13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 米，黄鼠狼每次跳 2 米， 它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔 12 米设有一个陷井,当它们
因数与倍数相关习题（1）
一、填空题
1．28 的所有因数之和是_____.
2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.
3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数 字的积是 2
4.这个两位数是_____.
4. 李老师带领一班学生去种树 ,学生恰好被平均分成四个小组 ,总共种树 667 棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.
5. 两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5,则这两个数的差是_____.
6. 现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相 等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.
7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片_____块.
8. 长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块 (不余料)_____块.
9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个,又以 2 元钱 5 个苹果的价 格将这些苹果卖出,如果他要赚得 10 元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.
10. 含有 6 个因数的两位数有_____个.
11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互 质，请问有多少组这种解
12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少
1 3
2 4
3 8
之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米
14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最 小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a ,b ,c 共有多少组
(例如:a =12、b =300、c =300，与 a =300、b =12、c =300 是不同的两个自然数 组)
———————————————答 案——————————————————————
答 案:
1． 56
28 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2. 4
因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.
3.64
因为28=2?2?7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有64.
4.28
因为667=23?29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.
当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.
当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.
所以,一班共有28名学生.
5.40或20
两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.
[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.
6.36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.
每个小朋友可分得梨:36÷36=1(只)
每个小朋友可分得桔子:108÷36=3(只)
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.
7.56
剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.
因为48=2?2?2?2?3,42=2?3?7,所以48与42的最大公因数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(48÷6)?(42÷6)=8?7=56(块)正方形布片.
8.200
根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180÷9)?(45÷9)?(18÷9)=200块棱长是9厘米的正方体.
9.150
根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.
13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 与12 的“最小公倍数” ， ÷ =9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4 和12 的 99 99 9 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是 4 ? 9=(米). 10. 16
含有 6 个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有 5 个相同的质因数连 乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因数 的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么
M = a 5 或 M = a 2 ? b
因为 M 是两位数，所以 M = a 5 只有一种可能 M =25，而 M = a 2 ? b 就有以下 15 种情况：
M = 2 2 ? 3, M = 2 2 ? 5, M = 2 2 ? 7 ，
M = 2 2 ? 11, M = 2 2 ? 13, M = 2 2 ? 17 ，
M = 2 2 ? 19, M = 2 2 ? 23, M = 32 ? 2 ，
M = 32 ? 5, M = 32 ? 7, M = 32 ? 11 ，
M = 5 2 ? 2, M = 5 2 ? 3, M = 7 2 ? 2 .
所以,含有 6 个因数的两位数共有 15+1=16(个) 11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只 能分别是 2,3 和 5,这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组. 12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和 ,也就是说它们的最大 公因数应该是 1111 的因数.将 1111 作质因数分解,得 1111=11 ? 101 最大公因数不可能是 1111,其次最大可能数是 101.若为 101,则将这四个数分别 除以 101,所得商的和应为 11.现有 1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数 101,101 ? 2,101 ? 3,101 ? 5, 它们的和恰好是 101 ? (1+2+3+5)=101 ? 11=1111, 它们的最大公因数为 101. 所以 101 为所求. 3 3 99 4 8 4 即跳了 99 11 1 3 4 4 2 8 “最小公倍数” ，即跳了 ÷ =11 次掉进陷井. 2 2 2 1 2
14. 先将 12、300 分别进行质因数分解：
12=22 ? 3
300=22?3?52
(1)确定a的值.依题意a只能取12或12?5(=60)或12?25(=300).
(2)确定b的值.
当a=12时,b可取12,或12?5,或12?25；
当a=60,300时，b都只能取12.
所以,满足条件的a、b共有5组：
a=12a=12a=12a=60a=300
b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.
(3)确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
52，52?2，52?22，52?3，52?2?3，52?22?3，即25，50，100，75，150，300.所以满足条件的自然数a、b、c共有5?6=30（组）
13. 用 、 、1 分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数 “ “
因数与倍数相关习题（2）
一、 填空题
1．把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还 缺 2 个，一共有_____个小朋友.
2. 幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结 果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个.这个大班的小朋友最多有_____ 人.
3. 用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用 这样的木板_____块.
4. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体， 至少需要这种长方体木块_____块.
5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔 3、5、9、15、10 分 钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.
6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得
12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子 可得 20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.
7. 这样的自然数是有的:它加 1 是 2 的倍数,加 2 是 3 的倍数,加 3 是 4 的倍 数,加 4 是 5 的倍数,加 5 是 6 的倍数,加 6 是 7 的倍数,在这种自然数中除了 1 以外最小的是_____.
8． 能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是_____.
9. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组,要求每一组中任意两个数的 最大公因数是 1, 那么至少要分成_____组.
10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的_____倍.
二、解答题
11．公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分 钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆 车.该总站发出最后一辆车是 20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.
12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是 12.如果甲乙两数 的差是 18,则甲数是多少乙数是多少
5 15 1 28 5
6 20
最小是几
14. 有 15 位同学,每位同学都有编号,他们是 1 号到 15 号,1 号同学写了一 个自然数,2 号说： 这个数能被 2 整除”，3 号说： 这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:
(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数
(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请找出这个数.
———————————————答案——————————————————————
答案:
1.9
若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.
2.36
根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是
115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.
所以,这个大班的小朋友最多有36人.
3.56
所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.
先求14与16的最小公倍数.
21614
87
故14与16的最小公倍数是2?8?7=112.
因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板
112?112
16?14=7?8=56(块)
4．5292
与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块
126?126?126
9?6?7=14?21?18=5292(块)
[注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.
5.90
依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.
因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.
6.5
依题意得
花生总粒数=12?第一群猴子只数
=15?第二群猴子只数
=20?第三群猴子只数
由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么
第一群猴子只数是5，10，15，……
第二群猴子只数是4，8，12，……
第三群猴子只数是3，6，9，……
所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.
7.421
依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.
8.999768
由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.
因为÷48=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是
999999-231=999768.
9.3
根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一
组,26=2?13,91=7?13,143=11?13,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:
甲数 ?乙数 倍 ? 约 (1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.
因此,至少要分成 3 组.
[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如 15=3 ? 5，21=3 ? 7， 35=5 ? 7，3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.
除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:
(1)26,35；33，85，91；34，63，143.
(2)85,143,63；26，33，35；34，91.
(3)26,85,63；91，34，33；143，35.
10. 77
根据“甲乙的最小公倍数? 甲乙的最大公因数=甲数 ? 乙数”，将 210 ? 330 分 解质因数，再进行组合有
210 ? 330= ? ? ? ? ? ? ? 1
= ? ? ? ? 1
=（2 ? 3 ? 5） ? （2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 11）
因此，它们的最小公倍数是最大公因数的 7 ? 11=77（倍）.
11. 根据题意,先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80,即从第一次三车同时发 出后,每隔 80 分钟又同时发车.
从早上 6:00 至 20:00 共 14 小时,求出其中包含多少个 80 分钟.
60 ? 14 ÷ 80=10…40 分钟
由此可知,20:00 前 40 分钟,即 19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.
12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两 个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商 ——12.这一结论的根据是:
(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)
甲数 ? 乙数=倍 ? 约
= ，所以： 约 ? 约 约 ? 约
? ÷ =a ÷ =b ÷ 1 =c ? =a ? =b ? =c 28,56,20 的最大公因数,因此,符合条件的最小分数: = = 26
甲数 乙数 倍 甲数 乙数 ? = ， =12 约 约 约 约 约
将 12 变成互质的两个数的乘积：
①12=4 ? 3，②12=1 ? 12
先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的 4 倍，一个是它们最大公 因数的 3 倍.
甲乙两数的差除以上述互质的两数(即 4 和 3)之差,所得的商,即甲乙两数的 最大公因数.
18 ÷ (4-3)=18
甲乙两数,一个是:18 ? 3=54，另一个是：18 ? 4=72.
再看②,18 ÷ (12-1)=1 7 ,不符合题意,舍去. 11
13.
依题意,设所求最小分数为 M N ,则
即 M 5 M 15 M 1 N 28 N 56 N 20 M 28 M 56 M 20 N 5 N 15 N 21
其中 a ,b ,c 为整数.
因为 M N
是最小值,且 a ,b ,c 是整数,所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数,N 是
M 105 1 N 4 4
14. (1)根据 2 号~15 号同学所述结论,将合数 4,6,…，15 分解质因数后， 由 1 号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.
4=22,6=2 ? 3,8=23,9=32,10=2 ? 5,12=22 ? 3,14=2 ? 7,15=3 ? 5
由此不难断定说得不对的两个同学的编号是 8 与 9 两个连续自然数(可逐次 排除,只有 8 与 9 满足要求).
(2)1 号同学所写的自然数能被 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 这 12 个数 整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是
?????3=60060
因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.
因数与倍数相关习题（1） 一、填空题 1．28的所有因数之和是_____. 2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块. 8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块. 9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有6个因数的两位数有_____个. 11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12．和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？ 13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳4 32米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8 312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米? 14. 已知a 与b 的最大公因数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组? (例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组) ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1． 56 28的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为 1+2+4+7+14+28=56. 2. 4
因数与倍数练习题一 一、判断题 1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。( ) 2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。( ) 3、个位上是0的数都是2和5的倍数。 4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。( ) 5、5是因数，10是倍数。( ) 6、36的全部因数是2、3、4、6、9、12和18，共有7个。( ) 7、因为18÷9=2，所以2是18的倍数，9是2的因数。( ) 9、任何一个自然数最少有两个因数。( ) 10、一个数如果是24的倍数，则这个数一定是4和8的倍数。( ) 11、15的倍数有15、30、45。( ) 12、一个自然数越大，它的因数个数就越多。( ) 13、两个质数相乘的积还是质数。( ) 14、一个合数至少得有三个因数。( ) 15、在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。( ) 16、15的因数有3和5。( ) 17、在1—40的数中，36是4最大的倍数。( ) 18、1是16的因数，16是16的倍数。( ) 19、8的因数只有2，4。( )
20、一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，也就是说一个数的最大因数等于它的最小倍数。( ) 21、任何数都没有最大的倍数。( ) 22、1是所有非零自然数的因数。( ) 23、所有的偶数都是合数。( ) 25、个位上是3、6、9的数都能被3整除。( ) 26、一个数的因数总是比这个数小。( ) 27、743的个位上是3，所以743是3的倍数。( ) 28、100以内的最大质数是99。( ) 29．所有的质数都是奇数。( ) 30．质因数必须是质数，不能是合数。( ) 31．自然数中，除去合数就是质数。( ) 32．所有的偶数都是合数。( ) 33．18的最大因数和最小倍数相等。( ) 34．能同时被2和3整除的数都是偶数。( ) 35．两个数能整除，也可以说这两个数能除尽。 ( ) 36．12的因数只有2、3、4、6、12。( ) 37．1是质数而不是偶数。( ) 38.在自然数中与1相邻的数只有2。（） 的倍数，一定是9的倍数。（） 40.奇数都比偶数小。（）
《因数和倍数》教案 教学目标 1、知识与技能 掌握因数、倍数的概念，知道因数、倍数的相互依存关系。 2、过程与方法 通过自主探究，使学生学会用因数、倍数描述两个数之间的关系。 3、情感态度与价值观 使学生感悟到数学知识的内在联系的逻辑之美。 教学重点 掌握找一个数的因数、倍数的方法。 教学难点 能熟练地找一个数的因数和倍数。 教学准备 课件、投影等。 教学过程 一、迁移引入 同学们，在我们的日常生活中，人与人之间存在着许多相互依存的关系，如：佳爸是佳佳的爸爸，佳佳是佳爸的儿子。其实在我们的数学王国里，数与数回见也存在着这种相互依存的关系，请看大平米，认识这些吗？(课件出示：0，1，2，3，4，5……) 这些自然数。(课件去“0”) 去0后这又是什么数？(非零自然数中。)这节课我们就在非零自然数中来研究数与数之间的这种相互依存的关系。 板书：因数和倍数 二、情境创设，探究新知 1、理解整除的意义。 (1)出示例1，在前面学习中，我们见过下面的算式。 12÷2＝6 8÷3＝2……2 30÷6＝5 19÷7＝2……5 9÷5＝1.8 26÷8＝3.25 20÷10＝2 21÷21＝1 63÷9＝7 你能把这些算式分类吗？
(2)分类所得： (3)观察发现，合作交流。 观察算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的约数。 2、理解因数、倍数的意义。 12÷2＝6中，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。12÷6＝2，所以12是6的倍数，6是12的因数。由此可知：(在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。) 3、总结归纳 (1)在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 (2)因数与倍数是相互依存的关系。 4、注意： 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数(一般不包括0)。 5、做一做。 下面的4组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 4和24 36÷13 75÷25 81÷9 6、教学例2 18的因数有哪几个？ 18的因数有1、2、3、6、9、18。 也可以这样用图表示。 18的因数 1，2，3， 6，9，18 30的因数有哪些？36呢？ 7、教学例3 2的倍数有哪些？ 2的倍数有2、4、6、8……
因数与倍数 1．数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 2．一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少? 3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 4．今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆? 5．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?
6．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚? 7．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．那么甲数、乙数是多少? 8．A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少? 9．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? 10． a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b 的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?
11．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 12．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？ 13．有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 14．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？ 15．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？
13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 米，黄鼠狼每次跳 2 米， 它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔 12 米设有一个陷井,当它们 因数与倍数相关习题（1） 一、填空题 1．28 的所有因数之和是_____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法. 3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数 字的积是 2 4.这个两位数是_____. 4. 李老师带领一班学生去种树 ,学生恰好被平均分成四个小组 ,总共种树 667 棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人. 5. 两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5,则这两个数的差是_____. 6. 现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相 等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个. 7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片_____块. 8. 长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块 (不余料)_____块. 9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个,又以 2 元钱 5 个苹果的价 格将这些苹果卖出,如果他要赚得 10 元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个. 10. 含有 6 个因数的两位数有_____个. 11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互 质，请问有多少组这种解 12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少 1 3 2 4 3 8 之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米 14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最 小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a ,b ,c 共有多少组 (例如:a =12、b =300、c =300，与 a =300、b =12、c =300 是不同的两个自然数 组) ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1． 56 28 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为 1+2+4+7+14+28=56. 2. 4
一、因数寻找方法：列算式法。一般成对出现 其他数：偶数个 } 完全平方数：基数个 24=1×24 （8个）16=1×16 （5个） =2×12 =2×8 =3×8 =4×4 =4×6 1.质数：因数只有1和本身的数。（最小的质数是2） 2.合数：因数除了1和本身还有别的因数的数。（最小的因数是4） 二、倍数寻找方法：乘积法 、 例如：找出20以内6的倍数。
6×1=6 6×2=12 6×3=18 6×4=24 （因为24>20所以有6,12,18） 三、2,3,5的倍数的特点 （1.）个位是0.2.4.6.8的数都是2的倍数 （是2的倍数的叫偶数，不是2的倍数的叫奇数）（2.- 0或者5的数都是5的倍数 （3.）个位是 （4.）一个数的各位上的数是3的倍数，这个数就是3的倍数 四、最大公因数 （1）.概念：两个或多个共有的因数叫做它们的公因数，也可以说成"公约数"。公因数中最大一个的称为最大公因数，又称作最大公约数 （2）.寻找方法 1直接法例如找12和8的最大公因数 写出12的因数：1，2,3,4,6,12 写出8的因数：1,2,4,8 】 公因数有1,2,4 所以最大公因数是4
2短除法 ？ 五、最小公倍数 （1）.概念：如果一个数既是a又是b的倍数，那么我们就把这个数叫着a和b的公倍数，如果这个数在a b的所有公倍数里为最小，那这个数就是最小公倍数。 （2）寻找方法 1.直接法例如找出4和6的最小公倍数 所以最小公倍数是：12.
! 2.短除法 最小公倍数=69×2=46×3=138 ` 最小公倍数=12×2=24×1=24 2.倍数法（只适用于一个数是另一个数的倍数） 一个数是另一个数的倍数，他们的最小公倍数就是较大的 数。 例如：6和12的最公倍数就是12。 12和24的最小公倍数就是24. 3.、
龙文教育学科讲义 教师:学生:日期:2013-03-09星期:六时段:08:00—10:00
【知识点3】没有前提条件确定倍数与因数 例如：36的因数有（）。 确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36重复的和相同的只算一个因数。 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 例如：7的倍数（）。 确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35……还有很多。因此7的倍数有：7、14、21、28、35、42…… 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。 练习： （1）20的因数有： （2）45的因数有： （3）24的倍数有： （4）17的倍数有： （5）下面的数，因数个数最多的是（）。 A、18 B、 36 C、40 （6）判断并改正：14比12大，所以14的因数比12的因数多（） 1是1，2，3，4，5…的因数（） 一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。（） 一个数的最小倍数是它本身（） 12是4的倍数，8是4的倍数，12与8的和也是4的倍数。（） 凡是8的倍数也一定是2的倍数。（） （7）幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？（8）小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本同样的日记本，售货员阿姨说应付35元，小红认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【知识点4】有前提条件的情况下确定倍数与因数 例如：25以内5的倍数有（5、10、15、20、25 ）。特别注意前提条件是25以内！ 例如：5、1、20、35、40、10、140、2 以上各数中，是20的因数的数有（）；是20的倍数的数有（）；既是20的倍数又是20的因数的数有（）。 首先我们应该明确20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！ 练习： （1）100以内19的倍数有： （2）在4，6，8，10，12，16，18，20，22，24，28，32，36 中4的倍数： 36的因数： （3）一个数既是6的倍数，又是60的因数，这个数可能是 （4）用1、5、6、8、9组成的数中，是3的倍数的数有 是2的倍数的数有。 【知识点3】关于倍数因数的一些概念性问题 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。
第三单元倍数与因数 第一课时倍数与因数 ⒈理解倍数、因数的意义：例如：在算式 4×7=28中，28是4和7的倍数，4和7是28的因数。 ⒉倍数与因数的关系：倍数与因数是乘法算式中积与乘数的关系，是相互依存的。 没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 练习请写出算式34×4=136和25×8×7=1400中哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的因数？ ⒈找一个数的倍数的方法：用这个数（非 0自然数）和任意一个自然数（0除外）相乘，所得的积都是这个数的倍数。 倍数、因数的意义及倍数与因数的关系 ⑴只在自然数（0除外）范围内研究因数和倍数。 ⑵如果三个或三个以上的不同自然数相乘，那么每个乘数都是它们积的因数，它们的积是每个乘数的倍数。例如：3×5×8=120，3，5，8都是120的因数，60是3，5，8的倍数。 ⑶倍和倍数的区别：“倍”的概念比“倍数”要广，“倍”可以适用于小数、分数、整数；而倍数是相对因数而言的，只适用于自然数。 归纳总结 如果a ×b=c （a ，b ，c 是不为0的自然数），那么a 和b 就是c 的因数，c 就是a 和b 的倍数。 找一个数的倍数的方法 ⑴因数与倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是因数或是倍数。 ⑵不是所有能除尽的算式都存在倍数与因数的关系。例如：0.8÷0.4=2这个算式就 可以除尽，但0.8和0.4不是自然数，所以不存在倍数与因数的关系。
判断 5是因数，15是倍数。（） 选择下面各式中，被除数是除数的倍数的是（）。 A 22÷3=7.333… B 0.9÷0.3=3 C 38÷5=7.6 D 63÷7=9 第二课时探索活动：2，5的倍数的特征 第三课时探索活动：3的倍数的特征 5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数 25的倍数的特征：一个数的末尾两位数是25的倍数，这个数就是25的倍数。 例如：75是25的倍数，475也是25的倍数。 偶数的含义：像2，4，6，8，…这样的数，是2的倍数，叫偶数。 如果a 是自然数，那么偶数可以用2a 表示。 最小的偶数是0，没有最大的偶数。 奇数的含义：像1，3，5，7，…这样的数，不是2的倍数，叫奇数。 如果a 是自然数，那么奇数可以用2a+1来表示。 最小的奇数是1，没有最大的奇数。 ①0是2的倍数，0也是偶数，因此自然数中，最小的偶数是0，没有最大的偶数。 ②4的倍数的特征：一个数的末两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数。例如24是4的倍数，124也是4的倍数。 ③8的倍数的特征：一个数的末三位数是8的倍数，这个数就是8的倍数。例如104是8的倍数，1104也是8的倍数。 ④连续的两个自然数中，一个是奇数，一个是偶数。 2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
小学五年级下册数学因数与倍数 课题：因数和倍数 教学目标： 1、学生掌握找一个数的因数，倍数的方法； 2、学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的； 3、能熟练地找一个数的因数和倍数； 4、培养学生的观察能力。 教学重点：掌握找一个数的因数和倍数的方法。 教学难点：能熟练地找一个数的因数和倍数。 教学过程： 一、引入新课。 1、出示主题图，让学生各列一道乘法算式。 2、师：看你能不能读懂下面的算式？ 出示：因为2×6=12 所以2是12的因数，6也是12的因数； 12是2的倍数，12也是6的倍数。 3、师：你能不能用同样的方法说说另一道算式？ （指名生说一说） 师：你有没有明白因数和倍数的关系了？ 那你还能找出12的其他因数吗？ 4、你能不能写一个算式来考考同桌？学生写算式。
师：谁来出一个算式考考全班同学？ 5、师：今天我们就来学习因数和倍数。（出示课题：因数倍数） 齐读p12的注意。 二、新授： （一）找因数： 1、出示例1：18的因数有哪几个？ 从12的因数可以看得出，一个数的因数还不止一个，那我们一起找找看18的因数有哪些？ 学生尝试完成：汇报 （18的因数有：1，2，3，6，9，18） 师：说说看你是怎么找的？（生：用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝…；用乘法一对一对找，如1×18＝18，2×9＝18…） 师：18的因数中，最小的是几？最大的是几？我们在写的时候一般都是从小到大排列的。 2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有那些？ 汇报36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36 师：你是怎么找的？ 举错例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36） 师：这样写可以吗？为什么？（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6） 仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？ 看来，任何一个数的因数，最小的一定是（），而最大的一定是（）。 3、你还想找哪个数的因数？（18、5、42……）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。 4、其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：如
五年级奥数 第一讲：因数与倍数 知识点拨 1、因数和倍数： 如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。 2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如：15的因数有哪些？ 方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止） 所以15的因数就是1, 3, 5, 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。 3、一个数的倍数的求法： 一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。 例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数 如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。 4、2、 5、3的倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 ②个位上是0或5的数，是5的倍数。 ③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5、常见数字的整除判定方法： （1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数 注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质： ①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除 ②从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 ③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除 6、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质 性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数 性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4：奇数个奇数的和是奇数 性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
因数和倍数概念 像0、1、2、3、4、5……都是（自然数），为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数是指自然数，一般不包括（0）. 1、因数和倍数是（相互依存的），不能（独立存在）。 例如:12÷4=3 我们就说12是4的倍数，4是12的因数；不能说是：12是倍数，4是因数。 2、一个数的因数的个数是（有限的）， 最小的因数是（1）， 最大的因数是（它本身）。 例如：12的因数有（1、2、3、4、6、12）3、一个数的倍数的个数是（无限的）， 最小的倍数是（它本身），没有最大的倍数。例如：12的倍数有（12、24、36、48……）4、一个数的最大因数和最小倍数都是（它本身）。
例如：8的最大因数是（8），最小倍数是（8）。 5、最小的自然数是（0）； 最小的偶数是（0）； 最小的奇数是（1）； 5、整数中，（2的倍数的数）叫做偶数（0也是偶数）。如：0、2、4、 6、8…… 不是（2 的倍数的数）叫做奇数。如：1、3、5、7、9…… 6、个位上是（0、2、4、6、8）的数都能被2 整数； 个位上是（0）或（5）的数，都能被5整数；个位上是（0）的数都能被2、5同时整除； 一个数（各位上的数的和是3的倍数），这个数就是3的倍数。 6既是2的倍数又是5的倍数的数中， 最小的两位数是（10）， 最大的两位数是（90）。
7、一个自然数不是奇数就是偶数。 8、能被2、3和5同时整除的 最小两位数是（30）； 最大两位数是（90）； 最小三位数是（120）； 最大三位数是（990）。 7、一个数，只有(1)和(它本身)(两个因数)，这样的数叫做质数，也叫素数。 一个数，除了(1)和(它本身还有别的因数)，这样的因数叫做合数。 质数只有（2）个因数，合数最少有（3）个因数 8、最小的偶数是（0）； 最小的奇数是（1）； 最小的质数是（ 2）；
因数与倍数（一） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 一、填空 1、根据a×b=c,我们可知，当a、b、c都为整数的情况下，（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数，如果a、b、c中有不是整数的情况，那么，就不存在因数与倍数的关系。我们所研究的因数与倍数时指的这些自然数不包含0. 2、一个数的因数的个数是（）的，一个数的倍数的个数是（）的 3、一个数的最大因数是（），最小因数是（），一个数的最小倍数是（），一个数的最大倍数（） 4、36的因数有（），最大因数与最小因数的积是（），最大因数与最小因数的和是（）， 5、48的因数有（），它的倍数有（）（从小到大填写5个），48的最小因数与最小倍数的差是（），它最大因数与最小倍数的积是（） 6、100以内12 的所有倍数有（） 7、20的所有因数之和是（） 8、@ 9、既是48的因数又是4的倍数的数有（） 10、按从小到大的顺序写出下列各数的因数按从小到大顺序写出下列名数的5个倍数3615 45 25 60 30 10、15的倍数中最大的两位数是（） 11、1000的因数中，最大的两位数是（） 12、有一个数在10和24之间，它有因数3，又是5的倍数，这个数是（） 13、有一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是（） 14、爸的年纪是儿子的倍数，也是42的因数，儿子年纪既是2的倍数，又是7的倍数，儿子（）岁，爸爸（）岁。
15、因为3×6=18，所以3和6是因数，18是倍数，这句话是（）的（填“对”或“错”）! 因数和倍数（二） 一、按顺序写出30以内（包含30）的所有2的倍数，找出它的特征。 二、按顺序写出30以内（包含30）的所有5的倍数，找出它的特征。 三、按顺序写出100以内（包含30）的所有3的倍数，找出它的特征。 总结： ①个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 ②个位上的数是0，这个数一定既是2的倍数与是5的倍数 $ ③整数是，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，0也是偶数。 延伸：研究一下6和9的倍数的特征 四、填空 1、个位是（）的数都是2的倍数，我们也把它们叫做（），不是2的倍数的数叫做（） 2、个位上是（）的数都是5的倍数 3、5的倍数中最大的两位数是（），最小的两位数是（） 4、偶数中最大的两位数是（），最小的三位数是（） 5、自然数中最小的偶数是（），最小的奇数是（），最大的偶数是（）最小的奇数是（） 6、请写出50以内含50既是5的倍数，又是奇数的数（） 7、^ 8、有一个九位数，它的个位是（）时，一定是2的倍数，它的个位是（）时，一定是5的位数，它的个位是（）时，这个九位数一定是奇数。
因数和倍数奥数题荟萃 总体难度有点大，如果有兴趣可以试试！ 1、某校举行数学竞赛，共有20道题。评分标准规定，答对一题给 3 分，不答给1 分。答错一题倒扣 1 分，全校学生都参加了数学竞赛，请你判断，所有参赛学生得分的总和是奇数还是偶数？ 2、有四个连续奇数的和是2008，则其中最小的一个奇数是 ______ 。 3、张阿姨把相同数量的苹果和橘子分给若干名小朋友，每名小朋友分得 1 个苹果和 3 个橘子。最后橘子分完了，苹果还剩下12个。那么一共分给了 ______ _名小朋友。 4、小华同学为了在“希望杯”数学大赛中取得好成绩，自己做了四份训练题 （每份训练题满分为120分）。他第一份训练题得了90 分，第二份训练题得了100 分，那么第三份训练题至少要得________ 分才能使四份训练题的平均成绩达到105 分。 5、三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 6、自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？ 7、一个数用3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？ 8、一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。 9、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？ 10、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。
答案： 1、解：以一个学生得分情况为例。如果他有m 题答对，就得3m 分，有n 题答错，则扣n 分，那么，这个学生未答的题就有（20-m-n）道，即还应得（20-m- n）分。 所以，这个学生得分总数为： 3m-n+（20-m-n） =3m-n+20-m-n =2m-2n+20 =2（m-n+10） 不管（m-n+10）是奇数还是偶数，则2（m-n+10）必然是偶数，即一个学生得分为偶数。由此可见，不管有多少学生参赛，得分总和一定是偶数。 2、解：499。2008÷4—3=499 3、解：6。12÷（3 —1）=6（名）。 4、解：110。当第四份训练题得满分即120 分时，对第三份训练题的得分要求最低，所以第三份训 练题至少要得105×4一（90+100+120）=110（分）。 5、解：∵ 210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 6、解：123456789是合数。 因为它除了有约数 1 和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 7、分析由题意可知，要求的数是3、4、5 的公倍数，且是最小的公倍数。 解：∵[ 3，4，5] =3× 4× 5=60， ∴用3、4、5 除都能整除的最小的数是60。 8、分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
因数与倍数（一） 【课前小练习】(★) 1. 学习短除法和因数式 . 3. 公因数、公倍数的实际应用1. 2. 写出12的所有因数，并列举几个12的倍数. 写出18的所有因数，并列举几个18的倍数. 1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数. 2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数. 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B) 两个数A、B的最小公倍数记做[A、B] 4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数 板块一:短除法和分解质因数法 【例1】(★★☆) 求下列每组的最大公因数和最小公倍数. 板块二:借助最大公因数未知数 ⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、 B) 两个数A、B的最小公倍数记做[A、B] 4. 结论： A×B＝最大公因数×最小公倍数
【例】★★★ 求下列每组的最大公因数和最小公倍数. ⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★) 一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多 少？ 1
【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆) 两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？ 【拓展】(★★★★) 由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最 大 公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它 生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。你知道为什么是17年吗？ 板块三:公因数、公倍数的应用 【例6】(★★★) 1 1 1 学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中， 2 3 7 其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人. 知识大总结. 、 . 2. 枚举法，短除法，分解质因数法 A＝ax、B＝bx，其中a、b互质 4. 应用：
因数与倍数： 两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。 1、请写出72的所有因数，其中有多少个因数是3的倍数？ 2、（1）请写出60的所有因数；（2）请写出105的所有因数。 3、请写出108所有的因数；其中有多少个是4的倍数？ 4、（1）180的因数有多少个？（2）200的因数有多少个？ 5、（1）144的因数有多少个？（2）500的因数有多少个？ 6、490的因数有多少个？ 7、10000的因数有多少个？ 8、28、72的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？ 9、求36与56的最大公因数和最小公倍数。 10、计算（28，44，260），[28，44，260] 11、计算：（60，75）；[60，75]
12、求1547与507的最大公因数和最小公倍数。 13、求1085与93的最大公因数与最小公倍数。 14、计算（1064，952），[1064，952]（用辗转相除法解答） 15、用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。16、求3553，3910，1411的最大公因数。 17、儿童节到了，老师买了320个苹果，240个梨，200个香蕉，用来分给全班同学，请问这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？ 18、有三根铁丝，一根长54米，另一根长72米，最后一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？ 19、现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三中水果中每种水果的数量相等，那么最多分了多少个班？
20、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，儿哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在5月1日回家，下次再见面是哪一天？ 21、一个数与40的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？ 22、一个数与20的最大公因数是6，最小公倍数是60，那么这个数是多少？ 23、甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是多少？ 24、一个数与36的最大公因数是4，最小公倍数是288，求这个数。 25、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是420，如果这两个数的和是102，那么这两个数是多少？26、小悦和东东在黑板上各写了一个自然数，这两个自然数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的和是126，那么这两个数是多少？ 27、两个数的最大公因数是16，最小公倍数是160，这两个数相差48，这两个数是多少？ 28、已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 29、两个自然数不成倍数关系，它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，这两个数分别是多少？ 30、两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是15，最小公倍数是90，请问这两个数分别是多少？
因数与倍数 课前预习 因数与倍数 一天，因数和倍数走到了一起。倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？” “我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。 “我是老大呀。” “你是老大？为什么” “你说，一个数的倍数有多少个呀？” “这我知道，一个数的倍数有无数个。” 只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。你说，你不应该拜我吗？” “是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。 只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。刚才是我不对，我向你道歉了。” “没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。 因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。 知识框架
一、 约数的概念与最大公约数 0被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=?=； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ； 28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ； b a 即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772=???=； ②短除法求最小公倍数； 例如：21812 39632 ，所以[]18,12233236=???=； ③[,](,) a b a b a b ?= ． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
倍数与约数 教学目的 1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。2，掌握做题方法 教学内容 知识点 一、最大公约数与最小公倍数的常用性质 (1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 即若11(,),(,),a a a b b b a b =?=?则11(,)1a b = (2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即(,)[,]a b a b a b ?=? 注：(,)a b 表示两个数的最大公约数，[,]a b 表示两个数的最小公倍数 (3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：567210??=，210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：678336??=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷= 二、约数个数与所有约数的和 (1)求任一合数约数的个数： 一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为32 257??，所以它的约数有(31)(21)(11)43224+?+?+=??=个。(包括1和1400本身) (2)求任一合数的所有约数的和： 一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33210002357=???，所以21000所有约数的和为 三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数 (1)求几个分数的最小公倍数 求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公
环球雅思教育学科教师讲义 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 学员编号：年级：四年级课时数：2 学员姓名：牛政霖辅导科目：数学学科教师：张丹丹课题倍数与因数 授课日期及时段2014.04.05 15:00——17:00 教学目的1、使学生掌握找一个数的因数，倍数的方法； 2、使学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的； 3、能熟练地找一个数的因数和倍数； 重难点质数、合数、分解质因数、求最大公因数和最小公倍数，求三个数的最小公倍数的算理。【知识梳理】 一、因数与倍数的关系 【知识点1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。不能说是谁是因数，谁是倍数。 【知识点2】倍数因数只考虑正数。小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。 【知识点3】没有前提条件确定倍数与因数： 例如：36的因数有（）。 确定一个数的所有因数，我们应该从1的乘法口诀一次找出。如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36因此36的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36。重复的和相同的只算一个因数。 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 例如：7的倍数（）。 确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35……还有很多。 因此7的倍数有：7、14、21、28、35、42…… 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。 【知识点4】有前提条件的情况下确定倍数与因数 例如：25以内5的倍数有（5、10、15、20、25 ）。特别注意前提条件是25以内！ 例如：5、1、20、35、40、10、140、2 以上各数中，是20的因数的数有（）；是20的倍数的数有（）；既是20的倍数又是20的因数的数有（）。 首先我们应该明确20的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不能填入括号的！ 【知识点5】关于倍数因数的一些概念性问题 1、一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 2、一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。 3、1是任一自然数（0除外）的因数。也是任一自然数（0除外）的最小因数。 4、一个数的因数最少有1个，这个数是1。除1以外的任何整数至少有两个因数（0除外）。 5、一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。 6、一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数 二、2，3，5的倍数的特征 【知识点1】2、3、5的倍数特征