三角形基本概念与性质
一、考点梳理
1、 三角形的边、角关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
（2）三角形的内角和等于180°，外角和等于360°.
（3）三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.
2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.
（1）内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（2）外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离
相等.
（3）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
3、等腰三角形
性质：（1）两底角相等(等边对等角).
(2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(2)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
判定：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
4、多边形的内角和等于()01802?-n ，多边形的外角和等于360°
二、课堂精讲
5、（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）.
A ． 5
B ． 6
C ．11
D ． 16
6、（2012湖南郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）.
A ．1cm ，2cm ，4cm
B ．4cm ，6cm ，8cm
C ．5cm ，6cm ，12cm
D ．2cm ，3cm ，5cm
7、（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）.
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
8、（2007广东）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）.
A 、三条中线的交点
B 、三条高的交点
C 、三条边的垂直平分线的交点
D 、三条角平分线的交点 9、（2008广东）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，
且∠A +∠B=120°，则∠AN M= ° 10、（2008广东）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是___________
11、（2010广东）正八边形的每个内角为（ ）
A ．120o
B ．135o
C ．140o
D ．144o
12、（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．16或20
A M
N
B
C 图1
_ D _ C
_ B _ A 13、例题：(2012广西玉林)已知等腰△ABC 的顶角∠A=36°（如图）.
（1）作底角∠ABC 的平分线BD,交AC 于点D （用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
（2）通过计算说明△ABD 和△BDC 都是等腰三角形.
解：（1）如图所示：BD 即为所求；
（2）∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
∴∠CDB=180°-36°-72°=72°，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，
∴AD=DB，BD=BC ，
∴△ABD 和△BDC 都是等腰三角形．
三、巩固训练
14、现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组
成的三角形的个数是（ ）.
15、如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD= 度．
16、一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的
周长是 .
17、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是 （ ）
A ．四边形
B ．五边形
C ．六边形
D ．八边形
18、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=20°，则∠C= °
19
、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=400，BD 是∠ABC 的平分线.
求∠BDC 的度数.
20、如图所示，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD ．
（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BM EM ．
A B C
E D
课 时 作 业
一、选择题
1、如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
2、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A. 50°
B. 80°
C. 65°或50°
D. 50°或80°
3、三角形的三边分别为3，1-2a ，8，则a 的取值范围是( )
A ．-6＜a ＜-3
B ．-5＜a ＜-2
C ．2＜a ＜5
D ．a ＜-5或a ＞-2
4、正六边形的每个内角都是（ ）
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D.120°
5、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A ．BC=2DE
B ．△ADE∽△ABC
C ．AC
AB AE AD = D ．S △ABC =3S △ADE 二、填空题
6、等腰三角形中两条边长分别为3、4，
则三角形的周长是_________
7、如图在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD ∥AC ，则∠CBD 的度数是______.
8、在△ABC 中，若∠A、∠B 满足02221cos 2
=???
? ??-+-siinB A ，则∠C= ． 9、三角形的每条边的长都是方程
的根，则三角形的周长是__ __ 10、边长为a 的正三角形的面积等于______.
三、解答题
11、已知等腰△ABC 中，∠ABC=∠ACB=2∠A ，且BD ⊥AC ，垂足为D ，求∠DBC 的度数.
12、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，
点E 是AB 的中点，连结EF.
（1）求证：EF ∥BC.
（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.
四、拓展
13、我等们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．
初中数学全等三角形的概念和性质（基础） 【学习目标】 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【典型例题】 类型一、全等形和全等三角形的概念 1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）
全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合 吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做 三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对 应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图 第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________， 对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A
1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果 的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块， 这六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48，即：3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？
分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 334n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二 合作交流，探究新知 1 分式的概念 填空： （1 ）如果小王用a 元人民币买了b 袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2m ，如果梯形上底是am ，下底是bm ，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a 亩，b 亩的稻田m kg ，n kg ，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式：12a m n b a b a b +++、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母） 一般地，如果f 、g 分别表示两个整式，并且g 中含有字母，那么代数式 f g 叫分式。
【巩固练习】 一、选择题 1．下列命题中，真命题的个数是 （ ） ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 2. 如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 3.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35cm ，DF ＝30cm ，则EF 的长为（ ） A ．35cm B ．30cm C ．45cm D ．55cm 5.（2014秋?红塔区期末）如图，已知△ACE ≌△DFB ，下列结论中正确的个数是（ ） ①AC=DB ；②AB=DC ；③∠1=∠2；④AE ∥DF ；⑤S △ACE=S △DFB ；⑥BC=AE ；⑦BF ∥EC ． 6.如图，△ABE ≌△ACD,AB ＝AC, BE ＝CD, ∠B ＝50°,∠AEC ＝120°，则∠DAC 的度数为 （ ） A.120° B.70 ° C.60° D.50° 二、填空题 7. 如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△''A B C ，''A B 交AC 于点D ，则AB'D =∠ .
新初二等腰三角形基本 概念与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
个性化教学辅导教案 教师姓名 学生姓名 上课时间 学科 数学 年级 新初二 教材版本 浙教 课称名称 等腰三角形基本概念与性质 教学目标 1、认知目标： ⑴使学生理解掌握等腰三角形的性质定理及其推理。 ⑵学会运用等腰三角形的性质解决有关证明和计算问题； 2、能力目标：培养观察能力、分析能力、联想能力、表达能力； 教学重点 教学难点 课 堂 教 学 过 程 - 等腰三角形(★★★) 1、掌握等腰三角形的判定级基本性质； 2、会运用‘‘三线合一’’性质进行解题； 知识结构 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出
等腰三角形的概念和性质
（★★★）已知：如图，ABC ?中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。求证： DCB 2B AC ∠=∠。 A 1 2 D B C E 3 解析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC ∠是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB ∠的关系。 证明：过点A 作B C AE ⊥于E ，AC AB = 所以BAC 2 1 21∠= ∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为 90B 1=∠+∠ 又AB CD ⊥，所以 90CDB =∠ 所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余）
分式的概念及基本性质-分式的运算
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ?
分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析 （一)知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分 母。 注: （１)分式的分母中必须含有字母 (2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式,且M≠0） ４. 分式的约分与通分 （1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 (2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤: ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 (1)乘除运算 (2）分式的乘方 （３)分式的加减运算 (4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ,- - x x y ， x+1 π ， 1 4 () x y -, 1 y a b () +， 1 2 a- 例2．下列分式何时有意义 (1)x x - + 1 2 ??（２) 1 1 ||x- （３) 4 1 2 x x- (4） x x x 22 + 例３. 下列分式何时值为零
全等三角形概念与性质 第一部分：知识点回顾 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 2.全等三角形的性质：（1）全等三角形对应边相等（2）全等三角形对应角相等 如上图：△ABC和△A1B1C1是全等三角形，记作△ABC≌△A1B1C1，符号“≌”表示全等，读作“全等于”. 其中，AB=A1 B1、AC=A1C1、BC=B1C1；∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1. 补充：（1）全等三角形面积相等、周长相等； （2）全等三角形对应线段（高、角平分线、中线）相等； （3）翻折、平移、旋转前后的三角形全等 第二部分：例题剖析 例1、如图4，△ABC≌△ADE，∠E和∠C是对应角，AB与AD是对应边，写出另外两组对应边和对应角； 分析：由已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，得点C与点E，点B与 点D为对应点，然后根据全等三角形的性质可得答案。 解：∵△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD， ∴AC=AE，BC=DE； ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D． 点评：本题考查了全等三角形的性质；解题用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等，应注意各对应顶点应在同一位置．根据对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角解题是正确解答本题的关键． 例2、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,则DF长是多少？ 分析：由△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,可求出边AC的长度， 再根据全等三角形对应边相等，求出边DF的长。 解：∵△ABC的周长为20，AB=5，BC=8， ∴AC=20-5-8=7， ∵△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=7．
三角形基本概念与性质 一、考点梳理 1、 三角形的边、角关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （2）三角形的内角和等于180°，外角和等于360°. （3）三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和. 2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. （1）内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （2）外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离 相等. （3）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 3、等腰三角形 性质：（1）两底角相等(等边对等角). (2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一) (2)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 判定：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边). (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 4、多边形的内角和等于()01802?-n ，多边形的外角和等于360° 二、课堂精讲 5、（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）. A ． 5 B ． 6 C ．11 D ． 16 6、（2012湖南郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）. A ．1cm ，2cm ，4cm B ．4cm ，6cm ，8cm C ．5cm ，6cm ，12cm D ．2cm ，3cm ，5cm 7、（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）. A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8、（2007广东）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）. A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、（2008广东）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点， 且∠A +∠B=120°，则∠AN M= ° 10、（2008广东）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是___________ 11、（2010广东）正八边形的每个内角为（ ） A ．120o B ．135o C ．140o D ．144o 12、（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或20 A M N B C 图1
龙文教育学科教师辅导讲义 一、知识梳理 考 点 一 、 分 式 的 概 念 1、正确理解分式的概念： A A 整式A 除以整式B ，可以表示成 的形式。如果除式 B 中含有字母，那么称 为分式, B B 其中A 称为分式的分子, B 为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 【例 1】有理式（1）- ； （ 2） X ； （ 3） -2Xy ； （ 4） 3X y （ 5） 丄 x 2 x y 3 x -1 1 （6）—中，属于整式的有： _______________ ;属于分式的有： __________________ 。. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零 x 2 亠亠、， 时，分式 有意义. x 2 x 3 （2）不要随意用“或”与“且” 学员姓名： 辅导科目：数学 年级：七年级（上） 学科教师：王恒 （1）例如，当x 为
例如当x时，分式有意义? 3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制. 【例2】当x x 1 时，分式——有意义?当x x-1 x 1 时，分式------- 无意义. x-1 考点二、分式的基本性质: 时，分式J值为0. x-1 1、分式的分子与分母都乘以（或除以） A 同一个不等于零的整式，分式的值不变?AM A AM ------- ，一----------- （M为不等于零的整式）B M B B M
（1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要 正确理解分式的基本性质，并能 熟练的运用它. 理解分式的基本性质时，必须注意： ① 分式的基本性质中的 A 、B 、M 表示的都是整式. ② 在分式的基本性质中， M 工0. ③ 分子、分母必须“同时”乘以 M （M 工0），不要只乘分子（或分母）. ④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是 变形前后分式中字母的取值范围是变化的. （2）注意： ①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. ，分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能同时加 上（或减去）同一个整式. 3、通分 通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母 ?最简公分母由下面的方法确定: （1） 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2） 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积 ； 二、典型例题及针对练习 考点一、分式的概念 2 ②分式的基本性质是一切分式运算的基础 【例3】 A . F 列变形正确的是（ a b ). C. a b c a b a b a b c a b a b 【例4】 如果把分式 5x 2x y 中的x, y 都扩大3倍,那么分式的值一定（）. A.扩大3倍 2、约分 约分是约去分式的分子与分母的最大公约式 式的基本性质. B.扩大9倍 C.扩大6倍 D.不变 ,约分过程实际是作除法，目的在于把分式化为最简分式或整式 ，根据是分 【例5】约分（1） 2 3 16x y 20xy 4 (2) x 2 4 x 2 4x 4
全等三角形概念和性质 1、知识与能力：理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等 三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题。 2、过程与方法：在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径。 3、情感、态度与价值观：培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识。 1.全等形 (1)定义：能够的两个图形叫做全等形。 理解要点：图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：图形的、;全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。(2)几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。 2.全等三角形及相关的概念 (1)全等三角形的定义：能够的两个三角形叫做全等三角形。 (2)全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边： 重合的边；③对应角：重合的角。 (3)全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号来表示，如图所示^ ABe ADEF:o 符号“0”的含义：“s”表示，“一表示,合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。 （4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB^FDE,则AB与__、AC与__、BC与—是对应边，/ A和/ D、/ B和/ E、/C和/F
时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角， 对顶角一定是对应角；③图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是, 最小的边（角）是对应边（角）。 （5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的。对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。 易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写。 3.全等三角形的性质 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。还具备：全等三角形的对应边上的中线 相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的、。 易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等。 1.全等三角形对应角相等，对应角相等 【例1】如图是“人”字形屋梁，AB= AC现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D,然后在A, D之间竖支柱AD.那么这根AD符合“垂直”的要求 吗？为什么？ 练1.如图所示，已知：A, C, F, D四点在同一直线上，AB= DE, BC= EF, AF= DC求证: AB// DE.
卓尔教育教师教学辅导教案编号： 授课教师日期时间 学生年级科目 课题全等三角形的性质和判定 教学目标1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 教学重难点 三角形判定的应用 课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□ 建议：___________________________________________________ 教学过程 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边；
第一讲：三角形的基本定义 一、认识三角形 1、三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接而组成的图形叫三角形。 如图，三角形ABC 表示为△ABC ，与点A 相对的边可表示为线段a ；直角三角形ABC 可表示为Rt △ABC 2、三角形的分类 (1)按角分 ① 锐角三角形：三个内角均为锐角 ② 直角三角形：有一个角是直角 ③ 钝角三角形：有一个角是钝角 (2)按边分 ① 不等边三角形：三边均不相等 ② 等腰三角形：有两边相等的边(特殊：等边三角形) 3、三角形的基本性质： (1)两边之和大于第三边;两边之差小于第三边：a-b ＜c ＜a+b (2)三个内角和为180°：∠A+∠B+∠C=180° (3)三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 (4)直角三角形的两个锐角互余。 (5)三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和。（三角形的一条边与另一条边延长线组成的角，叫做三角形的外角） 4、三线： (1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段；三角形一共有三条中线，交于三角形内部一点 (2)三角形的角平分线：三角形内角的角平分线交对边于一点，这点与角的顶点间的线段；三角形共有三条角平分线，交于三角形内部一点。 (3)三角形的高线：从三角形的顶点向对边作垂线，垂线段叫做三角形的高。三角形共有三条高线，锐角三角形三高交于三角形内部一点，直角三角形三高交于直角顶点，钝角三角形三边的延长线交于三角形外部一点 请画一个钝角三角形的三条高 A B C a b c
典型例题一：三角形角的关系 例1：已知：如图1,D 是BC 上一点, ∠C ＝62°,∠CAD ＝32°,则 ∠ADB ＝ 度. 此题的依据： 例2：（2013?湘西州）如图2，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD ＝ 度 例3：（2013?昭通）如图3，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠2=50°，则∠1＝ 度 例4：在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3， ③∠A=900－∠B ， ④∠A=∠B=1 2 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 典型例题二：三角形三边的关系 例1：以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A 、4cm 、5cm 、6cm B 、2cm 、3cm 、5cm C 、4cm 、4cm 、9cm D 、12cm 、5cm 、6cm 例2：（2013?南通）有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数是 例3：为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）。 A ．5m B ．15m C ．20m D ．28m 例4：一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的 周长为 变式训练 1、已知ABC △的三边长a b c ，，，化简a b c b a c +----的结果是（ ） Ａ．2a Ｂ．2b - Ｃ．22a b + Ｄ．22b c - 2、一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和7cm 则它的周长是__________． 3、一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和8cm 则它的周长是__________． 典型例题三：三角形的稳定性：
全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ
3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL
5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去
二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF
教学过程 一、复习预习 二、知识讲解 考点/易错点1 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）
（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. S S ABE ?? 基础。 考点/易错点2 三角形边角关系、性质的应用 三、例题精析 【例题1】 【题干】锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020?<
又∠C ＝2∠B ，∴?<?∠∠B C 90 ∴>?390∠B ，即∠B >?30 ∴?<
分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后， 字母x的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则
人教版八年级上册第十二章 12.1《全等三角形》教案 一.学习目标： 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2．了解全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边，对应顶点。 二.学习重点：全等三角形的性质． 学习难点：找全等三角形的对应边、对应角．对应顶点 三.学习指导：认真看课本31----32页，然后回答下列问题。 四.学习过程 一. 新课引入 1.多媒体展示生活中的图片 小组讨论： (1)从上面的几组图片中你有什么发现? (2)你能再举出生活中的一些类似例子吗? 二.合作探究 1、全等形、全等三角形的有关概念 （1）观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（形状，大小 .）
② （2）请再举出类似的例子（至少3个）. （3）由此，你发现上述图形的共同特征是： 完全相同——放在一起能够 （4）归纳概念： 叫做全等形. 类似的， 叫做全等三角形. 2. 对应顶点，对应边和对应角 用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC ，然后按要求在三个图中依次操作．体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”． 你发现变换前后的两个三角形有什么关系？ 结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 。 （1）把两个全等三角形重合在一起， 叫做对应顶点， 叫做对 应边， 叫做对应角. （2）△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC △DEF,读作△ABC △DEF.（注意：记 两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置.） 3、全等三角形的性质 （1）把你自制的一对全等三角形纸片重合，你发现对应边、对应角有什么关系？ （2）全等三角形的性质. 全等三角形的 相等； 全等三角形的 相等 （3）如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出 这两个三角形全等，并写出相等的边和角. C A 4、确定全等三角形的对应边、对应角
分式的概念 当两个整数不能整除时,出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式. 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时,注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开. 分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时,分式无意义． 如:分式 1 x ，当0x ≠时,分式有意义;当0x =时，分式无意义. 分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零,注意是“同时”. 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变. 上述性质用公式可表示为：a am b bm =,a a m b b m ÷=÷（0m ≠). 注意：①在运用分式的基本性质时,基于的前提是0m ≠; ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据. 一、分式的基本概念 【例1】 在下列代数式中,哪些是分式?哪些是整式? 1t ，(2)3x x +,2211x x x -+-，24x x +,52a ,2m ,21321x x x +--，3πx -，323a a a + 【考点】分式的基本概念 【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母， 由此可知1t ，2211x x x -+-,24x x +,21 321x x x +--,323a a a +为分式． (2)x x +， 5a ，2m ，3x -为整式. 【答案】1t ,1x -，24x x +，21 321x x x +--，3a 为分式
全等三角形的概念和性质（基础） 【学习目标】 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. ； 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. { 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. & 要点四、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等.
分式及分式的基本性质练习 题型 1：分式概念的理解应用 1．下列各式 a ， 1 ， 1 x y ， a 2 2 b ， 3x 2 ，0? 中，是分式的有 ___ __ ；是整式的有 _____ ． π x 1 5 a b 题型 2：分式有无意义的条件的应用 2．下列分式，当 x 取何值时有意义． （ 1） 2x 1 ； （ 2） 3 x 2 ． 3x 2 2 x 3 3．下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） ． 3x 1 2 A ． 1 1 B ． x 1 C D ． x 1 2x 2x x 2 2x 2 4．当 x ______时，分式 2 x 1 无意义． 3x 4 题型 3：分式值为零的条件的应用 2 1 5．当 x _______ 时，分式 x 的值为零． x 2 x 2 6．当 m ________时，分式 (m 1)(m 3) 的值为零． m 2 3m 2 题型 4：分式值为 1的条件的应 用 7．当 x ______时，分式 4x 3 的值为 1；当 x _______时，分式 4x 3 的值为 1 ． x 5 x 5 课后训练 基础能力题 8．分式 x ，当 x _______时，分式有意义；当 x _______时，分式的值为零． x 2 4 9．有理式① 2 ，② x y ，③ 1 ，④ x 中，是分式的有（ ） x 5 2 a 1 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 10．分式 x a 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ ） 3x 1 A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零 3 3 11．当 x _______时，分式 1 的值为正；当 x ______ 时，分式 4 的值为负． x 5 2 1 x 12．下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ． m 2 1 B ． m 2 1 C m 1 D ． m 2 1 2 1 m 1 ． 2 1 m 1 m m 13．使分式 x 无意义， x 的取值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ． 1 | x | 1 拓展创新题 14．已知 y x 1 ， x 取哪些值时：（ 1） y 的值是正数；（ 2） y 的值是负数；（ 3） y 的值是零；（ 4）分式 2 3x 无意义． 题型 1：分式基本性质的理解应用
12.1全等三角形1.下面的图形中，形状和大小完全相同的图形有哪几对？ 2.确定对应顶点、对应边、对应顶点： （1）若△AOC≌△BOD，AC的对应边是_________，角D的对应角是____________； （2 ）若△ABD≌△ACD，AB的对应边是__________，角B对应角是_____________； （3）若△ABC≌△CDA，AD的对应边是__________，角B对应角是____________ 3.一定是全等三角形的是( ) A.面积相等的三角形 B.周长相等的三角形 C.形状相同的三角形 D.能够完全重合的两个三角形 4.下列说法中正确的是( ) A.全等三角形的边相等 B.全等三角形的角相等 C.全等三角形的高相等 D.全等三角形等角的对边相等 5.如图，图中两个三角形能够完全重合，下面写法中正确的是( ) A.△ABE≌△AFB B.△ABE≌△ABF C.△ABE≌△FBA D.△ABE≌△FAB 6.如图13-1-2所示，△ABC≌△CDA，AC=7 cm,AB=5 cm，BC=8 cm，则AD的长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.无法确定 图13-1-2 图13-1-3 7.如图13-1-3所示，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，下列结论中错误的是 A.∠1=∠2 B.AC=CA C.∠D=∠B D.AC=BC 8.如图△ABD≌△EBC，AB=3cm，AC=8cm，求DE的长. 1 2345 67 8 9 10 C A B
题型一、利用全等求线段长和角度 1. 如图，ΔABD ≌ΔCDB ，且AB 、CD 是对应边；下面 四个结论中不正确的是：（ ） A 、ΔABD 和ΔCD B 的面积相等 B 、ΔABD 和ΔCDB 的周长相等 C 、∠A+∠AB D =∠C+∠CBD D 、AD//BC ，且AD = BC 2.如图，△EFG ≌△NMH ，∠F 和∠M 是对应角，在△EFG 中，FG 是最长边. 在△NMH 中，MH 是最长边.EF=2.1cm ，EH=1.1cm ，HN= 3.3cm. ⑴写出其他对应边和对应角； (2) 求线段NM 和线段HG 的长度. 3.如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果 AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么BC 等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．无法确定 4.如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于 （ ） A ．∠AC B B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 5.如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°， ∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 6.如图，已知△AB E ≌△ACD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC=（ ） A 120° B 60° C 50° D 70° 7.如图，△ABC ≌△CDA ，那么AB ∥CD 吗？试说明理由。 B