二项分布专题练习
1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3?? ???
，则P (X ＝2)＝( )． A ．
316
B ．
4243
C ．
13
243
D ．
80
243
2．设某批电子手表正品率为
34，次品率为1
4
，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )．
A ．223
13C 44??? ??? B ．2
2331C 44
??? ?
?? C ．2
1344
??? ???
D ．2
3144
??? ???
3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )．
A ．0.6k －
1×0.4
B ．0.24k －1×0.76
C ．0.4k －1×0.6
D ．0.76k －
1×0.24
4．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )．
A ．2191010n k
-???? ? ?
????
B ． 191010k n k
-???? ? ?
????
C ．1119C 1010k
n k
k n ---???? ? ?????
D ．1
1119C 1010k n k
k n ----???? ? ???
??
5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为
65
81
，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ．
13
B ．
25
C ．
56
D ．
34
6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为4
5
，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________．
7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答)
8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)
9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：
(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率； (2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)
10.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
，乙每次击中目标的概率， （I ）甲恰好击中目标的2次的概率； （II ）乙至少击中目标2次的概率；
（III ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
2
1
3
2
参考答案
1. 答案：D
解析：P (X ＝2)＝2
4
20
1180C 133243
????
-= ? ?
??
??. 2. 答案：C
解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝2
13
44
??? ???.
3. 答案：B
解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，
则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k
－1
×0.76. 4. 答案：C
解析：10个球中有一个红球，每次取出一球是红球的概率为
110，不是红球的概率为9
10
，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球，说明前n －1次中已取得红球k －1次，其余均不为红球．则
概率为1
1119C 1010k n k
k n ----???? ?
???
??
×110＝1119C 1010k n k
k n ---???? ? ?????
.
5. 答案：A
解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ，
由题意得1－04C p 0(1－p )4
＝
65
81
. 所以1－p ＝
23
，p ＝13.
6. 答案：
96625
解析：每粒种子的发芽概率为
4
5
，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B 44,5?? ???，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：2
2
244196C 55625
????
= ? ?
????. 7. 答案：0.947 7
解析：治愈的病人数X ～B (4,0.9)，
则4个病人中至少被治愈3人的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝34C 0.93
×0.1＋44C 0.94＝0.947 7.
8. 解：由题意，设“一个人生日是元旦”为事件A ，要研究50人的生日，则相当于进行50次试验，显然各人的生日是随机的，互不影响的，所以属于50次独立重复试验，P (A )＝
1
365
，设50人中生于元旦的人数为ξ， 则P (ξ＝0)＝050
050
1364C 365365????
? ?????
，
P (ξ＝1)＝1
49
150
1364C 365365??
?? ?
???
??
， “两人以上生于元旦”的概率为：
P (ξ≥2)＝1－P (ξ＜2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－0
50
0501364C 365365???? ? ?????
－1
49
1501364C 365365???? ? ???
??
≈0. 008 4. 9. 解：(1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以
恰好有三家煤矿必须整改的概率是p 1＝36
C ·0.43·0.63
≈0.28. (2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p 2＝1－(1－0.04)6≈0.22.
二项分布专题练习 1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3?? ??? ，则P (X ＝2)＝( )． A ． 316 B ． 4243 C ． 13 243 D ． 80 243 2．设某批电子手表正品率为 34，次品率为1 4 ，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )． A ．223 13C 44??? ??? B ．2 2331C 44 ??? ? ?? C ．2 1344 ??? ??? D ．2 3144 ??? ??? 3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )． A ．0.6k － 1×0.4 B ．0.24k －1×0.76 C ．0.4k －1×0.6 D ．0.76k － 1×0.24 4．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )． A ．2191010n k -???? ? ? ???? B ． 191010k n k -???? ? ? ???? C ．1119C 1010k n k k n ---???? ? ????? D ．1 1119C 1010k n k k n ----???? ? ??? ?? 5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为 65 81 ，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ． 13 B ． 25 C ． 56 D ． 34 6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为4 5 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________． 7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答) 8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;
二项分 布 1．n 次独立重复试验 一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。 （1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==L 则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p :。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到 红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31 . (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 21，乙每次击中目标的概率为3 2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的 2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜 或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1 3 ,乙每次投篮投中的概 率为1 2 ,且各次投篮互不影响. (Ⅰ)求甲获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望
2.2.3 独立重复试验与二项分布 一、教学目标 知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。 二、重难点 教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 三、教学过程 复习引入： 1. 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记
作()P A 。 3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。 4．概率的性质：必然事件的概率为1 ，不可能事件的概率为0 ，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 讲授新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。 2 独立重复试验的概率公式： 一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中 这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(。 它是 [](1)n P P -+展开式的第1k +项。 3离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0，1，2，…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k == k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2 . （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且
规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投 篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮互不 影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜 4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ， 试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。
二项分布练习题目： 1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为 2.加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为10 9、9 8、8 7，且各道工序互不影响。 (1) 求该种零件的合格率； (2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。 （Ⅰ）解：9877 109810 P = ??=； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为10 7，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 12 373()0.1891010C ? ?=， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)10 3 (13=- 解法二： 恰好取到一件合格品的概率为1237 3 ()0.1891010 C ??=， 至少取到一件合格品的概率为 1 22233 33373737()()()0.973.1010101010 C C C ? ?+?+= 3. 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种
子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。 （Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率； （Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率。 （Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为 8 1)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.08 7 8 11==- （Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)8 1(8 721 3=??C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)8 7(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)8 7(13=- 解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为 ,287.0)8 7(8 121 3=??C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087 )81(223=??C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)8 7()81(033 3=??C 4.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是
二项分布经典例题+测 验题
二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】
1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球, 且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每 次投篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮 互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是 1 2 ，试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。
3 2 5 --------------- \ 事件的独立性 “ ----------------- 厂 丿 r ] 厂 独立重复实验 二项分布 高考要求 二项分布及 其应用 要求层次 重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念， 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布， 并能解决一些 简单的实际问题. 事件的独立性 A n 次独立重复试验与二项 分布 B 21山迄例题精讲 板块一：条件概率 （一） 知识内容 条件概率 对于任何两个事件 A 和B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P （B|A ） ”来表示.把由事件 A 与B 的交（或积），记做D=A“B （或D 二AB ）. （二）典例分析: 【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出 2个球，在第1次摸出 红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ） D . 知识框架 二项分布及其应用
【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是土 ,刮风的概率是2,既刮风又下雨的概率是丄, 15 15 10 设A=刮风”，8=下雨”，求P(B A , P(A B). 【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率. 【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=第一次出现正面”，事件B=第二次出现反面”， 则P(B A)二_____ . 【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为_________________________ . 【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品， 任取一件产品是一等品的概率是_________ . 【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=点数不同”，8=至少有一个是6点”，求P(A|B)与P(B|A). 【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名?设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率 【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率.
二项分布及其应用 要求层次 重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 事件的独立性 A n 次独立重复试验与二项 分布 B （一） 知识容 条件概率 对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）． （二）典例分析： 【例1】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出 红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ） 知识框架 例题精讲 高考要求 条件概率 事件的独立性 独立重复实验 二项分布 二项分布及其应用 板块一：条件概率
A．3 5 B． 2 3 C． 5 9 D． 1 3 【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 4 15 ，刮风的概率是 2 15 ，既刮风又下雨的概率是 1 10 ， 设A=“刮风”，B=“下雨”，求()() P B A P A B ，． 【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率． 【例4】把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则()_____ P B A=． 【例5】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为． 【例6】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品， 任取一件产品是一等品的概率是_____． 【例7】掷两枚均匀的骰子，记A=“点数不同”，B=“至少有一个是6点”，求(|) P A B与(|) P B A． 【例8】甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率? 【例9】从1~100个整数中，任取一数，已知取出的—数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．
第8讲 二项分布及其应用 【20XX 年高考会这样考】 1．考查条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．考查n 次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题． 【复习指导】 复习时要把事件的独立性、事件的互斥性结合起来，会对随机事件进行分析，即把一个随机事件分拆成若干个互斥事件之和，再把其中的每个事件分拆成若干个相互独立事件之积，同时掌握好二项分布的实际意义及其概率分布和数学期望的计算方法． 基础梳理 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P AB P A . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n AB n A . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布 在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，
二项分布 1．n次独立重复试验 一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验 的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 A ，每次试验中P( A) p0 。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。 （1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都 只有两种结果。 （ 2 ）n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P( X k) C n k p k (1p) n k。 2．二项分布 若随机变量X的分布列为P( X k ) C n k p k q n k，其中0 p 1.p q 1,k 0,1,2,L ,n, 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作 X : B(n, p) 。 1．一盒零件中有9 个正品和 3 个次品，每次取一个零件，如果取出 的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3. 甲乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为1 ，乙每次击 中目标的概率为2 . 2 3
（1）记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标 2 次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率 . 【巩固练习】 1.（2012 年高考（浙江理））已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球 , 且 规定 : 取出一个白球的 2 分, 取出一个黑球的 1 分 . 现从该箱中任取( 无放回 , 且每球取到的机会均等 )3 个球 , 记随机变量X为取出 3 球所得分数之和 . ( Ⅰ) 求X的分布列 ; ( Ⅱ) 求X的数学期望E( X). 2．（2012 年高考（重庆理））( 本小题满分 13 分 ,( Ⅰ) 小问 5 分,( Ⅱ) 小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮 , 每人每次投一球 ,. 约定甲先投且先投中者获胜, 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 . 设甲每次投 篮投中的概率为影响 . 1 3 ,乙每次投篮投中的概率为 1 2 ,且各次投篮互不 ( Ⅰ) 求甲获胜的概率 ;
专题：正态分布 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 答案：8.5。解析：设两数之积为X ， ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
学生姓名性别年级学科数学 授课教师上课时间年月日第（）次课 共（）次课 课时：2课时 教学课题人教版选修2-3 第二章二项分布及其应用同步教案 教学目标知识目标：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。 能力目标：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感态度价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点与难点理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 教学过程 知识梳理 离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 错误!未找到引用源。，（k＝0,1,2,…，n，错误!未找到引用源。）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ0 1 …k …n P 错误!未找 到引用源。错误!未找 到引用源。 … 错误!未找 到引用源。 … 错误!未 找到引用 源。 由于错误!未找到引用源。恰好是二项展开式 错误!未找到引用源。 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记错误!未找到引用源。＝b(k；n，p)．
例题精讲 【例1】某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 【方法技巧】设ξ为击中目标的次数，则ξ～B (10, 0.8 ) . 如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 k n k k n n q p C k P- = =) (ξ 错误!未找到引用源。，（k＝0,1,2,…， n，错误!未找到引用源。）． 【例2】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 【方法技巧】由题意，随机变量ξ～B(2，5%)．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复 试验中这个事件恰好发生k次的概率是 k n k k n n q p C k P- = =) (ξ 错误!未找到引用源。，（k＝0,1,2,…，n，错误! 未找到引用源。）． 【例3】重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
超几何分布与二项分布的区别 [知识点]关键是判断超几何分布与二项分布 判断一个随机变量是否服从超几何分布 ,关键是要看随机变量是否满足超几何分布 的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M 个,任取n 个,其 中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布 ,按照超几何分布的分布列() k n k M N M n N C C P X k C （0,1,2, ,k m ）进行处理就可以了 . 二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个, 且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p ；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p . 1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为 23 .现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列；(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好 接待工作，组委会在某学院招募了 12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” . （Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5人, 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望.
(一)单项选择题 1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（） A ．样本患病率p =X /n 服从 B （n ,π） [评析]本题考点：二项分布的正态近似特性。 从对二项分布特性的描述中可知：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π,)1(ππ-n ）。π不接近0也不接近1，等同于π接近0.5，因而此题目答案为D 。 3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（）
A．正态分布B.对称分布 C．Poisson分布D.二项分布 答案：C [评析]本题考点：Poisson分布的特性。 Poisson分布P（μ）的参数只有一个，即μ。它的均数和方差均 C 从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中随机取出10个球，以X代表所取出球中的红色球数，则X服从二项分布B（10，0.5）。（） 答案：正确。 [评析]本题考点：二项分布的定义。 2
二项分布成立的条件是：①每次试验只能是互斥的两个结果之一； ②每次试验的条件不变；③各次试验独立。此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否”，因而该试验结果仍为两种互斥的情况—“红色”和“非红色”。所以，此题目 3.Bernoulli试验 （二）单项选择题： 1.X1、X2分别服从二项分布B（n1，p1）、B（n2，p2），且X1、 X 相互独立，若要X=X1＋X2也服从二项分布，则需满足下列条件（）。2 A．X1=X2B.n1=n2
C．p1=p2D.n1p1=n2p2 2.二项分布B（n，p）的概率分布图在下列哪种条件下为对称分布（）。 A．n=50B.p=0.5 C．np=1D.p=1 C．95～105D．74.2～125.8 （三）简答题 1．服从二项分布及Poisson分布的条件分别是什么？ 2．二项分布、Poisson分布分别在何种条件下近似正态分布？ 3．在何种情况下，可以用率的标准误S p描述率的抽样误差？ 4
二项分布及其应用 知识归纳 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表 示，其公式为P (B |A )＝ . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个 数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质： ① ； ②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝ ． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝ ， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝ ． (3)若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 ． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ． 自我检测 1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.12 解析：条件概率P (B |A )＝ PAB PA P (A )＝C 23＋1 C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝1 1025 ＝14 . 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( ) A ．C 1012????3810????582 B ． C 911????389????58238 C ．C 911 ????589????382 D ．C 911????389??? ?582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911????389·????582·38 . 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢 两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
25.3正态分布 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102 )， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。 ∴ （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ2μ，1σ2σ（填大于，小于） 答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2 ：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
欢迎阅读 (一)单项选择题 1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（ ） A ．样本患病率p =X /n 服从 B （n , π） B ．n 人中患高血压的人数X 服从B （n , π） C ．患病人数与样本患病率均不服从B （n , π） D ．患病人数与样本患病率均服从B （n , π） 答案：B [评析] 本题考点：二项分布概念的理解。 二项分布中所指的随机变量X 代表n 次试验中出现某种结果的次数，具体到本题目就是指抽查的n 2 [n ,π）案为D 。3. A C [记。 4. 95% A C [评析]本题考点：Poisson 分布的正态近似性。 当X 较大（一般大于50）时，Poisson 分布近似正态分布，按照正态分布资料的计算公式计算该地区井水中平均每升细菌含量的95%可信区间，再除以1000即得平均每毫升井水中细菌的平均含量（设1000X Y =，有1000100001000==X Y S S ）。 （二） 是非题 从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中随机取出10个球，以X 代表所取出球中的红色球数，则X 服从二项分布B （10，0.5）。（ ） 答案：正确。 [评析] 本题考点：二项分布的定义。
二项分布成立的条件是：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否”，因而该试验结果仍为两种互斥的情况—“红色”和“非红色”。所以，此题目所述情况满足以上三个条件，X服从二项分布B （10，0.5）。 （三）计算题 炮击命中目标的概率为0.2，共发射了14发炮弹。已知至少要两发炮弹命中目标才能摧毁之，试求摧毁目标的概率。 答案：0.802 [评析]本题的考点：二项分布概率函数的理解和应用能力。 摧毁目标的概率即有两发或两发以上炮弹命中目标的概率，此概率又等于1减去只有一发命中 1. = X1＋X2 2. 4. 5. 的数量，若进行100次这样的抽查，其中的95次所得数据应在以下范围内（）。 A．5～195 B．80.4～119.6 C．95～105 D．74.2～125.8 （三）简答题 1．服从二项分布及Poisson分布的条件分别是什么？ 2．二项分布、Poisson分布分别在何种条件下近似正态分布？ 3．在何种情况下，可以用率的标准误S p描述率的抽样误差？ （四）计算题 1. 已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性率为10%，现随机抽查某地区10位成人的血清，其中3人为阳性。该地区成人乙肝表面抗原阳性率是否高于全国平均水平？
n次独立重复试验与二项分布及其应用 班级： 【高考要求】 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布. 3.能解决一些简单的实际问题. 【知识梳理】 1.条件概率 在已知B发生的条件下，事件 A发生的概率叫作B发生时A 发生的条件概率，用符号____________ 来表示，其公式为 P(A|B) =韻P(B)>0). 2.相互独立事件 (1)一般地，对两个事件 A, B,如果有称A、B相互独立. (2)如果A、B相互独立，则 A与~B、A与B、A与B也相互 独立. ⑶如果A1, A2，…，A n相互独立，则有：P (A1A2…A n)= P(A1)P(A2)…P(A n). 3.二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件： (1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功” 和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为 —P； (3)各次试验是___________的. 用X表示这n次试验中成功的次数，则 P(X= k) = __________________ (k= 0,1,2,…，n) 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n, P 的二项分布，简记为X?B(n, p). 【回顾检测】 1.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为() A 3 厂2 肿 f 3 A- B- C- D 2.(2014课标全国n)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6, 已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A . 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 3.如图，用K, A , A2三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时，系统 正常工作.已知K, A1, A2正常工作的概率依次 为090.8, 常工 作的概率为() D. 0.576 且在两 次罚OR则该队员每次罚球的命中率 小组: 姓名: 评价: ，则 P, “失败”的概率均为1 0.8,贝y系统正 ~0= -0-二—— A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 4.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 球中至多命中一次的概率为16