一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.(6分)(2015?牡丹江)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(3,0).请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E(2,m)在抛物线上,抛物线的对称轴与x轴交于点H,点F是AE中点,连接FH,求线段FH的长.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=﹣.
【答案】(1)y=-2x-3;(2).
【解析】
试题分析:(1)把A,B两点坐标代入,求待定系数b,c,进而确定抛物线的解析式;(2)连接BE,点F是AE中点,H是AB中点,则FH为三角形ABE的中位线,求出BE的长,FH就知道了,先由抛物线解析式求出点E坐标,根据勾股定理可求BE,再根据三角形中位线定理求线段HF的长.
试题解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(3,0),∴把A,B两点坐标
代入得:,解得:,∴抛物线的解析式是:y=-2x-3;(2)∵点E(2,m)在抛物线上,∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得:m=4﹣4﹣3=﹣3,∴E(2,﹣3),∴BE==.∵点F是AE中点,点H是抛物线的对称轴与
x轴交点,即H为AB的中点,∴FH是三角形ABE的中位线,∴FH=BE=×=.∴
线段FH的长.
考点:1.待定系数法求抛物线的解析式;2.勾股定理;3.三角形中位线定理.
2.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13.
(1)求抛物线的解析式;
(2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E 113
+113
+
3)点Q的坐
标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式;
(2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=1
2
CD=CE.利
用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标;
(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛
物线的解析式联立,得出方程组
223
33
y x x
y x
?=--
?
=-+
?
,求解即可得出点Q的坐标.
【详解】
(1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0),
∴x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),
∵x12+x22﹣x1x2=13,
∴(x1+x2)2﹣3x1x2=13,
∴m2+3(m+1)=13,
即m2+3m﹣10=0,
解得m1=2,m2=﹣5.
∵OA <OB ,
∴抛物线的对称轴在y 轴右侧, ∴m =2,
∴抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3; (2)连接BE 、OE .
∵在Rt △BCD 中,∠CBD =90°,EC =ED , ∴BE =
1
2
CD =CE . 令y =x 2﹣2x ﹣3=0,解得x 1=﹣1,x 2=3, ∴A (﹣1,0),B (3,0), ∵C (0,﹣3), ∴OB =OC ,
又∵BE =CE ,OE =OE , ∴△OBE ≌△OCE (SSS ), ∴∠BOE =∠COE ,
∴点E 在第四象限的角平分线上,
设E 点坐标为(m ,﹣m ),将E (m ,﹣m )代入y =x 2﹣2x ﹣3, 得m =m 2﹣2m ﹣3,解得m =113
±, ∵点E 在第四象限, ∴E 点坐标为(
113+,﹣113
+); (3)过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ,连接CF ,则S △ACQ =S △ACF .
∵S △ACQ =2S △AOC ,
∴S △ACF =2S △AOC , ∴AF =2OA =2, ∴F (1,0).
∵A (﹣1,0),C (0,﹣3), ∴直线AC 的解析式为y =﹣3x ﹣3. ∵AC ∥FQ ,
∴设直线FQ 的解析式为y =﹣3x +b , 将F (1,0)代入,得0=﹣3+b ,解得b =3, ∴直线FQ 的解析式为y =﹣3x +3.
联立22333y x x y x ?=--?=-+?,
解得11
312x y =-??=?,2223x y =??=-?,
∴点Q 的坐标为(﹣3,12)或(2,﹣3). 【点睛】
本题是二次函数综合题,其中涉及到一元二次方程根与系数的关系,求二次函数的解析式,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数图象与几何变换,待定系数法求直线的解析式,抛物线与直线交点坐标的求法,综合性较强,难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.
3.如图,已知抛物线经过点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M .
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标. 【答案】(1)y=-
21x 2+3
2
x+2;(2)存在,Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐
点,A 1的横坐标是1,12
. 【解析】 【分析】
(1)把点A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;
(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q 点的坐标. (3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),
①当A 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是2; 【详解】
解:(1)设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ,
将点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)代入解析式,
∴0a b c 016a 4b c 2c =-+??
=++??=?
, ∴1a 23b 2?=-????=??
,
∴y=-
21x 2+3
2
x+2; (2)∵点C 与点D 关于x 轴对称, ∴D (0,-2).
设直线BD 的解析式为y=kx-2. ∵将(4,0)代入得:4k-2=0, ∴k=
12
. ∴直线BD 的解析式为y=
1
2
x-2. 当P 点与A 点重合时,△BQM 是直角三角形,此时Q (-1,0);
当BQ ⊥BD 时,△BQM 是直角三角形, 则直线BQ 的直线解析式为y=-2x+8, ∴-2x+8=-21x 2+3
2
x+2,可求x=3或x=4(舍) ∴x=3;
∴Q (3,2)或Q (-1,0); (3)两个和谐点; AO=1,OC=2,
设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1), ①当A 1、C 1在抛物线上时,
∴()2213y x x 22213y 1(x 2)x 22
22?=-++????-=-++++??
,
∴x 1y 3=??=?
,
∴A 1的横坐标是1; 当O 1、C 1在抛物线上时,
()2213y 1x x 222
13y 1(x 2)x 22
22?-=-++???
?-=-++++??, ∴1
x 221y 8
?=????=??
, ∴A 1的横坐标是
12
;
【点睛】
本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.
4.已知,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A (﹣1,0)和C (0,3). (1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使PA +PC 的值最小?如果存在,请求出点P 的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)设点M 在抛物线的对称轴上,当△MAC 是直角三角形时,求点M 的坐标.
【答案】(1)2
23y x x =-++;(2)当PA PC +的值最小时,点P 的坐标为()1,2;
(3)点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3
??
???或21,3?
?- ??
?
.
【解析】 【分析】
()1由点A 、C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ,此时PA PC +取最小值,利用二次函数图象上点的坐
标特征可求出点B 的坐标,由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式,利用配方法可求出抛物线的对称轴,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标;
()3设点M 的坐标为()1,m ,则22CM (10)(m 3)=
-+-,
()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-
AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况,利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程,解之可得出m 的值,进而即可得出点M 的坐标. 【详解】
解:()1将()1,0A -、()0,3C 代入2
y x bx c =-++中,
得:{
10
3b c c --+==,解得:{
2
3b c ==,
∴抛物线的解析式为223y x x =-++.
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ,此时PA PC +取最小值,如图1所示.
当0y =时,有2230x x -++=, 解得:11x =-,23x =,
∴点B 的坐标为()3,0.
抛物线的解析式为2
2
23(1)4y x x x =-++=--+,
∴抛物线的对称轴为直线1x =.
设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠, 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中, 得:{
30
3k d d +==,解得:{
1
3k d =-=,
∴直线BC 的解析式为3y x =-+.
当1x =时,32y x =-+=,
∴当PA PC +的值最小时,点P 的坐标为()1,2.
()3设点M 的坐标为()1,m ,
则22(10)(3)CM m =-+-,()2
2
[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-
分三种情况考虑:
①当90AMC ∠=时,有222AC AM CM =+,即22101(3)4m m =+-++,
解得:11m =,22m =,
∴点M 的坐标为()1,1或()1,2;
②当90ACM ∠=时,有222AM AC CM =+,即224101(3)m m +=++-,
解得:83
m =
, ∴点M 的坐标为81,3??
???
;
③当90CAM ∠=时,有222CM AM AC =+,即221(3)410m m +-=++,
解得:23
m =-
, ∴点M 的坐标为21,.3?
?- ??
?
综上所述:当MAC 是直角三角形时,点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3??
???或21,.3??- ???
【点睛】
本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理,解题的关键是:()1由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线解析式;()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置;()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况,列出关于m 的方程.
5.如图,抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C .直线y=x ﹣5经过点B ,C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A 的直线交直线BC 于点M .
①当AM ⊥BC 时,过抛物线上一动点P (不与点B ,C 重合),作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ,若以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标; ②连接AC ,当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时,请直接写出点M 的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5;(2)①P点的横坐标为4或
41
2
或
5-41
②点M的坐标为(13
6
,﹣
17
6
)或(
23
6
,﹣
7
6
).
【解析】
分析:(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以2,接着根据平行四边形的性质得到2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到2PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;
②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2),
AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(1
2
,-
5
2
),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的
解析式为y=-1
5
x+b,把E(
1
2
,-
5
2
)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-
1
5
x-
12
5
,则
解方程组
5
112
55
y x
y x
-
?
?
?
--
??
=
=
得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,
如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式
得到3=13
+
6
2
x
,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.
详解:(1)当x=0时,y=x ﹣5=﹣5,则C (0,﹣5), 当y=0时,x ﹣5=0,解得x=5,则B (5,0), 把B (5,0),C (0,﹣5)代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=??
=-?,解得1
5a b =-??=-?
, ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5;
(2)①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1,x 2=5,则A (1,0), ∵B (5,0),C (0,﹣5), ∴△OCB 为等腰直角三角形, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∵AM ⊥BC ,
∴△AMB 为等腰直角三角形, ∴AM=
2AB=2×4=22, ∵以点A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,AM ∥PQ , ∴PQ=AM=22,PQ ⊥BC ,
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ,如图1,则∠PDQ=45°,
∴222=4,
设P (m ,﹣m 2+6m ﹣5),则D (m ,m ﹣5), 当P 点在直线BC 上方时,
PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣(m ﹣5)=﹣m 2+5m=4,解得m 1=1,m 2=4, 当P 点在直线BC 下方时,
PD=m ﹣5﹣(﹣m 2+6m ﹣5)=m 2﹣5m=4,解得m 15+41,m 25-41
, 综上所述,P 点的横坐标为4或
5+412或5-41
2
; ②作AN ⊥BC 于N ,NH ⊥x 轴于H ,作AC 的垂直平分线交BC 于M 1,交AC 于E ,如图2,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1,
∴∠AM1B=2∠ACB,
∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,
∴N(3,﹣2),
易得AC的解析式为y=5x﹣5,E点坐标为(1
2
,﹣
5
2
,
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b,
把E(1
2
,﹣
5
2
)代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
,解得b=﹣
12
5
,
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
?
?
?
=--
??
得
13
6
17
6
x
y
?
=
??
?
?=-
??
,则M1(
13
6
,﹣
17
6
);
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x﹣5),
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
,
∴M2(23
6,﹣
7
6
).
综上所述,点M的坐标为(13
6
,﹣
17
6
)或(
23
6
,﹣
7
6
).
点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
6.如图,已知抛物线经过原点O,顶点A(1,﹣1),且与直线y=kx+2相交于B(2,0)和C两点
(1)求抛物线和直线BC的解析式;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)抛物线上存在点E(点E不与点A重合),使∠BCE=∠ACB,求出点E的坐标;(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F,使△BDF是等腰三角形?若存在,请直接写出点F的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣2x,y=﹣x+2;(2)详见解析;(3)E(55
24
,);(4)符合条件
的点F的坐标(17171,71,27
【解析】
【分析】
(1)将B(2,0)代入设抛物线解析式y=a(x﹣1)2﹣1,求得a,将B(2,0)代入y =kx+2,求得k;
(2)分别求出AB2、BC2、AC2,根据勾股定理逆定理即可证明;
(3)作∠BCE=∠ACB,与抛物线交于点E,延长AB,与CE的延长线交于点A',过A'作
A'H垂直x轴于点H,设二次函数对称轴于x轴交于点G.根据对称与三角形全等,求得A'(3,1),然后求出A'C解析式,与抛物线解析式联立,求得点E坐标;
(4)设F(1,m),分三种情况讨论:①当BF=BD2
122
m
+=②当DF=BD 24522
m m
-+=,③当BF=DF22
145
m m m
+-+m=1,然后代入即可.
【详解】
(1)设抛物线解析式y=a(x﹣1)2﹣1,
将B(2,0)代入,
0=a(2﹣1)2﹣1,
∴a=1,
抛物线解析式:y=(x﹣1)2﹣1=x2﹣2x,
将B(2,0)代入y=kx+2,
0=2k +2, k =﹣1,
∴直线BC 的解析式:y =﹣x +2;
(2)联立2
2
2y x y x x =-+??=-?
, 解得1113x y =-??=?,22
2
0x y =??=?,
∴C (﹣1,3),
∵A (1,﹣1),B (2,0), ∴AB 2=(1﹣2)2+(﹣1﹣0)2=2, AC 2=[1﹣(﹣1)]2+(﹣1﹣3)2=20, BC 2=[2﹣(﹣1)]2+(0﹣3)2=18, ∴AB 2+BC 2=AC 2, ∴△ABC 是直角三角形;
(3)如图,作∠BCE =∠ACB ,与抛物线交于点E ,延长AB ,与CE 的延长线交于点A ',过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ,设二次函数对称轴于x 轴交于点G .
∵∠BCE =∠ACB ,∠ABC =90°, ∴点A 与A '关于直线BC 对称, AB =A 'B ,
可知△AFB ≌△A 'HB (AAS ), ∵A (1,﹣1),B (2,0) ∴AG =1,BG =OG =1, ∴BH =1,A 'H =1,OH =3, ∴A '(3,1), ∵C (﹣1,3), ∴直线A 'C :15
22
y x =-
+, 联立:215222y x y x x
?
=-+?
??=-?,
解得13x y =-??=?或5254x y ?=
????=??
,
∴E (
52,5
4
); (4)∵抛物线的对称轴:直线x =1, ∴设F (1,m ),
直线BC 的解析式:y =﹣x +2; ∴D (0,2) ∵B (2,0),
∴BD =1
2
x x
BF ==
DF ==
①当BF =BD
= m =
∴F 坐标(1
1
②当DF =BD
=, m =
∴F 坐标(1,
1,2
③当BF =DF
, m =1,
F (1,1),此时B 、D 、F 在同一直线上,不符合题意.
综上,符合条件的点F 的坐标(1
1
1,
1,2
﹣
【点睛】
考查了二次函数,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
7.在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 为常数,a≠0)的“衍生直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”
.已知抛物线2y x =-+“衍生直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与x 轴负半轴交于点C .
(1)填空:该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ,点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ;
(2)如图,点M 为线段CB 上一动点,将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折,点C 的对称点为N ,若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”,求点N 的坐标;
(3)当点E 在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“衍生直线”上,是否存在点F ,使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)2323
y=;(-2,231,0); (2)N 点的坐标为(0,3-3),(0,23+3); (3)E (-1,43F (023)或E (-1,43),F (-4103)
【解析】 【分析】
(1)由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可;(2)过A 作AD ⊥y 轴于点D ,则可知AN=AC ,结合A 点坐标,则可求出ON 的长,可求出N 点的坐标;(3)分别讨论当AC 为平行四边形的边时,当AC 为平行四边形的对角线时,求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 (1)∵22343
23y x x =-+a=233
-
,则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=; 联立两解析式求交点22343
2333
2323
y=y x x ?=--+??????
,解得x=-2y=23?????x=1y=0???,
∴A (-2,3B (1,0); (2)如图1,过A 作AD ⊥y 轴于点D ,
在22343
2333
y x x =-
-+
中,令y=0可求得x= -3或x=1, ∴C (-3,0),且A (-2,23),
∴AC=22-++2133=(23)()
由翻折的性质可知AN=AC=13, ∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”, ∴N 在y 轴上,且AD=2, 在Rt △AND 中,由勾股定理可得 DN=22AN -AD =13-4=3, ∵OD=23,
∴ON=23-3或ON=23+3,
∴N 点的坐标为(0,23-3),(0,23+3);
(3)①当AC 为平行四边形的边时,如图2 ,过F 作对称轴的垂线FH ,过A 作AK ⊥x 轴于点K ,则有AC ∥EF 且AC=EF , ∴∠ ACK=∠ EFH , 在△ ACK 和△ EFH 中
ACK=EFH
AKC=EHF AC=EF ∠∠??
∠∠???
∴△ ACK ≌△ EFH , ∴FH=CK=1,HE=AK=23 ∵抛物线的对称轴为x=-1, ∴ F 点的横坐标为0或-2, ∵点F 在直线AB 上,
∴当F 点的横坐标为0时,则F (0,23
3
),此时点E 在直线AB 下方, ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343,即E 的纵坐标为43
∴ E(-1,-43
3
);
当F点的横坐标为-2时,则F与A重合,不合题意,舍去;
②当AC为平行四边形的对角线时,
∵ C(-3,0),且A(-2,23),
∴线段AC的中点坐标为(-2.5,3),
设E(-1,t),F(x,y),
则x-1=2×(-2.5),y+t=23,
∴x= -4,y=23-t,
23-t=-23
3
×(-4)+
23
3
,解得t=
43
-
3
,
∴E(-1,43
-),F(-4,103
);
综上可知存在满足条件的点F,此时E(-1,-43
)、(0,
23
)或E(-1,
43 -
3),F(-4,
103
3
)
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查,熟练掌握二次函数,几何图形及辅助线方法是解决本题的关键,属于压轴题
8.如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求△BCP面积的最大值;
(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时,直接写出m的值.
【答案】(1)这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3;(2)S △BCP 最大=27
8
;(3)当△BMN 是等腰三角形时,m 22,1,2. 【解析】
分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PE 的长,根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案; (3)根据等腰三角形的定义,可得关于m 的方程,根据解方程,可得答案. 详解:(1)将A (1,0),B (3,0)代入函数解析式,得
30
9330a b a b ++??
++?
==, 解得14a b ??-?
==,
这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3; (2)当x=0时,y=3,即点C (0,3),
设BC 的表达式为y=kx+b ,将点B (3,0)点C (0,3)代入函数解析式,得
30
0k b b +??
?
==, 解这个方程组,得
1
3k b -???
== 直线BC 的解析是为y=-x+3, 过点P 作PE ∥y 轴
,
交直线BC于点E(t,-t+3),PE=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,
∴S△BCP=S△BPE+S CPE=1
2
(-t2+3t)×3=-
3
2
(t-
3
2
)2+
27
8
,
∵-3
2<0,∴当t=
3
2
时,S△BCP最大=
27
8
.
(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)
MN=m2-3m,BM=2|m-3|,
当MN=BM时,①m2-3m=2(m-3),解得m=2,
②m2-3m=-2(m-3),解得m=-2
当BN=MN时,∠NBM=∠BMN=45°,
m2-4m+3=0,解得m=1或m=3(舍)
当BM=BN时,∠BMN=∠BNM=45°,
-(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍),
当△BMN是等腰三角形时,m的值为2,-2,1,2.
点睛:本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是待定系数法;解(2)的关键是利用面积的和差得出二次函数,又利用了二次函数的性质,解(3)的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程,要分类讨论,以防遗漏.
9.如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C
(1)求此二次函数解析式;
(2)点D为抛物线的顶点,试判断△BCD的形状,并说明理由;
二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为( ) A 0.5 B 0.1 C —4.5 D —4.1 2、在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2+2x 与坐标轴的交点的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0(a ≠0,a 、b 、c 为常数)一个解的范围是( ) A.3<x <3.23 B.3.23<x <3.24 C.3.24<x <3.25 D.3.25<x <3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A (1,2),B (3,2),C (5,7).若点M (-2,y 1),N (-1,y 2),K (8,y 3)也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上,则下列结论正确的是( ) A .y 1<y 2<y 3 B .y 2<y 1<y 3 C .y 3<y 1<y 2 D .y 1<y 3<y 2 5、把抛物线y=2x 2 -4x -5绕顶点旋转180o,得到的新抛物线的解析式是( ) A .y= -2x 2 -4x -5 B .y=-2x 2+4x+5 C .y=-2x 2+4x -9 D .以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列结论:①a+b+c>0;②a -b+c>0;③abc<0; ④2a+b=0.其中正确的个数为( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示,根据其中提供的信息,可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( ) A .31≤≤-x B .31<<-x C .31>-
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB,
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OA<OB),与y轴交于点C,且满足x12+x22﹣x1x2=13. (1)求抛物线的解析式; (2)以点B为直角顶点,BC为直角边作Rt△BCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC =ED,求点E的坐标; (3)在抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=2S△AOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)E 113 +113 + 3)点Q的坐 标为(﹣3,12)或(2,﹣3).理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),代入x12+x22﹣x1x2=13,求出m1=2,m2=﹣5.根据OA<OB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m=2,即可确定抛物线的解析式; (2)连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=1 2 CD=CE.利 用SSS证明△OBE≌△OCE,得出∠BOE=∠COE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,﹣m),代入y=x2﹣2x﹣3,求出m的值,即可得到E点坐标; (3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得S△ACQ=S△ACF.由S△ACQ=2S△AOC,得出S△ACF=2S△AOC,那么AF=2OA=2,F(1,0).利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣3x﹣3.根据AC∥FQ,可设直线FQ的解析式为y=﹣3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=﹣3x+3,把它与抛 物线的解析式联立,得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ,求解即可得出点Q的坐标. 【详解】 (1)∵抛物线y=x2﹣mx﹣(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0), ∴x1+x2=m,x1?x2=﹣(m+1),
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y= (3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2. (1)求双曲线的解析式; (2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为________; (3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值. (4)解:在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围. 【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得,解得, 所以双曲线的解析式为y= ; (2)2 (3)解:把(6,n)代入y= 得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2), 抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6± , 即a的值为6± ; (4)抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣或a=3+ ; 把E(12,1)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得a=12﹣2 或a=12+2 ; ∵G1与G2有两个交点, ∴3+ ≤a≤12﹣2 , 设直线DE的解析式为y=px+q, 把D(3,4),E(12,1)代入得,解得, ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5, ∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点, ∴M(a,﹣ a+5),N(a,), ∵MN<, ∴﹣ a+5﹣<, 整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0, ∴a<4或a>9, ∴a的取值范围为9<a≤12﹣2 . 【解析】【解答】解:(2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),而D(3,4), 所以BE= =2 . 故答案为2 ; 【分析】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标;(2)先解方程﹣x2+9=0得到B(﹣3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=﹣(x ﹣a)2+9得a的值;(4)分别把D点和E点坐标代入y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ,再利用待定系数法求出直线DE的 解析式为y=﹣ x+5,则M(a,﹣ a+5),N(a,),于是利用MN<得到﹣ a+5﹣<,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围. 2.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),D(3,3). 中考数学二次函数经典易错题解析 篇一:2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 1. 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按 1 照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y??x2?bx?c表示,且抛物线上的 617 点c到oB的水平距离为3m,到地面oA的距离为m。 2 (1)求抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面oA的距离; (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双 向车道,那么这辆货车能否安全通过? (3)在抛物线型拱璧上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果 灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?2. 已知如图1,在以o为原点的平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与 14 x轴交于A,B两点,与y轴交于点c,连接Ac,Ao=2co,直线l 过点G(0,t)且平行于x轴,t<1.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式; (2)①若D(4,m)为抛物线y=x2+bx+c上一定点,点D到直线l的 距离记为d,当d=Do时,求t的值; ②若为抛物线y=x2+bx+c上一动点,点D到①中的直线l的距离与 14 14 oD的长是否恒相等,说明理由; (3)如图2,若E,F为上述抛物线上的两个动点,且EF=8,线段EF的中点 为m,求点m纵坐标的最小值. 图1图2 3.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作Pc⊥x 轴于点D,交抛物线于点c.(1)求抛物线的解析式; (2)是否存在这样的P点,使线段Pc的长 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 9、有理数中,绝对值最小的数是( ) A 、-1 B 、1 C 、0 D 、不存在 10、2 1的倒数的相反数是( ) A 、-2 B 、2 C 、-2 1 D 、2 1 11、若|x|=x ,则-x 一定是( ) A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 12、两个有理数的和除以这两个有理数的积,其商为0,则这两个有理数为( ) A 、互为相反数 B 、互为倒数 C 、互为相反数且不为0 D 、有一个为0 13、长方形的周长为x ,宽为2,则这个长方形的面积为( ) A 、2x B 、2(x-2) C 、x-4 D 、2·(x-2)/2 14、“比x 的相反数大3的数”可表示为( ) A 、-x-3 B 、-(x+3) C 、3-x D 、x+3 15、如果0 二次函数习题讲解 一、二次函数的相关概念 1.若函数的图象与轴只有一个交点,那么的值为( ) A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0,2或-2 2.当或()时,代数式的值相等,则时,代数式的值为 。3.已知和时,多项式的值相等,且,则当时,多项式的值等于 ________。 二、二次函数的顶点问题 1.若抛物线的顶点在第一象限,则的取值范围为________。 2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为,则下列结论正确的是( ) A., B., C., D., 三、二次函数的对称轴问题 1.已知二次函数,当时,的值随值的增大而减小,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知二次函数,当时,随的增大而增大,则实数的取值范围是 ________。 3.已知二次函数,当时,随的增大而增大,而的取值范围是( )A. B. C. D. 四、二次函数的图象共存问题 1.在同一直角坐标系中,函数和(是常数,且)的图象可能是 ( ) A B C D 2.二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系 内的图象大致为( ) A B C D 五、二次函数的图象综合问题 1.已知二次函数的图象如图所示,对称轴为。下列结论中,正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.已知二次函数的图象如图所示,下列结论: ①;②;③;④。其中,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知二次函数的图象如图所示,下列4个结论: ①;②;③;④;⑤(为不等于1的任意实数)。 其中正确的结论有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知二次函数的图象如图所示,下列结论: ①;②;③;④。 其中正确的有________。 5.二次函数(是常数,且)图象的对称轴是直线,其图象的一部分如图所示。对于下列说法: 《 二次函数 》经典习题汇编 模块一:二次函数的相关概念 1.(2014山东东营,9)若函数21(2)12 y mx m x m =++++的图象与x 轴只有一个交点,那么m 的值为( ) A .0 B .0或2 C .2或-2 D .0,2或-2 2.(2015江苏宿迁,16)当x m =或x n =(m n ≠)时,代数式223x x -+的值相等,则x m n =+时,代数 式223x x -+的值为 。 3.(2013江苏南通,18)已知22x m n =++和2x m n =+时,多项式2 46x x ++的值相等,且20m n -+≠,则当3(1)x m n =++时,多项式246x x ++的值等于________。 模块二:二次函数的顶点问题 1.(2015湖南益阳,8改编)若抛物线2()(1)y x m m =+++的顶点在第一象限,则m 的取值范围为________。 2.(2013吉林,6)如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为22()y x h k =--+,则下列结论正确的是( ) A .0h >,0k > B .0h <,0k > C .0h <,0k < D .0h >,0k < 模块三:二次函数的对称轴问题 1.(2014福建三明,10)已知二次函数2 2y x bx c =-++,当1x >时,y 的值随x 值的增大而减小,则实数b 的取值范围是( ) A .1b ≥- B .1b ≤- C .1b ≥ D .1b ≤ 2.(2013贵州贵阳,15)已知二次函数222y x mx =++,当2x >时,y 随x 的增大而增大,则实数m 的取值范围是________。 3.(2015江苏常州,7)已知二次函数2(1)1y x m x =+-+,当1x >时,y 随x 的增大而增大,而m 的取值范围是( ) A .1m =- B .3m = C .1m ≤- D .1m ≥- 模块四:二次函数的图象共存问题 1.在同一直角坐标系中,函数y mx m =+和222y mx x =-++(m 是常数,且0m ≠)的图象可能是( )历年中考数学易错题汇编-反比例函数练习题附答案
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