第三节 误差的估算
由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。
一、直测量的误差估算 1．算术平均误差 在测量列{}i X 中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为X ?。
按定义 ∑=-=?n
i i X X n X 101
或 ∑=?=?n
i i X n X 1
1
其中0X X X i i -=?。
当n 较大时，可用下式估算为
()
1--=
?∑n n X
X X i
此法比前法得到的偏差要大些。
2.绝对误差
误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的i X ?，X ?。而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ，x σ，σ，Q 等。 3.相对误差
绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为r E 。其估算方法为
%100??=
X
X
E r 广义地讲，后面要讨论的
X
S x 、
X
σ
等都可叫相对误差。 4.标准误差(实验标准差)
按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x σ。即
()∑=-=n
i i x X X n 1
201σ 需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。
实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差x σ只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel 法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel 方法。
由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为：
()
∑=--=n
i i x X X n S 1
2
11
或 ??
??????????? ??--=∑∑==2
112
111n i i
n i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。通常所说的标准误差，实际上就是x S 。 5.算术平均值的标准差
算术平均值的标准差与实验标准差的关系为
x x S n
S ?=
1
类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系
X n
X ??=
?1
而且x S X 80.0≈?。
二、间测量的误差计算（误差的传递）
上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。
1.误差传递公式的一般形式
设间接测量量f 与彼此独立的直接测量量x 、y 、z (只取3个)间的函数关系为 ()z y x f f ,,=
测量结果用平均值和绝对误差表示为 x x x ?±=
y y y ?±= z z z ?±= 和 f f f ?±=
其中,(
)
z y x f f ,,=。
将()z y x f ,,在()z y x ,,点按泰勒级数展开有
()()
()
()()
??
????-???+-???+
-???±=z z z f
y y y f x x x
f z y x f z y x f ,,,, +…(高阶小量)
将此结果与前面假定关系式f f f ?±=比较，忽略高阶小量，并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值，取间测量的绝对误差为 z z
f
y y f x x f f ????+????+????=? 相对误差为
z z
f
y y f x x f f
f ????+????+????=
?ln ln ln 根据标准差的定义，由上述展开式，在考虑到z y x ,,是彼此独立的情况，可得标准差的传递公式的绝对形式为
2
2
22
22
z y x f z f y f x f σσσσ???
? ????+???? ????+???? ????= 相对形式为
2
2
22
22
ln ln ln z y x f
z f
y f
x f f σσσσ???
? ????+???? ????+???? ?
???= 其中
x f ??、x
f
??ln 分别为x f ??、x f ??ln 在()
z y x ,,点处的值。
为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是：
(1)如果f 由z y x ,,按加(减)关系确定时，常用标准误差传递的绝对形式计算。 (2)如果f 由z y x ,,按乘(除)关系确定时，常用误差传递的相对形式计算。 (3)如果z y x ,,彼此不独立，还需计算相关系数(协方差)。例如：若y x f ?=，当y
x =
（仅数值相等）时的误差传递，与取y x =（x 与y 完全相关）后2x f =的误差传递是不一样的。
因为，当y x f ?=时有
2
2
???
?
??+???
??=y
x f y
x f
σσσ ， 再取y x =时，化为
x
f
x
f
σσ?
=2 。
而当2x f =时
x
f
x
f
σσ?
=2 。
可见，前者在取y x =时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独立的两个变量；而后者，则为完全相关，即x 与y 为同一个变量了，故结果也不一样了。
2．误差传递公式的具体形式
为了实际计算方便，我们将一些常见函数关系确定的误差传递公式列于下表。
一、问题的提出 在不等精度直接测量时，由各测量值x i及其标准差σi计算加权算术平均值的标准差时，有两个计算公式 式中:p i——各测量值的权；σi——各测量值的标准差；σ——单位权标准差；——加权算术平均值的标准差。 但这两个公式的计算结果有时会相差很大。那么，在这种情况下，采用哪个公式更为合理呢？本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。 二、公式的数学推导 在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为: 测量结果的最佳估计值为: 则测量结果的不确定度评定为: 对式(5)求方差有 设各测量值x i的方差都存在，且已知分别为，即D(x i)=
由(4)式有=σ2/p i 从公式(1)的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标准差)必须是已知的。而在实际测量中，常常各测量值的方差(或标准差)是未知的，无法直接应用公式(1)进行不确定度评定。但是，从分析来看，如果能由各测量值的残差(其权等于测量值的权)求出单位权标准差的估计值，并将其代入公式(1)中，就可计算出加权算术平均值标准差的估计值。为此，作如下推导: 由残差νi=x i-i=1，2，……n 对νi单位权化 由于v i的权都相等，因而可设为1，故用v i代替贝塞尔公式中的νi 可得单位权标准差的估计值 将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值
从上面的推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差已知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值；而公式(2)是在各测量值的标准差未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。从概率论与数理统计知识可知，只有在n→∞时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差，而由于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)确定的不确定度的值是也不相同的。 三、公式选用的一般原则 笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，主要是为了说明这两个公式推导的前提是不一样的，其应用当然也就不同。我们分两种情况来进行讨论。 1.各测量值的标准差未知时 显然，在这种情况下，由于其测量值的权是由其他方法得到的，而各测量值的标准差未知，无法应用公式(1)来进行不确定度评定，而只能用公式(2)。 2.各测量值的标准差已知时 当已知测量值x i和其标准差σi时，有两种方法计算的标准差:第一种 方法是用公式(1)进行计算，第二种方法是用公式(2)进行计算。前面已述这两种方法在理论上是不相等的。两种方法的区别是:第一种方法是根据已知的σi计算，没有用到测量数据x i。而第二种方法既用到了σi(确定权)，也用到了测量数据x i(计算残差)。公式(2)是一个统计学公式，与观测次数n有关，只有n足够大，即观测数据足够多时，该公式才具有实际意义。所以，根据前面的推导分析，当测量次数较少时，考虑到随机抽样取值的分散性，建议采用公式(1)进行不确定度评定，当测量次数较多时，采用公式(2)评定不确定度更能真实地反映出这一组数据的不确定度值，它包含了由随机效应引起的不确定度，也包含了由系统效应引起的不确定度，因而更具有实验性质。现在的问题是，测量次数究竟为多少时才是较少或较多呢？根据概率论与数理统计知识，单次测量的标准差与平均值的标 准差的关系为:，当σ一定时，n>10以后，已减少得非常缓慢。所 以常把n=10作为一个临界值。综上所述，当测量次数n<10时，用公式(1)进行计算效果较好；当测量次数n≥10时，采用公式(2)来评定不确定度会更客观一些。另外，还有一个问题值得注意:不等精度测量本来就是改变了测量条件的复现性测量，这些改变了的测量条件有可能带来系统误差。当n足够大时且本次测量条件与以前的测量条件变化不大时，两个公式计算的结果应近似相等。否则本次测量数据可能存在系统误差。 四、实例
通用卡尺示值误差测量结果的不确定度评定 1.概述： 1.1测量依据：JJG30—2012《通用卡尺检定规程》。 1.2环境条件：温度22℃±5℃,湿度≤60%。 1.3测量标准：3级量块或5等量块。 1.4被测对象的测量范围、分度值（分辨力）、示值误差如下： 1.5测量方法 对于测量范围小于300mm的卡尺，测量点的分布不少于均匀分布的3点，对于测量范围大于500mm卡尺，测量点的分布不少于均匀分布的6点。被测卡尺各点示值误差以该点读数值（示值）与量块尺寸（测量标准）之差确定。 1.6测量模型 对分度值为0.02,测量范围为（0～200）mm游标卡尺191.8mm点示值误差校准的测量不确定进行评估。 2.数学模型 通用卡尺示值误差 e=L d - L s +L d·αd·△t d- L s·αs·△t s （1）式中：e—卡尺的示值误差； L d—卡尺的误差值； L s—量块的示值。 考虑到温度偏离20℃时，线膨胀系数及温度差的影响，上述公式可用以下形式表示 e=L d - L s +L d·αd·△t d- L s·αs·△t s （2）式中：e—卡尺的示值误差；
L d —卡尺的读数值(20℃条件下)； L s —量块的示值(20℃条件下)； αd 、αs —卡尺和量块的线膨胀系数； △t d 、△t s —卡尺和量块的偏离标准温度20℃的值。 3.方差和灵敏系数 由于△t d 和△t s 基本是采用同一支卡尺测量而具有相关性，其数学处理过程比较复杂，为了简化数学处理过程，需要通过如下方法将相关转化为不相关。 令δα=αd -αs δt=△t d -△t s 取L≈L d ≈L s α=αd =αs △t =△t d =△t s 得如下示值误差的计算公式： e =L d - L s +L·δα·△t - L·α·δt （3） 由公式（3）可以看出，各变量之间彼此不相关，由公式)()( 22 2 i i c x u f u ???=χ得： u c 2 =u 2(e )=c 12·u 12+ c 22·u 22+ c 32·u 32 +c 42·u 42 （4） 式中：11=??= d L e c 12-=??=s L e c t L e c ??=??= δα3 αδ?=??=L t e c 4 公式（4） 中u 1,u 2,u 3,u 4分别表示L d ， L s ，δα，δt 的标准不确定度。 4.标准不确定度评定 4.1游标卡尺读数的对线误差估算的标准不确定度分量u 1 分度值为0.02mm 的游标卡尺, 对线误差分布区间为0.01mm,为均匀分布，故标准不确定度u 1 为 3 2)01.0(1?= mm u =2.89μm 4.2校准用3级量块估算的测量不确定度分量u 2 测量用的3级量块的长度尺寸偏差0.80 μm +16×10-6L (L —测量长度mm)，为均匀分布，当被测尺寸在191.8mm 的情况下，故测量不确定度u 2为 u 2= =?+732 .11918 .0168.0 2.23μm 4.3卡尺和量块的热膨胀系数差估算的测量不确定度分量u 3
第三节 误差的估算 由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。 一、直测量的误差估算 1．算术平均误差 在测量列{}i X 中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为X ?。 按定义 ∑=-=?n i i X X n X 101 或 ∑=?=?n i i X n X 1 1 其中0X X X i i -=?。 当n 较大时，可用下式估算为 () 1--= ?∑n n X X X i 此法比前法得到的偏差要大些。 2.绝对误差 误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的i X ?，X ?。而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ，x σ，σ，Q 等。 3.相对误差 绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为r E 。其估算方法为 %100??= X X E r 广义地讲，后面要讨论的 X S x 、 X σ 等都可叫相对误差。 4.标准误差(实验标准差) 按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x σ。即
()∑=-=n i i x X X n 1 201σ 需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。 实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差x σ只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel 法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel 方法。 由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为： () ∑=--=n i i x X X n S 1 2 11 或 ?? ??????????? ??--=∑∑==2 112 111n i i n i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。通常所说的标准误差，实际上就是x S 。 5.算术平均值的标准差 算术平均值的标准差与实验标准差的关系为 x x S n S ?= 1 类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系 X n X ??= ?1 而且x S X 80.0≈?。 二、间测量的误差计算（误差的传递） 上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。 1.误差传递公式的一般形式 设间接测量量f 与彼此独立的直接测量量x 、y 、z (只取3个)间的函数关系为 ()z y x f f ,,= 测量结果用平均值和绝对误差表示为 x x x ?±=
数字指示秤示值误差测量结果不确定度报告 一、概述 依据JJG555—1996 《非自动秤通用检定规程》 JJG539—1997 《数字指示秤》 JJF 1059—1999 《测量不确定度评定与表示》 JJF 1001—1998 《通用计量术语及定义》 在环境温度为28.4℃，湿度为47%的条件下，用标准器为M1等级标准砝码（0～2）kg，对检定分度值为e =1g ，最大秤量 2kg ，最小秤量20g的（Ⅲ）数字指示秤进行检定，对其最大秤量2kg点测量十次，得到数据如下：（g） 二、建立数学模型 E =P – m 式中： E —数字指示秤的示值误差； P —数字指示秤的示值； m —标准砝码质量值。 其灵敏系数为： 1 1 = ? ? = P E c 1 2 - = ? ? = m E c
三、分析不确定度来源 1.测量重复性引起的不确定度u (P 1) 2.电源电压稳定度引起的不确定度u (P 2) 3.偏载测量引起的不确定度u (P 3) 4.使用标准砝码引起的不确定度u (m ) 四、评定各分量的不确定度 1.测量重复性引起的不确定度u (P 1) 据贝塞尔公式得出单词测量标准差为： 1 12 --=∑=n P P s n i i ）（ ≈0.063g 平均值标准差： ()() g 020.010 063 .010====s P s P u 故： u (P 1) =|C1|() P u =|C1|*0.020 =0.020g 2.电源电压稳定度引起的不确定度u (P 2) 电源电压在规定条件下变化可能会造成的示值变化为： ±0.2e(e=1g) 即±0.2g 区间半宽a=0.2 其服从均匀分布，包含因子k=3 有
浙江广厦建设职业技术学院 20 /20 学年第学期 课题：第五章测量误差基本知识 第一讲测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差 课型：讲授 教学目的与要求： 1．了解测量误差产生的原因； 2．理解衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性。 3．掌握系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。 教学重点、难点： 重点：衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性；系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。 难点：系统误差与偶然误差的特性；算术平均值中误差的计算公式。 采用教具、挂图：多媒体课件 复习、提问： 1．粗差是不是误差？ 2．系统误差与偶然误差的特性？ 3．系统误差与偶然误差消除或减弱的方法有何区别？ 4．距离测量用什么来衡量其精度的标准？ 5．观测值的中误差与算术平均值的中误差是否一样？ 课堂小结： 本次课主要学习了测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差，应使学生重点掌握衡量精度的标准；系统误差与偶然误差的特性；系统误差与偶然误差的概念；中误差、容许误差、相对中误差、算术平均值中误差的计算公式。 作业：2、3、5、6 课后分析：
复习(5min): 1．方位角、象限角的概念？ 2．标准方向的种类有哪三种？ 3．方位角、象限角有何应用？ 第五章测量误差基本知识 第一讲测量误差及其分类、衡量精度的标准、算术平均值及其中误差 测量误差及其分类(40min) 误差就是某未知量的观测值与其真值（理论值）之差。 一、测量误差产生的原因 所有测量工作都是观测者使用测量仪器和工具，在一定的外界条件下进行的，因此测量误差产生的原因主要有以下几方面。 1．观测者 2．测量仪器和工具 3．外界条件的影响 人、仪器和外界条件是引起测量误差的主要因素，通常把这三个方面综合起来称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。 在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在观测结果中是不允许存在的。 二、测量误差的分类 测量误差按照对观测结果影响的性质不同，可分为系统误差和偶然误差两大类。 （一）系统误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它具有一定的规律性，一般可采用以下方法消除或减弱其影响。 (1)用计算的方法加以改正。 (2)检校仪器。 (3)采用合理的观测方法，可使误差自行消除或减弱。 （二）偶然误差 1、偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都没有表现
指示表的示值误差测量结果的不确定度分析 1测量方法 依据《JJG34-2008指示表（指针式、数显式）检定规程》、《JJG35-2006 杠杆表检定规程》、《JJF1102-2003内径表校准规范》、《JJG379-2009大量程百分表检定规程》、《JJG830-2007深度指示表检定规程》，《JJG109-2004百分表式卡规检定规程》、《JJF1253-2010带表卡规校准规范》、《JJF1255-2010厚度表校准规范》、依据《JJF1059.1-2012测量不确定度评定与表示》要求，指示表示值误差是用相应准确度等级的指示类量具检定仪,按规定的测量间 隔在正向进行检定,取正行程中的各受检点误差中最大值与最小值之差 作 为全量程的示值误差。 2测量模型 现对量程为10mm 指示表(分度值为0.01mm)的10mm 点和量程为1mm 的 指示表(分度值或分辨力为0.001mm)1mm 点的示值误差测量结果不确定度进 行分析计算。 指示表的示值误差e : =e d L -S L +d d d t L ???αΔt d -s S S t L ???αL S (1.1) 式中： d L ------指示表的示值（20℃条件下） S L ------检定仪的示值（20℃条件下） αd 、αs ------分别为指示表和检定仪的线胀系数 Δt d 、Δt s ------分别为指示表和检定仪偏离温度20℃时的数值 令 s d ααδα-=;s d t t t ?-?=δ 取 s d L L L ≈≈；α≈αd ≈αs ;s d t t t ?≈?≈? 得 =e d L -S L +t L t L δαδα??-??? (1.2)
卡尺示值误差测量结果的不确定度 页 码 第1页，共6页 制作 日期 核准 日期 1．概述： 1.1 测量方法：依据QJ/JJ 05.03.15-98 1.2 环境条件：温度：20±5℃ 湿度：75%以上 1.3 测量标准：三个规格为51.2mm,121.5mm,191.8mm 的量块 1.4 被测对象：分度值为0.01mm 的三把相同量程的卡尺,最大允许示值误差为±0.01mm 1.5 测量过程：卡尺示值误差是以三个量块进行校准的。 1.6 评定结果的使用 在符合上述条件下的测量结果,一般可直接使用本不确定的评定结果。 2.数学模型 e=L-L b e 卡尺的最大允许示值误差 L 尺的示值 L b 量块的长度尺寸 3.输入量的标准不确定的评定 3.1输入量L 的不确定度主要来源于卡尺分度值量化误差的不确定度，采用B 类方法进行评定。卡尺的分度值为0.01mm,量化误差为?? ? ??201.0mm,估计其为均匀分布,包含因子为3,标准不确定度U(L)为 U(L)=3 201.0m m ??? ??=0.0029mm=2.9um 由以上计算可得,U(L)可视为确定已知量,则自由度V(L) ∞ 3.2 输入量L b 的不确定度来源主要是测量重复性引起的标准不确定度U(L b )评定,可以通过连续测量得到测量列(采用A 类方法进行评定)。用三把相同量程的卡尺对三个量块连续测量10次得到的数据见第四页以卡尺A 、B 、C 对量块51.2mm 测量的10个数据为例. <1>求其平均值 bA L = n 1 ()2.5119.5119.5119.5110 1 1 ++??++= ∑=n i bA L =51.195mm
评定精度的标准 一、评定精度的标准 为了对测量成果的精确程度作出评定,有必要建立一种评定精度的标准,通常用中误差,相对误差和容许误差来表示。 １.中误差 1）用真误差来确定中误差 设在相同观测条件下，对真值为的一个未知量进行次观测,观测值结果为，每个观测值相应的真误差(真值与观测值之差)为△1、△2、……,△n。则以各个真误差之平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准,用表示,称为观测值中误差。 式中：观测次数 —称为观测值中误差(又称均方误差) 为各个真误差△的平方的总和。 上式表明了中误差与真误差的关系，中误差并不等于每个观测值的真误差，中误差仅是一组真误差的代表值，当一组观测值的测量误差愈大，中误差也就愈大，其精度就愈低；测量误差愈小，中误差也就愈小，其精度就愈高。 【例题】甲、乙两个小组，各自在相同的观测条件下，对某三角形内角和分别进行了7次观测，求得每次三角形内角和的真误差分别为：甲组：+2〞、-2〞、+3〞、+5〞、-5〞、-8〞、+9〞
乙组： -3〞、+4〞、0〞、-9〞、-4〞、+1〞、+13〞 则甲、乙两组观测值中误差为： 由此可知，乙组观测精度低于甲组,这是因为乙组的观测值中有较大误差出现，因中误差能明显反映出较大误差对测量成果可靠程度的影响，所以成为被广泛采用的一种评定精度的标准。 2）用观测值的改正数来确定观测值的中误差 在实际测量工作中，观测值的真误差往往是不知道的，因此，真误差也无法求得，所以常通过观测值的改正数V i 来计算观测值中误差。即： V i=L-L 1 (i=1,2.....,n) [] 1 -± =n vv m 3）算术平均值中误差 算术平均值L 的中误差M ，按下式计算： [] () 1-± ==n n vv n m M
示值误差的理解与描述 平夏王国民童云飞 （无锡市计量测试中心214101） 【摘要】：本文通过理论与实际的结合，讨论了示值误差与最大允许误差、测量不确定度的联系与区别，明确了如何在实际工作中正确理解和描述示值误差。 【关键词】：示值误差，理解，描述 0 引言 作为一名检测人员，“示值误差”无时无刻围绕在身边，可以说它是我们工作中最为密切的伙伴。好多人认为它是一个很容易理解的概念，但往往在实际工作中会犯错误，可能回引起较为严重的后果，那么如何避免犯错，本文以长度计量为例，探讨了如何准确理解和描述示值误差。 1概述 计量器具指示的测量值与被测量的实际值之差，称为示值误差。它是由于计量器具本身的各种误差所引起的。该误差的大小可以通过对计量器具的检定/校准来得到，当接受高等级的测量标准对其进行检定或校准时，该测量标准器复现的量值即为约定真值，通常称为实际值或标准值。所以，测量仪器的示值误差＝示值—标准值。 确定测量仪器示值误差的大小，是为了判定测量仪器是否合格，并获得其示值的修正值。对测量仪器，由规范、规程等所给定的允许的误差极限值，称为测量仪器的最大允许误差。通常可简写为MPE，有时也称为测量仪器的允许误差限。最大允许误差可用绝对误差、相对误差或引用误差来表述。 表征合理的赋予被测量值的分散性，与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度。不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。反过来，也表明该结果的可信赖程度。它是测量结果质量的指标。不确定度愈小，所测结果与被测量的真值愈接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高；不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。 要区别和理解测量仪器的示值误差、测量仪器的最大允许误差和测量不确定度之间的关系。示值误差和最大允许误差均是对测量仪器本身而言，最大允许误差是指技术规范(如标准、检定规程)所规定的允许的误差极限值，是判定是否合格的一个规定要求，而示值误差是测量仪器某一示值其误差的实际大小，是通过检定、校准所得到的一个值，可以评价是否满足最大允许误差的要求，从而判断该测量仪器是否合格，或根据实际需要提供修正值，以提高测量仪器的准确度。测量不确定度是表征测量结果分散性的一个参数，它只能表述一个区间或一个范围，说明被测量真值以一定概率落于其中，它对测量结果而言，以判定测量结果的可靠性。测量不确定度不能代替测量仪器的误差，因为它无法得到修正值。 综上所述，规定了最大允许误差作为测量仪器的特性，通过检定、校准去确定示值误差，用测量不确定度来表征示值误差的可靠程度。 2如何确定示值误差 通过数据处理，确定示值误差，大家可能认为是较为简单的问题，但往往会出错，特别是刚上岗的检测人员。首先大家要清晰牢记：示值误差=示值—标准值（实际值），不要自以为是，也不要偷工减料。举几个例子说明。 外径千分尺某一校准点的示值误差：δ=X i-L i= X i-(L i′+e)= X i-L i′-e 其中：δ-----示值误差 X i----千分尺在该点的示值 L i-----量块的实际值
6-7 加权平均值及其中误差 一、不等精度观测和观测值的权 在测量实践中，除了等精度观测之外，还有不等精度观测。此时，求多次观测的最或然值就不能简单地用算术平均值，而是需要用“加权平均值”的方法求解。 某一观测值或观测值的函数的误差越小（精度越高），其权越大；反之，其误差越大（精度越小），其权越小。一般用“”表示中误差，用“P”表示权，并定义：“权与中误差的平方成反比”，以公式表示为 （6-26） 式中，C为任意常数。等于1的权称为“单位权“，权等于1的中误差称为“单位权中误差”，一般用表示。因此，权的另一种表达式为 （6-27） 中误差的另一种表达式为 （6-28） 在测量工作中，为了使权的概念简单明了，一般取一次观测、一个测回或单位长度（1m 或1km ）等的测量误差作为单位权中误差。 二、加权平均值及其中误差 对某一未知量进行一组不等精度观测：，其中误差为，则观测值的权为。按照误差理论，此时应按下式取其加权平均值，作为该量的最或然值： 上式可以写成线性函数的形式： 根据线性函数的误差传播公式，得到 上式可化为
因此，加权平均值的中误差为 （6-29） 加权平均值的权为所有观测值的权之和： （6-30） 三、单位权中误差的计算 在处理不等精度的测量成果时，需要根据单位权中误差来计算观测值的权和加权平均值的中误差。单位权中误差一般取某一类观测值的基本精度，例如，水平角观测的一测回的中误差等。根据一组对同一量的不等精度观测，可以估算本类观测值的单位权中误差。 如对同一量的n个不等精度观测，得到 …. 取以上各式的总和，并除以n，得到 用真误差代替中误差，得到在观测量的真值已知时用真误差求单位权中误差的公式： （6-31） 在观测值的真值未知的情况下，用观测值的加权平均值代替真值；用观测值的改正值代替真误差，得到按不等精度观测值的改正值计算单位权中误差的公式； （6-32）
间接测量值的误差估算 设N 为间接测得量，而A 、B 、C ……为直接测的量， A A A ?±=，B B B ?±=，C C C ?±=。 它们之间满足一定的关系，即 ....) ,,(C B A f N = 那么我们如何求得 ???,?,?,±===?=N E N N N 1、 加减法运算中的误差 规律：先算绝对误差 如果....C B A N ±±=则绝对误差....... C B A N ?+?+?=? 近似真值为....C B A N ±±= 相对误差为N N E N ?= N N N ?±= 2、 乘除法运算中的误差 规律：先算相对误差 如果C B A N C B A N /....?=??=或 则相对误差...........+?+ ?+ ?= +++=C C B B A A E E E E C B A N 近似真值为..../....C B A N C B A N ?=??=或 绝对误差为N E N N ?=? N N N ?±=
测量一段金属管外径，内径，高 1、 h d d V ?-? = ) (4 2 221' π C B A N ??= 乘除发运算中的误差先算相对误差 即' V N = C B A N E E E E ++= C C B B A A ?+?+?=（书上第9页） 则h d d v E E E E E ++=-) (4 2 221 )(π例题中为 h h d d d d ?+ --?+ =) ()(022 21 2 22 1（例题中第一式） 2、 令2 22 1 d d N -= 则按照B A N -=的情况，加减法运算中的误差先算绝对误差 B A N ?+ ?= ?（书上第8页）
动态汽车衡示值误差测量结果不确定度评定 摘要：本文以动态汽车衡为例，阐述了动态汽车衡示值误差测量结果不确定度评定过程中的方法和步骤。 关键词：动态汽车衡；示值误差；不确定度评定 1 概述 动态汽车衡是指安装在道路上，带有承载器并包括引道在内的，通过对行驶车辆的称量确定车辆的总质量和载荷的一种自动衡器。包括整车称量的动态汽车衡和轴称量的动态汽车衡。通常由载荷承载器、称重传感器和动态称重显示控制器等组成。必要时动态汽车衡还应有打印装置、车辆引导装置、车辆识别装置、轴组识别装置和运行速度测量等装置。 1.1 环境条件：（-10～40）℃，相对湿度不大于85%，检定期间最大温差不大于5℃ 1.2 技术依据：依据JJG 907-2006《动态公路车辆自动衡器》检定规程。 1.3 测量标准：砝码的质量范围为1kg～60t，最大允许误差为±（50mg～3.0kg）。 1.4 被校对象：单轴载荷或轴组载荷的准确度等
级为B级，整车总重量的准确度等级为0.5级，最大秤量为60t，d=20kg的动态电子汽车衡。 1.5 检定方法：动态测量过程是已知质量的参考车辆以缓慢均匀的速度通过动态汽车衡，动态汽车衡的示值显示部分显示该参考车辆的单轴质量值和整车总重质量值，重复此过程，共测量10次，其算术平均值就是该参考车辆质量的示值。 2 数学模型及灵敏系数 E=P-M 式中： E--动态汽车衡示值误差； P--动态汽车衡化整前示值； M--标准砝码质量值。 灵敏度系数： 3 标准不确定度分析 3.1 测量重复性引入的标准不确定度分量 在检定条件下，使用检定方法连续测量10次，结果为：30012、30004、29991、30011、30005、29995、29999、30019、30011、29992（单位：公斤） 10.9kg 由于实际情况是在重复条件下连续测量3次，并以3次测量的平均值作为测量结果，则测量重复性引
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即： 误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。 §2衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一.中误差 方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 标准差 中误差（标准差估值），n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有： 二.相对误差 1.相对中误差= 2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。 §3误差传播定律 一.误差传播定律 设、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则有： 二.权（weight）的概念
1 概述 1.1 测量方法: 依据JJG30-2002《通用卡尺检定规程》 1.2 测量标准: 5等量块 1.3 被检对象: 游标卡尺(包括游标深度卡尺) 分度值: 0.02mm 0.05mm 0.10mm 测量范围: (0～2000)mm 示值误差:△=±(0.02～0.14)mm △=±(0.05～0.20)mm △=±(0.10～0.25)mm 2 数学模型 b b b m m m b m t L t L L L e ??α?-??α?+-= 式中：m L ——游标卡尺的读数值（标准条件下）； b L ——量块的长度（标准条件下）； b m αα和——分别是游标卡尺和量块的热膨胀系数；
b m t t ??和——分别是游标卡尺和量块偏离参考温度20℃的数 值； 3 方差和灵敏系数 令：b m α-α=δα b m t t t ?-?=δ 舍弃高阶微分量，取： b m L L L ≈≈ b m α≈α≈α b m t t t ?≈?≈? 则： t L t L L L e b m δ?α?+δα???+-= 得：)()()()()()()()()(222222222t u t C u C L u L C L u L C e u u b b m m c δδ+δαδα++?== 其中：1)(=m L C 1)(=b L C t L C ??=δα)( α?=δL t C )( 4 测量不确定度来源,标准不确定度计算: 4.1 5等标准量块中心长度测量不确定度)(b L u 4.1.1 检定测量范围(0～150)mm 的游标卡尺(包括游标深度卡尺): 受检点为41.3mm 时， U 99=0.8μm 27.038.0)(==b L u μm 受检点为81.6mm 时， U 99=1.0μm 33.030.1)(==b L u μm 受检点为121.9mm 时， U 99=1.2μm 40.032.1)(==b L u μm 4.1.2 检定测量范围(0～200)mm 的游标卡尺(包括游标深度卡尺): 受检点为61.3mm 时， U 99=0.9μm 30.039.0)(==b L u μm 受检点为121.6mm 时， U 99=1.2μm 40.032.1)(==b L u μm 受检点为181.9mm 时， U 99=1.5μm 50.035.1)(==b L u μm 4.1.3 检定测量范围(0～300)mm 的游标卡尺(包括游标深度卡尺): 受检点为91.3mm 时， U 99=1.0μm 33.030.1)(==b L u μm
桐乡市计量检定测试所 技术文件 千分尺示值误差测量 结果的不确定度评定
千分尺示值误差测量结果的不确定度评定过程 1 概述 1.1 测量方法：依据JJG21-1995《千分尺》国家计量检定规程。 1.2 环境条件：温度（20±5)℃。 1.3 测量标准：五等量块，其长度尺寸的不确定度不大于（0.5+5L）μm(L—校准长度)， 包含因子k 取2.7。 1.4 被测对象：校准范围为(0~25)mm，分度值为0.01mm的千分尺，MPE为±4μm。 1.5 测量过程 千分尺示值误差是以五等量块进行校准的，千分尺的校准点均匀分布于校准范围5点上。被测量千分尺各点示值误差以该点读数值（示值）与量块尺寸（测量标准）之差确定。 1.6 评定结果的使用 在符合上述条件下的测量结果，一般可直接使用本不确定度的评定结果。 2 数学模型 e =L a+L o-L s 式中：e ——千分尺某点示值误差； L a——千分尺测微头25mm内示值； L o——对零量块的长度； L s——校准量块的长度。 3 输入量的标准不确定度的评定 3.1 输入量L a的标准不确定度u(L a)的评定 输入量L a的不确定度来源主要是测量重复性引起的标准不确定度u(L a)的评定，可以通过连续测量得到测量列（采用A类方法进行评定）。 以测微头25mm示值为例，在重复性条件下，用量块连续测量10次，得到测量列25.003mm，25.003mm，25.002mm，25.002mm，25.002mm，25.003mm，25.003mm，25.002mm，25.002mm，25.002mm。 a = 25.0023mm 单次标准差s== 0.00048mm ≈ 0.48μm 则可得到 u(L a)= s=0.48μm 自由度v(L a)= 10-1=9 3.2输入量L0的标准不确定度u(L0)的评定 输入量L0的不确定度来源主要是对零量块引起的标准不确定度u(L0)（采用B类方法进行评定）。（注：下文L为千分尺测量上限） L=25mm时，千分尺下限为零，无需对零量块，则无u(L0)。 估计其Δu(L0) = 10%，则自由度v(L a)=50 u(L0) 3.3 输入量L s的标准不确定度u(L s)的评定 输入量L s的不确定度来源主要是校准用量块引起的标准不确定度分项u(L s 1)；千分尺和
算术平均值及中误差 (一)算术平均值 当观测值的真值未知时，通常取多次观测值的算术平均值作为最后结果，并认为它时最可靠的，用来代替真值。算术平均值比组内任一观测值更为接近于真值，证明如下： 设对某量进行一组等精度观测，观测值分别为n L L L ,,,21 ，未知量的真值为x ，观测值的真误差分别为：n ???,,,21 则 ??? ? ???-=?-=?-=?n n L x L x L x 2211 4—28 将上式取和再除以n ，得 [][]L x n L x n -=-=? 4—29 式中：L ——观测值得算术平均值，显然 [][]n x n L L ?-== 4—30 根据偶然误差的第四个特性，有 []x n x L n n =?-=∞ →∞ →)( lim lim 4—31 观测次数n 无限增大时，算术平均值L 趋近于未知数的真值x ；当n 为有限时，算术 平均值最接近于真值，称其为最或然值，或称最可靠值。 （二）算术平均值中误差 观测值的最或然值与观测值之差，称为观测值改正数。当等精度观测时，算术平均值L 与观测值l 之差，即为观测值V 。 ??? ? ? ?? -=-=-=n n L L V L L V L L V 2211 4—32 则有 [][]L L n V -= 4—33 由式[]n L L = 代入可知： []0=V 4—34 （4-34）式说明观测值改正数的一个重要特征：在等精度观测条件下，观测值改正数的
总和为零。 在实际测量工作中，观测值的真值x 是未知的，在等精度观测中，往往只知道算术平均值L 和观测值改正数V ，这就不能用（4-5）式来计算观测值的中误差。而用观测值的改正数V 代替真误差，可推导出计算观测值的中误差公式(4-8)式： []1 -± =n VV m 上式称白塞尔公式。现根据观测值的中误差，计算算术平均值中误差M 。 由算术平均值计算公式n L L L L n +++= 21，利用误差传播定律得： 2 22222122111n m n m n m n M +++= 4—35 由于是等精度观测，则有： m m m m n ==== 21 4—36 可得： n m M 22 = 即n m M = 4—37 将（4-8）式代入得： [] ) 1(-± =n n VV M 4—38 (4-37)式表明，算术平均值中误差为观测值的中误差的 n 1 ，M 恒小于m ，所以在实际工作中，可以用算术平均值作为观测结果，增加观测次数，可提高观测精度。 例6: 设用经纬仪测量某角度6个测回，观测值见下表，求观测值的中误差m 、算术平均值L 及其中误差M 。 利用白塞尔公式计算观测值的中误差m ，利用（4—36）计算算术平均值的中误差M ，
液压摆锤式压力试验机负荷示值误差测量结果不确定度评估 王 鹏 （北京市海淀区计量检测所，北京，100083） 摘要： 根据JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》国家计量技术规范给出的测量不确定度评估原则，运用JJF 1130-2005《几何量测量设备校准中的不确定度评定指南》国家计量技术规范给出的测量不确定度近似评估思想、不确定度概算技术和不确定度报告编写格式，对液压摆锤式压力试验机负荷示值误差测量过程（测量条件、测量原理、测量方法、测量程序等）进行测量不确定度评估。 关键词：测量不确定度评估; 不确定度概算; 液压摆锤式压力试验机; 负荷示值误差 1 引言 该评估报告是根据JJF 1130—2005《几何量测量设备校准中的不确定度评定指南》的测量不确定度近似评估思想和格式编写，它以JJG139-1999《拉力、压力和万能试验机》国家计量检定规程的技术要求、测量条件为依据，利用不确定度概算技术对液压摆锤式压力试验机负荷示值误差的测量过程进行评估。 2 概述 为验证JJG139-1999《拉力、压力和万能试验机》国家计量检定规程技术要求的合理性，对典型液压摆锤式压力试验机负荷示值误差的测量过程进行测量不确定度评估，确认该规程提出的液压摆锤式压力试验机负荷示值误差的技术要求、测量原理、测量条件、测量方法和测量程序的科学性、可行性、经济性。 3 任务和目标不确定度 3.1 测量任务 采用JJG139-1999《拉力、压力和万能试验机》国家计量检定规程确认的技术要求、测量原理、测量条件、测量方法和测量程序，量程为kN 2000，测量最大试验力为kN 400的负荷示值误差。 3.2 目标不确定度 根据JJF 1094-2002《测量仪器特性评价》中5.3.1.4规定，液压摆锤式压力试验机负荷示值误差的扩展不确定度U (k =2)与其最大允许误差的绝对值MPEV 之比，应小于或等于1:3，即 MPEV 31?≤ U （1） 根据式(1)按JJG139-1999《拉力、压力和万能试验机》规程中负荷示值误差技术要求得到与之对应的目标不确定度U T （见表1）。 4 原理、方法、程序和条件 4.1液压摆锤式试验机测量原理 液压摆锤式试验机，其液压系统是连通的，所以在工作状态下工作活塞底面与测力活塞底面所受的压强是相等的。试验机采用了液压正切摆测力原理。测力活塞上所受的力通过拉杆作用于摆杆
加权平均值及中误差 在测量实践中，除了同精度观测外，还有不等精度观测。如果对某观测值得观测值在不同的观测条件下进行的，即对其进行了n 次不等精度观测，在这种情况下，由于观测条件不同，求观测值的最或然值就不能简单地用算术平均值来求解，而是采用另一种方法即加权平均值方法求解。 (一)权和单位权 所谓“权”，就是不同精度观测值在计算未知量的最或然值时所占的“比重”。一般观测值误差愈小，精度愈高，说明其值愈可靠，权就愈大，因此，权定义：观测值或观测值函数的权（通常以P 表示）与中误差m 的平方成反比。设不等精度观测值n L L L ,,,21 的中误差分别为n m m m ,,,21 ，则i L 权的可定义为： 2 i i m C P = 式中C ——任意常数；4—39 ,2,1=i n 若令第一次观测值的权作为标准，并令其为1，即取21m C =，则 221222122 1211,,,1n n m m P m m P m m P ==== 4—40 等于1的权称为单位权，权等于1的对应的观测值中误差称为单位权中误差。一般用μ表示，习惯上取一次观测、一个测回、一公里线路等的测量误差为单位权中误差。这样（4-40）式另一表示方式为： 2 2i i m P μ= 4—41 由上式得到观测值或观测值函数的中误差的另一种表示方式为 i i p m 1μ= 4—42 权具有如下性质： ① 权与中误差同为衡量观测精度的指标，中误差表示观测值的绝对精度；权是一个相对性数值，表示观测值之间的相对精度关系，对单一观测值而言，权无意义; ② 权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值精度越高; ③ 权始终取正号; ④ 权的大小与常数C 的选值不同而不同，但观测值间权的比例关系不变，同一个研究问题只能选取一个C ，其取值应使 p 值便于平差时 使用。 (二)测量中常用的定权方法 (1) 算术平均值 的权 由（4--37）和 (4--41) 式知，n 个等精度观测值算术平均值的中误差n m M / = ,当μ=m 时有： n n m m M P L ===/22 22μ 4--43 即当取一次观测值权为１时，n 个观测值算术平均值的权为 n 。 (2) 角度观测时定权 与算术平均值的权同理，当令一测回观测的角度中误差为单位权中误差时，观测n 个测回的角度观测值的权为n 。同理，不同测回数的角度观测值，其权之比为测回数之比。 (3) 水准测量中定权 设－站观测高差精度相同，其中误差为m 站，则站数为N i 的某条水准路线的观测高差中误差为 i i N m m = (I=1,2,…,n) 若取C 站的高差中误差为单位权中误差，即c m =μ，依（4-41）式，某水准路线的权为 i i N c P = 4--44 同理，若取C （Km ）路线高差中误差为单位权中误差，则长度为L i 的某水准路线的权为 i i L c P = 4--45 因此，在水准测量中，若每一站高差观测精度相同，则各水准路线观测高差的权与路线测站数或路线长度成反比。 (4) 距离丈量时定权