有理数的概念
知识点一、有理数的概念及分类
1、正数与负数：
正数：像1，1.1，517，2009 等大于0 的数，叫做正数；
负数：像-1，-1.1，-517，-2009 等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。 正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。
“0”既不是正数，也不是负数。
在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量：
向东走100 米记作－100 米，则向西走五十米记作+50 米。
盈利100 元记作+100 元，则亏损100 元记作什么？
水位升高1.2 米，下降0.7 米，如何用有理数表示？
2、有理数：整数与分数统称为有理数
注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数；
（2）无限不循环小数不是有理数，如π ；
（3）正数和零统称为非负数；
注意：0 既不是正数，也不是负
数，是唯一的中性数
（4）0 是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。
3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。
例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。
4、有理数“0”的作用：
随堂练习
1、气温下降2度记?2°C，那么上升3度表示为°C .
2、用+20米表示前进20米，那么?15米表示.
3、如果向北走10 m记作+10 m，那么?6 m表示（）.
A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m
4、有理数包括（）.
A 、整数、分数和零
B 、正有理数、负有理数和零
C 、正数和负数D、正数和分数
5、下列说法中，正确的是（）.
A 、在有理数中，零的意义表示没有
B 、一个数不是正数就是负数
C 、正有理数和负有理数组成全体有理数
D、零是整数
6、0 属于（）.
A 、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是
7、既是分数，又是正数的是（）.
A、+3
B、?513 C 、0 D、2.2
8、下列说法中错误的是（）.
A、?2是负有理数
B、零不是整数
C 、34是正分数D、?0.26是负分数
9、已知下列各数：?8，2.1，19，3，0，?2.5，10，?1，其中非负数的个数有（）.
A 、2 个B、3 个C、4 个D、5 个
10、把下列各数填入相应的括号里.
正整数集合{ … }
分数集合{ … }
整数集合{ … }
负数集合{ … }
数轴
1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。
数轴的画法：
? 画一条水平的直线；
? 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
? 确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
? 选取适当的长度作为单位长度，用细短线画出，并对应标出各数，同时
要注意同一数轴的单位长度要一致.
2、有理数与数轴的关系
? 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；
? 正有理数在原点的右边，负有理数在原点的左边，原点表示0；
? 在数轴上，右边的点所对应的数总是比左边的点所对应的数大。
? 注意：数轴上的点不都是有理数，如π 。
相反数
1、相反数定义：
如果两个数只有符号不同，则称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
注意：0 的相反数是0.
几何意义：在数轴上到原点的距离相等，并且分别位于原点两侧的两个数，是一对相反数，这两点必须关于原点对称。
2、相反数的性质：
互为相反数的两个数的和为零。
若a与b互为相反数，则a + b=0；若a + b=0，则a与b互为相反数.。
3、求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可.
一般地，数a的相反数是-a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，
也可以是任意一个代数式，注意-a不一定是负数.
? 注意：当a > 0时，-a < 0 （正数的相反数是负数）；
当a =0时，-a = 0 （0的相反数是0）；
当a < 0时，-a > 0 （负数的相反数是正数）.
4、多重符号的化简：“奇负偶正”
一个有理数前面不管有多少个“+”号，都可以去掉；
一个有理数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”，即“奇负偶正”。
? 注意：负负得正，正负得负。（最常用）
绝对值
1、绝对值的几何意义及代数意义：
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 数a的绝对值记做|a|.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
2、倒数，负倒数
乘积为1 的两个数互为倒数。特别的，0 没有倒数
a,b互为倒数，则有ab =1，反之亦成立；
倒数是它本身的数是±1
乘积为－1 的两个数互为负倒数，特别的，0 没有负倒数，
a,b互为负倒数，则有ab = ?1，反之亦成立；
随堂练习
1、判断下列各图中，没出现错误的是（）
2、如图所示，数轴上的点M 和N 分别表示有理数m 和n ，那么以下结论正确
的是（）.
A、m > 0 , n > 0
B、m > 0 , n < 0
C、m< 0 , n > 0
D、m< 0 , n < 0
3、如图所示，根据有理数a ，b ，c 在数轴上的位置，比较a ，b ，c 的大小，有（）.
A、a < b < c
B、a < c < b
C、b < a < c
D、b < c < a
4、如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含的整数
为 .
5、一个数从数轴上的原点出发，向左移动3 个单位长度，再向右移动2 个单位长度到达点P ，则点P 表示的数是（）.
A、2
B、?2
C、1
D、?1
6、在数轴上距离原点4 个单位长度的点所表示的数是（）.
A、4
B、?4
C、4或?4
D、2或?2
7、?34的相反数是，4与互为相反数；0 的相反数是；
8、如果一个数的相反数是它本身，则这个数是.
9、一个数的相反数是非负数，这个数一定是（）.
A 、正数与零B、非零有理数C、负数或零D、零
10、化简下列各数的符号
（1）+(+6) = ；（1）?(?11) = ；
（1）?(+8) = ；（1）+(?9) = ；
（1）+[?(+6)] = ；（1）?[+(?7)] = 。
11、?13的绝对值是 .
12、? |?2| 等于（）
A 、2
B 、12C、?12D、-2
13、绝对值最小的数是.
14、绝对值是9的数是.
15、若x = 5，则x = .
16、5 的倒数是；?35的倒数是；113的负倒数是 .
有理数 一、学习目标： ● 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类； ● 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算； ● 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算； ● 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。 二、重点难点： ● 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算； ● 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运 算。 三、学习策略： ● 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达 到内容系统化和应用的灵活性。 四、知识框架： 五、知识梳理 1、知识点一：有理数的概念 （一）有理数： （1）整数与分数统称__________________ 按定义分类： _______________???????????????????? _ _ _ _ _ _ _ _ _有理数 _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类： __________??????????????? _ _ _ _ _ _ _ _有理数零 _ _ _ _ _ _ _ _
注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________. （2）认识正数与负数： ①正数：像1，1.1，17 ，2008等大于_______________的数，叫做_______________. 5 ，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________ ②负数：像-1，-1.1，-17 5 都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________. （3）用正数、负数表示相反意义的量： 如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ . （4）有理数“0”的作用： 作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表 表示没有 示 表示某种状态00C表示冰点 表示正数与负数的 0非正非负，是一个中性数 界点 （二）数轴 （1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线 注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可. ②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. （2）数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的______________； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________： ③确定向右的方向为______________，用______________表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.
有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，一、正数和负数自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 （有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非 负整数，负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号）
代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 1.概念（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数， 当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。 （倒数是它本身的数是±1；0没有倒数） 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0 a = 0，|a|=0 |a|＝﹣a，则a≦0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 |a|≥0。几个非负数之和等 于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 七、比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
七年级代数知识点（上册） 第一章有理数 1.1正数和负数 一、概念 1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号） 2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数 说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。 3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。 说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界 二、实际应用 在解决一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。 例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0 零上为正，零下为负，分界为0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0 加分为正，扣分为负，不加不扣为0 逆时针为正，顺时针为负 超标为正，低标为负，标准为0 地上为正，地下为负，地面基准为0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为0 水位上升为正，水位下降为负，水平面为0 高于平均分为正，低于平均分为负 增加为正，减少为负，不增不减为0 海平面以上为正，以下为负，海平面记为0 三、易错易误点 1、- 一定是负数么？ 答案：不一定，需要分类分析 解析：当大于0时，- 就是负数；当等于0时，- 为0；当小于0时，- 是正数因此，不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。 2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。 3、非正数：0和负数 非负数：0和正数
1.2 有理数 一、概念 1、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。 2、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926… 它不能化成分数形式。 二、分类 1、按定义分： 有理数：正数——正整数，0，负整数 分数——正分数、负分数 2、按性质符号分： 有理数：正有理数——正整数、正分数 负有理数——负整数、负分数 综上，有理数共分为5类：正整数、正分数、0、负整数、负分数。 *易错易混点（选择题常考）： 非负整数（自然数）：正整数、0 非正正数：负整数、0 非负有理数：正整数、0、正分数 非正有理数：负整数、0、负分数 关于文字概念的判断题（难点，重点） 一个有理数不是整数就是分数——对！（从有理数概念可知） 正整数和负整数统称为整数——错！（还有0） 0不是有理数——错！（从性质符号分，有理数包括整数和分数，而0是整数） 正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数——错！（忽略了0） 三、数轴 1、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线 规定三要素——原点，正方向，单位长度 注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。 2、画法：（必须用直尺！） （1）先画一条直线 （2）在直线上任取一点，作为原点，记为0 （3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。 3、与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点
?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大
第一章有理数知识点归纳 一、正数和负数 正数和负数的概念 负数：比0小的数；正数：比0大的数。 0既不是正数，也不是负数 ☆注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负. 二、有理数 有理数的概念 （1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） （2）正分数和负分数统称为分数 （3）整数和分数统称有理数 ☆注意：①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 数轴 （1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线； 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； 数轴的三要素都是根据实际需要规定的，同一数轴上的单位长度要统一； （2）数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，正有理数可用原点正方向的点表示，负有理数可用原点负方向的点表示，0用原点表示。 相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0；任何一个有理数都有相反数 （2）互为相反数的两数的和为0，即：若a、b互为相反数，则a+b=0；互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等。 （3）在一个数的前面加上负号“-”，就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。 （4）多重符号的化简 多重符号的化简规律：“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。 绝对值 （1）绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，
有理数基础知识 正数和负数 1?正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“ +”，有时“ +”省略不写。所以省略“ +”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8C表示为：+8C ；零下8 C表示为：-8 C 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1. 有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0,负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①n是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。② 有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8 …也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2. 有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 （0不能忽视） r负整数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数正整数 『正有理数 有理数＜ 正分数 I负整数
初一数学有理数知识点总结讲解 除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初一数学有理数知识点总结讲解，希望对大家的学习有一定帮助。 1.1 正数与负数 在以前学过的0以外的数前面加上负号的数叫负数(negative number)。 与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数(positive number)(根据需要，有时在正数前面也加上+)。 1.2 有理数 正整数、0、负整数统称整数(integer)，正分数和负分数统称分数(fraction)。 整数和分数统称有理数(rational number)。 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴(number axis)。 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。(例：2的相反数是-2;0的相反数是0) 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反
数;0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法 有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 乘积是1的两个数互为倒数。 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 m 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂(power)。在a的n次方中，a叫做底数(base number)，n 叫做指数(exponent)。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
有理数章节知识点归纳总结 一、基本运算和基本概念 本身之迷 ① 倒数是它本身的数是±1 ② 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0） ③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0 ⑦相反数是它本身的数是0 数之最 ①最小的正整数是 1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数 例、填空： ①两个互为相反数的数的和是_____； ②____与它绝对值的差为0； ③ 两个互为相反数的数的商是___；(0除外) ④ ____的倒数等于它本身； ⑤____的绝对值与它本身互为相反数； ⑥ ____的平方与它的立方互为相反数； ⑦_ __的倒数与它的平方相等； ⑧____的平方是4，_____的绝对值是4； 1、（1）、___)9()6(=-++ ， （2）、___)9()6(=--+， （3）、___)9()6(=-?+， （4）、___)14()56(=-÷-， （5）、___4716=-， （6）、___46=+-， （7）、____)3(3 =-， （8）、____)2(4 =-， （9）、____24 =-， （10）、____) 1(2008 =-， （11）、____)2(3 =--， （12）、___565=--， （13）、___21 3 1 =- ， （14）、___)10 3()65(=-?-， （15）、___8 325.0=÷-，（16）、____5.04 =， （17）、___55=+-， （18）、___1020=--， （19）、___)1.6()9.5(=---， （20）、___)13(0)56()7(=-÷?-?-。 （21） 、2 )2(-=-------------- （22）、 2 3=-------------- （23）、 2 )32(-=--------------（24）、 22-=-------------- （25）、 3 2=-------------- （ 26）、 3 22-=-------------- （27）、2009)1(-=----------- （28）、 2007 1-=------------ （ 29） ( )2 ＝16， （ 30）()()=---3 4 11 （ 31）=??-4232 （ 32）()=-??-10 2 1) 32( （ 33）=? --2 1 222 （ 34）=???? ??-2 5 522 （ 35）=??? ? ??????? ??--2 231 2、下面有四种说法，其中正确的是 （ ）
有理数的知识归纳点_有理数知识点总结 有理数的知识归纳点_有理数知识点总结七年级代数知识点（上册）第一章有理数1.1正数和负数 一、概念1、正数大于零的数，有时根据需要在正数前面加""（正号）2、负数在正数前面加上""（负号）的数说明一个数前面的""""叫做它的号，其中""有时可以省略，但仍然表示正数，有时""是为了强调它是正数，但""号是绝对不能省略的。 3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。 说明关于0的总结实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界二、实际应用在解决一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。 例如收入为正，支出为负，收支平衡为0零上为正，零下为负，分界为0向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0加分为正，扣分为负，不加不扣为0逆时针为正，顺时针为负超标为正，低标为负，标准为0地上为正，地下为负，地面基准为0盈余为正，亏空为负，收支平衡为0水位上升为正，水位下降为负，水平面为0高于平均分为正，低于平均分为负增加为正，减少为负，不增不减为0海平面以上为正，以下为负，海平面记为0三、易错易误点1、-a一定是负数么答案不一定，需要分类分析解析当a大于0时，-a就是负数；当a等于0时，-a为
0；当a小于0时，-a是正数因此，a不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。 2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。 3、非正数0和负数非负数0和正数1.2有理数 一、概念1、有理数正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。 2、无理数既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。 如无限不循环小数3.1415926它不能化成分数形式。 二、分类1、按定义分有理数正数正整数，0，负整数分数正分数、负分数2、按性质符号分有理数正有理数正整数、正分数负有理数负整数、负分数综上，有理数共分为5类正整数、正分数、0、负整数、负分数。 *易错易混点（选择题常考）非负整数（自然数）正整数、0非正正数负整数、0非负有理数正整数、0、正分数非正有理数负整数、0、负分数关于文字概念的判断题（难点，重点）一个有理数不是整数就是分数对（从有理数概念可知）正整数和负整数统称为整数错（还有0）0不是有理数错（从性质符号分，有理数包括整数和分数，而0是整数）正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数错（忽略了0）三、数轴1、定义数轴是一条可以向
有理数的概念 本节知识点比较多，同学们要认真学习并加以总结，用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。 二、知识要点 1、正数和负数 （1）、大于0的数叫做正数。 （2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 （3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。 （4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。 2、有理数 (1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 π不是有理数； (2)有理数的分类:①???? ???????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②?????????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数. 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； ②相反数的商为-1； ③相反数的绝对值相等。 （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。 （4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。 （5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。 （6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×-3×-1×-5，首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120 5、绝对值 （1）、绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。 （2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表
5.1有理数的意义 1.什么是正数？ 大于0的数是正数，像6,2.5， 4 3，1.2%等数叫做正数。 2.什么是负数？ 小于0的数是负数，（在正数前加上“-”号的数叫做负数），比如：-6，-2.5，-43，-1.2%等数。 3.0既不是正数也不是负数 4.正数和负数可以表示具有相反意义的量。比如：盈利50元记作50元，那么亏损50元记作-50元。 5.什么是有理数？ 整数和分数统称为有理数。 6.判断有理数的方法：可以写成分数形式的数都是有理数。在我们目前学过的数中，只有无限不循环小数不是有理数。 7．一般有理数有如下两种分类： （1）正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数． 有理数?????{ 正整数整数零负整数正分数分数负分数????? （2） {{ 正整数正有理数正分数有理数零 负整数负有理数负分数????? 5.2数轴 1.什么是数轴？ 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示。数轴上表示正数的点在原点的右边，表示负数的点在原点的左边。 3.什么是互为相反数？ 只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数。0的相反数等于它本身。 4.如何表示一个数的相反数？ 表示一个数的相反数，可以在这个数前添加一个“-”号，比如3的相反数是-3；-3的相反数是-（-3）=3.一般地，数a 的相反数表示为-a. 5.相反数的特征： （1）一个数相反数的相反数等于这个数本身。 （2）在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 （3）如果两个数互为相反数，它们只是符号不同，它们的和等于0. 6.带负号的不一定是负数。比如-（-2）=2是正数
2、下面有四种说法，其中正确的是 （ ） A.一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正 B.三数之积为正，则三数一定都是正数 C.两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数 D.一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等 3、下列判断错误的是 （ ） （A ）任何数的绝对值一定是正数； （B ）一个负数的绝对值一定是正数； （C ）一个正数的绝对值一定是正数； （D ）任何数的绝对值都不是负数； 4、下列四个命题：（1）任何有理数都有相反数；（2）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数；（3）任何有理数都有倒数；（4）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数；（5）数轴上点都表示有理数；（6）任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中，说法正确的是 ； 5、a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是到数轴上距原点的距离最小的数，求2a b c ++的值 6、下列各数对中，数值相等的是（ ） A 、+32 与+23 B 、—23 与（—2）3 C 、—32 与（—3）2 D 、3×22 与（3×2）2 7、按照下面所示的操作步骤，若输入x 的值为－2，则输出的值为___________ 8、已知 123112113114 ,,,..., 1232323438345415 a a a = +==+==+=??????依据上述规律，则99a = ． 9、定义2 *a b a b =-，则(12)3**=______． 10、规定()()a b b a b a --+=?，求)5(3-?的值。 11、用“”定义新运算：对于任意实数a ，b ， 都有a b=b 2+1。例如，74=42 +1=17，求53的值及当m 为有理数时，m （m 2）的值。 12、现规定一种运算“*”，对于a 、b 两数有： ab a b a b 2*-=,试计算2*)3(-的值。 13、用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b=a 和a b=b ，例如32=3，32=2。则（20062005）（20042003）=__________。 二、数的分类 1、 把下列各数填在相应的括号内：-16，26，-12， -0.92， 0， 0.1008，-4.95 正数集合{ }； 负数集合{ }； 整数集合{ }； 正分数集合{ }； 负分数集合{ }； 2、 下列各数中：7，－9.25，10 9- ，-301，274 ， 31.25，15 7 ，-3.5，0，221 5，－7，1.25，－ 37，－3，4 3-。 正整数是{ } 正分数是{ } 负整数是{ } 负分数是{ } 正数是{ } 负数是{ } 输入x 平方 乘以3 减去5 输出
第二章 《有理数及其运算》知识梳理 正数和负数 1?正数和负数的概念 负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当a 表 示0时，-a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的， 例如+a,-a 就不能做出简单判断） ② 正数有时也可以在前面加“ +”，有时“ +”省略不写。所以省略“ +”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8C 表示为：+8C ；零下8 C 表示为：-8 C 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线， 0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1. 有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 '负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ② 负整数、0统称为非正整数 ③ 正有理数、 ④ 负有理数、 数轴 ??数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不 可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2. 数轴上的点与有理数的关系 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。① n 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。② 有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：弓I 入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像 -2,-4,-6,-8 …也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 |正整数 一负整数 ⑵按正、负来分 正整数 「整数 「正有理数 正分数 正分数 （0不能忽视） 「负整数 0统称为非负有理数 0统称为非正有理数
有理数 考点1、正数和负数 正数：大于零的数 负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数） 注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点 ②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数 考点2、有理数 1、有理数的分类 按定义分：?????????????????负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 按性质符号分：有理数???? ???????????负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0 注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。 2、0是整数不是分数 2、数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴的含义： （1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸 （2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可 （3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。 （4）同一数轴的单位长度必须一致 1、 相反数（重点） 定义：只有符号不同．．．．的两个数叫做相反数．．． 。（在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。） 相反数的表示方法及多重符号的化简： （1）?? ???=-=>-<>>0a ,00a ,00,0则当则当则－当a a a a 4、绝对值（难点） 绝对值的定义：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记为 ∣a ∣，读作：a 的绝对值 因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0） 绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身 2）一个负数的绝对值是它的相反数 3）0的绝对值是0 绝对值的计算规律： （1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （2） 若b a =，则a=b 或a=-b ；
The shortest way to do many things is 有理数知识点总结（2016） 第一章有理数 1.1正数和负数 一、概念 1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号） 2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。 3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界 二、实际应用 在解决一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0 零上为正，零下为负，分界为0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0 加分为正，扣分为负，不加不扣为0 逆时针为正，顺时针为负超标为正，低标为负，标准为0 地上为正，地下为负，地面基准为0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为0 水位上升为正，水位下降为负，水平面为0 高于平均分为正，低于平均分为负增加为正，减少为负，不增不减为0 海平面以上为正，以下为负，海平面记为0 三、易错易误点 1、-a一定是负数么？答案：不一定，需要分类分析解析：当a大于0时，-a就是负数；当a等于0时，-a为0；当a小于0时，-a是正数因此，a不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。 2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。 3、非正数：0和负数非负数：0和正数 1.2 有理数 1、概念 1、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。 2、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926…它不能化成分数形式。 2、分类 1、按定义分类；有理数分为整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数） 2、按性质符号分类；有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数） 三、数轴 1、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线规定三要素——原点，正方向，单位长度注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。 2、画法：（必须用直尺！） 、1、先画一条直线 （2）在直线上任取一点，作为原点，记为0 （3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。3、与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间”；但数轴上的点不都来表示有理数。 四、相反数（重点） 1、概念 （1）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 （2）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2和-2 ；0的相反数是0。 2、表示方法以及多重符号的简化（1）a的相反数是-a，这里a是任意有理数(即正数、负数、0) 当a大于0时，-a小于0（正数的相反数是负数）当a小于0时，-a大于0（负数的相反数是正数）当a等于0时，-a等于0（0的相反数是0）（2）多重符号化简方法：正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉 ~ 2 / 5 ~ 正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—” 0前无论有多少个“—”，化简后仍是0 五、绝对值 1、概念 （1）几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。（2）代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 2、做题时需要慎重考虑0的情况。 六、有理数大小比较 1、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0＜正数。
有理数章节知识点归纳总结 一、基本运算和基本概念 本身之迷 ① 倒数是它本身的数是±1 ② 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0） ③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0 ⑦相反数是它本身的数是0 数之最 ①最小的正整数是 1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数 例、填空： ①两个互为相反数的数的和是_____； ②____与它绝对值的差为0； ③ 两个互为相反数的数的商是___；(0除外) ④ ____的倒数等于它本身； ⑤____的绝对值与它本身互为相反数； ⑥ ____的平方与它的立方互为相反数； ⑦_ __的倒数与它的平方相等； ⑧____的平方是4，_____的绝对值是4； 1、（1）、___)9()6(=-++ ， （2）、___)9()6(=--+， （3）、___)9()6(=-?+， （4）、___)14()56(=-÷-， （5）、___4716=-， （6）、___46=+-， （7）、____)3(3 =-， （8）、____)2(4 =-， （9）、____24=-， （10）、____) 1(2008 =-， （11）、____)2(3 =--， （12）、___565=--， （13）、___213 1 =- ， （14）、___)10 3()65(=-?-， （15）、___8 325.0=÷-，（16）、____5.04 =， （17）、___55=+-， （18）、___1020=--， （19）、___)1.6()9.5(=---， （20）、___)13(0)56()7(=-÷?-?-。 （21）、2)2(-=-------------- （22）、 2 3=-------------- （23）、 2 )3 2 (-=--------------（24）、 22-=-------------- （25）、 3 2=-------------- （ 26）、 3 22 -=-------------- （27）、2009)1(-=----------- （28）、 2007 1-=------------ （ 29） ( )2 ＝16， （ 30）()()=---3 4 11 （ 31）=??-4232 （ 32）()=-??-10 2 1) 32( （ 33）=? --2 1 222 （ 34）=???? ??-2 5 522 （ 35）=???? ??? ???? ??--2 231
有理数知识点考点难点 总结归纳 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
第一章有理数知识点总结归纳一、正数和负数? ⒈正数和负数的概念? 负数：比0小的数；正数：比0大的数。 0既不是正数，也不是负数? 注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a 表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。 2.具有相反意义的量? 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量.习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负. 比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 二、有理数? 1.有理数的概念? ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数? ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π
是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 2．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线； 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； 同一数轴上的单位长度要统一； 数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 （2）数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来。 （3）利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； 两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 （4）数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是0，无最大的自然数； 最小的正整数是1，无最大的正整数；