第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ???? ?? ? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f M ΛM M M Λ Λ ΛΛ212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X Λ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++=Λ 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ΛΛ的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ΛM ΛΛ22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =
第六章习题解答 1． 已知约束优化问题： 2)(0)()1()2()(min 21222112 221≤-+=≤-=?-+-=x x x g x x x g t s x x x f 试从第k 次的迭代点[]T k x 21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254 所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向： []T T R S 0.412 0.9110.2540.5620.254 0.2540.5620.5622222-=??? ??? ??++= 2) 用公式：R k k S x x α+=+)()1( 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边 界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则： 176 .1)412.0(22822.0911.021221 2111 =-?+=+==?+-=+=++R k k R k k S x x S x x αα ? ? ? ???=+176.1822.01 k X 即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2． 已知约束优化问题： )(0)(0 25)(12 4)(min 2312222112 21≤-=≤-=≤-+=?--=x x g x x g x x x g t s x x x f 试以[][][]T T T x x x 33 ,14,120 30 20 1===为复合形的初始顶点，用复合形法进 行两次迭代计算。 [解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点： [][][]9 35 120101-=?==?=-=?=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。为最好点，0 203x x 2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点： ?? ????+??????=???? ????????+??????==∑≠=3325.2211 32 10 3312i i i c x L x 3）计算反射点1 R x （取反射系数3.1=α） 20.69 3.30.551422.51.322.5)(110 2001-=????? ?=???? ????????-??????+??????=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1 R 0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R x x ，进行新的一轮迭代。 5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得： ?? ????=???? ????????+??????= 3.151.775 3.30.5533211 c x 6）计算新一轮迭代的反射点得： ，完成第二次迭代。 值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1 2011 12-=??????=???? ????????-????? ?+??????=-+=R R c c R f x x x x x α
教学基本要求： 1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念. 2.了解合同变换和合同矩阵的概念. 3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法. 4.了解惯性定理. 5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法. 第六章二次型 本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型. “研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？ 二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类. 通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等. 一、二次型与合同变换 1. 二次型 n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数 f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2 +2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1) 以下仅考虑n元实二次型. 设 11121n1 12222n2 1n2n nn n a a a x a a a x A,x a a a x ???? ? ? ? ? == ? ? ? ? ???? L L v M M M M L ，那么 f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2) 式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.
例6.1(例6.1 P 132) 二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132) 由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵. 定义6.2 仅含平方项的二次型 f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3) 称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132) 标准形的矩阵是对角矩阵. 二次型有下面的结论： 定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为 T T x Cy B C AC T T A B C AC C 0 R (A)R (B) f x Ax f y By ==?=≠=?== ? v v v v v v . 2. 合同变换 在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系. 定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133) 矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.
本章优化总结 机械波 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?波的形成 ?? ? ??形成条件：波源和介质 形成原因：介质的质点间有相互作用力 波的实质：传递振动形式、能量、信息 波的分类 ? ? ?横波：振动方向与传播方向垂直 纵波：振动方向与传播方向在同一直线上 描述波动的物理量 ?? ? ?? ?? ? ?? 波长λ 波速v 周期T（或频率f） 关系 ? ? ?v＝λf v＝ λ T 波的图象：反映某时刻介质中各质点离开平衡位置的情况 波的特性 ? ? ? ? ?波的干涉???定义：两列相干波叠加后使某些区域振动加强或减弱 必要条件：两列波的频率相同 波的衍射 ? ? ?定义：波绕过障碍物或小孔继续传播 发生明显衍射条件：障碍物或小孔的尺寸比波长小或差不多 多普勒效应 惠更斯原理 ? ? ?反射 折射 波的传播与质点的振动 1．从波动图象上读出波长、振幅等，由公式v＝ λ T＝λf得到其余的振动物理量．2．如果求解波传播到某一质点到达某一状态的时间，通常有两种方法：一种是先求出波 刚传播到该点的时间，然后根据质点的起振方向，由周期关系求出到达要求状态的时间，两 部分时间求和得到；另一种是根据振动状态的直接传递，由t＝ x v得到． 如图甲所示是一列沿＋x方向传播的简谐横波在t＝0时的波形图，已知波速v＝2 m/s，质点P、Q相距3.2 m．求： (1)在图乙中画出质点Q的振动图象(至少画出一个周期)； (2)从t＝0到Q点第二次振动到波谷的这段时间内质点P通过的路程． [解析](1)振动传播到Q所需要的时间
t ＝Δx v ＝3.6－1.22 s ＝1.2 s 且起振方向向下，由图甲可知A ＝2 cm ，λ＝1.6 m ，故周期T ＝λv ＝1.6 2 s ＝0.8 s 质点Q 的振动图象如图所示． (2)从t ＝0到Q 点第二次到达波谷所需时间 t ＝Δx ′v ＋T ＝3.6－0.82 s ＋0.8 s ＝2.2 s (或由Q 点的振动图象得Q 点在t ＝2.2 s 时第二次到达波谷) 在这2.2 s 内t T ＝2.20.8＝2 34 因而P 点通过的路程为s ＝t T ×4A ＝22 cm ＝0.22 m. [答案] (1)见解析图 (2)0.22 m [方法总结] (1)波速的公式有两个．一个是从波的周期性的角度：v ＝λf ＝λT ；一个是从波的传播的角度：v ＝Δx t ，求解时要根据题目的需要选择合适的公式进行计算． (2)在波形上，波在几个周期内或波在传播方向上传播nλ的距离，波形相同． (3)质点振动的路程s ＝N ·A ，其中N 为14 T 的整数倍． 1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，a 、b 、c 、d 是均匀媒质中x 轴上的四个质点，相邻两点的间距依次为2 m 、4 m 和6 m ．一列简谐横 波以2 m/s 的波速沿x 轴正向传播，在t ＝0时刻到达质点a 处，质点a 由平衡位置开始竖直向下运动，t ＝3 s 时a 第一次到达最高点．下列说法正确的是( ) A ．在t ＝6 s 时刻波恰好传到质点d 处 B ．在t ＝5 s 时刻质点c 恰好到达最高点 C ．质点b 开始振动后，其振动周期为4 s D ．在4 s 线性代数知识点总结（第6章） （一）二次型及其标准形 1、二次型： （1）一般形式 （2）矩阵形式（常用） 2、标准形： 如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2 这样的二次型称为标准形（对角线） 3、二次型化为标准形的方法： （1）配方法： 通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。 ★（2）正交变换法： 通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2 其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵 注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。 （二）惯性定理及规范形 4、定义： 正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p； 负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q； 规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。 5、惯性定理： 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。 注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。 （2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵 6、定义： A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同 △7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系 （1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值 （2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数 （3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B） 注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价 （四）正定二次型与正定矩阵 8、正定的定义 二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。 9、n元二次型x T Ax正定充要条件： （1）A的正惯性指数为n （2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E （3）A的特征值均大于0 （4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件： （1）a ii＞0 （2）|A|＞0 11、总结：二次型x T Ax正定判定（大题） （1）A为数字：顺序主子式均大于0 （2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定 12、重要结论： （1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定 （2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定 第六章二次型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第六章 二次型（一般无大题） 基本概念 1. 二次型: n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 212111121213131122222 232322(,, ,)222222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ ++++ ++ + 称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则 ()2 1211112121313112 21212222323222 11223311121121 22221 2 1 2 (,, ,)2n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax =+++ +++++ ++ +++++???? ??? ? ??= ??? ??????? = 因此，二次型也记AX X f T =,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1） 2.合同矩阵的定义及性质 2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ?.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与 T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数) 合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =； （2）对称性，即若T B C AC =，则有()11T A C BC --=； （3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212T A C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同. Invitations to Linguistics 1.1 To give the barest of definition, language is a means of verbal communication. 1.3 Design Feature o Language 1.3.1 Arbitrariness Refers to the fact that the forms of linguistic signs bear no natural relationship to their meaning. Arbitrary relationship between the sound of a morpheme and its meaning. Arbitrariness at the syntactic level,by syntax we refer to the ways that sentences are constructed according to the grammar of arrangement Arbitrariness and convention :the matter of convention is the link between a linguistic sign and its meaning. 1.3.2Duality By duality is meant the property of having two levels of structures,such that units of the primary level are composed of elements of the secondary level and each of the two levels has its own principles of organization. 1.3.3 Creativity By creativity we mean language is resourceful because of its duality and its recursiveness. 1.3.4 Displacement It means that human languages enable their users to symbolize object,events and concepts which are not present at the moment of 习题6.1 1．写出下列二次型的矩阵. （1）222 123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++ （2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =- （3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ?? ?= ? ??? 2．将二次型 222 1231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+- 表成矩阵形式，并求该二次型的秩. 3．设 A = ??? ? ? ? ?3210 000 00a a a ，B = ???? ? ? ?132 00000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =T C A C ． 4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ???? ? ????? 与合同. 习题6.2 1．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换. （1）222 12312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++ 2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2. (1) 求c; (2) 求一正交变换化二次型为标准形. 3．已知二次型22 12323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形 222 1236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换. 22224. 222444,,. x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ???? ? ? +++++== ? ? ? ????? +=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面 方程求的值与正交矩阵 5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换. （1）222 123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++ 6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令 ??? ??-=-=-=133 3222 11x x y x x y x x y 得f =2 3 2221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩. 7．判断矩阵01111213A B ???? == ? ????? 与是否合同. 习题6.3 1．判定下列实二次型的正定性. （1）222 1231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+ （3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+ n j i j i n i i x x x 11 2 2． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定 的. 第六章 微生物菌种的选育 第一节从自然界中分离筛选菌种1、生产菌株来源 ?索取或购买 ?自己选育 用原有菌株进行遗传改造进行育种 向菌种保藏机构索取、购买出发菌株进行选 从自然界中分离菌种 从自然界中分离菌种就是从自然界微生物资源中有目的、快速、准确地选出所需要的菌种。 从自然界中分离筛选菌种的一般步骤 二. 增殖培养（富集培养） ?适用：样品中目的菌数量不够多时 ?目的：提高样品中目的菌的数量和比例 ?原理：通过控制营养成分或培养条件，使目的菌得以繁殖和/或非目的菌的生长受到抑制三. 纯种分离 3、厌氧性微生物的分离法 （1）去除培养基中的溶解氧，降低Eh （2）创造无氧环境 物理除氧空气置换法：干燥器或厌氧培养罐 化学除氧H2 + O2→H2O (钯作催化剂） GASPAK罐除氧：硼氢化钠、柠檬酸，碳酸氢钠化学反应产生H 和CO2，H2与O2反应生成 2 水 （3）厌氧分离（培养）技术 ?高层琼脂柱技术 ?厌氧罐技术 ?厌氧手套箱技术 好氧培养 五、培养工艺条件试验与生产试验 1、摇瓶发酵条件 培养基组成、初始pH、通风量（装液量）、接种量、培养温度… 2、小型台式发酵罐发酵工艺条件 溶解氧控制，pH值控制，原料添加模式，消泡剂… 第二节基因突变 突变（Mutation）定义：遗传物质核酸（DNA或病毒中的RNA）的分子结构或数量突然发生了可遗传的变化。 突变是一种遗传的状态，是基因由于结构发生改变从而由原来的存在状态变为另一种存在状态，即它的等位基因。 突变体：带有突变基因的细胞或个体 突变型：突变体的基因型或表型称为突变型，和其相对的原存在状态称为野生型。 一、突变类型 按变化范围分突变类型 (一)染色体畸变（chromosome aberration)染色体数目的变化或染色体结构发生较大片段的异常 改变。 1、染色体数目的变化 ?整倍体(euploidy)：含有完整的染色体组 ?单倍体：haploid ?二倍体：diploid ?三倍体：triploid ?四倍体：tetraploid 2、染色体结构的变化 ?缺失deletion： ?重复duplication ： ?倒位inversion： ?易位translocation ： (二) 基因突变（gene mutation） ----染色体局部座位内的变化 ?点突变：只涉及DNA分子中一对或少数几对碱基的改变。突变发生在一个基因范围内。?多位点突变：突变超出一个基因范围。 1、碱基置换base replacement DNA链上的某一碱基对为另一碱基对所取代。 ?转换transition ： ?颠换transversion： 2、移码突变frameshift mutation：由于一对或少数几对（不是三的倍数）核苷酸的插入或缺 失而造成此后一系列遗传密码子的阅读框发生移位错误的突变。 《第一章机械结构设计》知识结构总结 （小组成员：何春江陈彦智陈肯） 知识建构: 本章以学习机构为主线,主要研究内容为: 1)构件间联接形式(运动副)及运动传力特征 2)可动联接系统的满足条件 3)用自由度,约束特征的机构简图抽象表示机构 本章重难点与要求： 1)了解常见运动副的类型及简图符号。 2)了解自由度计算的目的，熟练掌握自由度计算的方法以及注意事项。 3)了解杆组理论的作用以及限定条件，掌握分组方法。 4)熟悉高副低代的目的，熟练掌握高副低代的方法。 一、构件以及运动副 构件 构件是组成机构的基本要素之一，其作用是传递运动和力。在研究机构的组成原理时，均把构件视为为刚体。 一个空间自由运动构件具有6个独立运动的可能，即具有6个自由度。平面自由运动构件只具3个自由度。 空间运动副s+f=6 平面运动副s+f=3 第一种是点、线接触的平面高副。平面高副引入1个约束，保留2个自由度。 第二种是面接触的平面低副。平面低副有两类，只保留有一个转动自由度，称为转动副或铰链；只保留有一个相对移动自由度，称为移动副或直移副。平面低副有2个约束和1个自由度。 运动副的封闭 几何封闭与力封闭构成运动副的封闭。 二、 机构自由度 机构的自由度 机构中各构件具有确定的相对位置和姿态，相对于机架所需的独立运动的 个数。比较机构自由度和运动链自由度的定义可知，两者是一致的。 设一个空间机构共有N 个构件，pi 个i 级副（i=1~5），除去机架，共有n=N-1个活动构件。在用运动副连接之前，因为每个自由运动构件有6个自由度，所以共有6n 个自由度；而每个i 级副引入i 个约束，则共引入（p1+2p2+3p3+4p4+5p5）个约束。故空间机构自由度F 的计算公式为： ∑=- =++++--=5 1 543216)5432()1(6i i ip n p p p p p N F （1-1） 式（1-1）也称为空间机构结构公式。 设平面机构中有N 个构件、n=N-1个活动构件、L p 个低副、H p 个高副，则平面机构的自由度计算公式为： H L p p n F --=23 （1-2） 第六章 二次型（一般无大题） 基本概念 1. 二次型: n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 212111121213131122222 232322(,, ,)222222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ ++++ ++ + 称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则 ()2 1211112121313112 21212222323222 11223311121121 22221 2 1 2 (,, ,)2n n n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax =+++ +++++ ++ +++++???? ??? ? ??= ??? ??????? = 因此，二次型也记AX X f T =,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 的秩称为二次型的秩，记作R （f ）=R （A ）. 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1） 2.合同矩阵的定义及性质 2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得T C AC B =，则称 矩阵A 与B 合同，记A B ?.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的 正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数) 合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =； （2）对称性，即若T B C AC =，则有()11T A C BC --=； （3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212T A C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同. 2.2 合同矩阵的性质 第一章运动的描述 一、质点： 用来代替物体、只有质量而无形状、体积的点。它是一种理想模型，物体简化为质点的条件是物体的形状、大小在所研究的问题中可以忽略。它是在研究物体的运动时，为使问题简化，而引入的理想模型。仅凭物体的大小不能视为质点的依据，如：公转的地球可视为质点，而比赛中旋转的乒乓球则不能视为质点。 物体可视为质点主要是以下三种情形： (1)物体平动时；(2)物体的位移远远大于物体本身的限度时； (3)只研究物体的平动，而不考虑其转动效果时。 1．下列关于质点的说法中，正确的是（） A．质点就是质量很小的物体 B．质点就是体积很小的物体 C．质点是一种理想化模型，实际上并不存在 D．如果物体的大小和形状对所研究的问题是无关紧要的因素时，即可把物体看成质点2．在下述问题中，能够把研究对象当作质点的是（） A．研究地球绕太阳公转一周所需时间的多少 B．研究地球绕太阳公转一周地球上不同区域季节的变化、昼夜长短的变化 C．一枚硬币用力上抛，猜测它落地时正面朝上还是反面朝上 D．正在进行花样溜冰的运动员 3关于物体能不能被看做质点，下列说法中正确的是（） A.研究子弹的运动轨迹时，只能把子弹看做质点 200的列车从上海到北京的运行时间时，应该把此列车视为质点 B.当研究一列长m C.研究自行车的运动时，因为车轮在转动，所以研究自行车时不能视其为质点 D.在研究能地球的自转时，可以把地球视为质点 二．参考系：被假定为不动的物体系。 对同一物体的运动，若所选的参考系不同，对其运动的描述就会不同，通常以地球为参考系研究物体的运动。 运动的相对性：只有在选定参照物之后才能确定物体是否在运动或作怎样的运动。一般以地面上不动的物体为参照物。 1关于参考系的选择，下列四位同学展开了讨论，其中正确的是（） A.黄娃说，只有静止的物体才能够被选作参考系 B.紫珠说，任何物体都可以被选作参考系 C.红孩说，选择地面作为参考系是最好的 * * 第六章 二次型 一、基本概念 n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为 f(x 1,x 2, …,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+ …+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2 =21 2n ii i ij i j i i j a x a x x =≠+∑∑. 它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A ? ???? ?? ????????? ??==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 212 122221112112111 21),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X T AX 称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩. 注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T =，此时二次 型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此， 也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。 实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定 为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型. 标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2 222211n n x d x d x d f +++= 称为二次型的标准型。 规范二次型 形如2 21221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。 二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数 ?? ???? ?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵 c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … … c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可 逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X = 章末检测(一) 统计案例 (时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．从某地区儿童中预选体操学员，已知儿童体型合格的概率为1 5，身体关节构造合格的概率 为1 4，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型合格与身体关节构造合格两者相互之间没有影响)( ) A.13 20 B.1 5 C.14 D.25 解析：P ＝1－(1－15)(1－14)＝2 5. 答案：D 2．对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值带有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定性关系叫( ) A ．函数关系 B ．线性关系 C ．相关关系 D ．回归关系 解析：考查相关关系的概念． 答案：C 3．若回归直线方程中的回归系数b ＝0时，则相关系数为( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定 解析：∵b ＝ ∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y ) ∑i ＝1 n (x i －x )2 ＝0时， 有∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y )＝0， 故相关系数r ＝ ∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y ) ∑i ＝1 n (x i －x )2∑i ＝1 n (y i －y )2 ＝0. 答案：C 4．工人月工资y (元)关于劳动生产率x (千元)的回归方程为y ^ ＝650＋80x ，下列说法中正确的个数是( ) ①劳动生产率为1 000元时，工资约为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高约80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元； ④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：①②④正确，注意单位的一致性． 答案：C 5．甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出一球，那么5 12等于( ) A ．2个球都是白球的概率 B ．2个球中恰好有1个是白球的概率 C ．2个球都不是白球的概率 D ．2个球不都是红球的概率 解析：两个球都是白球的概率为412×312＝112，两个球恰好有一个白球的概率为412×912＋812× 3 12＝5 12. 答案：B 6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表： 章末优化总结 动力学中的临界和极值问题 1．临界状态与临界值 在物体的运动状态发生变化的过程中，往往达到某一个特定状态时，有关的物理量将发生突变，此状态即为临界状态，相应的物理量的值为临界值，临界状态一般比较隐蔽，它在一定条件下才会出现．若题目中出现“最大”“最小”“刚好”等词语，常为临界问题．2．常见临界条件 接触与脱离 的临界条件 两物体相接触或脱离的临界条件是弹力F N＝0 相对静止或相对滑动的临界条件两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件为静摩擦力达到最大值或为零 绳子断裂与松弛的临界条件绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T＝0 加速度最大与速度最大的临界条件当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和 速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值 3.求解临界极值问题的三种常用方法 极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达 到正确解决问题的目的 假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可 能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题 数学方法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件 如图所示，质量m ＝1 kg 的光滑小球用细线系在质量为M ＝8 kg 、倾角为α＝37° 的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g 取10 m/s 2.试求： (1)若用水平向右的力F 拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F 不能超过多少？ (2)若用水平向左的力F ′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F ′不能超过多少？ [思路点拨] (1)向右拉斜面体时，小球不离斜面体临界条件是什么？ (2)向左推斜面体时，小球不沿斜面滑动的临界条件是什么？ [解析] (1)小球不离开斜面体，两者加速度相同、临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0 对小球受力分析如图： 由牛顿第二定律得：mg tan 37° ＝ma a ＝g tan 37°＝403 m/s 2 对整体由牛顿第二定律得： F ＝(M ＋m )a ＝120 N. (2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0， 对小球受力分析如图： 由牛顿第二定律得：mg tan 37°＝ma ′ a ′＝g tan 37°＝7.5 m/s 2 对整体由牛顿第二定律得： F ′＝(M ＋m )a ′＝67.5 N. 高中物理第六章传感器章末优化总结练习（含解析）新人教版选 修32 章末过关检测 (时间：60分钟，满分：100分) 一、选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分，1～5小题为单项选择题，6～8小题为多项选择题) 1．光电式感烟探测器(简称烟感器)由光源、光电元件和电子开关组成．利用光散射原理对火灾初期产生的烟雾进行探测，并及时发出报警信号．该报警器利用的传感器是( ) A．力传感器B．声传感器 C．位移传感器D．光传感器 解析：由于光电式感烟探测器是利用光散射原理对火灾初期产生的烟雾进行探测，故该报警器利用的传感器是光传感器，D正确． 答案：D 2．如图所示，电容式触摸屏的构造主要是在玻璃屏幕上镀一层透明的薄膜导体层，再在导体层外加上一块保护玻璃，电容式触摸屏在触摸屏四边均镀上狭长的电极，在导体层内形成一个低电压交流电场．在触摸屏幕时，由于人体是导体，手指与内部导体层间会形成一个特殊电容(耦合电容)，四边电极发出的电流会流向触点，而电流强弱与手指到电极的距离成正比，位于触摸屏后的控制器便会计算电流的比例及强弱，准确算出触摸点的位置．由以上信息可知( ) A．电容式触摸屏的内部有两个电容器的电极板 B．当用手触摸屏幕时，手指与屏的接触面积越大，电容越大 C．当用手触摸屏幕时，手指与屏的接触面积越大，电容越小 D．如果用戴了手套的手触摸屏幕，照样能引起触摸屏动作 解析：电容触摸屏在原理上把人体当作电容器元件的一个极板，把导体层当作另一个极板，选项A错误；手指与屏的接触面积越大，即电容器两个极板的正对面积越大，故电容越 大，选项B 正确，选项C 错误；如果戴了手套或手持不导电的物体触摸时没有反应，这是因为手与导体层距离较大，不能引起导体层电场的变化，选项D 错误． 答案：B 3．压敏电阻的阻值随所受压力的增大而减小，在升降机中将重物放在压敏电阻上，压敏电阻接在如图甲所示的电路中，电流表示数变化如图乙所示，某同学根据电流表的示数变化情况推断升降机的运动状态．下列说法中正确的是( ) A ．0～t 1时间内，升降机一定匀速运动 B ．0～t 1时间内，升降机可能匀减速上升 C ．t 1～t 2时间内，升降机可能匀速上升 D ．t 1～t 2时间内，升降机可能匀加速上升 解析：在0～t 1时间内，电流恒定，表明压敏电阻的阻值恒定，则重物对压敏电阻压力恒定，则升降机可能处于静止、匀速运动或匀变速直线运动状态，故A 选项错误，B 选项正确．t 1～t 2时间内，电流在增加，表明压敏电阻的阻值在减小，则重物对压敏电阻的压力在增大，故不可能做匀速运动或匀加速运动，C 、D 两项都错． 答案：B 4．如图所示是一位同学设计的防盗门报警器的简化电路示意图．门打开时，红外光敏电阻R 3受到红外线照射，电阻减小；门关闭会遮蔽红外线源(红外线源没有画出)．经实际试验，灯的亮灭能反映门的开、关状态．门打开时两灯的发光情况以及R 2两端电压U R 2与门关闭时相比( ) A ．红灯亮，U R 2变大 B ．绿灯亮，U R 2变大 C ．绿灯亮，U R 2变小 D ．红灯亮，U R 2变小 解析：门打开R 3减小，导致R 总减小和I 总增加，U r 和U R 1变大，U R 2＝E －(U R 1＋U r )减小，I R 3＝I 总－U R 2R 2 增加，电磁继电器磁性增强把衔铁拉下，红灯亮，绿灯灭，A 、B 、C 均错误，D 正确．线性代数知识点总结(第6章)
第六章二次型总结
第一章总结
第六章习题与复习题(二次型)----高等代数
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机械原理第一章章末总结
第六章 二次型总结
第一章 运动的描述 章末总结
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