人教版初中数学二次函数知识点总复习附解析
一、选择题
1.抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示,下列判断中:①abc <0;②a +b +c >0;③5a -c =0;④当x <或x >6时,y 1>y 2,其中正确的个数有( )
A .1
B .2
C .3
D .4
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解:根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知:a >0,b <0,c >0,则abc <0,则①正确;
根据图形可得:当x=1时函数值为零,则a+b+c=0,则②错误; 根据函数对称轴可得:-2b
a
=3,则b=-6a ,根据a+b+c=0可知:a-6a+c=0,-5a+c=0,则5a-c=0,则③正确;
根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.
点睛:本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系,属于中等题目,如果函数开口向上,则a 大于零,如果函数开口向下,则a 小于零;如果函数的对称轴在y 轴左边,则b 的符号与a 相同,如果函数的对称轴在y 轴右边,则b 的符号与a 相反;如果函数与x 轴交于正半轴,则c 大于零,如果函数与x 轴交于负半轴,则c 小于零;对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时,我们需要找具体的值进行代入从而得出答案;对于两个函数值的大小比较,我们一般以函数的交点为分界线,然后进行分情况讨论.
2.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b
+=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=2
22ax bx +,
且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( )
A .①②③
B .②④
C .②⑤
D .②③⑤
【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【详解】
解:抛物线的开口向下,则a <0; 抛物线的对称轴为x=1,则-
2b
a
=1,b=-2a ∴b>0,2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴,则c >0;
由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标,是最大值,当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标,不是最大值 ∴+a b >2am bm +(故③正确)
:b >0,b+2a=0;(故②正确) 又由①②③得:abc <0 (故①错误) 由图知:当x=-1时,y <0;即a-b+c <0,b >a+c ;(故④错误)
⑤若211ax bx +=222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2
11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-
x 2)=a(x 1+x 2)(x 1-x 2)+b(x 1-x 2)= (x 1-x 2)[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a
a a
-=-=2 (故⑤正确) 故选D .
考点:二次函数图像与系数的关系.
3.已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:①抛物线一定过原点;②方程()2
00++=≠ax bx c a 的解为0x =或4;
③0a b c -+<;④当04x <<时,20ax bx c ++<;⑤当2x <时,y 随x 增大而增大.其中结论正确的个数有( )
A .1
B .2
C .3
D .4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意,求得,,a b c ,根据二次函数的图像和性质,结合选项进行逐一分析,即可判断. 【详解】 由题可知22b
a
-
=,与x 轴的一个交点坐标为(4,0),则另一个交点坐标为()0,0, 故可得1640a b c ++=,0c =, 故可得4,0a b c -== ①因为0c =,故①正确;
②因为二次函数过点()()0,0,4,0,故②正确; ③当1x =-时,函数值为0a b c -+<,故③正确; ④由图可知,当04x <<时,0y <,故④正确; ⑤由图可知,当2x <时,y 随x 增大而减小,故⑤错误; 故选:D. 【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质,涉及二次函数的增减性,属综合中档题.
4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,下列结论①24b ac >,②0abc <,③20a b c +->,④0a b c ++<.其中正确的是( )
A .①④
B .②④
C .②③
D .①②③④
【答案】A 【解析】
【分析】
①抛物线与x 轴由两个交点,则240b ac ->,即24b ac >,所以①正确;②由二次函数图象可知,0a <,0b <,0c >,所以0abc >,故②错误; ③对称轴:直线12b
x a
=-
=-,2b a =,所以24a b c a c +-=-,240a b c a c +-=-<,故③错误;
④对称轴为直线1x =-,抛物线与x 轴一个交点132x -<<-,则抛物线与x 轴另一个交点201x <<,当1x =时,0y a b c =++<,故④正确. 【详解】
解:①∵抛物线与x 轴由两个交点, ∴240b ac ->, 即24b ac >, 所以①正确;
②由二次函数图象可知, 0a <,0b <,0c >,
∴0abc >, 故②错误;
③∵对称轴:直线12b
x a
=-=-, ∴2b a =,
∴24a b c a c +-=-, ∵0a <,40a <,
0c >,0a <,
∴240a b c a c +-=-<,
故③错误;
④∵对称轴为直线1x =-,抛物线与x 轴一个交点132x -<<-, ∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<, 当1x =时,0y a b c =++<, 故④正确. 故选:A . 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系,熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.
5.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(-1,0)和点(3,0),有下列说法:①bc <0;②a +b +c >0;③2a +b =0;④4ac >b 2.其中错误的是( )
A .②④
B .①③④
C .①②④
D .②③④
【答案】C 【解析】 【分析】
利用抛物线开口方向得到0a >,利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <,利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <,则可对A 进行判断;利用当1x =时,0y <可对B 进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b
x a
=-=,则可对C 进行判断;根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断. 【详解】
解:Q 抛物线开口向上,
0a ∴>,
Q 对称轴在y 轴的右侧,
a ∴和
b 异号,
0b ∴<,
Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,
0c ∴<,
0bc ∴>,所以①错误;
Q 当1x =时,0y <,
0a b c ∴++<,所以②错误; Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0),
∴抛物线的对称轴为直线1x =,
即12b
a
-
=, 20a b ∴+=,所以③正确; Q 抛物线与x 轴有2个交点,
∴△240b ac =->,
即24ac b <,所以④错误. 综上所述:③正确;①②④错误. 故选:C . 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠,二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置
(左同右异).常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c .抛物线与x 轴交点个数由△决定.
6.如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1,当y >0时,x 的取值范围是( )
A .﹣1<x <1
B .﹣3<x <﹣1
C .x <1
D .﹣3<x <1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标,即可得到答案. 【详解】
解:∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1, ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是(﹣3,0), ∴当y >0时,x 的取值范围是﹣3<x <1. 所以答案为:D . 【点睛】
此题考查抛物线的性质,利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.
7.二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表:
x
··· 1- 0 1
3 ··· y ···
1-
3 5
3
···
下列结论错误的是( ) A .0ac < B .3是关于x 的方程()2
10
ax b x c +-+=的一个根;
C .当1x >时,y 的值随x 值的增大而减小;
D .当13x -<<时,
()210.ax b x c +-+>
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数中的x 与y 的部分对应值表,可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断. 【详解】
解:根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知: 当1x =-时,1y =-,即1a b c -+=-, 当0x =时,3y =,即3c =, 当1x =时,5y =,即5a b c ++=,
联立以上方程:135a b c c a b c -+=-??
=??++=?
,
解得:133a b c =-??
=??=?
,
∴2
33y x x =-++;
A 、1330=-?=- B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=, 将3x =代入得:232339630-+?+=-++=, ∴3是关于x 的方程()2 10ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确; C 、233y x x =-++化为顶点式得:2 321()2 4 =--+y x , ∵10a =-<,则抛物线的开口向下, ∴当3 2x > 时,y 的值随x 值的增大而减小;当32 x <时,y 的值随x 值的增大而增大;故本选项错误; D 、不等式()2 10ax b x c +-+>可化为2230x x -++>,令2y x 2x 3=-++, 由二次函数的图象可得:当0y >时,13x -<<,故本选项正确; 故选:C . 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键. 8.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===?? ? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误. 故答案选:D . 【点睛】 本题以规律探究为背景,综合考查二次函数性质和解一元二次方程,解题时要注意将数字规律转化为数学符号. 9.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,有以下结论: ①a +b +c <0;②a ﹣b +c >1;③abc >0;④9a ﹣3b +c <0;⑤c ﹣a >1.其中所有正确结论的序号是( ) A .①② B .①③④ C .①②③④ D .①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号,再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值,然后进 一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可. 【详解】 由图象可知,a <0,c=1, 对称轴:x=b 12a -=-, ∴b=2a , ①由图可知:当x=1时,y <0,∴a+b+c <0,正确; ②由图可知:当x=?1时,y >1,∴a ?b+c >1,正确; ③abc=2a 2>0,正确; ④由图可知:当x=?3时,y <0,∴9a ?3b+c <0,正确; ⑤c?a=1?a >1,正确; ∴①②③④⑤正确. 故选:D . 【点睛】 本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键. 10.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) A . B . C . D . 【答案】C 【解析】 【分析】 根据a 、b 的符号,针对二次函数、一次函数的图象位置,开口方向,分类讨论,逐一排除. 【详解】 当a >0时,二次函数的图象开口向上, 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限, 故A 、D 不正确; 由B 、C 中二次函数的图象可知,对称轴x=-2b a >0,且a >0,则b <0, 但B 中,一次函数a >0,b >0,排除B . 故选C . 11.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,有下面四个结论:0abc >①; 0a b c ②-+>; 230a b +>③;40c b ->④,其中正确的结论是( ) A .①② B .①②③ C . ①③④ D . ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>,根据对称轴02b x a =- >得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >;1x =-时,由图像可知此时0y >,所以 0a b c -+>;由对称轴1 23 b x a =- =,可得230a b +=;当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a b c ++>,将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >,根据对称轴02b x a =- >得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >,故①正确. ②1x =-时,由图像可知此时0y >,即0a b c -+>,故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =,可得230a b +=,所以230a b +>错误,故③错误; ④当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a b c ++>,将③中230a b +=变形为 23a b =-,代入可得40c b ->,故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系,注意用数形结合的思想解决问题。 12.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)经过点M (﹣1,2)和点N (1,﹣2),则下列说法错误的是( ) A .a +c =0 B .无论a 取何值,此二次函数图象与x 轴必有两个交点,且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2 C .当函数在x < 1 10 时,y 随x 的增大而减小 D .当﹣1<m <n <0时,m +n <2a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可. 【详解】 解:∵函数经过点M (﹣1,2)和点N (1,﹣2), ∴a ﹣b +c =2,a +b +c =﹣2, ∴a +c =0,b =﹣2, ∴A 正确; ∵c =﹣a ,b =﹣2, ∴y =ax 2﹣2x ﹣a , ∴△=4+4a 2>0, ∴无论a 为何值,函数图象与x 轴必有两个交点, ∵x 1+x 2= 2 a ,x 1x 2=﹣1, ∴|x 1﹣x 2|=221 1a >2, ∴B 正确; 二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的对称轴x =﹣2b a =1a , 当a >0时,不能判定x <1 10 时,y 随x 的增大而减小; ∴C 错误; ∵﹣1<m <n <0,a >0, ∴m +n <0,2 a >0, ∴m +n < 2a ; ∴D 正确, 故选:C . 【点睛】 本题考查了二次函数的问题,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 13.已知抛物线y =x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点,则函数y =的大致图象是( ) A . B . C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可求m<﹣2,即可求解. 【详解】 ∵抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点, ∴△=4﹣4(﹣m﹣1)<0 ∴m<﹣2 ∴函数y=的图象在第二、第四象限, 故选B. 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象,二次函数性质,求m的取值范围是本题的关键. 14.抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示:x…–2–1012… y…04664… 从上表可知,下列说法错误的是 A.抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2,0) B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6) C.抛物线的对称轴是直线x=0 D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解:当x=-2时,y=0, ∴抛物线过(-2,0), ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0),故A正确; 当x=0时,y=6, ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,6),故B正确; 当x=0和x=1时,y=6, ∴对称轴为x=1 2 ,故C错误; 当x < 1 2 时,y 随x 的增大而增大, ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的,故D 正确; 故选C . 15.若A (-4,1y ),B (-3,2y ),C (1,3y )为二次函数y =x 2+4x -m 的图象上的三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系是( ) A .1y <2y <3y B .3y <1y <2y C .2y <1y <3y D .1y <3y <2y 【答案】C 【解析】 【分析】 分别将点的坐标代入二次函数解析式,然后进行判断即可. 【详解】 解:y 1=(-4)2+4×(-4)m -=16-16m - =m -, y 2=(-3)2+4×(-3)m - =9-12m - =3m --, y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -, ∵-3m -<m -<5m -, ∴y 2<y 1<y 3. 故选:C. 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响. 16.定义[a ,b ,c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数,下面给出特征数为[2m ,1-m ,-1-m]的函数的一些结论,其中不正确的是( ) A .当m=-3时,函数图象的顶点坐标是( 13,83 ) B .当m>0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32 C .当m≠0时,函数图象经过同一个点 D .当m<0时,函数在x>1 4 时,y 随x 的增大而减小 【答案】D 【解析】 分析:A 、把m=-3代入[2m ,1-m ,-1-m],求得[a ,b ,c],求得解析式,利用顶点坐标公式解答即可; B 、令函数值为0,求得与x 轴交点坐标,利用两点间距离公式解决问题; C 、首先求得对称轴,利用二次函数的性质解答即可; D 、根据特征数的特点,直接得出x 的值,进一步验证即可解答. 详解: 因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ,1﹣m ,﹣1﹣m]; A 、当m=﹣3时,y=﹣6x 2+4x+2=﹣6(x ﹣13)2+83,顶点坐标是(13,8 3 );此结论正 确; B 、当m >0时,令y=0,有2mx 2+(1﹣m )x+(﹣1﹣m )=0,解得:x 1=1,x 2=﹣ 1 2 ﹣12m , |x 2﹣x 1|= 32+12m >32,所以当m >0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32 ,此结论正确; C 、当x=1时,y=2mx 2+(1﹣m )x+(﹣1﹣m )=2m+(1﹣m )+(﹣1﹣m )=0 即对任意m ,函数图象都经过点(1,0)那么同样的:当m=0时,函数图象都经过同一个点(1,0),当m≠0时,函数图象经过同一个点(1,0),故当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确. D 、当m <0时,y=2mx 2+(1﹣m )x+(﹣1﹣m ) 是一个开口向下的抛物线,其对称轴是:直线x= 1 4m m -,在对称轴的右边y 随x 的增大而减小.因为当m <0时,1111 4444m m m -=->,即对称轴在x=14右边,因此函数在x=14 右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误; 根据上面的分析,①②③都是正确的,④是错误的. 故选D . 点睛:考查二次函数的性质,顶点坐标,两点间的距离公式,以及二次函数图象上点的坐标特征. 17.在函数2y x = ,3y x =+,2 y x =的图象中,是中心对称图形,且对称中心是原点的图象共有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解. 【详解】 y=x+3的图象是中心对称图形,但对称中心不是原点;y=x 2图象不是中心对称图形;只有函数2 y x = 符合条件. 【点睛】 本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质,熟练掌握相关知识是解题的关键. 18.已知二次函数y =ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,分析下列四个结论:①abc <0;②b 2﹣4ac >0;③3a+c >0;④(a+c )2<b 2,其中正确的结论有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】B 【解析】 试题解析:①由开口向下,可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴,可得0c >, 再根据对称轴在y 轴左侧,得到b 与a 同号,则可得0,0b abc , 故①错误; ②由抛物线与x 轴有两个交点,可得240b ac ->, 故②正确; ③当2x =-时,0,y < 即420a b c -+< ……(1) 当1x =时,0y <,即0a b c ++< ……(2) (1)+(2)×2得,630a c +<, 即20a c +<, 又因为0,a < 所以()230a a c a c ,++=+< 故③错误; ④因为1x =时,0y a b c =++<,1x =-时,0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+< 即()()2 2 ()0,a c b a c b a c b ????+++-=+-??? 所以22 ().a c b +< 故④正确, 综上可知,正确的结论有2个. 故选B . 19.已知二次函数y =a (x ﹣h )2+k 的图象如图所示,直线y =ax +hk 的图象经第几象限 A .一、二、三 B .一、二、四 C .一、三、四 D .二、三、四 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质可得a <0,h <0,k >0,以此判断一次函数的图象所经过的象限即可. 【详解】 解:由函数图象可知, y =a (x ﹣h )2+k 中的a <0,h <0,k >0, ∴直线y =ax +hk 中的a <0,hk <0, ∴直线y =ax +hk 经过第二、三、四象限, 故选:D . 【点睛】 本题考查了一次函数的图象的问题,掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关键. 20.如图所示,二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2,其中﹣2<x 1<﹣1,0<x 2<1.下列结论: ①4a ﹣2b+c <0;②2a ﹣b <0;③abc <0;④b 2+8a <4ac . 其中正确的结论有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据抛物线的开口方向可得到a <0,抛物线交y 轴于正半轴,则c >0,而抛物线与x 轴的交点中,﹣2<x 1<﹣1、0<x 2<1说明抛物线的对称轴在﹣1~0之间,即x =﹣2b a >﹣1,可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 由图知:抛物线的开口向下,则a <0;抛物线的对称轴x=﹣2b a >﹣1,且c >0; ①由图可得:当x=﹣2时,y <0,即4a ﹣2b+c <0,故①正确; ②已知x=﹣ 2b a >﹣1,且a <0,所以2a ﹣b <0,故②正确; ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧,则a 、b 同号,又c >0,故abc >0,所以③不正确; ④由于抛物线的对称轴大于﹣1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:2 44ac b a > 2,由于a <0,所以4ac ﹣b2<8a ,即b 2+8a >4ac ,故④正确; 因此正确的结论是①②④. 故选:C . 【点睛】 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键. 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 初中数学知识点汇总(最新版) 初中数学知识点总汇 一、数与代数A:数与式: 1:有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。 在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算:加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2:实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 二次函数题 选择题: 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数,则m=( ) A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是( ) A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2,则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2)2+2 B y=—( x+2)2+2 C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是( ) A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D (6,—6) 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示,则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a +c 〈b ③ a+b+c 〉0 ④ 2c 〈3b A 1 B 2 C 3 D 4 7、函数y=ax 2-bx+c (a ≠0)的图象过点(-1,0),则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是( ) A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的( ) A B C D 二填空题: 13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2mx +m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的对称轴为直线x =2,最小值为-2,则关于方程ax 2+bx+c =-2的根为————————————。 17、抛物线y=(k+1)x 2+k 2-9开口向下,且经过原点,则k =————————— 解答题:(二次函数与三角形) 1、已知:二次函数y=x 2 +bx+c ,其图象对称轴为直线x=1,且经过点(2,﹣). (1)求此二次函数的解析式. (2)设该图象与x 轴交于B 、C 两点(B 点在C 点的左侧),请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ,使△EBC 的面积最大,并求出最大面积. 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 二次函数图像性质 1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示,OA =OC , ①abc <0;② 24b ac <;③1-=-b ac ; ④02<+b a ;⑤ a c OB OA -=?; ⑥024< +-c b a 。其中正确的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图,OA=OC ,则( ) (A ) ac+1=b; (B ) ab+1=c; (C )bc+1=a; (D )以上都不是 3,已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示,给出以下结论:① a +b +c <0;② a -b +c <0;③ b +2a <0;④ abc >0 .其中所有正确结论的序号是( ) A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 4.如图是二次函数y =ax 2+bx +c x =-1,给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c ________________.(填序号) 5.y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如下图所示,abc ,b 2-4ac ,a -b +c ,a +b +c ,2a -b ,9a -4b 的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示,有下列结 论: ①240b ac ->; ②0abc >; ③80a c +>; ④930a b c ++<. 其中,正确结论的个数是 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 7.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于点(-2,0)(x 1,0),且1<x 1<2,与y 轴正半轴的交点在(0,2)下方。下列结论:(1)4a-2b+c=0.(2)a <b <0.(3)2a+c >0.(4)2a-b+1>0.其中正确的序号是 . 第(16)题 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。 幂的运算:AM+AN=A(M+N) (AM)N=AMN (A/B)N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0中考数学复习专题二次函数知识点归纳
初三数学二次函数知识点总结
完整版初中数学知识点总汇
二次函数知识点总结及典型题目
(完整版)初中数学二次函数综合题及答案
二次函数图像问题及答案难题.
初中数学知识点总结
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结