长情况正好也符合实际的：先曾得快，到半短轴（即0.6m ）时，
出现一个拐点，在此之后就虽然在增长但是会增长得越来越慢。
另外，从函数图像上还能看到一个跟实际情况吻合得最好的，就是对称性。由于实际的油罐有着优良的对称性，我们的在函数图像上也体现得十分显著，而且无论是原函数还是导函数，都能看到对称性。
无变位出油：观察无变位进油与无变位出油的实验采样时间，不难发现它是先进油，进油完成后，过了一个很短的时间（约1小时），又立马开始出油，我们认为这之间的时间间隔内，油面高度，与罐内油的体积不变，仍保持在无变位进油结束时的状态。但理论公式还是上面推导出来的那个()V h 函数。
为了直观看出此模型与实际的吻合情况，我们利用Matlab 的强大的数据可视化功能，分别绘制了如下体积-液高（进油/出油）关系图
拟合曲线方程 拟合曲线方程
2 纵向位变卧式椭圆罐部分体积
a) 曲线拟合，整体把握曲线规律
考虑到变位后体积公式不容易导出，我们先应用统计方法，进行实验数据点的多项式曲线拟合。然后类似于前面的做，利用Matlab 绘制成的曲线图
拟合曲线近似为322.4972 5.39370.44910.042104V h h h =-+++
b) 近似计算
参考本实例中的纵位变角很小，满足《中华人民共和国国家计量检定规程JJG 266-1996》中规定的相关技术要求，可以采用近似计算的方法来定量得出()V h 函数关系式。运用到的核心思想是利用近似计算公式，结合相应容积斜率表，将有位变卧式椭圆罐部分容积的计算
转化成水平状态下其部分的容积计算，即可用无位变卧式椭圆罐部分容积的计算公式进行计算。 此时做出椭圆直油罐轴向切面的示意图如右边所示（已在图上标注出关键尺寸和相关假设的长度）由图3可知，OABC 即为倾斜直油罐，纵变位角为α，图中蓝色区域即为纵变位后，油的情况。
令纵变位后油液面的高端液
图3 椭圆直油罐侧轴向切面图
高为g H 。实测出来的显示高度即为图上的h 。等效成水平状态下后的油高为H 用图3中所示的两条水平虚线把油罐划分为三个区域，对这三个区域展开讨论 为方便讨论，我们以图中所示的y 轴方向为基准来描述这三个区域：
区域Ⅰ：0tan g H L α≤≤； 区域Ⅱ：tan 2g L H b α<≤； 区域Ⅲ：220.4tan g b H b α<≤+
当20.4tan g H b α>+时，由图中容易看出此时油面已经超过下尺点，就没有讨论的意义了。由于g H 并非直接测量，为了更加方便，运用简单的直角三角形的角、边关系，可以导出不同区域下高端液高g H 与显示液高h 的关系为 区域Ⅰ：()tan tan 1g H h h h αα=+=+；
区域Ⅱ：()tan tan 1g H h h h αα=+=+； 区域Ⅲ：()tan tan 1g H h h h αα=-=- 容易想到，罐内油的体积不会因为罐体的位变而发生变化，所以只要有一个高端液高g H 值就一定存在一个与之对应的等效无位变液高H 值。以g H 为纵坐标，以H 为横坐标描点[2]，发现：
当0tan g H L α≤≤时g H 与H 的关系近似一条经过坐标原点O 的直线；
当tan 2g L H b α<≤时g H 与H 的关系也是近似一条直线，如上图中的AB 线段； 当220.4tan g b H b α<≤+时g H 与H 的关系还是近似一条直线，而且由对称性可知这条直线与OA 段斜率一样。
i. 区域Ⅰ（即0.14694h ≤），即g H -H 的关系图上的OA 段，其函数关系式为g H kH =（k 为该直线的斜率）。然后通过直线方程求出tan 1
g H H h k k
α+=
=
，再把H 带入到1.1中导出的无位变卧式椭圆罐部分体积函数()V h 中。从而即可
得到现在我们需要的纵向位变卧式椭圆罐部分体积函数(),,,,,V h k l a b α如下
()
tan 1tan 1arccos 11020.4tan V al b h h kb kb h b ααα?++?
???=--- ? ?????≤≤+ 带入本实例中已知的数据（由于实际中往往是变位角α很难测得，故我们先表出
带纵变位因子α的卧式椭圆罐部分体积函数），即把 2.45l m =, 1.78
0.892
a m ==,
1.20.62
b m ==带入上式可得
()()
()
5tan 14361tan 11308313083
4361arccos 11000010000200012000 1.20.4tan h h V k k h ααπα++????=----?
????????≤≤+
在本实例中已知了41
4.11800
απ==
，再代入上式，即得 ()())()
5tan 4.114361tan 4.111308313083
4361arccos 11000010000200012000 1.20.4tan 4.1h h V k k h h π????++????=----
?????????-≤≤+
从上式看出还有一个待定系数k ，我们拟通过实验实测的V h -数据，反解出一
系列的k 值，再利用统计学的方法，从而能很轻松地确定系数k 。
但是通过对实测数据的分析，发现实测数据都是分布于区域Ⅱ内的（当然，这也是合情合理的，因为太低和太高的油位不易测量，也不符合相关安全规范）。所以在这里暂时没法求出函数关系式。我们将在区域Ⅱ内展开详细讨论，从区域Ⅱ的分析，能求出k 。再回带到这里的表达式，即可表出这里的函数表达式。 ii. 区域Ⅱ（即0.14694 1.2h <≤），由图像AB 段与前一分段OA 在拐点A 处不相交，只与其延长线相交，交点为A ，且不经过圆点。还应强调的是，点A 的纵坐标不等于tan L α，通过验证，点A 的纵坐标 1.0765tan gA H L β≈。通过计算直线AB 的方程的可以把H 表出为：
()()()
2 2.153tan 1.0765tan tan 212 1.153tan g bk l H l l b k H k b l αααα-++-????=
- （这里()tan 1g H h α=+）
同上，再把H 带入到1中导出的无位变卧式椭圆罐部分体积函数()V h 中。
从而即可得到现在我们需要的纵向位变卧式椭圆罐部分体积函数
(),,,,,V h k l a b
α。然后把本实例中已知的参数,,,l a b α带入上式可得出(),V h k 。 我们拟通过实验实测的V h -数据，来确定系数k 。
找k 的算法是先求出()
()1,1,2
n
i j j i j S V h k i n ===∑，然后求得{}min i S 对应
的i 是多少，这个i 对应的i k 具体步骤为：
Step1把实测的V h -数据带入(),V h k 函数内，解得若干个k 值； Step2把上面求得的第i 个k 值与第j 个实测的液面高度j h 带入(),V h k 的函数内，求得第j 个测量的油的体积j V ；
Step3先对j V 取绝对值，再对j 求和，得到i S ；
Step4换一个i 值，重复上面步骤，直到隶遍及所有的k ；
Step4找求和后的最小值所对应的i 值； Step5此时的i k 即为我们所求。
这样最终得到 1.93457515614271 1.934575k =≈ iii. 区域Ⅲ（即1.2 1.22867h <≤），由前面分析的图像规律，即实际情况的对称性此时仍采用关系式g H kH =来求等效无位变液高。但此时应用下面的关系式变换：
低端液高tan d g H H l α=-；低端液面空高2k d H b H =-，再用k H 代替g H ，则2tan g b H l H k
α
-+=
，然后仍然带入到1中导出的无位变卧式椭圆罐部分体积
函数()V h 中。从而即可得到现在我们需要的纵向位变卧式椭圆罐部分体积函数(),,,,,V h k l a b α，
然后再带入本实例中已知的参数,,,l a b α,以及ii 中求得的参数k 即能得到此时的纵位变卧式椭圆罐部分体积函数()V h 。这里需要说明一点：以上的这些抽象函数由于表达式异常繁杂，不方便写在文章里赘述，我们直接运用Matlab 的符号运算器进行求解。详情，请参考附录。至此，即可由两种方法来表出()V h 函数：其一为多项式曲线拟合出来的；其二为近似计算得到的（分为三段的函数），同时把这两个方法计算得出的体积作图表示如下：
结果发现近似计算与实验测得数据有较大偏差。因此才用拟合的曲线来绘制罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
考虑到在变位的情况下，油位过低或过高都不符合安全规范，容易引发事故，
问题二：
油灌变位问题可以简单的看做为油管先沿水平方向倾斜了一个角度α，然后沿x o y --轴旋转了一个角度β。
首先考虑第一步建立三维坐标系，以x 轴垂直纸面向外，下标尺为y 轴，z 为沿倾斜指向上升方向。
先计算球缺最大圆弧的半径R ：
y
x
沿x o y --面对油面体积进行切割，得到的圆方程为：()2
221.5 1.5x y +-= 则由勾股定理得：()2
221.51R R +-=得到 1.625R =，则可以得到以球缺最大圆弧圆心的为圆心的两组平行于y o z --圆系方程
()()()2
2222222
111.581.5 5.375y z R x
y z R x ???-++=-? ????
?-+-=-?
沿x o y --方向去掉圆缺后，得到截面圆的方程为：()2
221.5 1.5x y +-=
而油面高度变化方程也可以确定：
tan cot y z h αα=-+（虽随着h 的变化，可以看出，油罐液面直线方程会随着高
度h 的变化成一组斜率相等的直线系。）
这样就可以简单的把油管的体积计算人为的分割成三部分：
06tan 6tan 32tan 32tan 3h h h αααα≤≤??
≤≤-??-≤≤?
1.推导06tan h α≤≤时不规则体的体积：
首先，沿y o z --面对油面体积进行切割，得到一组近似扇形的油面体积微圆由于油面体积是沿x 轴方向对称的，所以2V v =，只要计算出v 就可以间接得到油罐剩余油量的体积V 。
现在对讨论实现v 的具体积分过程：
使用解析几何的经典方法与定积分的有效结合计算v ：
已知dv sdx =，而对于切割后的截面面积s ，有()()()12ds f y f y dy =-（设
()1f z 为沿y o z --面方向切割得到左边同心弧长的函数，则()2f z 为直线
R
1.5
tan cot y z h αα=-+在三维空间所成的平面。
）则
11cot 8tan h y ds dy αα-?=-??
计算ds 的积分区间：
对于任意微小圆ds 来说，它的积分区间下限为：得到ds 离y 轴的距离x ，带入沿x o y --方向去掉圆缺后，得到截面圆的方程为：()2
221.5 1.5x y +-=
，求解得到 1.5y =即为积分下限。
同样对于积分上限：积分上限为以球缺最大圆弧的圆心为圆心的平行于y o z
--圆系方程()2
2
22111.58y z R x ??
-++=- ??
?与直线tan cot y z h αα=-+的交点，于是
求解直线cot tan h y
z αα
-=
带入圆系方程得到：
()2
2
22cot 111.5tan 8h y y R x αα
-??
-++=-
??? 求解得到积分上限：()1y f h =
，所以
()
1.5
11cot 8tan f h y h y s dy αα-?=
-?? 计算体积v ：
已知 dv sdx =讨论dv 的积分上限：
对于圆系方程()2
221.5 1.5x y +-=因为y 方向的坐标有2tan y h α=+，用h 替
换y 得到得到(),0f x h =求解得到()2x f h =的方程，即为dv
的积分上限。所以
()
()
()
2210
1.5
11cot 8tan f h f h f h y h y v sdx dydx αα-?=
=
-???
?
最后得到
()
()
()
2210
1.5
11cot 22
2
8tan f h f h f h y h y V v sdx dydx αα-?===-???
?
()06tan h α≤≤； 2.求解当6tan 32tan h αα≤≤-油罐的体积，同样采用补体积的方法，先求解如图所示的阴影部分的体积1V ，然后减去弥补的体积2V ，则体积12V V V =-。
这一部分的体积分为三个区间，为6tan 1.52tan 1.52tan 1.56tan 1.56tan 32tan h h h αααααα≤≤-??
-≤≤+??+≤≤-?
①当6tan 1.52tan h αα≤≤-时1V 的体积与第一步计算的体积推导公式相同
：
()
()
()
22110
1.5
11cot 22
2
8tan f h f h f h y h y V v sdx dydx αα-?===-???
?
计算2V 的体积与第一步计算V 的推导过程相同()()()12ds f y f y dy =-。这里
()1f y 的方程发生变化：()1f y 的方程变为以球缺最大圆弧的圆心为圆心的平行于y o z --圆系方程
()()
22
221.5 5.375y z R x -+-=-
则求解得后两函数想减积分得到：
cot 5.375tan h y ds dy αα-?=-??
然后计算ds 的积分区间：
对于任意微小圆ds 来说，它的积分区间下限为：得到ds 离y 轴的距离x ，带入沿x o y --方向去掉圆缺后，得到截面圆的方程为：()2
221.5 1.5x y +-=
，求解得到 1.5y =即为积分下限。
同样对于积分上限：积分上限为以球缺最大圆弧的圆心为圆心的平行于
y o z --圆系方程
()()
22
221.5 5.375y z R x -+-=-与直线tan cot y z h αα=-+的交点，于是求
解直线cot tan h y
z αα
-=
带入圆系方程得到：
()2
2
22
cot 1.5 5.375tan h y y R x αα-??-++=- ??? 求解得到积分上限：()'1y f h =
所以
()
'1 1.5
cot 5.375tan f h y h y s dy αα-?=
-?? 计算体积v ：
已知dv sdx =讨论dv 的积分上限：
对于圆系方程()2
221.5 1.5x y +-=因为y 方向的坐标有6tan y h α=-，用h 替
换y 得到得到(),0f x h =求解得到()'2x f h =的方程：
即为dv 的积分上限。所以
()
()
()
'''2210
1.5
cot 5.375tan f h f h f h y h y v sdx dydx αα-?=
=
-???
?
最终得到
()
()
()
'''22120
1.5
cot 222
5.375tan f h f h f h y h y V v sdx dydx αα-?===-???
?
最终得到体积的计算公式：
()
()
()
()
21''2112
1.5
1.5
11cot 2
8tan cot 2
5.375tan f h f h y f h f h y V V V h y dydx h y dydx αααα=--? =-??-? --?? ?
?
()
6tan 1.52tan h αα ≤≤-
②同理计算当1.52tan 1.56tan h αα-≤≤+油罐的体积：
()
()
()
1''2112
1.5
0 1.5
1.5
11cot 28tan cot 2
5.375tan f h y f h f h y V V V h y dydx h y dydx αααα=--? =-??-? --?? ??
()
1.52tan 1.56tan h αα -≤≤+
③当1.56tan 32tan h αα+≤≤-油罐的体积：
()
()
1'112
1.5
0 1.5
1.5
0 1.5
11cot 28tan cot 2 5.375tan f h y f h y V V V h y dydx h y dydx αααα=--? =-??-? --?? ??
()
1.56tan 32tan h αα +≤≤-
3.推导32tan 3h α-≤≤时不规则体的体积：
推导32tan 3h α-≤≤时不规则体的体积，可以通过转化先求的油罐的整个体积（正常情况下时可以通过推导圆柱体体积与两个圆缺的体积推导出来的）
()
()
22
223323*1.6251*1.5*63
H r H V R L ππππ-=+
- =+
满 得到油罐体积后通过计算上班部分剩余的体积'V ，就可以得到油罐中的体积公式。
现在计算剩余部分的体积公式：
利用第一步得到的公式，进行适当变化的到剩余体积公式：
()()
()()
()()()()()()2213'0
2221
22
222
2223cot 22
2
5.375tan 1.5 1.5cot 6tan 1.5cot 5.375 1.5tan f h f h f h f h h y V v sdx dydx f h x y f h x h h y f h y R x αααααα-?===-???
?+-=??+-=??-???-+-=- ??????
?
?由求解得到；由求解得到；由求解得到。
则体积
()
()()
()()213'
20
23*1.6251cot *1.5*62
5.3753
tan 32tan 3f h f h f h V V V h y dydx h παπαα=---? =+--?? -≤≤?
?满
下面考虑油罐的扭曲角β，
通过观察上图，可以发现()()cos cos h r h h r
h h r r h r ββ?=- ≤??=-+ ≤??实标标实
标标
所以通过置换体积公式中的h 标为h 实即可得到油罐变体后的体积公式： ①当06tan h α≤≤实时：
()
()
()
2210
1.5
11cot 22
2
8tan f h f h f h y h y V v sdx dydx αα-?===-???
?
②当6tan 32tan h αα≤≤-实时：
()
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()21''21120 1.50 1.511cot 28tan cot 2 5.375tan f h f h y f h f h y V V V h y dydx h y dydx αααα=--? =-??-? --?? ??()
()
()
()1''21121.5
0 1.50 1.56tan 1.52tan 11cot 28tan cot 2 5.375tan f h y f h f h y h V V V h y dydx h y dydx αααααα ≤≤-=--? =-??-? --?? ??(
)
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③当()32tan 3h α -≤≤实
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5.3753
tan f h f h f h V V V h y dydx παπα=---? =+--?? ?
?满()32tan 3h α -≤≤ 利用MATLAB 符号运算工具箱，对建立起来的数学模型进行化简求得
(,,,)0f V h αβ=，带入数据计算,αβ。
单纯使用线性回归对实测数据进行描点拟合，多次拟合后发现使用三次回归
得到的曲线与实际描点符合程度比较好，拟合得到的数据曲线方程为：
322.733312.2979.9423 1.0241V h h h =-++-
假设一个微小体积差值，定义其为积分计算公式与拟合曲线方程的差值，即：
()()
32,, 2.733312.2979.9423 1.0241f h h h h αβ?=--++-
观察数据差值变化，寻找可能影响
?变化的因素。
定制油罐提及查询表
标高(m) 体积(m 3) 标高(m) 体积(m 3) 0.1 0.090367 1.6 35.1683 0.2 1.434374 1.7 37.98744 0.3 2.991521 1.8 40.77371 0.4 4.745409 1.9 43.51074 0.5 6.679638 2.0 46.1821 0.6 8.777807 2.1 48.77141 0.7 11.02352 2.2 51.26226 0.8 13.40037 2.3 53.63826 0.9 15.89196 2.4 55.883 1.0 18.4819 2.5 57.98009 1.1 21.15378 2.6 59.91312 1.2 23.8912 2.7 61.6657 1.3 26.67776 2.8 63.22142 1.4 29.49706 2.9 64.56389 1.5
32.33271
3.0
65.6767
储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 对于加油站储存燃油的地下储油罐变位的罐容标定问题，我们需要研究各种不定因素对罐容标定的影响。本文主要考虑在油罐的几何形状确定的情形下，由于地基变形而引起的油液面倾斜等因素对罐容表的影响。 将理论推导和数据拟合情况综合分析，在理论推导方面，创新性的运用祖暅体积公式，使用操作更简单的近似计算，结合相应容积斜率表，将倾斜卧式椭圆油罐容积的计算等效替换为水平状态下相应部分体积的计算，并对其修正得出最符合实际情况的罐容表。使用体积补偿方法产生虚拟体积，对不规则体积进行规则变换，最终求得不规则立体的体积。探讨了使用SURFER软件对体积网格化求不规则立体体积的方法。 对两端平头的椭圆柱体形小椭圆型储油罐无变位和倾斜（倾斜角α=4.1） 情况进行分析，求出罐容表并对其进行分析。我们利用祖暅原理结合不定积分即可求出理论推导式，再用Matlab对实际所测数据进行拟合得出近似方程。对近似方程与理论推导出来的公式分别计算并进行比较，同时进行修正得出最符合实际情况的方程。 对实际的储油罐变位情况（纵向倾斜角度α，横向倾斜角度β）建立罐容 表。我们采用分割法利用竖直平面将储油罐分割，对于规则微小体积元，可以通过积分的方法计算规则体的体积；对于不规则的微小体积元，通过延长油罐的另一端使其转化成规则体元，计算出总的体积，减去虚拟体积。采用Matlab符号 运算工具箱，推导出变位油罐标尺高度h，α，β与体积V之间的关系，并与实 际测量数据拟合公式做比较，求出体积微小差异量，进行误差分析。结果表明，此模型与实际测量数据吻合程度较好。 关键词：祖暅原理;截面转化;等效变换;虚拟体积;体积网格化
江西师范高等专科学校 论文题目：十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？ 组长：肖根金学号：9015300135 班级：15数教1班 组员：叶强学号：9015300143 班级：15数教1班 组员：谭伟学号：9015300132 班级：15数教1班 2017年4月15日
目录 一、问题重述 (3) 1.1问题背景 (3) 1.2问题简述 (4) 二、模型假设 (4) 3.1 停车位模型 (5) 3.2 启动时间模型 (5) 3.3 行驶模型 (5) 三、模型建立 (5) 四、模型求解 (5) 五、模型的检验与应用 (6) 5.1调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确 5.2分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间 5.3给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型 六、模型的评价 (6) 6.1 模型的优点 (6) 6.2 模型的缺点 (7) 参考文献
一、问题重述 1.1问题背景 随着经济和社会快速发展,我国城市道路建设增多,出行车辆增加,城市交通进入了快速发展阶段,城市交通的几个问题,即交通阻塞、交通事故、公共交通问题城市，道路交通问题日益突出.,为城市交通建设和路网规划提供方案和依据,达到优化城市道路交通状况的目的.因此我们针对于交通问题事故，将“十字路口绿灯亮30秒问题”单独列出以建模的形式来进行合理的规划，让十字路口的交通，更安全。在每年的节假时间里，有很多的人喜欢去旅游，交通的拥挤阻塞已经是很大问题，好多事故的发生。这是我们不愿意见到的事实。“十字路口绿灯亮30时间”对于现在的这个新时代的我们来说，城市的汽车车水马龙，它的合理设计是十分重要的。在交通管理中，绿灯的作用是为了维持交通秩序。在十字路口行驶的车辆中，主要因素是机动车辆，驶近交叉路口的驾驶员，在看到绿色信号后要通过路口。利用数学模型解决绿灯在十字路口亮30秒的问题，可以减少交通事故的发生，也相对合理的运用社会科学知识解决实际问题。某一天一个式子路口的绿灯灯亮30秒，那么能通过几辆汽车呢？ 1.2问题简述 因为十字路口的交通现象较复杂，通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号，数量和它们的行驶速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆的行人的状态等因素有关，因此，我们在求解“十字路
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题“拍照赚钱”的任务定价 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题： 1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种 考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ 4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 附件一：已结束项目任务数据 附件二：会员信息数据 附件三：新项目任务数据
数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；
上海世博会影响力的定量评估 摘要 本文主要针对世博会对上海市的发展产生的影响力进行定量评估。 在模型一中，首先我们从上海的城市基础设施建设这一侧面定量评估世博会对上海市的发展产生的影响，而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。所以我们运用层次分析法，构造成对比矩阵a，找到最大特征值 ，运用 进行一致性检验，这样对成对比矩阵a进行逐步修正，最终可以确定权向量。再运用模糊数学的综合评价法，通过组合权向量就可以得出召开世博会比没有召开世博会对上海城市基本设施建设的影响要高出40%。 在模型二中，上海世博会的影响力直接体现在GDP上，我们直接以GDP这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。因此我们运用线性回归的模型预测出在有无上海世博会这两者情况下的GDP的值，并将运用线性回归得到的数据与上海统计年鉴中的相关数据进行比较运算，算出误差在1.2%左右，这说明我们用线性回归得到的模型能准确地反映出世博会对上海GDP的影响。运用公式 可以计算出世博对上海GDP的影响力的大小为 。 关键词：层次分析法模糊数学线性回归城市基础建设 GDP 1 问题重述
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。 2 问题分析 对于模型一，为了定量评估2010年上海世博会的影响力，我们首先选取城市基础设施建设的投入这一个侧面，因为通过查找相关数据，我们发现，城市基础设施建设的投入在上海整个GDP的增长中占有很大的比重，对GDP的贡献占主体地位。而层次分析法是对社会经济系统进行系统分析的有力工具。为此，我们通过研究上海统计局的相关数据，使用层次分析法来评估世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，目标层为世博会的召开对基础设施建设的投入的影响，准则层依次为电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设，方案层依次为没有召开世博时的影响、召开世博时的影响。首先我们通过层次分析法算出电力建设、交通运输、邮电通信、公用事业、市政建设的相对权重，然后应用模糊数学中的综合评价法对上海世博会对城市基础设施建设的影响作出综合的评价，应用综合评价法计算出没有召开世博和召开世博两种情况下的权重，从而得出上海世博会的召开对城市基础设施建设的影响。 对于模型二，直接以GDP这个硬性直接指标来衡量上海世博会对上海的影响。先根据上海没有申办世博会的GDP总额的相关数据，建立线性回归模型，由此预测不举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额；再由2002年至2009年的GDP值用线性回归预测出举办世博会情况下2010年上海市的GDP总额，并将两种情况进行对比得出世博会对上海GDP的影响。 3 模型假设 3.1假设非典和奥运等重大事件对世博前的城市基础建设的投入影响很小，可以忽略。
建模实习作业题 之红绿灯闪烁模型班级：计算1502
交通管理中非数字灯闪烁时间模型 摘要 本文在了解过车辆通过红绿灯所遇见的情况，以及对车型的分析下，重点通过常微分方程建立起时间，刹车距离，以及刹车制动因素相关的数学模型。 在问题中对红绿灯灯应闪烁时间做出等价转换，闪烁的意图是让车辆在黄灯前停在停止线前，对于影响车辆刹车距离的因素主要由车辆制动力控制，闪烁时间应为驾驶员观察到信号变换反应的时间与驾驶员制动使车辆停在停车线所需时间之和。在法定通过红绿灯的速度下对大型车辆进行讨论，因为小型车辆制动距离明显小于大型载货汽车。 对于模型的评价，本文采用与实际生活中数据以及对车辆理论数据进行对比，以此检验模型建立的合理性及正确性。 最后，本文分析了现有模型的缺陷，并提出进一步改进方法，使之与贴合生活方面进一步。 【关键词】微分方程；刹车制动力；制动因素
目录 一、问题重 述………………………………………………………………………………… …4 二、基本假 设………………………………………………………………………………… …4 三、符号说 明………………………………………………………………………………… …4 四、模型建立、分析与求 解 (5) 五、模型评价与改 进 (6) 六、参考文 献 (7)
一、问题重述 从2013年元月一日，国家开始实行新的交通法规。在十字路口的交通管理中，最大而且最有争议的改变是闯黄灯。在以前的交规中，亮红灯之前要亮一段时间黄灯，这是为了让那些行驶在十字路口或距十字路口太近以致无法停下来的车辆通过路口.现在规定闯黄灯也是违规行为，为了不违反交通法规，对有时间数字的交通灯，司机根据时间数字可以提前对自己的行动作出决策，但还有很多交通灯是非数字的，这就不可避免的对司机的判断造成障碍，为此，非数字的交通灯在变灯前加入了闪烁，以提醒司机。为了让司机在十字路口有足够的时间决定过不过马路，请你考察实际生活中的道路，给出最佳的闪烁时间。 二、基本假设 1.假设刹车途中，刹车制动力恒定 2.行驶过程中没有意外事故
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：湖州师范学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 陈艺 2. 王一江 3. 叶帆帆 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李立平 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 储油罐的变位识别与灌装表标定关系到各个加油站的资源利用率和生产效益，同时与人民社会生活也密切相关。因此，本题的建模具有很好的理论意义和应用价值。 针对赛题A的要求，本论文主要做了以下工作： 对于问题一：首先采用积分思想，分别推导出罐体无变位及纵向倾斜?1.4两种情况下罐内的油位高度和储油量；其次对以上两种情况下罐内实际进油量与理论进油量进行误差分析，并通过三次多项式拟合方法得到各自的误差表达式以及修正后罐内油位高度 和储油量的关系式；接着，采用插值方法推算出无变位及倾斜?1.4时罐体出油情况下储存油体积的初始值，进而对两种情况在出油时的误差进行了分析；最后根据校正后的表达式，给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（见附件3）。 对于问题二：首先在问题一后半部分问题求解的基础上，推导出罐体纵向倾斜α角度后罐内油面高度与存储油体积之间的关系，再将已纵向倾斜α角得罐体横向转动β 角，并求出此时罐内油面高度与存储油体积之间的实际表达式；接着，对已获表达式中的积分进行符号求解，并利用本题数据附件2给出的数据及最小二乘法的思想用三重循 环搜索出α和β的最优近似值（见附件6），求出α=?1.2和β=?8.4；然后利用α和β的 值计算后可发现本题数据附件2显示的油量容积与实际油量容积要高出许多，并得出理论出油量与实际出油量很接近（两者误差在3升以内），从而该模型能很好地反映油量与油位高度之间的对应关系。接着给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值（见附件7），最后通过本题数据附件2及问题一中的试验模型，验证了模型的正确性与方法的可靠性。 在回答了以上两个问题基础上，我们对模型的优缺点进行总结，并讨论该模型的推广及评价。
十字路口红绿灯的合理设置 陈金康 检索词：红绿灯设置、红绿灯周期 一、问题的提出 作为城市交通的指挥棒，红绿灯对交通的影响起着决定性作用。如果红绿灯的设置不合理，不仅会影响到交通秩序；还有可能会影响到行人和自行车的安全。 目前杭城还有很多路口的红绿灯设置存在一些不合理的因素，我们以古墩路一个路口(界于天目山路和文苑路之间)的红绿灯设置为例，该路口是刚开通的，交管部门对路况和车流量的研究还不是很成熟，因此红绿灯的设置存在一些问题。该路口的车流量相对比较小，有几个方向的车流量特别小，但绿灯时间设置太长，经常出现路口空荡荡但是车辆必须长时间等待的情况；同时在这样的路口，右转红灯显得有些多余。另外，该路口不同时段的红绿灯设置没有什么区别，显然这是非常不合理的。 下面我们就针对该路口来研究一下红绿灯设置的合理方案。我们主要研究两个方面：红绿灯周期的设置以及一个周期内各个方面开绿灯的时间。 二、模型的建立 1、红绿灯周期 从《道路交通自动控制》中，我们可以找到有关红绿信号灯的最佳周期公式： s q L C ∑ -+= 15 其中 : C 为周期时间。 相位：同时启动和终止的若干股车流叫做一个相位。 L 为一个周期内的总损失时间。每一相位的损失时间I=启动延迟时间-结束滞后时间；而整个周期的总损失时间为各个相位总损失时间的和加上各个绿灯间隔时间R 。（通俗地讲，启动延迟时间即司机看到绿灯到车子启动的反应时间，结束滞后时间即绿灯关闭到最后一辆车通过的时间。） 即R I L +∑= q 为相应相位的车流量 s 为相应相位的饱和车流量。（当车辆以大致稳定的流率通过路口时，该流率即该相位的饱和车流量。） 2、南北方向和东西方向开绿灯时间的分配 不妨忽略黄灯，将交通信号灯转换的一个周期取作单位时间，又设两个方向的车流量是稳定和均匀的，不考虑转弯的情形。
A题炉温曲线 在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。 回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。 图1 回焊炉截面示意图 某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。 回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25oC。 在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175oC（小温区1~5）、195oC（小温区6）、235oC（小温区7）、255oC（小温区8~9）及25oC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30oC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。 实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行oC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25oC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。 在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。 表1 制程界限 界限名称 最低值 最高值
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 油 油浮子 出油管 油位探测装置 注油口 检 查 口 地平线 2m 6m 1m 1m 3 m 油位高度 图1 储油罐正面示意图 油位探针
交通路口红绿灯 十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？一问题重述 因为十字路口的交通现象较复杂，通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号，数量和它们的行驶速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆的行人的状态等因素有关，因此，我们在求解“十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车”时应综合考虑各方面因素二模型假设 (1)十字路的车辆穿行秩序良好不会发生阻塞； (2)所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧的车辆。 (3)所有车辆长度相同，并且都是从静止状态开始匀加速启动； (4)红灯下等侍的每辆相邻车之间的距离相等； (5)前一辆车启动后同后一辆车启动的延迟时间相等。 另外在红灯下等侍的车队足够长，以至排在队尾的司机看见绿灯又转为红灯时仍不能通过路口。 参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻 t 第n 辆车的位置 S n（t） 用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当S n(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。
三模型建立 1.停车位模型： S n（0）=–(n-1)(L+D) 2. 启动时间模型: t n =(n-1)T 3. 行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t>t n 参数估计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s 四模型求解 解: S n(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得 n≤19 且 t19=18<30=t 成立。 答案: 最多19辆车通过路口. 改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。 最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上 v*=60公里/小时=17米/秒 取最高限速 v*=11m/s，达到最高限速时间t n*=v* /a+t n =5.5+n-1 限速行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a(t n *–t n )2+v*(t-t n*), t>t n* =S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t n*>t>t n = S n(0) t n>t 解：S n(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得 n≤17 且 t17 * =5.5+16=21.5<30=t 成立。 结论: 该路口最多通过17辆汽车.
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 （全国大学生数学建模竞赛组委会，2018年修订稿） 为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。 一、纸质版论文格式规范 第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。 第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。 第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。 第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。 第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。 第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。 第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。 二、电子版论文格式规范 第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求命名和
摘要 近年来随着机动车辆的迅猛增长，城市道路的交通压力日渐增大，各大城市对旧城改造及城市道路建设的投入也不断扩大，交通拥挤问题却仍旧日益严重。因此，科学全面地分析和评价城市的绩效，进而找到适合我国的城市交通规划模式，已成为我国城市交通迫切需要解决的课题。 本文通过大量查阅城市交通绩效评价指标，结合目前我国交通发展现状，以兰州为例，首先建立了绩效评价指标的层次结构模型，确定了目标层，准则层（一级指标），子准则层（二级指标）。 其次，建立评价集V=(优，良，中，差)。对于目标层下每个一级评价指标下相对于第m 个评价等级的隶属程度由专家的百分数u 评判给出，即U ＝[0,100]应用模糊统计建立它们的隶属函数A(u)， B(u)， C(u) ，D(u)，最后得出目标层的评价矩阵Ri ，（i=1,2,3,4,5）。利用A,B 两城相互比较法，根据实际数据建立二级指标对于相应一级指标的模糊判断矩阵P i （i=1,2,3,4,5） 然后，我们经过N 次试验调查，明确了各层元素相对于上层指标的重要性排序，构造模糊判断矩阵P ，利用公式 1 ,ij ij n kj k u u u ==∑ 1 ,n i ij j w u ==∑ 1 ,i i n j j w w w ==∑ []R W R W R W R W R W W R W O 5544332211,,,,==计算出权重值，经过一致性检验公式RI CI CR = 检验后，均有0.1CR <，由此得出各层次的权向量()12,,T n W W W W =K 。然后后， 给出建立绩效评价模型（其中O 是评价结果向量），应用模糊数学中最大隶属度原则，对被评价城市交通的绩效进行分级评价。 接着，为了优化兰州安宁区道路交通，我们建立了评价城市交通的指标体系，继而构造模糊判断矩阵P ，计算出相应的权重值。我们挑选了道路因素进行优化，以主干道利用率约束、红绿灯效率约束、公交站点数目约束、非负约束为约束条件建立了安宁区道路交通优化方案的权系数模型，最后利用实际测算数据给出最终优化模型，提出合理化的优化建议，希望能为更好的建设兰州交通体系作出贡献。 关键词：城市交通 层次分析 模糊综合评判 绩效评价 隶属度
2 0 1 3 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”) B 题碎纸片的拼接复原 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片(仅纵切)，建立碎纸片拼接 复原模型和算法，并针对附件1、附件 2 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达(见【结果表达格式说明】)。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4 给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件 5 给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件 5 的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。 【数据文件说明】 (1) 每一附件为同一页纸的碎片数据。 (2) 附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19 条碎片。 (3) 附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11X19个碎片。 (4) 附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11 X 19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中 每一碎片对应两个文件，共有2X 11X 19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。 【结果表达格式说明】 复原图片放入附录中，表格表达格式如下： (1) 附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1X 19的表格； (2) 附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11X 19的表格； (3) 附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11X 19的表格；
苏北数学建模联赛 比赛时间：5月1日—5月4日 苏北数学建模联赛是由江苏省工业与应用数学学会、中国矿业大学、徐州市工业与应用数学学会联合主办，中国矿业大学理学院协办及数学建模协会筹办的面向苏北及全国其他地区的跨校、跨地区性数学建模竞赛，目的在于更好地促进数学建模事业的发展，扩大中国矿业大学在数学建模方面的影响力；同时，给全国广大数学建模爱好者提供锻炼的平台和更多的参赛机会，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识。 联赛由中国矿业大学数学建模协会组织,苏北数学建模联赛组织委员会负责每年发动报名、拟定赛题、组织优秀答卷的复审和评奖、印制获奖证书、举办颁奖仪式等。竞赛分学校组织进行，每个学校的参赛地点自行安排,没有院校统一组织的参赛队可以向苏北数学建模联赛组委会报名参赛。每个参赛队由三名具有正式学籍的在校大学生（本科或专科）组成，参赛队从A、B、C 题中任选一题完成论文,本科组和专科组分开评阅。竞赛按照全国大学生数学建模竞赛的程序进行，报名时间为每年4月1日—4月29日(直接由学校统一报名)，竞赛时间为5月1日—5月4日，网址：https://www.doczj.com/doc/0410718537.html, , 苏北数学建模联赛组委会聘请专家组成评阅委员会，评选一等奖占报名人数的5％、二等奖15％、三等奖25％，
如果有突出的论文将评为竞赛特等奖，凡成功提交论文的参赛队均获成功参赛奖。对于获奖队伍将给予一定的奖品奖励并颁发获奖证书。 全国大学生数学建模大赛 比赛时间：9月的第三个星期五上午8时至下一个星期一上午8时“全国大学生数学建模大赛”全称为“高教社杯全国大学生数学建模竞赛” 全国大学生数学建模大赛竞赛每年举办一次，每年的竞赛时间为9月的第三个星期五上午8时至下一个星期一上午8时。 报名时间：从大赛的通知文稿发出后，就可以报名了，报名截止时间一般在开始比赛的前7-10天。 大学生以队为单位参赛，每队3人（须属于同一所学校），专业不限。竞赛分本科、专科两组进行，本科生参加本科组竞赛，专科生参加专科组竞赛（也可参加本科组竞赛），研究生不得参加。每队可设一名指导教师（或教师组）。 考核内容（竞赛内容）： 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。
中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））
2016年全国也就数学建模竞赛C题 基于无线通信基站的室内三维定位问题 1背景介绍 随着无线通信网络和移动互联网的蓬勃发展，提供基于地理位置信息的服务（Location Based Service，简称LBS）已经成为最具市场前景和发展潜力的业务之一。从传统的GPS导航，到大众点评、微信等基于地理位置的消费信息服务和社交软件，实现其功能的基础就是要通过手机、导航仪等终端设备收发信号，来获得距离、角度等测量信息，并利用定位算法将这些测量信息转换成坐标信息。 基于无线移动通信网络的定位是以获取用户手持终端（包括手机或者平板等设备）的位置为目标。而达成这一目标的手段是通过测量无线电信号的强度、传播时间、到达角等物理指标，并将其转化成终端与基站之间的距离、角度等信息，最终利用定位算法将距离、角度等信息转化成终端的坐标信息。 虽然商用GPS已经随着智能手机的发展而得到了广泛的应用，但是，在诸如室内、地下、高楼林立的市区等诸多场景中，GPS定位性能较差。由于在覆盖广度和深度上，基于无线网络基站的定位系统相比GPS存在优势，因此，越来越得到运营商和新兴创业公司的重视。 此外，对于大数据感兴趣的IT公司，通过统计大规模匿名用户的连续地理位置信息，可以获得用户的移动轨迹，以及在相应轨迹上的APP流量使用情况，甚至在特殊位置搜索和关注的关键词等信息。因此，诸如Google、百度等搜索引擎公司也开始提供室内定位和室内地图导航的服务。这类服务，一方面可以弥补传统的GPS在室内定位性能较差，且不能分辨用户所在楼层等问题，另一方面，也为商场、博物馆等应用场景提供了为用户提供基于室内实时地理位置信息服务的可能。 目前从事室内定位和导航服务的方法，大多基于室内密集分布的WiFi设备与手机之间的通信方式。这类方法存在两个明显的劣势：首先，从技术上，WiFi设备的覆盖范围有限，并且WiFi 设备收发信号所在的频段容易受到干扰；其次，从业务模型上看，用户对于接入陌生WiFi设备的戒备心理，以及WiFi设备的投资如何回收等，都存在较大的商业模式上的不确定性。 与之相对的，使用基于运营商无线通信基站的方式对手机进行定位，则可以规避上述问题。商用基站的覆盖范围、信号质量均优于WiFi，而且，用户也期望自己的手持终端能够随时保持对基站设备的接入。同时，运营商推进定位服务的盈利模式清晰，在基础的数据服务之外，还可以通过为用户提供增值服务而促进运营商的业务发展。总之，基于无线通信基站的定位技术有着广阔的应用前景和巨大的商业价值。 手持终端设备如何基于基站的测量信息，计算或确定终端在三维空间中的位置坐标，也就是三维定位问题，被认为是现代商用通信网络中对于定位系统真正具有技术难度的挑战。而高精度三维定位也预期能为客户提供更大的价值，在智能仓储、智能工厂、固定资产追踪等对于三维坐标信息敏感的垂直行业，以及传统运营商感兴趣的商场、办公楼中基于位置信息的室内导航、人群流量分析，以及基于精确三维地理位置信息的业务推送等服务提供基础性技术。 从技术角度来看，现代商用通信网络对于三维定位的需求，是使用尽可能少的基站完成对终端设备的定位、算法收敛速度快、对于干扰和噪声具有鲁棒性等优点。 相比于GPS等商用卫星定位系统，基于通信基站的定位问题，具有如下特殊性： 首先，通信基站的目标区域是GPS等卫星定位系统无法实现定位的场景。在高楼林立的城区，建筑物内部、地下停车场等区域，GPS等系统是无法满足定位需求的。而这些应用场景基站、
觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 二级标题设置成段落间距前0.5行后0.25行 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意表格插入到的方式在中复制后，粘贴，2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 所有软件名字第一个字母大写比如 所有公式和字母均使用编写 公式编号采用编号格式自己定义
公式编号在右边显示
农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；；误差分