复旦大学微分几何教
学大纲
微分几何教学大纲(Differential Geometry)
*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。
**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。
§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
《内科学》教学大纲 （INTERNAL MEDICINE 一、课程说明 课程编码17110042 课程总学时176（理论总学时96/实践总学时80）周学时（理论学时/实践学时）4/4 学分8.5 课程性质专业必修课适用专业临床医学、眼视光、影像专业
2、课程教学目的与要求： 通过理论授课与临床见习，使学生比较系统掌握内科学的基本理论、基本知识和基本技 能，掌握内科常见病、多发病的诊疗基本知识和技能，熟悉内科常见的危重病症的抢救知识 与技能，学会正确的临床思维方法，培养学生理论联系实际的能力，为今后从事临床工作打 下坚实的基础。 3、本门课程与其它课程关系： 内科学在临床医学中占有极其重要的地位，范围广，专业多，它不仅是临床医学各科的 基础，而且与许多医学基础和临床学科有密切关系。内科学的教学对于培养有科学创新精神 的优秀临床医学生具有普遍性意义。 4、推荐教材及参考书： 推荐教材内科学（第7版）陆再英、钟南山主编人民卫生出版社2008年参考书实用内科学（第12版）陈灏珠
主编人民卫生出版社2005年 Cecil Textbook of Medicine 23rd Edition Goldman 等主编美国Saunders 公司2007 年 Davidson's Principles and Practice of Medicine 20th edition Nicholas 等主编Churchill Livingstone Elsevier 2006 年 5、课程考核方法与要求： 考核采用闭卷笔试。建立了完备的试题库，实行教考分离，理论考试主观题和客观题的比例适当。主观题分名词解释和问答题两种，注重内科学临床基本知识、基本技能的考核，选择题由试题库筛选，以临床病例分析为主，注重考察学生的分析问题和解决实际问题的能力。 6、实践教学内容安排：见习带教内容以内科常见病、多发病为主。指导学生复习理论知识，以病例为中心，选择典型的病人，演示并指导学生如何正确的查体、问诊、收集临床资料、诊断治疗等，培养正确的临床思维。 第二篇呼吸系统疾病 第一章总论 （一）了解：呼吸系统疾病的诊断以及常见的实验室检查；辅助检查。 第三章肺部感染性疾病 一、目的与要求 （一）掌握： 1. 社区获得性肺炎与医院获得性肺炎的定义；诊断标准；常见致病菌。 2. 重症肺炎诊断标准及治疗原则。 3. 肺炎链球菌肺炎的病原菌；临床表现与治疗原则；典型的X线表现。 （二）熟悉： 1. 肺炎病原学标本的采集方法及其检查结果的临床意义。 2. 肺炎的诊断程序。 3. 肺炎链球菌肺炎的发病机制；病理改变；实验室检查特点。 4. 常见病原菌肺炎（葡萄球菌、支原体）的临床特点与抗生素合理应用。 （三）了解： 病毒性肺炎；真菌性肺炎；肺孢子菌肺炎的临床特点与治疗。
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条
内科学课程教学大纲 Ⅰ说明部分 课程类型: 专业课 总学时：106 其中理论学时：64 实践学时：42 学分：5 适用专业：3年制临床医学专业 前导课程：人体解剖学、生理学、药理学、病理生理学、临床诊断基本技能等。 后续课程：临床实习。 Ⅱ本文部分 一、课程性质和任务 课程性质内科学疾病包括呼吸、循环、消化、泌尿、造血、内分泌系统及代谢、营养、风湿等常见疾病以及理化因素所致疾病。本课程重点阐述临床常见病、多发病的病因和发病机制、病理、临床表现、并发症、辅助检查、诊断和鉴别诊断、防治原则和进展。内科学是临床医学专业的核心课程，在临床医学中占有及其重要的地位，它不仅是临床医学各科的基础，而且与它们存在着密切的联系，学好内科学，是学好临床医学其他专业课程的关键。 课程任务学习内科学的目的在于扎实地掌握本门课程的基础理论、基本知识和基本技能，在毕业时能独立防治内科的常见病和多发病，毕业后通过临床实践，应能进行自学和开展科学研究等活动，继续提高理论知识水平和防治疾病的能力。 二、课程基本要求 内科学的学习应以基础医学和临床诊断基本技能等课程为基础。在学习中应注意理论联系实际、循序渐近，通过思考，发现问题，分析问题，不断提高解决问题的能力。通过本课程的学习，达到以下要求： 1．简述内科学基本理论知识；概述内科学常见病的病因、临床表现、诊断、治疗、预防的内容和方法；能制定常见病、慢性病的预防保健实施方案。
2．能根据病史、体格检查、必要的实验室检查和器械检查资料，对常见病作出初步诊断，并制定诊疗计划；能对内科常见急、重病进行诊断和防治。 3.能熟练地询问病史；独立进行系统的体格检查，结果要符合实际； 4.能根据患者病情合理选择临床常用实验室检查，并能对结果进行正确分析，理解其临床意义； 5.能写出规范的住院病历； 6.具有一定的卫生宣教和较强的分析问题和处理问题的能力，严谨的科学态度；具有求实的工作作风，良好的职业道德；树立为社区健康服务的思想。 三、教学条件 教学资料：内科学（统编教材）、教学大纲（校本大纲）、授课计划、内科学实验（见习）指导（校本教材）、教学进度表、内科学基本技能考核大纲等（自编）。 教学设备：临床技能实训中心、仿真病房、模拟教学软件、多媒体课件等。 教学人员：由双师型教学骨干组成，理论课由高级职称教学人员和行业专家主讲，实训课分12-16人/组，由青年教师和临床医师带教。 四、教学内容及学时安排
复旦大学课程教学大纲 课程代码 MATH120008.09 编写时间 2011年08月更新课程名称 数学分析（I） 英文名称 Mathematical Analysis（I） 学分数 5 周学时 6 任课教师* 谢锡麟 开课院系**力学与工程科学系预修课程 仅需普通高中相关数学基础；无特别先有基础要求。 课程性质： 本课程可谓所有基础科学（包括数学、力学、物理、化学、生物等）、技术科学（包括航空航天、环境、材料、信息等）等专业最为基础和重要的数学基础课程，提供微积分的基本内容。从知识体系的发展而言，微积分融合线性代数（这点特别反映在《数学分析（Ⅱ）》中）作为核心基础，一方面将为后续复变函数、实分析与泛函分析、常微分方程与偏微分方程、概率统计、微分几何等系统的数学知识体系的发展提供实质性的基础；另一方面，微积分和线性代数亦是理论力学、连续介质力学（包括流体力学、弹性力学）、振动力学、控制力学等力学知识体系的发展的坚实基础。 总体而言，本一年制的数学分析课程将结合面对的对象（适用于非数学类的几乎所有的专业），提供系统的微积分知识体系，不仅注重微积分知识体系的核心基础特点，而且注重知识体系的现代化发展，力求学生具有坚实的基础并具有基于其上的自我学习的能力。在教学的广度与深度上，我们力求课程所授的知识体系具有国内外一流化水平，且切实注重学生的实际接受水平。 本课程《数学分析（I）》将主要提供一元微积分的内容，包括常微分方程最为基础的若干思想及方法。 教学目的： 2005年，学校在百年校庆时提出“走以内涵发展的道路”，以及现今所致力于探索和推广的“通识教育、精英教育”的理念，结合力学以及数学间相辅相成、紧密相连的关系，而考虑本门课程的具体教学。 以下反映一些基本的观点，这将指导具体的教学。
微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，
γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:
《内科学》课程教学大纲 一、课程介绍 （一）课程目标及地位 内科学是研究内科疾病发生、发展规律及诊疗技术的学科，属临床专业课。是临床医学中的核心学科，临床医学的共性诊断与治疗思维，集中表达在内科学中；且在临床实践中，内科疾病也最为常见。学习内科学应以基础医学和诊断学为基础，在复习、巩固解剖学、生理学、病理学和诊断学等课程的同时，学习这门新课程。高等中医院校的西医内科学包括传染病、内科、肿瘤及神经系统疾病，是现代医学各临床学科的基础，也是中医、中西医结合、针灸、骨伤等专业的主要课程，与中医各临床学科有密切关系。 （二）教学基本要求 内科学是临床医学的一门学科。由于其涉及面广、整体性强，与基础各学科及临床各科关系密切，所阐述内容在临床医学的理论和实践中有普遍意义，因而是临床各科的基础。在内科学教学过程中，通过课堂讲授、见习、毕业实习等不同阶段和环节，要求达到以下目标： (一)掌握和熟悉或了解内科常见病、多发病的病因、发病机制、病理解剖、临床表现并发症、诊断和鉴别诊断、治疗、预后和预防，使能得到全面、系统的内科学基础知识，并在深入研讨病因、发病机制、病理解剖和病理生理，以及诊断和治疗等方面知识的基础上，进一步巩固和提高基础理论知识水平，使与临床相结合运用于医疗实践。 (二)在已学习诊断学的基础上，进一步巩固和提高病史采取、体格检查等知识、方法和技能，做到病历书写合乎要求，同时学会有目的采用现代实验室检查和诊断技术，结合内科学基础理论和基本知识，运用分析综合与逻辑推理的临床思想方法，作出全面诊断。 (三)在实习期间，通过临床实践提高对内科常见病、多发病的诊断和防治能力。要求做到理论联系实际，进一步运用基础学科与内科学知识来分析，解决诊断及防治上的实际问题，又从临床实践来检验认识的正确性，经过实践、认识、再实践、再认识，从而充实提高理论知识水平及发现问题、分析问题和解决问题的能力。 (四)掌握内科常用的诊疗技术,结合本专业知识在临床实践中应用。 (五)对急、危、重病人有一定应急和解决问题的能力。 （三）课程的重点和难点 本课程的讲授一般安排在第5个学期，本课程重点是内科常见病、多发病的病因、发病机制、病理解剖、临床表现并发症、诊断和鉴别诊断、治疗、预后和预防。通过内科学的教学，要注意理论与实践相结合，加强基础理论，基础知识和基本技能的训练，按照循序渐进由浅入深的认识规律进行教学活动。注意培养学生自学和讨论，亲自参加实践，发现问题、
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 《内科学》教学大纲 第一篇绪论 一、课程的性质、目的与任务 内科学在临床医学中占有及其重要的位置，是临床医学的基础课程，它与基础医学和临床各学科有密切的联系。内科学涉及范围广泛，包括呼吸系统疾病、循环系统疾病、消化系统疾病、泌尿系统疾病、血液系统疾病、内分泌系统疾病、代谢疾病与营养疾病、结缔组织病和风湿病等。涉及人体各个系统和器官的生理和病理过程，疾病发生的原因，发生发展的过程，诊断方法和防治措施。 内科学的任务和目的是在基础医学的基础上，用先进的医学思想和现代医学的成就，系统地传授内科学常见疾病的基本理论和基本知识，并注重临床思维和基本技能的训练，树立科学的、正确的临床工作方法。 二、课程基本要求和教学基本内容 1、内科学的学习方法 2、内科疾病的诊断 3、内科学的进展 第二篇呼吸系统疾病 总论 一、课程基本要求 1、掌握呼吸系统的解剖生理特点。 2、了解呼吸系统疾病发病率和病死率增加的原因；呼吸系统疾病医疗、防治和科研的展望。 二、课程教学基本内容 1、呼吸系统疾病是我国的常见病和多发病 2、呼吸系统的结构功能与疾病的关系 3、影响呼吸系统疾病的主要相关因素 4、呼吸系统疾病的诊断 5、呼吸系统疾病的防治展望 肺炎 一、课程基本要求 1、掌握肺炎的分类（包括解剖分类、病因分类和患病环境分类）。 2、熟悉病原体引起肺炎的途径。 3、掌握肺炎的诊断程序（确定肺炎，评估严重程度和确定病原体） 4、掌握肺炎的治疗原则 5、了解肺炎的预防 6、掌握肺炎球菌肺炎的病因、病理、临床表现和治疗。 7、熟悉葡萄球菌肺炎，克雷白杆菌肺炎、肺炎支原体肺炎的临床特点、诊断和治疗。 8、了解军团菌肺炎、肺部真菌感染等。 二、课程教学基本内容 1、肺炎的定义、流行病学概况 2、肺炎的病因、发病机理 3、肺炎的分类方法及其特点 4、肺炎的诊断与鉴别诊断，严重程度的评估，如何确定病原体 5、肺炎的治疗 6、肺炎球菌肺炎的病因、发病机制、病理、临床表现、X 线检查、诊断和鉴别诊 断、治疗 7、感染性休克的治疗 8、自学其他病原体肺炎 肺脓肿 一、课程基本要求 1、掌握肺脓肿病因、发病机理、临床表现；诊断与鉴别要点。 2、熟悉治疗原则及手术指征。 二、课程教学基本内容 1、肺脓肿的病因 2、发病机理 3、病理 4、临床表现 5、实验室检查 6、诊断与鉴别诊断 7、治疗 支气管扩张 一、课程基本要求 1、掌握支气管扩张的病因及其成为慢性支气管化脓性疾病基础的特点；症状、体征； 诊断与鉴别要点。 2、了解治疗原则、手术指征。 二、课程教学基本内容 1、病因和发病机理 2、病理 3、病理生理 4、临床表现 5、实验室和其他检查 微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 《内科学》课程教学大纲 课程内容的教学要求 1．呼吸系统疾病 （1）总论：熟悉呼吸系统的防御解剖功能特点，了解呼吸系统疾病的病因、临床表现和近代诊断方法。 （2）上呼吸道感染：熟悉上呼吸道感染的临床表现和治疗，了解上呼吸道感染的病因。 （3）慢性阻塞性肺疾病：掌握慢性阻塞性肺疾病的定义、临床表现、实验室及特殊检查和诊断标准。掌握慢性阻塞性肺疾病的发生和发展规律、机体与外界因素对发病的关系及病理变化特征。明确慢性阻塞性肺疾病是常见多发病，发病率高，并发症严重，危害性大，必须积极防治。 （4）肺动脉高压与肺原性心脏病：掌握慢性肺原性心脏病(慢性肺心病)缓解期及急性加重期临床表现的特点及诊断方法。掌握慢性肺心病呼吸功能不全与心功能不全的处理要点，本病缓解期防治的重要性及具体措施。了解慢性肺心病时“肺动脉高压”的发病原理、酸碱平衡失调及电解质紊乱的原理。了解本病是以肺功不全为基本矛盾的全身病变，具有复杂多变的特点；了解本病的预防措施。 （5）肺栓塞：掌握肺栓塞的诊断和治疗，熟悉肺栓塞的病因和发病机制，了解肺栓塞的病理和病理生理。 （6）支气管哮喘：熟悉本病的发病机理，其发作与炎症因素、神经因素及某些诱发因素的关系。掌握本病的临床表现、类型、诊断及鉴别诊断、并发症等。合理应用平喘药物，尤其是抗炎药物和β2受体兴奋剂。掌握重度哮喘的处理。 （7）支气管扩张症：熟悉支气管扩张症发病机制、病理类型。掌握支气管扩张症的临床表现、诊断与治疗原则。 （8）呼吸衰竭：掌握呼吸衰竭的病因、发病机制和病理生理改变。掌握呼吸衰竭时的血气分析改变、酸碱失衡和电解质紊乱的意义。掌握慢性呼吸衰竭的临床表现和处理原则。 （9）肺炎：掌握肺炎球菌肺炎的病理及临床表现，社区获得性肺炎与医院获得性肺炎的定义。熟悉葡萄球菌肺炎、肺炎克雷白杆菌肺炎和支原体肺炎的病理、临床特点、诊断和治疗。 （10）肺脓肿：掌握肺脓肿的诊断、治疗原则和治疗方法。熟悉肺脓肿的病因、发病机理和鉴别诊断，了解肺脓肿外科治疗的适应症及预后和预防。 （11）肺结核：掌握肺结核的发生与发展过程，与变态反应和免疫力的关系，诊断及鉴别诊断要点，抗痨药物的正确使用，大咯血的处理。熟悉肺结核X线特点并与病理变化的关系，痰结核菌的检查方法，防痨原则和方法，结核菌素试验、卡介苗接种。 （12）间质性肺疾病：掌握间质性肺疾病临床表现、胸部X线和CT检查特点及肺功能检查特点。掌握特发性肺纤维化的临床表现、胸部影像学、肺功能检查特点，临床诊断的主要标准和次要标准、处理措施及预后。熟悉间质肺疾病的诊断和诊断程序。了解间质性肺疾病的病因、分类、X线表现及发病机理。 （13）原发性支气管肺癌：掌握本病的早期症状、早期诊断和治疗原则。熟悉本病的病理特点。 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 中医内科学教学大纲 中西医临床医学专业本科 前言 《中医内科学》是中医临床学科的主干课程，是其他临床诸学科的基础，它的学术水平反映了中医临床学科发展水平，它以前期各门课程为基础，阐述内科病证的证候、病因病机及其证治规律，指导中医内科临床实践，系统地反映中医临床思维及辨证论治的规律。 课程内容主要介绍内科专业基础理论和各脏腑系统主要病证的基本知识及辨证论治规律。通过本课程教学，使学生掌握内科常见病的证候、病因病机、辨证论治和处方用药知识及部分难治病、急危重症的诊治，熟悉中医内科的临床思维及实际操作程序。 本课程分总论和各论两部分，总论概要介绍中医内科学的定义、性质、地位、任务，中医内科疾病分类及其依据，内科病证发病学、证候学、治疗学特点，中医内科学的学习方法及研究现状与发展趋势。各论分8 章，分别介绍56个常见病证以及各章所属病证共同的主要证候及特征、病机述要、治疗要点等基本知识，教学时数为108学时，主要采用多媒体教学。由于受学时限制，总论各章让学生自学，各论部分只讲述36个重点病证。如有条件可采用小班、小组讲课及住院病人床边现场教学、门诊典型病例示教等实践教学活动，切实提高学生的临床实际工作能力。 教学目的要求和内容 总论 [ 目的要求] 1 ．掌握中医内科学的定义，明确中医内科学的任务，熟悉中医内科理论对临床的指导意义。 2 ．熟悉中医内科病证发病学、证候学、治疗学的特点。 3 ．了解中医内科学发展简史、病证分类、研究现状与发展趋势。 4 ．了解中医内科学与西医内科学的区别与联系。 [ 教学内容] 1 ．讲述中医内科学的定义、性质、任务及地位。 2 ．简介中医内科学发展简史。 3 ．简介中医内科病证的分类及其依据。 4 ．重点讲解与分析中医内科病证和发病学特点。 5 ．重点讲解与分析中医内科病证和证候学特点。 6 ．重点讲解与分析中医内科病证的治疗学的特点。 7 ．介绍中医内科学的研究现状与发展趋势。 8 ．说明中医内科学的学习方法及要求，指出注意与前期课程中医学基础、中药学、方剂的衔接，和与其后期课程伤寒论、金匮要略和温病学的关系。 [ 教学方法] 自学。 各论 眩晕 [ 目的要求] 1 ．了解眩晕的基本概念。 2 ．掌握眩晕的病因病机及风、火、虚与瘀血的病理变化在眩晕发病中的作用和区别。 3 ．熟悉眩晕各种类型的证候特点、治疗方法及常用方药。 [ 教学内容] 1 ．介绍眩晕的证候特点及历史沿革。 2 ．讲解眩晕的病因病机及风、火、痰与瘀血的特征和区别。 3 ．详细讲解眩晕肝阳上亢、痰浊中阻、气血亏虚、肾精不足、瘀血阻络的证候特点及治疗方法，重点讲解眩晕治疗的标本缓急以及各型治法、方药与加减。 4 ．讲解眩晕的转归预后，调摄护理及研究进展。 [ 教学方法] 1 ．以课堂讲授教学为主。内科学课程教学大纲.doc
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