西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年秋季
课程名称【编号】：中学几何研究【0775】 A卷
考试类别:大作业满分：100分
一、填空题：（每小题5分，任意选做4题，共20分）
1．三角形的三高线共点于垂心。
2．三角形外一点在其内接圆上的充要条件是该点在三边上的射影共线。
3．平面内与两相交直线等远的点的轨迹是两定直线所成角的平分线。
4．平面内到两定点距离之比为1的点的轨迹是两定点线段的中垂线。5．正六边形的边长为a，则外接圆半径是 a 。
二、证明题：（每小题20分，共60分）
1．设ABC
?的三条高为AD、BE、CF，
过D作直线AB、BE、CF、CA的垂线，
垂足分别为P、Q、R、S，
则P、Q、R、S共线。
2．在内角均小于120的△ABC内有一点P，满足120
APB BPC CPA
∠=∠=∠=。
求证：P是到三顶点距离之和最小的点。
证明：做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F 三点，如图，再作任一异于P的点P' ，连结P'A,P'B,P'C ，过P' 作P'H 垂直EF于H
易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S 则有2S=d(PA+PB+PC) ∵P'A≥P'H
∴2S△EP'F≤P'A*d
同理有
2S△DP'F≤P'B*d
2S△EP'D≤P'C*d
相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)
即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P' 重合时取到等号
∴P是到三顶点距离之和最小的点
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中几何结论总结及常用方法 一．基本概念。 1． 直线的基本性质：（1）两条直线的位置关系（在同一平面内）：相交与平行；（2）两直线相 交，只有一个交点；（3）直线公理：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2．线段的有关内容：（1）线段中点：点M 在线段上，且把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，点M 就是线段AB 的中点。AM ＝BM ＝2 1AB. （2）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 3．角（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点是角的顶点。（2）角的表示：①三个大写字母及符号“∠”表示 ②.用一个数字或阿拉伯字母表示 角也看成是有由一条射线绕着它的端点旋转而成。 平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时所成的角。 周角：终边继续旋转，当它又和始边重合时所成的角. (3)角的分类：锐角、直角、钝角。 （4）角的单位换算：1周角＝2平角＝4直角＝360 1平角＝2直角＝180 1直角＝90 1＝60＝3600 1＝60 （5）余角、补角及其性质： 互余：如果两个角和是直角，这两个角叫做互为余角，简称互余。 互补：如果两个角的和是平角，这两个角叫做互为补角，简称互补。 性质： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 （6）对顶角：、两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边（或是一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线）的两个角叫做对顶角。 对顶角性质：对顶角相等。 4．平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线。 （1）性质1：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 （2）性质2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 （即平行于听一条直线的两条直线平行。） （3）平行线判别方法：①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
课程名称：初等几何解题研究 课程编码：0702032110 适用专业及层次：数学教育专科生 课程总学时：72 课程总学分： 一、课程的性质、目的与任务 1、本课程的性质：专业课。 2、课程目的与任务： 通过本课程的学习使学生初中数学几何教学所需的初等几何的基础理 论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构。并对初等几 何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得 到初步的培训，为教好中学数学打下较好的基础。 二、教学内容、教学要求及教学重难点 总论 教学内容：了解初等几何研究的对象和目的，了解中学几何的逻辑结 构。应根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别 组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提 高的原则。 教学要求：着重于基本知识基本理论的讲授和学生对几何问题的观察、分析、综合、推究能力的培养， 重点难点：了解中学几何的逻辑结构 第一章几何题的证明 教学内容： 第一节．几何证明的概述 1.几何证明的一般方法 了解直观与推理，了解关于命题的证明；了解直接证法与间接证法； 几种证题方法：综合法与分析法; 演绎法与归纳法. 2.几何证明的特殊方法 了解几何证明一些特殊方法：分解法、扩充法、特殊化法、类比法、 面积法、转换法、变换法、代数法、三角法、解析法等 第二节正度量关系 1.证两线段相等关系 掌握常用的证明线段相等的方法技巧
2.证两角的相等关系 证明两角相等的方法，了解证明两角相等的途径 3.证线段合角的和差倍分关系 和差倍分的证题方法及常用定理 4.证线段与角的不等关系 掌握证明不等量的常用定理 5.证成比例线段的关系 成比例线段证题方法及常用定理 6.证定值问题 了解两种处理定值问题的方法 第三节证位置关系 1.证两线段平行的关系 掌握证明平行线的方法及常用定理 2.证两直线的垂直关系 掌握垂直线的证法及常用技巧 3.证点的共线关系 共线点的证法，了解梅涅劳定理 4.证线的共点关系 共点线的证法，了解锡瓦定理 5.证点的共圆关系 掌握共圆点的证题方法 6.证圆的共点关系 掌握共点圆的证题方法 教学要求：讲授证题法与证题术，对初等几何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步的培训。 重点、难点：证题法与证题术 其它教学环节：习题课 第二章几何量的计算 教学内容： 第一节线段的度量 了解线段度量的概念 1.线段的长度 了解线段度量的性质 2.度量线段的基本理论 了解度量线段的基本理论 3.线段的公度与不可公度 4.三角形中重要线段的计算 掌握已知三边求中线、高和面积的方法及三角形中一些线段的计算；斯特瓦尔特定理及其应用 第二节角与弧的度量 1.角与弧的度量 了解角与弧的度量的性质 2.圆周长、圆周率
D C B A B A C B A βββα αα第3题图2016华师大版七年级数学《几何图形初步》期末试题 班级： 姓名： 一、选择题：将下列各题正确答案的代号填在下表中。每小题2分，共24分。 1.如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ） A.和 B.谐 C.社 D.会 2.下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成 的几何体，从上面看该几何体得到的图是（ ） A B C D 3.如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ） A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 4.如图，对于直线AB ，线段CD ，射线EF ，其中能相交的是（ ） 5.下列说法中正确的是（ ） A.画一条3厘米长的射线 B.画一条3厘米长的直线 C.画一条5厘米长的线段 D.在线段、射线、直线中直线最长 6.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ） 7.点E 在线段CD 上，下面四个等式①CE ＝DE ；②DE ＝ 21CD ；③CD ＝2CE ； ④CD ＝2 1DE.其中能表示E 是线段CD 中点的有（ ）
1 乙甲N M P D C B A B ()D C A D C B A 第9题图B A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. C 是线段AB 上一点，D 是BC 的中点，若AB ＝12cm ，AC ＝2cm ，则BD 的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9.如图是一正方体的平面展开图，若AB ＝4，则该正方体A 、B 两点间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.用度、分、秒表示91.34°为（ ） A. 91°20/24// B. 91°34/ C. 91°20/4// D. 91°3/4// 11.下列说法中正确的是（ ） A.若∠AOB ＝2∠AOC ，则OC 平分∠AOB B.延长∠AOB 的平分线OC C.若射线OC 、OD 三等份∠AOB ，则∠AOC ＝∠DOC D.若OC 平分∠AOB ，则∠AOC ＝∠BO C 12.甲、乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角（如图），两人做法如下： 甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则∠1＝45°； 乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，则∠MAN ＝45°对于两人的做法，下列判断正确的是（ ） A.甲乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲乙都错 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。 13.下列各图形中， 不是正方体的展开图（填序号）. ① ② ③ ④ 14.已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM ＝6cm ，则AB ＝ cm. 15.已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC ＝2AB ，D 为AB 的中点，若BD ＝3cm ，则AC 的长为 cm. 16.若时针由2点30分走到2点55分，则时针转过 度，分针转过 度. 17.一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是 . 18.如图，已知点O 是直线AD 上的点，∠AOB 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依 次相差25°，则这三个角的度数分别为.
平面几何问题的复数解法.许兴华 复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证. 用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理. 1.用于证三角形为正三角形 典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必 为正三角形. 证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O 建立起复平面上的直角坐标系.设321,,Z Z Z 表示三角形的三个顶点,其对应的复 数是.,,321z z z 因O 为外心,故,||||||321r z z z ===又O 为重心，故,033 21=++z z z 即,0321=++z z z 于是由,321z z z -=+得2 2123||||z z z +=)()(2121z z z z ++= ,||||21212221z z z z z z +++=即,22121r z z z z -=+ 22123|||| z z z -=∴)()(2121z z z z --=),(||||21212221z z z z z z +-+=.3|z -z | 21r =∴ 同理可得：.3|z -z | |z -z | 1323r ==∴ 故321,,z z z 在复平面上是正三角形.
2.用于证明几何中的角度相等 典型2.已知正方形OBCD 中（如图），E 是CD 的中点，F 是CE 的中点，求证：FOB DOC ∠=∠2 1. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 ,1||=OD 则,1=OD ,,4 31,211i OB i OF i OE =+=+= DOE ∠=α是 OD 与OE 的夹角，有 ),43arg(i)21arg(12 ),211arg(2i i +=+=+=αα又 )],43(2516arg[431arg i i i FOB +=+=∠=β ,2βα=∴即FOB DOC ∠=∠21. 3.用于证明几何中的不等式 典型3.在凸四边形ABCD 中，求证：BD AC BC AD CD AB ?≥?+?. 证明思路分析 建立如图所示的复平面上的 直角坐标系，设C,D,A 对应的复数分别是 .,,321z z z 则|, ||||,||||,||||,|||213312z z CD z AB z z CA z DB -==-==|,|||32z z AD -= ||||||||||||||||132213z z z z z z BC AD CD AB ?-+-?=?+? ||||31213231z z z z z z z z -+-=.|||||)(|312BD AC z z z ?=-=
试卷代号：1098 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试 中学数学教学研究试题 一、填空题（本题共20分，每个空2分） 1．确定中学数学教学目的的依据是------------、---------------、--------------、----------------------- 2．说课的内容包括---------、--------、---------、---------。 3．评价教育实验样本的要点为-----------、---------------、---------------- 二、简述题（本题共60分，每小题12分） 1．简述数学形象思维的功能。 2．简述奥苏伯尔有意义学习的基本观点。 3．如何理解数学的严谨性？在数学教学中如何贯彻严谨性和量力性相结合的教学原则？4．什么是归纳推理，说明它在数学学习中的作用。 5．简述计算机对数学教育产生的影响。 三、综合题（本题20分） 什么是数学能力？数学能力由哪些主要成分组成？结合自己的教学经验，阐述如何在数学教学中培养学生的数学能力。 试卷代号：1098 中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试 中学数学教学研究试题答案及评分标准 （供参考） 一、填空题（本题共20分，每个空2分） 1．党的教育总目标及普通中学的性质和任务数学的特点中学生的年龄特征和认识水平 2．说内容说教法说学法说教学程序 3．随机性代表性样本的容量 二、简述题（本题共60分，每小题12分） 1．答：数学形象思维有如下的功能： 第一，数学形象思维以形象的形式反映数学规律，从而提供数学问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握整体。（4分） 第二，数学创造性往往从对形象的思维受到启发，以形象思维为先导。从古到今，形象思维给数学猜想、数学方法的提出以及数学创造都带来了活力。（4分） 第三，数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。抽象思维是一种概念的运动，在认识真理方面具有无可怀疑的可感力与优越性。但由于在运动和发展中完全脱离具体的可感的材料，如果再加以绝对化，那也会陷入形而上学的泥潭。（4分） 2．答：奥苏伯尔把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习和有意义学习；根据学习的方式，把学习分成接受学习和发现学习。（3分）奥苏伯尔认为：在学校条件下，学生的学习应当是有意义的，而不是机械的。从这一观点出发，他认为好的讲授教学是促进有意义学习的唯一有效方法。探究学习，发现学习等在学校里不应经常使用。即奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。（3分） 奥苏伯尔认为要产生有意义的接受学习，学习者必须具备两个条件： 第一，学习者必须具有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来。如果学生企图理解学习材料，有把新学习的和以前学过的东西联系起来的愿望，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么
? ? ? ? ? ?第四章《几何图形初步》 基本概念 （一）几何图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等。 主（正）视图---------从正面看 2、几何体的三视图侧（左、右）视图-----从左（右）边看 俯视图---------------从上面看 （1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。 （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。 （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 （二）直线、射线、线段 1、基本概念
2、直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简单地：两点确定一条直线。 3、画一条线段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法 4、线段的大小比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。图形： A M B 符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=1 2 AB，AB=2AM=2BM。 6、线段的性质 两点的所有连线中，线段最短。简单地：两点之间，线段最短。 7、两点的距离 连接两点的线段长度叫做两点的距离。 8、点与直线的位置关系 （1）点在直线上（2）点在直线外。 （三）角 1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
初中几何是在小学数学中几何初步知识的基础上，使学生进一步学习基本的平面几何图形知识，向他们直观地介绍一些空间几何图形知识。初中几何将逻辑性与直观性相结合，通过各种图形的概念、性质、作（画）图及运算等方面的教学，发展学生的思维能力、空间观念和运算能力，并使他们初步获得研究几何图形的基本方法。 初中几何的教学要求是： 1．使学生理解有关相交线、平行线、三角形、四边形、圆，以及全等三角形、相似三角形的概念和性质，掌握用这些概念和性质对简单图形进行论证和计算的方法。了解关于轴对称、中心对称的概念和性质。理解锐角三角函数的意义，会用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形。 2．使学生会用直尺、圆规、刻度尺、三角尺、量角器等工具作和画几何图形。 3．使学生通过具体模型，了解空间的直线、平面的平行与垂直关系，并会用展开图和面积公式计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积。 4．逐步培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力，逐步使学生掌握简单的推理方法，从而提高学生的思维能力。 5．通过辨认图形、画图和论证的教学，进一步培养学生的空间观念。 6．通过揭示几何知识来源于实践又应用于实践的关系，以及几何概念、性质之间的联系和图形的运动、变化，对学生进行辩证唯物主义的教育。利用有关的几何史料和社会主义建设成就，对学生进行思想教育。通过论证与画图的教学，逐步培养学生严谨的科学态度，并使他们获得美的感受。 教学内容及其具体要求如下： （一）线段、角 1．几何图形 几何体、几何图形、点、直线、平面。 具体要求： （1）通过具体模型（如长方体）了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等。（2）了解几何图形的有关概念。了解几何的研究对象。 （3）通过几何史料的介绍，对学生进行几何知识来源于实践的教育和爱国主义教育，使学生了解学习几何的必要性，从而激发他们学习几何的热情。 2．线段 两点确定一条直线、相交线、线段、射线、线段大小的比较、线段的和与差、线段的中点。具体要求： （1）掌握两点确定一条直线的性质。了解两条相交直线确定一个交点。 （2）了解直线、线段和射线等概念的区别。 （3）理解线段的和与差及线段的中点等概念，会比较线段的大小。 （4）理解两点间的距离的概念，会度量两点间的距离。 3．角 角、角的度量。 具体要求： (1)理解角的概念。会比较角的大小，会用量角器画一个角等于已知角。 (2)掌握度、分、秒的换算。会计算角度的和、差、倍、分。 (3)掌握角的平分线的概念。会画角的平分线。 (4)掌握几何图形的符号表示法。会根据几何语句画出相应的图形，会用几何语句描述简单的几何图形。
2016-2017 学年度七年级上期末复习分类几何图形初步 知识点 1：立体图形与平面图形 知识回顾： （1）物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容。 （ 2）长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、四边形等，它们都 是几何图形。几何图形是数学研究的主要对象之一。 （3）有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面 内，它们是立体图形。 （4）有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内， 它们是平面图形。 （5）对于一些立体图形的问题， 常把它们转化为平面图形来研究和处理。 从不同方向 （从 正面看、从左面看、从上面看）看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形。 （6）有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面 图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 巩固练习： 1．（2015-2016 吕梁市孝义市七上期末） 如图是以长为 120cm ，宽为 80cm 的长方形硬纸， 在它的四个角处各剪去一个边长为 20cm 的正方形后， 将其折叠成如图所示的无盖的长方 体，则这个长方体的体积为 ． 2．（ 2015-2016 重庆市南岸区七上期末）一个正方体的六个面上分别涂有红、 白、黄、 绿、蓝、紫六种不同的颜色，其中红、白、黄、绿、蓝、紫，分别代表的是数字 -3 、-4 、-5 、-6 中的一个数，如图是这个正方体的三种放置方法，若三个正方体下底面 3．（ 2015-2016 清远市连州市七上期末）下列说法错误的是 （ ） A ．长方体、正方体都是棱柱； B ．六棱柱有六条棱、六个侧面； C ．三棱柱的侧面是三角形； D ．球体的三种视图均为同样的图形。 4．（2015-2016 广东省深圳市七上期末）在正方体、长方体、球、圆柱、圆锥、三棱柱 这些几何体中，不属于柱体的有 ，属于四棱柱的有 -1、-2、 所标颜色代表的数字分别是 a ， b ，
贵州师范大学2007—2008学年度第一学期 《中学数学研究》课程期终考试试卷 (A 卷;闭卷) （代数部分）参考答案及评分标准 一、(12分) ⑴（8分）请给出两种不同的方法证明2不是有理数？ ⑵（4分）数学发展历史上是如何发现无理数的？这一发现在数系扩展中有何价值？ 解： ⑴证法1（奇偶数判别，导致矛盾） 设2是一个有理数x ，即22 =x ，且x 可表示为既约分数 1),(,=n m n m ，于是 22 2=n m ，即 22 2n m =，因此2 m 是偶数，由于奇数的平方不能等于偶数，故m 是偶数。所以设k m 2=，则 2 2 2 2 4)2(2k k m n ===，故2 22k n =，从而n 也是偶数，这与()1,=n m 矛盾，这说明2不是 有理数。 证法2 若22=x ，且x 表示为既约分数 b a 。将 b a ,分解为素因数之积，由于222b a =，则2a 的素因 子必定成对出现，而22b 的素因子中2出现奇数次，矛盾。 证法3 若22 =x ，且x 表示为既约分数b a 。因为222 b a =，故b 可整除2 a ，但()1,= b a ，故1=b ， 所以22 =a ，由此得221<<，由于1和4之间没有完全平方项，矛盾。 上述证法，每做对一种，给4分。但总分不超过8分 ⑵略 4分 二、（13分） ⑴（6分）为什么说初等数学中三角函数的定义是用几何方法建立起来的？请按中学数学教材体系给出正弦、余弦在初中和高中的定义。 ⑵（5分）数学分析教程中，可将三角函数展开成幂级数，请给出解析正弦和解析余弦的定义。为什么通过证明又说三角式的概念并不依赖于几何解释？ ⑶（2分）上述问题的探析对你有何启示？ 解：
人教版七年级上册数学：第章《几何图形初步》专项练习(含答案)
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七年级期末总复习图形的初步专项 1．如图，该几何体的展开图是( ) A. B. C. D. 2．左图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（） A. （A） B. （B） C. （C） D. （S） 3．下面的四个图形中，每个图形均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（） A. B. C. D. 4．如图所示的几何体是由以下四个图形中的哪一个图形绕着虚线旋转一周得到的（） A. B. C. D. 5．用一副三角尺画角，不能画出的角的度数是（） A. 15o B. 75o C. 145o D. 165o 6．n棱柱的棱数与面数之和等于( ) . A. 3n B. 4n+2 C. 3n+2 D. 2n+2
7．将正方体展开后，不能得到的展开图是（ ）. A. （A ） B. （B ） C. （C ） D. （D ） 8．如图，是由几个相同的大小的正方体搭成的几何体从不同方向看到的形状图，该几何体最多是用（ ）个小正方体搭成的. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9．一个正方体的平面展开图如图所示，则正方形3的对面是正方形_________． 10．一个棱柱有21条棱，则它有_______个面． 11．如图，该图中不同的线段共有_______条. 12．如图，AB∥CD，∠1=64°，FG 平分∠EFD，则∠2=___________度． 13．如图， B 、C 、D 依次是AE 上的三点，已知8.9cm AE =， 3cm BD =，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度的和为_______ cm ． 14．如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，若∠AOC ＝∠AOB ，则OC 的方向是______________．
（0775）《中学几何研究》作业3答案 一、填空题： 1．希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其基本元素是点、线、 面。 2．用公理化方法写成的第一部几何巨著是《几何原本》。 3．欧氏几何与罗氏几何的本质区别是平行公理不同。 4．直线AB 与PQ 交于M ，则:PAB QAB S S ??=:PM QM 。 5．复数32z i =-，则||z = 6．图形F 绕O 逆时针旋转90 得图形F '，该变换可记为(0,90) R F F '????→ 。 7．凸四边形ABCD 内接于圆的充要条件是AB CD BC AD AC BD ?+?=?。 8．与两定点A 、B 距离相等的点的轨迹是线段AB 的中垂线。 9．在中学平面几何中，常用的作图方法是交轨法和三角形奠基法。 二、解答下列各小题： （1）设O 为锐角三角形ABC 的外心，若,,AO BO CO 分别交对边于,,L M N 三点， 设O 的半径为R ，求证：1112AL BM CN R ++=。 证明：1BCO ABC S OL AL R R S AL AL AL -===- 同理可得 1ACO ABC S R S BM =- ， 1ABO ABC S R S CN =- 如上三式相加得 11113( )R AL BM CN =-++ 所以 1112AL BM CN R ++= （2）作图题（只写作法）：已知O 及外一点P ，过P 作O 的切线。 作法：连接OP ，以OP 为直径作圆交O 于点A 、B ，则直线AP 、BP 为过点P 的两切线。
第三题图 三、简述尺规作图的作图公理。 以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公理，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法： ·通过两个已知点可作一直线。 ·已知圆心和半径可作一个圆。 尺规作图 ·若两已知直线相交，可求其交点。 ·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 ·若两已知圆相交，可求其交点。
高观点下的中学几何研究 姓名：赵志书学号：222009314011286 开设中学几何研究这门课程，一方面是使将要走上中学数学教学岗位的毕业生具有一定的几何基础（承担中学数学教学、研究任务及继续学习现代数学知识，并提高自身数学修养），另一方面是使毕业生能利用在高师院校学到的高等几何知识，指导其中学几何的教学和研究工作，也即使他能“居高等几何之高”去临“中学几何之下”。 大多大学毕业生，他们的体会是：在自己的教学过程中，大学所学习的高等数学知识几乎没有发挥作用；还有的甚至说：在中学任教多年，将在大学学过的高等数学知识几乎都“还给”了大学老师；只有少数人体会到，在中学教学中，虽然高等数学知识直接涉及到的并不多，但其原理、思想、观点和方法却时常发挥着作用，那些从事中学数学教学研究和初等数学研究的（这只是极少的一部分人）中学教师认为，在他们的教学和科研方面，高等数学所发挥的作用是十分明显的。 数学教育的核心，时呈现数学的教育形态，高效率的让学生理解数学的本质，开展中学几何研究，必须用高观点来考查中学几何内容，并适当的加以补充。 用高等几何的理论和方法，去解决中学几何问题，为中学几何提供新的解题思路，从以下几个方面可以体现高观点下的中学几何研究，究竟意义何在? 仿射变换提供的解题途径：①利用平行射影证明几何题，平行射影是最简单的仿射变换，利用条直线之间的平行射影，将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段，可以使一些命题得证明得到简化。②利用图形的特殊仿射现象证明几何题：特殊图形，包括有正三角形，圆，菱形，等腰梯形，经过仿射变换得到任意三角形，椭圆，平行四边形，梯形。反之，存在仿射变换将这些一般图形对应的变成特殊图形，因此证明一般图形时可以利用仿射变换将特殊图形的性质应用到证明或计算一般图形的某些问题。 射影变换提供的解题途径：①利用透视变换保持交比进行计算和证明，交比时射影几何的基本不变量，利用透视变换保持交比不变，常常可以证明初等几何中涉及线段比例的题；②利用调和比证明线段的相等和角的相等，常用两个命题，一个是若A,B,C的第四调和点是无穷远点，则线段AB被C点平分，另一个是
D C B A F E F E D C B A B A F E D C B A 第1题图 会社谐和设建 D C B A β β β βα α α α 第3题图 202X 华师大版七年级数学《几何图形初步》期末试题 班级： 姓名： 一、选择题：将下列各题正确答案的代号填在下表中。每小题2分，共24分。 1.如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ） A.和 B.谐 C.社 D.会 2.下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成 的几何体，从上面看该几何体得到的图是（ ） A B C D 3.如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（ ） A. 正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C. 正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D. 正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 4.如图，对于直线AB ，线段CD ，射线EF ，其中能相交的是（ ） 5.下列说法中正确的是（ ） A.画一条3厘米长的射线 B.画一条3厘米长的直线 C.画一条5厘米长的线段 D.在线段、射线、直线中直线最长 6.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ） 7.点E 在线段CD 上，下面四个等式①CE ＝DE ；②DE ＝2 1 CD ；③CD ＝2CE ； ④CD ＝ 2 1 DE.其中能表示E 是线段CD 中点的有（ ）
1乙甲 N M P D C B A B ()D C A D C B A 第9题图B A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. C 是线段A B 上一点，D 是B C 的中点，若AB ＝12cm ，AC ＝2cm ，则B D 的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 9.如图是一正方体的平面展开图，若AB ＝4，则该正方体A 、B 两点间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.用度、分、秒表示91.34°为（ ） A. 91°20/24// B. 91°34/ C. 91°20/4// D. 91°3/4// 11.下列说法中正确的是（ ） A.若∠AOB ＝2∠AOC ，则OC 平分∠AOB B.延长∠AOB 的平分线OC C.若射线OC 、OD 三等份∠AOB ，则∠AOC ＝∠DOC D.若OC 平分∠AOB ，则∠AOC ＝∠BO C 12.甲、乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角（如图），两人做法如下： 甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则∠1＝45°； 乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，则∠MAN ＝45°对于两人的做法，下列判断正确的是（ ） A.甲乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲乙都错 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。 13.下列各图形中， 不是正方体的展开图（填序号）. ① ② ③ ④ 14.已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM ＝6cm ，则AB ＝ cm. 15.已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC ＝2AB ，D 为AB 的中点，若BD ＝3cm ，则AC 的长为 cm. 16.若时针由2点30分走到2点55分，则时针转过 度，分针转过 度. 17.一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数是 . 18.如图，已知点O 是直线AD 上的点，∠AOB 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依 次相差25°，则这三个角的度数分别为.
平面几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一门学科。而任课教师在教学的过程中倘若稍有不注意，就会导致学生的成绩两极分化，以致使学生丧失学习数学的兴趣和信心。相反，如果教师处理得当，不仅会引起学生学习数学的浓厚兴趣，还可以培养学生解决和分析问题的能力. 为培养学生学习几何的兴趣，教师首先要完成几何的“入门”教学。因为现行的九年义务教育教材，在初一就开设平面几何课，这一改革无疑是初中数学教学的难点。而由于学习几何需要一定的观察能力、分析能力，特别是逻辑思维能力更为重要。而由于初一学生年龄小的特点，学习几何有较大的困难。因此要培养学生浓厚的学习兴趣，打好扎实的基础，上好平面几何的起始课对初一学生来说很关键。 初一新教材首页及每章前都安排了一段配有插图的引言，这就是根据初一学生富有好奇心和强烈的求知欲的特点而精心设计的，其间含有丰富的思想教育内容。因此教师在备课、讲课等环节中应予以重视。教师在上引言课时，可先给学生介绍几何的产生、发展以及我国数学家在几何学上作出的贡献，并着重突出几何在国际、科研、工农业生产方面的重要意义。其次在教学中，可适当地结合实际生活和实物，让学生观察，并要求学生亲自动手量、画、拼、拆，最后进行比较，以达到变抽象为直观的目的。 新教材还穿插了一些“想一想”、“读一读”、“做一做”等栏目，虽然大纲明确指出不作为教学要求，但可培养学生动手、动脑的习惯，有利于扩大学生的知识面，有利于学生素质的提高，故也是培养学生数学兴趣不可忽视的内容；教师应充分利用课余时间，指导学生完成。教师也只有在学生多动手勤动脑的基础上加以正确引导，才能为真正完成几何“入门”教学，为今后的几何学习奠定坚实的基础。
习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。 已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E 是 DC 中点 求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。 证明（同一法）： 设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。 ∵A D ∥BC ∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B =90° 作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′,则 FE ′=2 1AB=AF=BF ∴∠2=∠A E ′F , ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥A D ∥BC 连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥A D ∥BC ∴E ′F 与 E F 共线 ∵FE ′=2 1AB=2 1(AD+BC), FE =2 1(AD+BC) ∴E ′F = E F ∴E ′与 E 重合。 证 毕 。 习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。 解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。 ∴BF 2 1 AC ∴∠FBC=∠ACB 又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=2 1 AB=BE ∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=2 1 ×10=5cm 即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。 习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。 已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。 求证：D E －DF 为常量。
中学数学研究投稿须知 周中祥 (山东省临清市第一中学252600) 投稿行文格式为：文章标题->作者单位邮政编码 ->正文 ->参考文献 ->作者简介 ->联系方式。 投稿具体要求： (1) 标题：一般不超过 20 个汉字（副标题除外），要求贴切醒目不哗众取宠。 (2) 作者信息：按作者工作单位全称 ->单位所在街区邮政编码 ->作者姓名格式。 (3) 正文：要求结构严谨，表述简明，语义确切，论点鲜明，论据充分，引用规范，数据准确。 (4) 内文标题：文内标题要求简洁明确，标题层次不宜过多过细。层次顺序依次为：一 ->（一） ->1 ->（ 1 ） ->①。 (5) 参考文献：按在正文中出现的先后次序标注于文后；标注以“参考文献：”（左顶格）为标识；参考文献的序号左顶格，并用数字加方括号表示，如 [1] ﹑ [2] … . 每一个参考文献条目的最后均以“ . ”结束。参考文献的不同类型用不同的大写字母标注。如专著：[M] ；期刊文章： [J] ；报纸文章： [N] ；论文集： [C] ；学位论文： [D] ；报告：[R] ；标准： [S] ；专刊 [P]. (6) 参考文献格式：期刊文章：作者，文章题目 [J] , 期刊名称，年份，（期号）。 例：张奠宙，建设中国特色的数学教育理论 [J], 数学通报， 2010 ，（ 1 ）。 书，专著：作者，专著名称 [M], 出版地：出版社名称，出版年份。 例：梅向明，高等几何 [M], 北京：高等教育出版社， 2000. (7) 字体：标题用黑体小二号，姓名工作单位用仿宋体小五号，正文用宋体五号，其他用楷体五号。 (8) 附图，表格：附图，表格制作要求规范准确（附图要求用几何画板画） , 并加上序号，插入文章正文相应地方。 (9) 作者简介：文章最后请附上不多于 100 字的作者简介，并附上作者详细联系方式（含详细地址，邮政编码，移动电话号码，电子邮箱）以方便联系。 (10) 编辑格式：文章要求以 word 文档打印，正文中涉及的数学符号式子一律用公式器（ mathtype 软件）打印。全文要求用 A4 纸编辑。文章以附件形式发回本刊编辑部。
文献综述报告 新课标下的中学数学教学研究及其实践理论 我仔细的阅读了五篇与中学数学新课标及实践理论的文献。然后，通过对这五篇现有研究资料的综合分析，并结合我国的国情，从理论上分析形成我国初中数学基本技能训练的观念和种种现象的深层原因。研究显示，我国初中学生的数学基本技能训练深受我国悠久文化传统、已有的教学理论、现代社会变迁等诸多因素的影响。总体而言，我国初中学生的数学基本技能训不能适应新时代的要求，尤其不能适应知识经济时代对于教育的要求。从数据上得出我国初中学生的数学基本技能训练实际情况与新课程标准要求的差距，指出我国初中学生的数学基本技能训练并未很好地促进学生数学能力的提高和良好数学态度的形成。针对我国数学基本技能的现实情况，通过案例分析，探讨我国初中学生的数学基本技能训练教学的改进，具体讨论新课程标准下数学基本技能训练过程中教师主导作用的发挥，提出一些切合我国数学教学实际的建议： 数学课程改革倡导的新观念深刻地影响、引导着数学教学实践的改变:教师由重知识传授向重学生思维能力培养转变;由重教师“教”向重学生“学”转变;由重结果向重过程转变.如何在数学中培养学生的思维能力，养成良好的思维品质是教学改革的一个重要课题.锻炼学生的创造思维，培养他们的学习能力是新课程标准实践教学的重要内容。 首先，转变传统教育教学理念，确立研究性学习在初中数学中的地位。在日常的教学过程中，往往体现教师满堂课的问、讲、分析，教师期望通过个体多讲、多问、多分析，让学生迅速形成解题的经验，这样的话，教师只能通过灌输，把学生带人枯燥乏味的题海战术中去。这种教学方法过于强调被动接受、死记硬背、机械训练的过程，忽视学生的学习兴趣的培养，扼杀了学生主动学习的能力。 其次，新课程改革倡导的理念体现了通过学生的亲身的实践，新课标高中数学课程力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。比如，在讲解圆与圆之间的位置关系时，我讲解的方式就是将早些准备好的道具(两个圆)，让学生自己‘看操作”总结位置关系的分类。这样很清楚明白的就是知道，圆与圆有五种关系，可以从几何和代数的角度(即半径与圆心距之间、解的个数)。 最后，实践也是很重要的，通过学生自己动脑动手操作过的经验更为丰富。而在《全口制义务教育数学课程标准(实验稿)》中指出:““实践与综合应用”内容领域将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决
没有极限概念，如何理解导数的几何意义 安徽省阜阳市第三中学董海涛 236006导数是微积分的核心内容之一，由于它是研究现代科学技术必不可少的工具，也是研究函数性质的有效方法，同时它也是高等数学的内容，所以在历次教材改革中，变动既频繁又较大，既体现了编者对它割舍不下的情怀又充满了不知如何安排的迷茫。本文就北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》（以下简称“新课程教材”）中对这部分内容的安排，提出教学中的困惑，并结合实践，提出对策，供大家参考。 1新课程教材安排 与原人教版《全日制普通高级中学教科书数学选修II》（以下简称旧课程教材）相比，新课程教材在教学内容、教学要求上都有很大变化，其中与本文讨论有关的是导数概念的引入，不讲极限概念，而是注重通过实际背景创设丰富的情境，不惜篇幅引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从本质上认识和理解导数概念，在给出导数定义后，又给出了三个具体例子，加深对导数的实际意义的认识，这些都是旧课程教材所没有呈现的。 教材的具体安排是：§1 《变化的快慢与变化率》，用了两个实例分析和两个例题，帮助学生实现“平均变化率”到“瞬时变化率”的质的飞跃，为导数概念的引入做好了扎实的铺垫。
§2《导数的概念及其几何意义》，由于有了上一节大量生动的背景实例，至此，抽象出导数定义已是水到渠成。实际教学中，学生对“……在数学中，称瞬时变化率即为函数y=f(x)在x 0点的 导数”是欣然接受的，相对于旧课程教材，导数定义的给出无疑是成功的，但我们的困惑是： 2没有极限的概念，如何理解导数的几何意义 新课程教材在§2中，专门安排了§2.2《导数的几何意义》，教材在描述性地给出了“曲线的切线”定义后，紧接着就是“该切线的斜率就是函数y=f(x)在x 0处的导数0'()f x ”。学生的困惑是：0'()f x 不是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率吗？它反映的 不是割线AB 在点x 0处的变化快慢吗？它怎么又是y=f(x)在点x 0处的切线斜率了呢？我们困惑的是：（1）本想弱化形式化的定义，降低学生理解导数的难度，但教材在导数定义后，又“通常用符号0'()f x 表示，记作10000010()()()()'()lim lim x x f x f x f x x f x f x x x x →∞→-+-==-”，这里还是出现了形式化的定义了。（2）极限定义能回避得了吗？导数定义中无法回避，这是不争的事实，新课程教材在§3《计算导数》中，不仅出现了极限的符号，而且出现了极限的运算，与其在这里让老师费尽口舌给一头雾水的学生解释半天（事实上学生仍无法理解），既偏离了主题又没有效果，不如干脆增加一