重庆中考几何
一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质
1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．
（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
（1）证明：∵HE=HG，
∴∠HEG=∠HGE，
∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，
∴∠BEH=∠FGC，
∵G是HC的中点，
∴HG=GC，
∴HE=GC，
∵∠HBE=∠CFG=90°．
∴△EBH≌△GFC；
（2）解：过点H作HI⊥EG于I，
∵G为CH的中点，
∴HG=GC，
∵EF⊥DC，
HI⊥EF，
∴∠HIG=∠GFC=90°，
∠FGC=∠HGI，
∴△GIH≌△GFC，
∵△EBH≌△EIH（AAS），
∴FC=HI=BH=1，
∴AD=4-1=3．
2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，
∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F为DE中点．
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．
（1）求证：CF=CG；
（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．
解答：（1）证明：连接AC，
∵DC∥AB，AB=BC，
∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2；
∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AEC，
∴CD=CE；
∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，
∴△FDC≌△GEC，
∴CF=CG．
（2）解：由（1）知，CE=CD=2，
∴BE=4CE=8，
∴AB=BC=CE+BE=10，
∴在Rt△ABE中，AE= AB2-BE2 =6，
2
∴在Rt△ACE中，AC= AE2+CE2 =10
由（1）知，△ADC≌△AEC，
∴CD=CE，AD=AE，
∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，
∴DE⊥AC，DE=2EH；（8分）
在Rt △AEC 中，S △AEC =
21 AE?CE=2
1
AC?EH ， ∴EH=
AC CE
AE ? =10
226? =5103
∴DE=2EH=2×
5103=5
10
6 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，
DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ； 求证：
（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．
证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°， 又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，
在△BCQ 和△CDP 中，
∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=
21AC=CO ，∠4=2
1
∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO
∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．
5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.
⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，
A
B
D
E
C
F
∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；
（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，
∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB?sin60°=6×
2
3
=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=
5
3
1533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F
（1）求证：BF=AD+CF ；
（2）当AD=1，BC=7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．
（1）证明： 如图（1），延长AD 交FE 的延长线于N ∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ∴△NDE ≌△FCE ∴DN=CF ∵AB ∥FN ， AN ∥BF ∴四边形ABFN 是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC
（2）解：∵AB ∥EF ，∴∠ABN=∠EFC ，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF ，∴BF=EF ， ∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF ，又∵ BC+AD=7+1∴ BF+CF+AD=8 而由（1）知CF+AD=BF ∴ BF+BF=8 ∴2BF=8，
∴BF=4，∴BF=EF=4
7、已知：AC 是矩形ABCD 的对角线，延长CB 至E ，使CE=CA ，F 是AE 的中点，连接DF 、CF 分别交AB 于G 、H 点（1）求证：FG=FH ；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．
（1）证明：连接BF
∵ABCD 为矩形
∴AB ⊥BC AB ⊥AD AD=BC ∴△ABE 为直角三角形 ∵F 是AE 的中点 ∴AF=BF=BE ∴∠FAB=∠FBA ∴∠DAF=∠CBF
∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF , ∴△DAF ≌△CBF ∴∠ADF=∠BCF ∴∠FDC=∠FCD ∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；
（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=
CE 2
1
=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=
2
1
×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=324
8、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D
作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；
（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ， ∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，
∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，
∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴
CF
CD
=2，
即CD=2CF ，
∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=
21CD+2
1
CD=CD ． 即BC=CD ．
（2）∵CE 平分∠BCD ， ∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，
∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，
由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，
∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，
∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．
∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=
21CD ，∴DP=21
CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．
（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.
10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段
AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由；
（2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．
11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．
（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度． 解答：（1）证明：连接BE ，
G 24题图
P D
C
B
∵梯形ABCD 中，AB=DC ，∴AC=BD ，可证△ABC ≌△DCB ，∴∠GCB=∠GBC ， 又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD 为等边三角形，
（2）解：∵BE 为△BCG 的中线，∴BE ⊥AC ，在Rt △ABE 中，EF 为斜边AB 上的中线， ∴EF=AB=5cm ．
12、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE=EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF=EC ，连接DF ． （1）试说明梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF 的形状；
（3）在条件（2）下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由． 解答：解：（1）证明：∵EF=EC ，∴∠EFC=∠ECF ，∵EF ∥AB ，∴∠B=∠EFC ， ∴∠B=∠ECF ，∴梯形ABCD 是等腰梯形； （2）△DCF 是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC ，EF=EC ，∴EF=CD ，
∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴CF=（BC ﹣AD ）=1，∵DC=
，
∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF 是等腰直角三角形； （3）共四种情况：
∵DF ⊥BC ，∴当PF=CF 时，△PCD 是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1； 当P 与F 重合时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=2；
当PC=CD=（P 在点C 的左侧）时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=3﹣； 当PC=CD=（P 在点C 的右侧）时，△PCD 是等腰三角形，∴PB=3+． 故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）
13．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，且DE ⊥AD 于D ，∠EBC=∠CDE ,∠ECB=45°．
⑴求证：AB=BE ；
⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =
3
1
，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．
∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°
又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG
在△BEG 和△DCG 中， ∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．
∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90°
∵2EG=CG=1又tan ∠CDE =
31，∴13
CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG +=∴10法一：∵1122
BCD S BC DG CD BF =
=V g g ，11
431022BF ??=g ∴105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴
BE BC
BG BF
=
104BF = ∴610BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=o
o
∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G 求证：(1)CG CF =；(2).BC DG = 证明：(1) ,AB EF ⊥Θ45B ∠=o
(2)连接AF ，ΘEF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥ο
45=∠=∠∴BFE AFE 由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC = 二、有关“截长补短”题型
1、在ABCD Y 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ?为等边三角形，BAD ∠、
CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。
（1）若ABCD Y 的面积为93，求AG 的长；
（2）求证：AE BE GE =+。
2.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分∠DAE (1)若正方形ABCD 的边长为4,BE=3,求EF 的长？ (2)求证：AE=EC+CD ．
2：解：
（1）5212222=+=+=CF CE EF …………4分 （2）证明：过F 作FH ⊥AE 于H
∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ， ∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ， 在△AHF 与△ADF 中，
∵AF 为公共边，∠DAF=∠EAF ，FH=FD ∴△AHF ≌△ADF （HL ）．
A B
C
D
F
E
A
B C
D
E
F
G
∴AH=AD，HF=DF．又∵DF=FC=FH，FE为公共边，
∴△FHE≌△FCE．
∴HE=CE．
∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，
3．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．
（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；
（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，
∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．
分析：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，在Rt△ABC中，利用三角函数求出BC，在Rt△CDM 中，∠D=45°，利用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6，则AD=6+8=14，然后根据梯形的面积公式计算即可；
（2）过G作GN⊥AD，则DN=GN，由AD∥BC，得∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，得到∠BFE=∠GHN，易证Rt△BEF≌Rt△NGH，则BE=GN，BF=HN，经过代换即可得到结论．解答：解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，
在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，
∴AC=10，
∴BC=8，
在Rt△CDM中，∠D=45°，
∴DM=CM=AB=6，
∴AD=6+8=14，
∴梯形ABCD的面积=?（8+14）?6=66（cm2）；
（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，
∵∠D=45°，
∴△DNG为等腰直角三角形，
∴DN=GN，
又∵AD∥BC，
∴∠BFH=∠FHN，
而∠EFH=∠FHG，
∴∠BFE=∠GHN，
∵EF=GH，
∴Rt△BEF≌Rt△NGH，
∴BE=GN，BF=HN，
∴DH=HN+DN=HN+NG=BF+BE．
4、如上图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=BC ，∠DAB=60°，E 是对角线AC 延长线上一点，F 是AD 延长线上的一点，且EB ⊥AB ，EF ⊥AF ． （1）当CE=1时，求△BCE 的面积； （2）求证：BD=EF+CE ．
考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。 专题：计算题。 分析：（1）先证明∠BCE=90°，∠CBE=30°，△BCE 为直角三角形，又CE=1，继而求出BE 的长，再根据三角形的面积公式求解即可；
（2）过E 点作EM ⊥DB 于点M ，四边形FDME 是矩形，FE=DM ，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME ≌△ECB ，BM=CE ，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE ． 解答：（1）解：∵AD=CD ， ∴∠DAC=∠DCA ， ∵DC ∥AB ，
∴∠DCA=∠CAB ， ∴
，
∵DC ∥AB ，AD=BC ， ∴∠DAB=∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA ）=90°， ∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°， ∵BE ⊥AB ， ∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABE ﹣∠ABC=30°， 在Rt △BCE 中，BE=2CE=2，，
∴
…（5分）
（2）证明：过E 点作EM ⊥DB 于点M ， ∴四边形FDME 是矩形， ∴FE=DM ，
∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°， ∴△BME ≌△ECB ， ∴BM=CE ，
∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）
5．已知，如图，//,90,AD BC ABC AB BC ∠==o
，点E 是AB 上的点，45ECD ∠=o
，连
接ED ，过D 作DF BC ⊥于F .
(1)若75,3BEC FC ∠==o
，求梯形ABCD 的周长.
(2)求证：ED BE FC =+； 5．解：①75,90BEC ABC ∠=∠=o
o
Q
45
45DCE ECG DCE ECG
DEC EGC
ED EG ED BE FC
∠=∴∠=∴∠=∠∴???∴=∴=+o
o
Q 在Rt DFC ?中：60,3DCF FC ∠==o
由题得，四边形ABFD 是矩形 延长EB 至G ，使BG =CF ，连接CG
6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ．点E 是线段DO 上一点，连结CE ．点F 是∠OCE 的平分线上一点，且BF ⊥CF 与CO 相交于点M ．点G 是线段CE 上一点，且CO =CG ．
（1）若OF =4，求FG 的长； （2）求证：BF =OG +CF ． 6．（1）解：∵CF 平分∠OCE ，
∴∠OCF =∠ECF ．
1分） 又∵OC =CG ，CF =CF ，
∴△OCF ≌△GCF ．…………………………………………………（3
分） ∴FG =OF =4，
即FG 的长为4．……………………………（4分）
（2）证明：在BF 上截取BH =CF ，连结OH ．…………………………………（5分）
∵正方形ABCD 已知，
∴AC ⊥BD ，∠DBC =45°， ∴∠BOC =90°，
∴∠OCB =180°—∠BOC —∠DBC =45°
． ∴∠OCB =∠DBC ．
∴OB =OC ．…………………………………………（6分） ∵BF ⊥CF ， ∴∠BFC =90°．
∵∠OBH =180°—∠BOC —∠OMB =90°—∠OMB ， ∠OCF =180°—∠BFC —∠FMC =90°—∠FMC ，
D
24题图
D
24题答图
G
H
F
E
D
C
B A 且∠OMB =∠FM
C ，
∴∠OBH =∠OCF ．………………（7分）
∴△OBH ≌△OCF ．
∴OH =OF ，∠BOH =∠COF ．………………（8分） ∵∠BOH +∠HOM =∠BOC =90°， ∴∠COF +∠HOM =90°，即∠HOF =90°． ∴∠OHF =∠OFH =
2
1
（180°—∠HOF ）=45°． ∴∠OFC =∠OFH +∠BFC =135°． ∵△OCF ≌△GCF ， ∴∠GFC =∠OFC =135°，
∴∠OFG =360°—∠GFC —∠OFC =90°． ∴∠FGO =∠FOG =
2
1
（180°—∠OFG ）=45°． ∴∠GOF =∠OFH ，∠HOF =∠OFG ． ∴OG ∥FH ，OH ∥FG ， ∴四边形OHFG 是平行四边形． ∴OG =FH ．……………………（9分） ∵BF =FH +BH ，
∴BF =OG +CF ．
7、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，连接DP ，过点B 作 BE DP ⊥交DP 的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 。
（1）若2AE =，求EF 的长； （2）求证：PF EP EB =+。
8.如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠ABC=90°，DG ⊥BC 于G,B H ⊥DC 于H ，CH=DH ，点E 在AB 上，点F 在BC 上，并且E F ∥DC 。 (1)若AD=3，CG=2，求CD;
(2)若CF=AD+BF ，求证：EF=
2
1CD. 8. (1)解：连接BD ………… 1分
∵A D ∥BC, ∠ABC=90°, DG ⊥BC ∴四边形ABGD 是矩形
∴AB=DG BG=AD=3∴BC=3+2=5∵B H ⊥DC ，CH=DH ，∴BD=BC=5
在Rt △ABD 中，AB=43522=-∴DG=4
在Rt △CDG 中,CD=522422=+ ………… 5分
(2)证明：延长FE 、DA 相交于M ………… 6分
∵ E F ∥DC, AD ∥CF ∴四边形CDMF 是平行四边形∴CF=MD ∵ CF=AD+BF, MD=AD+AM ∴ AM=BF ∵ AM ∥BF ∴ ∠M=∠BFE 又∵ ∠AEM=∠BEF
∴ △AEM ≌△BEF ………… 8分∴ ME=EF=
2
1MF ∵ 四边形CDMF 是平行四边形 ∴ MF=CD ∴ EF=
2
1CD 9、正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o
。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ 变形a 解：（简单思路）
解：数量关系为：EF= BF-DE.理由如下： 在BC 上截取BG ，使得BG=DF ，连接AG 。 由四边形ABCD 是正方形得
∠ADE=∠ABG=90o ，AD=AB
又DE=BG ∴?ADE ??ABG （SAS ）
∴∠EAD=∠GAB ， AE=AG ，由四边形ABCD 是正方形得
∠DAB=90o =∠DAG+∠GAB=∠DAG+∠EAD=∠GAE
∴∠GAF=∠GAE-∠EAF=90o
-45o
=45o
∠GAF=∠EAF=45o 又AG=AE AF=AF
∴?EAF ??GAF （SAS ） ∴ EF=GF=BF-BG=BF-DE
10、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，BG ⊥CD 于点G ．
（1）若点P 在BC 上，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证：PE+PF=BG ． （2）若AD=4，BC=6，AB=2，求BG 的长． 解：（1）作PM ⊥BG 于M ．∵BG ⊥CD ，PF ⊥CD ，PM ⊥BG ，∴四边形PMGF 为矩形，PF=MG ． ∵ABCD 是等腰梯形，∴∠ABC=∠C ．∵PM ⊥BG ，CD ⊥BG ，∴PM ∥CD ．∴∠MPB=∠C=
E
F
D C A B ∠EBP ．
又∵∠BEP=∠PMB=90°，BP=PB ，∴△BEP ≌△PMB ，∴PE=BM ．∴PE+PF=BM+MG=BG ； （2）过点D 作DN ∥AB 交BC 于点N ．则ABND 是平行四边形，DN=AB=DC=4．∵BC=6，AD=4，
∴NC=4．∴△DNC 是等边三角形，∠C=60°．∴BG=BC?sin60°=6×32=33． 11、正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上， EAF=45o
。
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？
12、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=BC=DC ，点E 、F 分
别在AD 、AB 上，且∠FCE=1/2∠BCD ． （1）求证：BF=EF-ED ；
（2）连接AC ，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF 的度数．
（1）证明：∵FC=F ′C ，EC=EC ，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF ，∴△FCE ≌△F ′CE ， ∴EF ′=EF=DF ′+ED ，∴BF=EF-ED ； （2）解：∵AB=BC ，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．
13.如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG=GE ，连接BE ，CE ． （1）求证：BE=BC ；
（2）∠CBE 的平分线交AE 于N 点，连接DN ，求证： ； （3）若正方形的边长为2，当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为 （1）证明：∵BG ⊥AP ，AG=GE ，∴BG 垂直平分线段AE ，∴AB=BE ，在正方形ABCD 中，AB=BC ，∴BE=BC ；
（2）证明：∵AB=BE ，∴∠BAG=∠BEG ，∵BG ⊥AP ，∠ABC=90°，∴∠BAG=∠PBG=∠BEG ，∵BN 为∠CBE 的平分线，∴∠EBN=∠CBN ，∴∠PBG+∠CBN=∠EBN+∠BEG ，即∠BNG=∠NGB=45°，∴△BNG 是等腰直角三角形，BN= GN ，
连接CN 、AC ，则∠CNE=2（∠EBN+∠BEG ）=90°，又∠ADC=90°，∴A 、D 、C 、N 四点共圆，∴∠CND=∠CAD=45°，∴∠AND=45°，过D 作DM ⊥AE 于点M ，则△DNM 为等腰直角三角形，∴DN= DM ，∵∠DAM+∠ADM=90°，∠DAM+∠BAG=90°，∴∠ADM=∠BAG ，在△ABG 和△DAM 中，
O E
B
A
C
，∴△ABG ≌△DAM （AAS ），∴AG=DM ，
∴BN+DN=
GN+
AG=
（GN+AG ）=
AN ； （3）根据勾股定理，AP=
=
=
，∴BG=
=
，
∵BP=PC ，∠BGP=∠CNP=90°，∴△BPG ≌△CNP （AAS ），∴CN=BG ，∴CE=
CN=
×
=
14、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分∠DAC 。 求证：AC/2=AD-EO （2）解：（简单思路） 过E 作EG ⊥AD 于G ∵四边形ABCD 是正方形
∠ADC=90
o
，BD 平分∠ADC ，AC ⊥BD ∴
∠ADB=∠ADC/2=45o
∵AE 平分∠DAC ，EO ⊥AC ，EG ⊥AD ∴
∠EAO=∠EAG ， ∠DGE=
∠AOE=
∠AGE=90
o
又AE=AE ，∴
?AEO ??AEG
（AAS ）∴AG=AO ，EO=EG
又∠ADB=45o
，∠DGE=90o
∴?DGE 为等腰直角三角形
DG=EG=EO AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2
15．如图，正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点（异于点B 、C ），AM 的垂直平分线分别交AB 、CD 、BD 于E 、F 、K ，连AK 、MK ．
（1）若M 是BC 的中点，且BC =4，求EF 的长；（2）求证：AE =DF +BM ．
16、正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM=AN ，点E 在BD 上，NE 平分∠DNM 。 请问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？ （2）加强版解：（简单思路） MN/2=AD-EF
过E 作EG ⊥AD 于G ，作EQ ⊥AB 于Q ， 过B 做BP ⊥MN 于P 按照（2）的解法，可求证，
?GNE ??FNE （AAS ） ?DGE 为等腰直角三角形 AG=AD-DG=AD-EF ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∠ABC=∠GAQ=∠BCM=90
o
BD 平分∠ABC ，BC=BA
∠ABD=∠ABC/2=45o ，又∠EQB=90o ?EQB 为等腰Rt 三角形，∠BEQ=45o
∵∠GAQ=∠EGA=∠EQA=90o
∴四边形AGEQ 为矩形， EQ=AG=AD-EF ，
EQ ∠∠∠∠∠∠∠∠
o
???∠∠∠o ∠∠∠∠∠?⊥?∠
o
∠∠∠∠∠∠∠
F
E
D
C
A
B
∠∠∠
o
∠∠∠∠
o
∠∠???∠o ∠o 3?⊥面如（1）所证，
?ADG ??ABF ，?EAG ??EAF ∠GAD=∠FAB=30o ，S ?EAG=S ?EAF
在Rt ?ADG 中，
∠GAD=30
o
，AD=3
∠AGD=60
o
，AG=2
设EH=x 在Rt ?EGH 中和Rt ?EHA 中
∠AGD=60
o
，
∠HAE=45
o
HG=3
3x ，AH=x
AG=2=HG+AH=3
3x+x,EH=x=3-3 S ?EAF=S ?EAG=EH ?AG ÷2=3-3.
2013年重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长； （2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积； （2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED； （2）若AB=BC，求∠CAF的度数． 8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F． （1）求证：∠DAE=∠DCE； （2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点． （1）求证：DP平分∠ADC； （2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．
重庆中考几何 一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． （1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC； （2）解：过点H作HI⊥EG于I， ∵G为CH的中点， ∴HG=GC， ∵EF⊥DC， HI⊥EF， ∴∠HIG=∠GFC=90°， ∠FGC=∠HGI， ∴△GIH≌△GFC， ∵△EBH≌△EIH（AAS）， ∴FC=HI=BH=1， ∴AD=4-1=3． 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE． （1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD； （2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点． 证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC=BE； （2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
2017年重庆中考材料阅读练习题 1、2017届南开（融侨）中学九上入学 24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质： （1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。数字111经过 三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。 （2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。 2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一 23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198； （2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。
3、2017届南开（融侨）中学九上期末 25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”． （1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”) （2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x =上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。 4、2017届一中九上月考三 24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得 a n b =，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7 a n =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被 7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-?=， 因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律． （2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．
重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E
（1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长； （2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积； （2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．
武汉市中考数学几何综合题专题汇编（2） 1、（2013?绍兴）矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，P ，Q 是对角线BD 上不重合的两点，点P 关于直线AD ，AB 的对称点分别是点E 、F ，点Q 关于直线BC 、CD 的对称点分别是点G 、H ．若由点E 、F 、G 、H 构成的四边形恰好为菱形，求PQ 的长。 2、（2013陕西压轴题）问题探究 （1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决 （3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点，如果AB=a ，CD=b ，且a b ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由. 图① 图② A B C D M B 图③ A C D P （第25题图）
3、（2013?温州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A （6，0），B （0.8），点C 的坐标为（0，m ），过点C 作CE ⊥AB 于点E ，点D 为x 轴上的一动点，连接CD ，DE ，以CD ，DE 为边作?CDEF ． （1）当0＜m ＜8时，求CE 的长（用含m 的代数式表示）； （2）当m=3时，是否存在点D ，使?CDEF 的顶点F 恰好落在y 轴上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的m 的值． 4、（13年北京）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（?<
武汉中考数学24题专题 （一）正方形 1、已知P是正方形ABCD边BC上一点，PE⊥AP，且PE=AP，连接AE、CE，AE 交CD于点F。 （1）如图1求∠ECF的度数； （2）如图2，连接AC ，求证：AC=CE+2PC； （3 ）若正方形的边长为4，CF=3，请直接写出BP的长为。 2、P是边长为4的正方形ABCD的边BC上任一点，过B作BG⊥AP于G，过C作CE⊥AP于E， 连BE。 （1）如图1，若P是BC的中点，求CE的长； （2）如图2，当P在BC边上运动时（不与B、C重合），求 BE CE AG- 的值 （3）当PB= 时，△BCE是等腰三角形。 3．已知,如图Rt ABC ?中，∠BAC=90°，AB=AC. AC边上有点D，连接BD, 以BD为腰作等 腰直角△BDE, DE交BC于F. （1）求证：△ABD ∽△CBE. （2）连接CE,求证：BC－CE =2CD. （3）若AB=2,D为AC的中点，请直接写出线段DF的长度为。 4.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG AP ⊥于点G，在AP的延长线上取点E， 使AG GE =，连接BE，CE. （1）求证：BE BC =； （2）CBE ∠的平分线交AE于N点，连接DN，求证：2 BN DN AN +=； （3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为 . F E D C B
5．如图：M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 边CB 、DC 延长线上的点，且DN – BM = MN ． （1）求证：∠MAN = 45°； （2）若DP ⊥AN 交AM 于P ，求证：2PA PC PD +=； （3）若C 为DN 的中点，直接写出PC 的长为 ． （二）其他截长补短 1.如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°． （1）求证：AD ＝BD ； （2）E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ，求证：AD +CD ＝DE ； （3）当BD ＝2时，AC 的长为______．（直接填出结果，不要求写过程） 2．如图，P 为等边△ABC 外形一点，AH 垂直平分PC 于点H ，∠BAP 的平分线交PC 于点 D ． （1）求证：DP = DB ； （2）求证：DA + DB = DC ； （3）若等边三角形的边长为2，连接BH ，当△BDH 为等边三角形时，请直接写出CP 的长 度为 ． 3．如图1，P 为正方形ABCD 边CD 上一点，E 在CB 的延长线上，BE = DP ，∠CEP 的平分线交正方形的对角线AC 于点F ． （1）求证：AE = AF ； （2）如图2，AM ⊥PE 于点M ，FN ⊥PE 于点N ，求证：AM + FN = AD ； （3）若正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，在（2）的条件下请直接写出线段FN 的 长为 ． D E A B C A B C D N M B D C N M P A
2015年重庆中考数学第24题专题讲义 1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。 （1）若DE＝10，求线段AB的长；（2）求证：DE－HG＝EG。 24.(1)AB=45 (2) 证明在正方形ABCD中 易证RT△CDF?RT△DAE ∴∠DGE=∠DAE=RT∠ ∴∠EGC=∠EBC=RT∠ ∴∠EGC+∠EBC=180° ∴B、C、G、E四点共圆 ∠AED=∠BCG 连EC，∴∠BGC=∠BEC 因为BE=EA BC=AD ∴RT△BCE?RT△ADE ∴∠AED=∠BEC ∴∠BGC=∠AED ∴∠BGC=∠BCG ∴BG=BC 又因为BH平分∠GBC ∴BH是GC的中垂线 ∴GH=HC=GC/2=4√(5)/5/2=2√(5)/5 ∴GH=DG ∴△DGH是等腰直角三角形 即：DE－HG＝EG。 2．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC. (1)若AB=13，CF=12，求DE的长度； (2)求证： 1 3 DCM DMF ∠=∠. G H F E D C B A M F E D C B A 第24题
4 321 M F E D C B A B 第24题图 24.解:(1)∵平行四边形,13ABCD AB = ∴13==AB CD ，又 ∵,12CF DE CF ⊥= ∴5DF ==又∵F 为DE 中点 ∴210DE DF == ……4′ (2)连接CE , ∵,CF DE F DE ⊥为中点 ∴,CD CE =∴12∠=∠ 在CDM CEB ??和中 ∵ CD CE CM CB DM BE =?? =??=? ∴CDM CEB ??? ∴34∠=∠ 又∵41222∠=∠+∠=∠ ∴322∠=∠ ∴3232DMF ∠=∠+∠=∠ ∴123DMF ∠= ∠ 即1 3 DCM DMF ∠=∠ ……10′ 3．如图，E 为正方形ABCD 的CD 边上一点，连接BE ，过点A 作AF ∥BE ，交CD 的延长线于点F ， ABE ∠ 的平分线分别交AF 、AD 于点G 、H ． （1）若?=∠30CBE ，3= AG ，求DH 的长度； （2）证明：DF AH BE +=． 24: ∵ABCD 是正方形 ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠CDA =90° ∵∠CBE =30°且BG 平分∠ABE , ∴∠ABG =∠GBE =30° 1分 ∴∠AGB =∠GBE ∴∠ABG =∠AGB ∴AB =AG =3 2分 又∵在Rt △ABE 中，∠ABG =30° ∴AH = 3 3 AB =1 3分 又∵ABCD 是正方形 ∴AD =AB ∴DH =3—1 4分 （2）证明：将△ABH 绕着点B 顺时针旋转90° （辅助线加说明） 5分 ∵ABCD 是正方形
1. 随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜. 2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元. （1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元 （2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张. “元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加 4张，经统计，1月2日的总票数中有5 3 通过网上平台 售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元 2. 为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分别为3000元和600元 （1）求最多能购进多媒体设备多少套 （2）恰“315°次乐购时机，每套多媒体设备的售价下降a 5 3%，每个电脑显示屏的售价下降5a 元，决定多媒 体设备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加a %，实际投入资金与计划投入资金相同，求a 的值 3. 某商店经销甲、乙两种商品。现有如下信息： 信息1:甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元； 信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的零售单价； （2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件. 经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售100件.商店决定把甲种商品的零售单价下降m(m>0)元，乙种商品的零售单价和销量都不变. 在不考虑其他因素的条件下，当m 为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1700元
重庆中考数学——阅读理解专题 1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818?=，∴1|8；Θ155?-=-，∴5|5--；Θ5210?=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ； （2）若7|21k +，且k 为整数，满足??? ??≤≥-53134k k ，求k 的值. 2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n b a =，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得 n a =3 ，即n a 3=。 （1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。 （2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。
3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 1011031132332222222=+→=+→=+→， 1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→， 所以32和70都是“快乐数”． （1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4； （2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ． ． 5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”； （2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.
2019年武汉市初中毕业生考试 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．实数2019的相反数是（ ） A ．2019 B ．－2019 C ． 2019 1 D ．2019 1 - 答案：B 解析：2019的相反数为－2019，选B 。 2．式子1-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ≥－1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 答案：C 解析：由二次根式的定义可知，x －1≥0， 所以，x ≥1，选C 。 3．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A ．3个球都是黑球 B ．3个球都是白球 C ．三个球中有黑球 D ．3个球中有白球 答案：B 解析：因为袋中只有2个白球，所以，从袋子中一次摸出3个都是白球是不可能的，选B 。 4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ） A ．诚 B ．信 C ．友 D ．善 答案：D 解析：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，如图，只有D 才是轴对称图形。
5．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（ ） 答案：A 解析：左面看，左边有上下2个正方形，右边只有1个正方形，所以，A 符合。 6．“漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响， 水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y 与x 的对应关系的是（ ） 答案：A 解析：因为壶是一个圆柱，水从壶底小孔均匀漏出，水面的高度y 是均匀的减少， 所以，只有A 符合。 7．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 、c ，则关于x 的一元二次方程ax 2＋4x ＋c ＝0有实数解的概率为（ ） A ． 4 1 B ．3 1 C ． 2 1 D ． 3 2 答案：C 解析：由一元二次方程ax 2＋4x ＋c ＝0有实数解，得： △＝16－4a c ＝4（4－a c ）≥0， 即满足：4－a c ≥0， 随机选取两个不同的数a 、c ，记为（a ，c ）,所有可能为： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4）
中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：B G=D G+CD． 在B G上取BH=AB=CD，连EH， 显然△ABE与△CDE全等，则∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC 又∠BEC=90°=∠BFC，对顶角∠BGE=∠CGF， 故∠FBE=∠DCE， 所以∠ABE=∠FBE 在BF上取BH=AB，连接EH， 由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE与△HBE全等 故∠AEB=∠HEB，AE=EH 而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90° 所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB 故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED 同理，∠DEG=45°=∠HEG EH=AE=ED，EG=EG 故△HEG与△FEG全等，所以HG=DG 即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD 延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BC E的面积； （2）求证：B D=E F+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过 点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD 交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．
中考数学第24题精练 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊙BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且⊙ODB＝⊙AEC． (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)求证：CE2＝EH?EA； (3)若⊙O的半径为5 2 ，sinA＝ 3 5 ，求BH的长．
2．如图，点O是线段AH上一点，3 AH=，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作ABCD Y． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若 1 3 OH AH =，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积； （3）若 1 3 NH AH =， 5 4 BN=，连接MN，求OH和MN的长．
3.如图⊙，在⊙ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在BC上，连接BD，DE，⊙CDE＝⊙ABD． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）如图⊙，当⊙ABC＝90°时，线段DE与BC有什么数量关系？请说明理由． （3）如图⊙，若AB＝AC＝10，sin⊙CDE＝3 5 ，求BC的长．
4．如图，已知BC⊙AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD?AO＝AM?AP． （1）连接OP，证明：⊙ADM⊙⊙APO； （2）证明：PD是⊙O的切线； （3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．
5．如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊙BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若ED3，求证：3OF＝2DF； （3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．
湖北省武汉市2013年中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）下列各题中均有四个备选答案中，其中有且只有一个是正确的。 2．（3分）（2013?武汉）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） （ 3．（3分）（2013?武汉）不等式组的解集是（） ，
4．（3分）（2013?武汉）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完 5．（3分）（2013?武汉）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1?x2的值是 = ﹣= 6．（3分）（2013?武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）
7．（3分）（2013?武汉）如图是由四个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（） B 8．（3分）（2013?武汉）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最
9．（3分）（2013?武汉）为了了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜好的书籍，如果没有喜好的书籍，则作“其它”类统计．图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．以下结论不正确的是（） × 所在扇形的圆心角为：
10．（3分）（2013?武汉）如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点．若∠CDE=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则的长度是（） B 的长度是：=．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）（2013?武汉）计算：cos45°=． 故答案为． 12．（3分）（2013?武汉）在2013年的体育中考中，某校6名学生的分数分别是27、28、29、28、26、28，这组数据的众数是28． 13．（3分）（2013?武汉）太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示数696 000为6.96×105． 14．（3分）（2013?武汉）设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度是20米/秒．
人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位
置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．
圆专题复习 1．（2017广东卷9分）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点 （不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C 的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB． （1）求证：CB是∠ECP的平分线； （2）求证：CF=CE； （3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）
2、（2016广东卷）如图11，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC=30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点 F. （1）求证：△ACF ∽△DAE ； （2）若3=4AOC S △，求DE 的长； （3）连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线. C O F D E B A
3. （2015广东卷）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙ O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，P B. (1) 如题24﹣1图；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数； (2) 如题24﹣2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC 是平行四边形； (3) 如题24﹣3图；取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥A B.
4、（2014广东卷）⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F 点，连接PF。 （1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π） （2）求证：OD=OE； （3）PF是⊙O的切线。
武汉市中考24题练习 1. 如图等腰Rt △ABC 中AB=AC ，D 为斜边BC 上的动点，若BD=n CD ，AF ⊥AD 交AD 于E 、AC 于F 。 ⑴如图1，若n =3时，则AC AF = ⑵如图2，若n =2时，求证：AE DE 3 2 ⑶当n = 时，AE=2DE 2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为BC 边上一动点，BD=nCD ，CE ⊥AD 于F ，交AB 于E 。 （1）若n=1，则CF DF =__________，AF BD =__________ （2）若n=2，求AE BE 的值。 （3）当n=_____________时，AE BE =52 图3 图2 图1 F A B E D C F A B E D C F E D C B A
24(1) M E D C B A 24(2)E M D C B A 3、如图，△ABC 中，∠B=45°,O 为AC 上一个动点，过O 作∠POQ=135°，且∠POQ 与AB 交于P ，与BC 交于Q （1） 若 BC AB =1，CO AO =1，则OQ OP =_________（如图1） （2） 若 BC AB =31，CO AO =2 1 ，求OQ OP 的值，写出求解过程（如图2） （3） 若OQ OP =53，BC AB =21，则CO AO =_________（如图3） 4、如图：已知等边三角形ABC,D 为AC 边上的一动点，CD=nDA ，连线段BD,M 为线段BD 上一点，∠AMD=60°,AM 交BC 于E. ⑴.若n ＝1,则 CE BE = ,DM BM = . ⑵.若n ＝2,求证：BM=6DM. ⑶.当n ＝ 时，M 为BD 中点. （直接写结果，不要求证明）。
重庆中考数学第24题专题训练 【典题1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． （1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC； （2）解：过点H作HI⊥EG于I， ∵G为CH的中点， ∴HG=GC， ∵EF⊥DC， HI⊥EF， ∴∠HIG=∠GFC=90°， ∠FGC=∠HGI， ∴△GIH≌△GFC， ∵△EBH≌△EIH（AAS）， ∴FC=HI=BH=1， ∴AD=4-1=3． 【典题2】已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE． （1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD； （2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点． 证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，
∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC=BE； （2）如图，作DG∥AE，交AB于点G， 由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°， ∴∠DGF=∠FAE=90°， 又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°， 又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB， ∴∠DBG=∠ABC=60°， 在△DGB和△ACB中， ∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ， ∴△DGB≌△ACB（AAS）， ∴DG=AC， 又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC， ∴DG=AE， 在△DGF和△EAF中， ∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ， ∴△DGF≌△EAF（AAS）， ∴DF=EF，即F为DE中点． 【典题3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF； （2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长． （1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N ∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC （2）解：∵AB∥EF， ∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3， 又∵∠2+∠BEF=∠3， ∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，
F E A P B C D 图2 武汉中考第24题专项训练研讨 一、内容分析： 培养数学逻辑推理能力是新课标的要求，第24题便是近年来考查这种能力的一种新题型, 它不仅开阔同学们的视野,而且发展了同学们发散思维,创新探索和逻辑推理能力和动手能力， 这种题型考查学生逻辑推理的方式主要注意如下几方面:① 图形由特殊到一般;② 图形的位置由特殊到一般；③ 结论由特殊到一般.解决方法主要由“特殊到一般”的思路,结合旋转,全等或相似的相关性质，以及实践操作，观察猜想加以解决. 二、主要知识考点： 1、图形旋转的性质； 2、三角形全等或相似； 3、实践作图； 三、结论类型： 1、 角度大小关系； 2、 线段大小和位置关系； 3、 其它； 四、题型变化 引例：（08届4月调考题）如图所示，ABCD 为正方形。 (1)如图1，点P 为△ABC 的内心，问：DP 与DA 有何数量关系？证明你的结论； (2)如图2，若点E 在CB 边上（不与点C 、B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 为 △FBE 的内心，则DP 与DF 有何数量关系？证明你的结论； (3)如图3，若点E 在CB 的延长线上（不与点B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 是△FEB 中与∠FEB 、∠FBE 相邻的两个外角平分线的交点。完成图3，判断DP 与DF 之间的 数量关系（直接写出结论，不证明）。 对照练习： 1、如图1，正方形ABCD 中，∠FOE=90°顶点O 于D 点重合，交BC 边于E ，交BA 的延长线 于F.(1)求证：OF=OE; (2)若O 点在直线BD 上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立？试画图直接写出结论。 （ （3） 如图4，O 为正方形ABCD 对角线的中点，∠FOE=90°交BC 、CD 边于F 、E 点。求证OE=OF 。 （ （4）如图5、6，O 点在直线BD 上运动，OD ：OB=1：n ，其它条件不变， （3）中结论是否还成立？若不成立，请直接写出OE ：OF= 。 2、如图，已知△ABC 为⊙O 的内接三角形，I 为△ABC 的内心， AI 的延长线交BC 于E ，交⊙O 于D 。 (1)求证：BD=ID=CD; (2)若点I 为∠ABC 和∠ACB 的外角平分线的交点，其它条件不变， 问(1)中的结论是否仍然成立？请画图并直接写出结果（不必证明）。 E A B C D 图3 图1 E O A B C D 图2 E O A B C D 图3 O F E A 图4 O F E D 图5 O F E D C 图6