波动方程的简谐平面波解
在建立了波动方程之后，我们来讨论其解的形式及其特性。 1、 简谐平面波
（1）波动方程的简谐平面波解
声波在空间中传播，其传播方向和波阵面垂直。平面波是波阵面是平面的声波，而简谐平面波是波阵面（对简谐波而言，波阵面也是等相位面）是平面的简谐声波。具有任意波形的声波可以通过付里叶变换分解为多个具有不同频率的简谐平面波的叠加。因此，简谐波传播是波动传播的基础。 一般简谐平面波的声压幅值在等相面上有一定的分布。这里只讨论声压幅值在等相面上处处相同（均匀平面波）的简单情况，较为复杂的非等声压幅值平面波（非均匀平面波）在后面的学习中会遇到。
对一维均匀简谐平面波，声压幅值可以只用一个坐标来描述。若取平面波的传播方向为x 轴正方向，假设波动方程中c 为常数，则波动方程的均匀简谐平面波解可以分离变量有如下形式：
(,)()()p x t p x T t =， (2-23)
其中，()p x 和()T t 分别为(,)p x t 的空间坐标相关因子和时间相关因子。将(2-23)式代入到 (2-15)中，并分离变量，得
222222
1()()
()()d T t c d p x T t dt p x dt
ω==-， (2-24) 其中，2ω-为分离常数。由(2-24)式可得两个方程：
22
2
()()0d T t T t dt
ω+=， (2-25) 222
()
()0d p x k p x dt
+=。 (2-26) 其中，222k c ω=，为常数。
(2-25)式的两个特解为j t e ω和()j t e ω-，后者描述具有“负频率”的振动，无实际意义，只保留j t e ω；(2-26) 式的两个特解为jkx e 和jkx e -。由此得到波动方程的简谐平面波解为
j[t-kx]
j[t+kx]
(,)(,)(,) =Ae
e
p x t p x t p x t B ωω+-=++ 。 (2-27)
对推导过程中几个量物理意义的讨论：
① 由(2-25)的解j t e ω可以看出，ω是简谐波的圆频率，也可以理解为：在简谐波
传播的过程中，介质中某一质点经过单位时间变化的相位值(对应着周期数)。 ②先讨论(2-27)式的第一项(,)p x t +。当0t =时，声压(,)p x t +在0x x =处的值(状态)为0kx Ae -；当1t t =时，在01x x t k
ω
=+
位置上，(,)p x t +的值也为0kx Ae -。这说明由
(,)p x t +描述的声波在1t 时间间隔上，由0x x =位置传播到了01x x t k
ω
=+位置上，
即声波传播了距离01x x t k
ω
-=
。
由此可知，i. (,)p x t +描述的是沿x 轴正方向传播的声压幅值为A 的均匀简谐平面波；ii. 声传播的速度是：c k ω=。回顾c 的定义(2-9)式，当时我们还不清楚这个量的真实物理意义，在此得到了明确。
另外一种解释方法：观察者站在等相面上，等相面将向波前进方向移动。此时，等相面的相位值不随时间变化而变化。因此有
[]0d
t kx dt
ω-=， 即 0dx
k dt
ω-=。 由此得
dx
c k dt
ω==。
同样道理，(,)p x t -描述的是沿x 轴负方向传播的声压幅值为A 的均匀简谐平面波。
(3) k c ω=，ω是简谐平面波的频率，c 是声波的速度，由2f ωπ=和f c λ= （f 和λ分别为声波的频率和波长）可知，2k πλ=。波长λ的意义可以理解为：沿波传播方向，不同质点的振动状态不同，波长x λ?=这样一个距离上，不同质点的振动状态刚好变化一个周期2k x π?=。也可以直观理解为：在单位长度上，不同质点的振动状态变化的周期数，亦即表示波动状态沿空间上变化的快慢。类比时间域的周期和圆频率，λ可以理解为空间域的周期，而k 可以理解为空间域的频率。为和时间域频率区分开来，我们把空间域的频率k 称为波数。 (4) (2-24)式中的分离变量常数取纯负数2ω-，为何不取纯正数2ω？理论上，两
者都应该保留。但当分离变量常数取纯正数2ω时，分离变量后的时间相关部分的微分方程为
22
2
()()0d T t T t dt
ω-=。 该方程的解为t t Ae Be ωω-+，第一项和第二项分别是随时间指数减小和增加的函数，而不代表波动，在此无意义，故此舍去。
通过求解波动方程，我们已经得到了均匀简谐平面波的声压。下面我们进一步讨论均匀简谐平面波的质点振速，并由此给出其声强。
由运动方程(2-14)式，并分别代入沿x 轴正、反方向传播的均匀简谐平面波的声压可得质点振速为
[]
001
1(,)=j t kx p u x t dt e
x c ωρρ±?=-
±?? 。 (2-28) 由(2-22)式，沿x 轴正、反方向传播的均匀简谐平面波的声强分别为
002
22
000
001
Re[]Re[]1 =cos()cos()A 1 =222
T
T
I p u dt
T A A t kx t kx dt T c
p cu c c ωωρρρρ+++=--==??， (2-29a)
02
2
2
00
001
Re[]Re[]A 1 =-222
T
I p u dt
T p cu c c ρρρ---==-=-?。 (2-29b)
两式中，0p A =，000
A
u c ρ=。(2-29b)式右端的“-”号表示声能流沿x 轴反方向传播。
由(2-29a)和 (2-29b)两式可以看出，均匀简谐平面波的声强不随距离变化，即均匀简谐平面波声强不随距离衰减。这是其非常重要的一个物理特征。
为方便记忆，可将声功率、声压幅值、质点振速幅值及阻抗同交流电中电功
率、电压幅值、电流幅值及电阻相类比。 （2）声波传播速度
我们在(2-9)式中定义
2s
P c ρ???= ????，
经近似得到了
0, 0
s dP c c d ρ??
== ??? ，
并在前一小节的讨论中知道c 的物理意义是声波在介质中的传播速度。
比值, 0()s dP d ρ代表了介质的可压缩性。如果声波在介质中的传播过程是绝热的，在平衡态附近，给定压差dP ，若d ρ变化很小，介质中声波的传播速度就快。否则，介质中声波的传播速度就慢。如在金属中的声波速度较快，而在气体中声波的速度较慢。 （3）介质特性阻抗
先定义介质的声阻抗率为声场中某点声压与振速之比：
u p Z =。 (2-30)
其中，p 和u 分别为声场的声压和质点振速。声阻抗率是一个复数。它的幅值表示在介质中产生单位质点振速所需的声压大小；它的相位表示声场中声压和质点振速的相位差。后者可以理解为给介质中的某质点加一声压，而该质点的振速没有立即反应，其状态较声压状态有一个延时（相位差）。
对于所有形式的声波，我们都可以通过(2-30)式求得其声阻抗率，或者说(2-30)式是一个对所有声波普适的定义。
对于平面波而言，声阻抗率为
c Z 0ρ±=。 (2-31)
其中，符号“+”为沿x 轴正向传播平面波的声阻抗率；符号“-”为沿x 轴负向传播平面波的声阻抗率。
平面波的声阻抗率有如下特点：
① 平面波的声阻抗率是实数，表明声压和振速处处相同（正向波）或反相（反向波）。这表明声能全部传播到后面位置。声压和振速之间存在相位差时，通过计算声强可以看出相位差对能量传递的影响。（自行验证）
② 平面波的声阻抗率和声波的声压幅值无关，和声波频率无关，只和介质本身的参数密度0ρ及声速c 有关。鉴于平面波声阻抗率是介质的特性常数，我们把平面波的声阻抗率0c ρ称为介质的特性阻抗。
其它形式声波的声阻抗率不仅和介质参数有关，还和声波参数（如频率、声压幅值大小等）相关。不能用其阻抗率作为介质自身的特性参数。 （4）平面波在两种不同均匀介质分界面上的反射和折射
声波在海洋中传播，海面是海水介质和空气介质的分界面；海底是海水介质和海底介质的分界面。在这两个分界面上，声波将发生反射和折射。另外，由于海水介质的折射率随深度和水平位置不同，声波也会发生折射现象。因此，本小节的知识将是研究海水中声传播过程理论基础的一部分。
这部分知识在声学基础中也是重点掌握的知识。因此，部分推导将略去。 ① 垂直入射
在两种不同介质的分界面上，由于两介质的特性阻抗不同，声波分界面上会发生反射和折射。
在介质1中：
()()x k t i r x k t i i e P e P p 111+-+=ωω ()()x k t i r x k t i i e c P e c P u 111
1111+--=
ωωρρ 在介质2中：
()x k t i t e P p 22-=ω
图2.1 平面波垂直入射到两介质
分界面时参数示意图
()
x k t i t e c P u 22
22-=
ωρ 界面上声压连续：()()0201,,===x x t x p t x p
即
t r i P P P =+。
界面上法向振速连续：()()0201,,===x x t x u t x u
即
2
21111c P c P
c P t r i ρρρ=- 由此可以推得 声压反射系数：
1
21
211221122Z Z Z Z c c c c P P R i r +-=+-==
ρρρρ， (2-32) 声压透射系数：
1
22
11222222Z Z Z c c c P P D i t +=+==
ρρρ。 (2-33) 其中，111Z c ρ=为介质1的特性阻抗，222Z c ρ=为介质2的特性阻抗。
由(2-32)式和(2-33)式可知，声波在分界面上反射和透射的大小决定于媒质
的特性阻抗。下面分别讨论几种极端情况，以对阻抗变化和反射、透射的关系有更深刻的认识。 i ．21Z Z =
有0=R ，1=D ，表明声波没有反射，即全部透射。也就是说，即使存在两种不同介质分界面，但只要两种介质的特性阻抗相等，那么对声传播来讲分界面就好像不存在一样。 ii ．21Z Z <
有0>R ，0>D ，因为介质Ⅱ比介质Ⅰ在声学上更“硬”，这种边界称为硬边界，在硬边界上，反射波声压和入射波声压同相。 iii ．21Z Z >
有0
iv ．21Z Z <<
有1≈R ，2≈D ，介质Ⅱ对介质Ⅰ来说“绝对硬”，反射波声压和入射波声压大小相等，相位相同，所以在分界面上合成声压为入射声压的两倍，实际上发生的是全反射。
虽然声压透射系数为2，但可以计算得出介质2中的质点振速为0。因此，在介质2中没有透射波。
下面讨论能量的透射情况。为此先定义透射损失TL ：
D Z Z D Z Z I I TL t i lg 20lg 101lg 10lg
1012
212-=???
? ??== (2-34) 在边界是绝对硬的条件下，21Z Z <<，2≈D ，TL 值很大，表明透射能量比例很小，如声波由空气入射到水中，123570Z Z =透射损失TL=29.5dB 。在边界是绝对软的条件下，12Z Z ，0D ≈，TL 值也很大，表明透射能量比例很小，如声波从海水中入射到海面，声波能量几乎全部反射回海水中。 ② 斜入射 入射波声压：
()()[]i i i i z k x k t i P t z x p θθωcos sin exp ,,11+-=
反射波声压：
()()[]r r r r z k x k t i P t z x p θθωcos sin exp ,,11--=
折射波声压：
()()[]t t t t z k x k t i P t z x p θθωcos sin exp ,,22+-=
上述声波的法向振速：
i i iz p c u 11cos ρθ=
r r
rz p c u 11cos ρθ-= t t tz p c u 2
2cos ρθ= 边界上声压连续：
()0
0===+z t
z r i p p p
边界上法向振速连续：
()00===+z tz z rz iz u u u
由此推得，
图2.2 平面波斜入射到两介质
分界面时参数示意图
反射定律：
r i θθ= (2-35)
折射定律（Snell ）：
n c c k k t i ===2
1
12sin sin θθ (2-36) 声压反射系数：
n
n n
n t i t i i r Z Z Z Z c c c c P P R 121211221122cos cos cos cos +-=
+-==
θρθρθρθρ (2-37) 声压透射系数：
n
n n
t i i i t Z Z Z c c c P P D 1221122222cos cos cos 2+=+==
θρθρθρ (2-38) 其中，i n c Z θρcos 111=和t n c Z θρcos 222=分别为介质1和2的法向声阻抗率， n 为折射率。
取21c c n =、12ρρ=m ，则由折射定律得i t n n θθ22sin cos -=，分别代入到(2-37)和(2-38)两式中得 i
i i
i n m n m R θθθθ2
22
2s i n c o s s i n c o s -+--=
， (2-39)
i
i i
n m m D θθθ2
2
s i n c o s c o s 2--=
。 (2-40)
从(2-39)和(2-40)两式可知：
1）当121>=c c n 时，折射角i t θθ<，在介质2中有折射波存在。
2）当121<=c c n 时，折射角i t θθ>，当入射角i ic θθ>时发生全内反射现象。ic θ为全内反射临界角。由折射定律可知
12arcsin arcsin ic n c c θ==。
(2-40)
当全反射现象发生时，t θ不再是实数，在第二种介质中没有正常意义下的折射波。我们通过反射系数和透射系数进一步讨论反射波和折射波的特性。 i ．入射角大于全反射角时的反射波
当ic i θθ>，2222sin sin cos n j n n i i t -±=-=θθθ，根据熄灭原理，-∞→z ，
折射波2cos 0t jk z e θ→，因此，22cos sin t i n j n θθ=--，则反射系数为：
2222
cos sin cos sin i i i i i m j n R R e m j n ?θθθθ+-=
=--， (2-41)
i
i m n a r c t g θθ?c o s s i n 22
2-=。 (2-42)
(2-41)和(2-42)两式表明，发生全内反射现象时，反射系数的大小为1；反射
波的相位较入射波发生跃变，大小由(2-42) 式给出。当入射波入射角 90=i θ时，相位跳跃最大 180=?，R 趋于－1，界面总声压为零。
若第二介质存在声吸收（例如海底），就不会发生全反射现象（反射系数模小于1）。数学上经常用复数声速或波数来描述介质对声波的吸收现象，同学们自行推导用复数波数或声速表示介质吸收的情况。
下面给出复数声速表述介质2声吸收的推导。
设介质2声速为220(1)c c j α=+，20c 代表真实声速，则
11
220(1)
c c n c c j α=
=
+， (2-43) 其中α为正的小量。对(2-43)式作近似可得
0(1)n n j α=-，
其中0120n c c =。可以求得
222222
00
12
sin sin (1)2 =A+jB i i n n j n M jM θθαα-=--+=+
其中，2222
00
sin (1), 2i A n B n θαα=--=， 2222121
1, M 2
2
M A B A A B A =
++=
+-。
把它们代入到反射系数表达式(2-41)式中得到
21
21
cos cos j i i m M jM R R e m M jM ?θθ-+=
=+-， (2-43)
其中，
22
2122
21(cos )(cos )i i m M M R m M M θθ-+=++， (2-44)
12222
12
2cos (
)cos i
i M m arctg m M M θ?θ=--。 (2-45)
由(2-44) 式可以看出，在介质2中有声吸收时，1R <，且α越大，R 越小。
图2. 7为m =2.7，n =0.83情况下，反射系数的模和相位跳跃随入射角的变化， 56≈ic θ。
ii ．入射角大于全反射角时的透射波 由反射系数和折射系数的定义可知，在分界面上，
R D +=1， (2-46)
当入射角大于全内反射临界角时，1R =，把(2-43) 式代入到(2-46)式中得
2
12cos 2j j D e e ?
?
???=+= ???
。
(2-47) 则折射声压为： ()2222cos
exp sin cos 02
j
t i t t p e P j t k x k z z ?
?
ωθθ=-+
。 (2-48)
根据折射定律，2212212sin sin cos n jk n k k i i t -±=-=θθθ，考虑到熄灭条件，则
折射波为： ()22
1sin 2
22cos
exp sin 02
t j
k z n t i
t p e Pe j t k x z ?
θ?
ωθ-=-
。 (2-49)
折射波是沿x 轴正向传播的平面波，但幅值随z
作指数衰减，见图2.4。我们称波阵面（等相位面）上振幅随离分界面的距离增大作指数衰减的平面波为非均匀平面波。
非均匀平面波沿x 轴正向的传播速度可用如下方法求得。
声波传播过程中，状态保持不变。因此，相位的全微分为0，即
()1sin 0i d dt dx t x dt k dx φφφωθ??=
+??=-=，
图2.3 m=2.7, n=0.83, α取不同值时的|R|和φ
图2.4 非均匀平面波
12sin sin h i i
c nc dx
c dt θθ=
==
， (2-50) 且有，21c c c h <<。
非均匀平面波透入第二介质的深度，取决于衰减因子中z 的系数：
22
1s i n n k i -=θδ。 (2-51)
频率愈低，δ愈小，深入的距离愈大。低频声波深入海底深度较大，高频声波只能在海底表面传播。
这里存在一个能量守恒的问题。全反射时，入射波能量等于反射波能量。那么，非均匀平面波能量的出现，是否违反能量守恒原理？这个问题，布列霍夫斯基赫给出了解释。请参阅：《分层介质中的波》，布列霍夫斯基赫著，有中译本，科学出版社出版。
问题：平面波由均匀介质1入射到均匀介质2的分界面上，121<=c c n ，1
c 和2c 分别为介质1和介质2中的声速。当入射角大于全内反射临界角时，若介质2有吸收（1R <）时，是否有非均匀平面波存在？请讨论。（提示：此时，取2k 为复数讨论）
③ 分界面上声波反射时的能量关系
入射波强度：1
12
2c P I i i ρ=
反射波强度：112
22c R
P I i r ρ=
折射波强度：2
22
22c D
P I i t ρ=
i ．在垂直入射情况，有：
t r i I I I +=。
ii ．在斜入射情况，一般t r i I I I +≠。
如图2.5所示，根据能量守恒定律：
t r i I S I S I S 211+=。 (2-52)
一般，t i θθ≠，因而21S S ≠，所以t r i I I I +≠。
这时，功率透射系数不能只用透射声强和入射声强来描述。
图2.5 斜入射时的声能关系
定义功率透射系数：
21t t
W i i
W S I T W S I =
=
。 (2-53) 考虑到12cos , cos i t S AB S AB θθ==，
()
22111222
1222114cos cos cos cos t n i t
W i n i t S I Z c c T D S I Z c c ρρθθρθρθ=
==+。 (2-54) 由(2-54)式可知，在两种介质特性阻抗相差不大的情况下，功率透射系数接近1，透射能量损失很小。这有利于换能器导流罩得设计。例如换能器振子与透声外壳中，往往充以和水特性阻抗接近的蓖麻油或有机硅油，以保障声能透过。 2、 简谐球面波
⑴ 各向均匀的简谐球面波 ① 各向均匀简谐球面波解
波动方程的各向均匀简谐球面波解为
[]
j t kr A p e r
ω-=
。 (2-55) 质点振速为
[]
2000[]
2
01
11(,)=()1
=j t kr j j t kr p u r t dt j e r cr ckr
e e ckr
ω?ωρρρρ--?=-
-?? 。 (2-56)
其中，1tg kr
?=
。 ② 声阻抗率
02
1()1j ckr p Z e u kr tg kr
?ρ?=
=?+=
， (2-57a)
20022
()1()1()
kr kr
Z c j c kr kr ρρ=+++。 (2-57b) 分析(2-57a)和(2-57b)两式可得各向均匀简谐球面波的特性如下：
i ．声阻抗率是复数，声压和质点振速间存在相位差，且该相位差随着距离增加而减小。
ii ．当1kr 时，由(2-57b)式可知，0Z c ρ≈。这表明球面波在远场的声特性接近于平面波。这个现象可以解释为：当半径很大时，球面波的球面曲率越来越小，其声特征也越来越接近于平面波。 ③ 声强
由(2-22)式知，声强
1T
I pudt T
=
?
是一矢量。但由于均匀简谐球面波的声压和质点振速只有径向分量，声强也只有径向分量，这里用I 来表示声强的径向分量。
00222001
Re[]Re[]1 =cos()cos()cos A =22T
T
I p u dt T A A
t kr t kr dt T r cr p cr c
ωω?ρ?ρρ=--+=
??。
(2-58) 对于均匀对称球面波源，通过半径为r 封闭球面的总功率为
2
2
024A W r I c
ππρ==
。 (2-59)
即总声功率不随距离变化。
其它各类波动方程的波解参阅教材复习。
三、相速度和群速度
前面讨论的几种波的传播速度，都是单一频率波的传播速度，也就是波阵面（等相面）传播的速度，称为波的相速度。当介质中存在两个以上不同频率的声波时，不同频率的声波叠加在一起，形成波包。波包传播的速度就是群速度。 1．相速度
单一频率简谐波等相面传播的速度，称为波的相速度。 简谐平面波
()(,)j t kx p x t Ae ω-=，
其相位为t kx ω-。考察其某一等相位面（即某一相位值）的位置随时间的变化：随着时间的推移，该等相面以一定速度在不同时刻传播到不同的x 点。作为考察的一个约束条件，是要求固定跟踪某一个等相面，即等相面的相位值不随时间变化，相位全微分为0。由此约束条件可求得等相面传播速度—相速度。即
[]0d t kx ω-=。 (2-61)
由此得
p dx c dt k
ω=
= 。 (2-62) 其中p c 表示相速度，下标p 为phase 的首写字母，k 为波数。
由(2-62)式可以看出，相速度可能与频率有关 。不同的介质不仅相速度不同，其相速度随频率的变化规律也不同。若介质中的声波频率与波数成正比，则相速
度与频率无关，这样的介质称为非频散介质；否则，介质称为频散介质。 2．群速度
为简洁而说明问题的本质，我们考虑最简单的情况。
振幅相等、频率分别为1ω和2ω且同向传播的两列波，其合成声波为
1122(,)cos()cos()p x t A t k x A t k x ωω=-+-。
利用三角函数关系可得，
21
212121
(,)2cos(
)cos()2
222
k k k k p x t A t x t x ωωωω--++=-
-。 (2-63) 当1ω和2ω非常接近时，(2-63)式代表一个被调制的声载波。载波频率0212ωωω=+，波数0212k k k =+。令21212, 2k k k ωωω?=-?=-，(2-63)式可写为
00(,)2cos()cos()p x t A t k x t k x ωω=??-??-。 (2-64)
由(2-64)式可见，调制波是一个频率很低的简谐波。它是载波的外包络，称它为波包。其传播速度由下式确定：
()0d
t k x dt
ω??-??=， 亦即群速度
g d x d c d t d k
ω=
=。 (2-65) 对于非频散介质，声波频率与波数成正比，g p c c =；对于频散介质，不同频率声波的速度（相速度）不同，因此波数k 也不同。应用(2-62)式可得p kc ω=，
对k 求导数可得群速度为
p g p dc c c k
dk
=+。 (2-66)
群速度可能大于或小于相速度，视介质的频散特性而定。
21x x <
2()x ct ψ-
1122x ct x ct +=+ 2121()/()c x x t t =---
/cos p c c θ
=
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr =r r && 连续体力学222 2() (,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ?????-?=??????? ?? +??=????-?+??=+=????? r r r r r r r r &弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????????????????r r r r r r r r r &&r r r r r r r r r r r &&r r r r 已已d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22 .2u i u Vu t m ?=-?+?h h 2. 分类
波动方程的简谐平面波解 在建立了波动方程之后，我们来讨论其解的形式及其特性。 1、 简谐平面波 （1）波动方程的简谐平面波解 声波在空间中传播，其传播方向和波阵面垂直。平面波是波阵面是平面的声波，而简谐平面波是波阵面（对简谐波而言，波阵面也是等相位面）是平面的简谐声波。具有任意波形的声波可以通过付里叶变换分解为多个具有不同频率的简谐平面波的叠加。因此，简谐波传播是波动传播的基础。 一般简谐平面波的声压幅值在等相面上有一定的分布。这里只讨论声压幅值在等相面上处处相同（均匀平面波）的简单情况，较为复杂的非等声压幅值平面波（非均匀平面波）在后面的学习中会遇到。 对一维均匀简谐平面波，声压幅值可以只用一个坐标来描述。若取平面波的传播方向为x 轴正方向，假设波动方程中c 为常数，则波动方程的均匀简谐平面波解可以分离变量有如下形式： (,)()()p x t p x T t =， (2-23) 其中，()p x 和()T t 分别为(,)p x t 的空间坐标相关因子和时间相关因子。将(2-23)式代入到 (2-15)中，并分离变量，得 222222 1()() ()()d T t c d p x T t dt p x dt ω==-， (2-24) 其中，2ω-为分离常数。由(2-24)式可得两个方程： 22 2 ()()0d T t T t dt ω+=， (2-25) 222 () ()0d p x k p x dt +=。 (2-26) 其中，222k c ω=，为常数。 (2-25)式的两个特解为j t e ω和()j t e ω-，后者描述具有“负频率”的振动，无实际意义，只保留j t e ω；(2-26) 式的两个特解为jkx e 和jkx e -。由此得到波动方程的简谐平面波解为 j[t-kx] j[t+kx] (,)(,)(,) =Ae e p x t p x t p x t B ωω+-=++ 。 (2-27) 对推导过程中几个量物理意义的讨论： ① 由(2-25)的解j t e ω可以看出，ω是简谐波的圆频率，也可以理解为：在简谐波
【麦克斯韦方程组的平面波解】 令0ρ=，0J = ，可得自由空间（真空）中的Maxwell 方程组 0,E ??= (1) 0,B ??= (2) ,B E t ???=-? (3) 00,E B t με???=? (4) 其中真空介电常数（Permittivity constant ）1208.8510F m ε-=?，真空磁导率（Permeability constant ）60 1.2610H m μ-=?由实验测定。按照现行计量方案，确保光在真空中的传播速度 299 792 458 m/s.c = = 利用矢量分析公式 ()() 2 ,A A A ????=???-? 可以推导出电磁场的波动方程 2222 2222 01100.E B E B c t c t ???-=?-=?? ， (5) 这是6个独立的线性齐次微分方程；即电场强度矢量E 或磁感应强度矢量B 的任意分量都 满足微分方程 22222222210.A A A A x y z c t ????++-=???? 若以平面电磁波传播方向为x 轴，波阵面平行于yz 平面，则场分量(,)A A x t =与位置坐标y 和z 无关，并满足如下简单微分方程 2222210,A A x c t ??-=?? (6) 作为练习，读者可以证明任何形如 (,)(),A x t A t kx ω=- 的函数都是波动方程(6)的解，只要其中的参数ω和k 满足
.c k ω =± 显然，简谐平面波 ()0(,),i t kx A x t A e ω-= (7) 是波动方程(6)的特殊解，其中2ωπ=和2k π λ=分别是简谐平面波的园频率和波矢量。 值得指出的是，电场强度矢量E 或磁感应强度矢量B 的6个分量必须同时满足Maxwell 方程组（1.15-18）四个微分方程。这就要求简谐平面波 ()() 00(,),(,)i t k r i t k r E r t E e B r t B e ωω-?-?== ， 还必须满足一些附加条件，即 000000000,0,,,k E k B k E B k B E ωμεω?=?=?=?=- (8) 从而自由空间中沿x 轴正方向传播的简谐平面电磁波可以写作 ()()00(,),(,)i t kx i t kx y z E x t E e B x t B e ωω--==e e ， (9) 并且 0.E B c = (10) 类似地，沿x 轴负方向传播的简谐平面电磁波可以写作 ()()00(,),(,)i t kx i t kx y z E x t E e B x t B e ωω++==-e e . 简谐平面电磁波具有显著的横波特性，即 () 0.k E B ??=
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 7-2平面简谐波的波动方程 §7-2 平面简谐波的表达式___波动的表达式波动方程 1/ 28
一平面简谐波的波动方程介质中任一质点（同一波线上,坐标为）介质中任一质点（同一波线上坐标为 x）相对其平衡位置的位移（平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，）随时间的变化关系，称为波动方程. 即 y ( x, t ) 称为波动方程y = y ( x, t )各质点相对平衡位置的位移衡位置的位移波线上各质点平衡位置平衡位置简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源和介质中各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波. 各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波平面简谐波：波面为平面的简谐波平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点是在均匀的、无吸收的介质中各质点是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同均匀的任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。 任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 设有一以速度设有一以速度u 沿以速度 x 轴正向传播的平面令原点O 简谐波 . 令原点的初相为零，的初相为零，其振动方程波动方程的推导设x = 0,0 = 0时间推迟方法yO = AcosωtyO = Acosωt点O 的振动状态t-x/u时刻点的运动状态时刻点O 时刻点点P 振动方程x yP = Acosω(t ) u=x t = u点Pt 时刻点 P 的运动状态 3/ 28
§4-2平面简谐波的波动方程 振动与波动 最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。 对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。 波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。 一、平面简谐波的波动方程 设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点 参考点原点的振动方程为 x 区别 联系 振动研究一个质点的运动。 波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。 振动是波动的根源。 波动是振动的传播。
()00cos y A t ω?=+ 任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？ 沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π 现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后 22x x π πλ λ = P 点的振动方程为 02cos P y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉 02cos y A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。 如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π λ 沿 x 轴负向传播的波动方程为 x
02cos y A t x πω?λ??=++ ??? 利用 2ωπν=， u λν= 沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为 02cos y A t x πω?λ??=-+ ??? 02cos A t x u πνω??? =-+ ??? 0cos x A t u ω??? ??=-+ ??????? 即 0cos x y A t u ω??? ??=-+ ??????? 原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 x t u ?= P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ?? - ??? 时刻的振动状态 波动方程也常写为 02cos y A t x πω?λ??=-+ ??? ()0cos A t kx ω?=-+ 其中 2k π λ = 波数，物理意义为 2π 长度所具有完整波的数目。 ☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向 二、波动方程的物理意义 1、固定x ，如令0x x = ()002cos y t A t x πω?λ? ?=+- ?? ? 振动方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中：
电磁波动方程和平面电磁波 电工基础教研室周学
本节的研究目的 掌握无源空间线性各向同性均匀介质中波动方程的推导； 掌握等相面，平面波，均匀平面波概念；掌握均匀平面电磁波的基本特征。 本节的研究内容 一、电磁波动方程 二、均匀平面电磁波
波动是电磁场的基本属性当时，电场和磁场相耦合，相互为源，可以脱离电荷、电流，以波的形式存在于空间中。 0/≠??t 0≠??t B 0≠??t E E B 电磁波 ???????=??-?=??-?010******* 22t E c E t H c H
电磁波的波段划分及其应用名称频率范围波长范围典型业务 甚低频VLF[超长波] 3~30KHz100~10km导航，声纳低频LF[长波，LW] 30~300KHz10~1km导航，频标中频MF[中波, MW] 300~3000KHz1km~100m AM, 海上通信高频HF[短波, SW] 3~30MHz100m~10m AM, 通信 甚高频VHF[超短波] 30~300MHz10~1m TV, FM, MC 特高频UHF[微波] 300~3000MHz100~10cm TV, MC, GPS 超高频SHF[微波] 3~30GHz10~1cm通信,雷达 极高频EHF[微波] 30~300GHz10~1mm通信, 雷达 光频[光波] 1~50THz300~0.006 m光纤通信
研究电磁波在空间的传播规律和特性，就是讨论由电磁场基本方程组导出的电磁波动方程在给定条件下的解。
00E H E t H E t H E γεμ????=+???????=-?????=????=?D E B H J E εμγ?=?=??=?在无源空间中，假设媒质是各向同性、线性、均匀的，则 2 2222200H H H t t E E E t t μγμεμγμε????--=?????????--=????无源空间的电磁波动方程，研究电磁波问题的基础
1如果你从头到尾仔细查看声音的波动方程的推导过程，你会发现，这是一个介质中的密度变化从而导致压强变化（声压）的过程，如果静止介质中的声速是 Cs ，那么很容易就可以推导出来，对于一个以速度 v 运动的介质，声速是（Cs+v ），也就是说，声速Cs 是相对于介质而言的。 而对于电磁波的速度，麦克斯韦方程组里面只有一个 常数C 来描述，这个C 与光源的运动状态是完全没有关系的。那么这个 C 究竟是相对于哪一个参考系的速度呢？麦克斯韦当时自己认为他的方程组是基于 “绝对静止系”成立的（因为显然麦氏方程不满足伽利略相对性），这个C 因而也就是“绝对速度”。然而麦莫实验并没有找到以太存在的证据，这使得当时经典物理的天空多了一块阴云。 既然不能找到一个绝对静止系， 那么就有两个比较明显的结论，要么是麦氏方程从根本上就错了，要么是这个 C 本来就是一个常数，对哪一个惯性系都一样。爱因斯坦选择了后者：久经考验的麦氏方程依然成立， 它也不是仅仅是建立在一个不存在的绝对静止系之上的，而是对一切惯性系都成立，只要考虑相对论效应一切矛盾就消失了。2有时间看看，《什么是数学》 3.看书发现有很多波动方程：对波动方程总是有着模糊的概念： 看了以下内容发现各种波之间有相似的联系. 机械振动方程： 一维弹簧振子的振动方程由牛顿第二定律推导得： 方程的通解是： ψ = C 1 co s ωt + C 2sin ωt 正弦形式为ψ= A sin (ωt + ? ) 简谐振动它是各种波的起因和微观模型。 振动和波动的关系：振动是质点模型，波动是介质模型；振动是因，波动是果。 机械波动方程 机械波的传播公式： ψ= A sin[ω (t -x / u )+ ? ] 描述波的物理量：波速u 、波长λ、频率f 、周期 T 、圆频率ω、圆波数k=ω/u ，ψ= Asin[(ωt -kx) +?] 与下面的等价 ψ = C 1 co s(ω t - k x ) + C 2 s i n (ω t - k x )分别对x 和t 求二阶偏导数，可得 2 22sin[()]2 22A t kx x u u 1.1 222 sin[()]2A t kx t 1.2 整理得到机械波的波动方程为： 这是一维机械波的波动方程。 推广到空间因此可以得到三维机械波的波动方程：
第四章 波动方程的积分解 4.1非其次标量亥姆霍兹方程的积分解 电磁波问题的求解，都可以归结为求解其次或非其次标量或矢量波动方程。对这类二阶偏微分方程，一般可以采用微分法和积分法。 在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场满足非其次亥姆霍兹方程： ()()() 22r k r f r φφ?+=- (4-1) 考虑在体积V 中，Φ和Ψ标量场和二阶导数连续，在包围体积V 的封闭截面S 上标量场Φ和Ψ的一阶导数存在，由标量格林函数： ()2 2 -d ()d V S V S φψψφφψψφ??=?-?????? (4-2) 建立了标量场Φ和Ψ在闭合界面内的体积分和闭合界面上的面积分关系。格林函数满足齐次亥姆霍兹方程。 ()() 220g r k g r ?+= 'r r ≠ （4-3） 整理以上三个算式得 ()()d [()()]d V s s g r f r V g r g r S φφ+=?-?????? （4-4） '[]d -[dS-()dS]n s s s g g g S g r a e R φφφ φ??-?==???????? （4-5） 积分结果为 () ' ''''''' '''1()d d 44jk r r jk r r jk r r V S e e e r f r V r r S n n r r r r r r φφφππ------?? ?? ?=-- ???--- ? ?? ?????（）（） (4-6) 电磁波遇到障碍物时，会发生绕射现象。标量基尔霍夫公式可以用来近 似计算电磁波通过电屏上孔径的绕射场，但需要假定条件： （1） 封闭面上除口径面外，标量场及其法向导数为零。
地震波交错网格高阶差分数值模拟研究 摘要: 地震波数值模拟技术是勘探地球物理学中的重要组成部分，研究通过弹性波一阶速度——应力方程，采用交错网格高阶有限差分法实现了地震波在各向同性介质中的高精度的数值模拟，并采用完全匹配层( PML) 吸收边界来消除边界反射，可取得较好的效果。通过模型的正演计算和复杂模型的处理结果表明，交错网格高阶有限差分法数值模拟是一种快速有效的地震波数值模拟方法。 关键词: 地震勘探; 交错网格; 有限差分; 数值模拟 引言 地震数值模拟是模拟地震波在介质中传播的一种数值模拟技术，随着地震波理论在天然地震和地震勘探中的应用，地震模拟技术便应运而生，并随着地震波理论和计算机技术的发展，地震数值模拟技术自20世纪60年代以来也得到了飞速发展，形成了目前具有有限差分法、有限元法、虚谱法和积分方程法等各种数值模拟方法的现代地震数值模拟技术。 有限差分法是偏微分方程的主要数值解法之一。在各种地震数值模拟方法中，最早出现的数值模拟方法是有限差分法。Ａlterman和Karal(1968)首先将有限差分法应用于层状介质弹性波传播的数值模拟中。此后，Boore(1972)又将有限差分法用于非均匀介质地震波传播的模拟。Alford等（1974）研究了声波方程有限差分法模拟的精确性。Kelly等（1976）研究了用有限差分法制作人工合成地震记录的方法。Virieux(1986)提出了应用速度——应力一阶方程交错网格有限差分法模拟P——SV波在非均匀介质中的传播。交错网格方法提高了地震模拟的精度和稳定性，并消除了部分假想。 有限元法也是偏微分方程的数值解法之一。Lysmer和Drake（1972）最早将有限元法应用于地震数值模拟。Marfurt(1984)研究对比了模拟弹性波传播的有限差分法和有限元法的精度。Seron等（1990,1996）给出了弹性波传播有限元模拟方法。Padovani等（1994）研究了地震波模拟的低阶和高阶有限元法。Sarma等（1998）给出了三维声波模拟的虚谱法。 积分方程法是建立在波动方程的积分表达式的基础上的，其理论基础是惠更斯原理。积分方程法也是有限元法之后发展起来的一种地震数值模拟方法。Pao 和Varatharajulu（1976）提出了弹性波散射的积分表达式。Bennett和Mieras(1981)给出了流体目标声波散射的时间域积分方程解。Bouchon(1987)给出了裂隙或孔洞弹性波绕射的离散波数法模拟方法。Bouchon等（1989）研究了具有不规则界面的多层介质中波传播的边界积分方程——离散波数法。Bakamjian（1992）给出了三维地震波传播模拟的边界积分方程法。符力耘和牟永光（1994）提出了弹性波正演模拟的边界元法。符力耘等（1997）提出了非线性Fredholm积分方程的正演问题。符力耘（2003）给出了含起伏地表的广义Lipmann—Schwinger积分方程的数值模拟方法。 射线追踪方法是建立在波动方程的高频近似基础上的一种地震数值模拟方法（cerveny等，1977）。这种方法实际只计算了最奇异部分的解，即旅行时和振幅函数的特征曲线，它们分别是程函方程和传播方程的解。这种方法计算效率高。但是，一些复杂的本构方程由于积分方程法和射线追踪法不满足假设条件而限制
关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 ??? ??? ?=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,002 2222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ` ??? ??? ?=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022 222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：
(I) ???????=??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022 222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022 222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 ??? ??? ?=??=>??=??== ， ),(|,0|22 222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 ( 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) () ()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><
弹性波方程和Christoffel 方程 Sdhizhj 1、 介质在直角坐标系中的运动方程 设想连续弹性介质中小立方体Δv =Δx 1Δx 2Δx 3，考察x 1=0面和x 1= Δx 1面上的沿x 1方向的应力，则x 1=0面上的应力为T 11，x 1= Δx 1面上的应力为11 1111 T T x x ?+ ? ； 作用在与x 2垂直的两个面上的沿x 1方向的应力分别为T 12和12 1222T T x x ?+? ； 作用在与x 3垂直的两个面上的沿x 1方向的应力分别为T 13和131333 T T x x ?+? ； 则作用在小立方体6个面上沿x 1方向的应力和为： 111211123112312231123112 131311121331213121231233123 [()][()][()]()T T T x x x T x x T x x x T x x x x T T T T T x x x T x x x x x x x x x x x x ??+ -++-??????++ -=++???? 根据牛顿第二定律，有： 213111121231232123 ()T u T T x x x x x x t x x x ρ?????????=++????????? 式中，ρ为介质的体密度，u 1为质点沿x 1方向上的位移，化简得： 21111213 2123 u T T T t x x x ρ????=++ ???? (1a) 同理有： 22212223 2123u T T T t x x x ρ????=++ ???? (1b) 23313233 2123 u T T t x x x ρ????=++ ???? (1c) 式中，u i 为质点沿x i 方向上的位移，上面几式表示介质在直角坐标系中的运动方程，可以用下式概括表示： 2321ij i j j T u t x ρ=??=??∑ （i,j=1,2,3） (2) 引用爱因斯坦求和表示，为： 22ij i j T u t x ρ??= ?? （i,j=1,2,3） (3) 上式中约定，当物理量脚标出现重复时就自动求和。 2、 非压电弹性介质中的波动方程 根据胡克定律，弹性介质中，应力与应变有如下关系： T =cS T ij = c ijkl . S kl (4) 对于各向异性介质，应力T 与应变S 为张量，有6个独立分量，而弹性刚度系数则是四阶张量，有36个独立分量。 而应变S kl 与位移u i 之间有关系 k l kl l k u u S u u 1??=2??（+） （k,l=1,2,3） (5) 代入胡克定律，考虑对k,l 求和的时候k,l 将会分别遍历所有坐标，因此 3 333 ,1,1,1,1k l k l kl k l k l k l k l l k l u u u u S u u u uk ====1????==2????∑∑∑∑（+）=
1.1 波动方程的形式 一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,2 2 222=??-?? 二维波动方程（例如薄膜振动）()t y x f y u x u a t u ,,2222 222+??? ? ????+??=?? 三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）()t z y x f z u y u x u a t u ,,,222222 222+???? ????+??+??=?? 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例） （1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。 ②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立 0=??=o x x u 。也可以考虑更普遍的边 界条件 ()t x u x μ=??=0 ，其中()t μ是t 的已知函数。 ③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为 0u =??? ??+??=l x u x σ。也可以考虑更普遍的情况()t u x l x v u =??? ??+??=σ，其中()t v 是t 的已知函数。 1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题 ()()()()??? ????+∞<<∞=??==+∞<<∞>=??-??)x -(,,:0t x 0,-t ,,22 222x t u x u t x f x u a t u ψ? （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψ?,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题 （I ）()()()()??? ????=??===??-??2.1.....................,:0t 1.1. (022) 222x t u x u x u a t u ψ?
5．1 已知一波的波动方程为y = 5×10-2sin(10πt –0.6x) (m)． （1）求波长、频率、波速及传播方向； （2）说明x = 0时波动方程的意义，并作图表示． 5．2 一平面简谐波在媒质中以速度为u = 0.2m·s-1沿x轴正向传播，已知波线上A点（xA = 0.05m）的振动方程为(m)．试求：（1）简谐波的波动方程；（2）x = -0.05m处质点P处的振动方程． 5．3 已知平面波波源的振动表达式为(m)．求距波源5m处质点的振动方程和该质点与波源的位相差．设波速为2m·s-1． 5．4 有一沿x轴正向传播的平面波，其波速为u = 1m·s-1，波长λ= 0.04m，振幅A = 0.03m．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求： （1）此平面波的波动方程； （2）与波源相距x = 0.01m处质点的振动方程，该点初相是多少？ 5．5 一列简谐波沿x轴正向传播，在t1 = 0s，t2 = 0.25s时刻的波形如图所示．试求：（1）P点的振动表达式； （2）波动方程； （3）画出O点的振动曲线． 5．6 如图所示为一列沿x负向传播的平面谐波在t = T/4时的波形图，振幅A、波长λ以及周期T均已知． （1）写出该波的波动方程； （2）画出x = λ/2处质点的振动曲线 （3）图中波线上a和b两点的位相差φa –φb为多少？ 5．7 已知波的波动方程为y = Acosπ(4t –2x)（SI）．（1）写出t = 4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出t = 4.2s 时的波形曲线． 5．8 一简谐波沿x轴正向传播，波长λ= 4m，周期T = 4s，已知x = 0处的质点的振动曲线如图所示． （1）写出时x = 0处质点的振动方程 （2）写出波的表达式； （3）画出t = 1s时刻的波形曲线 5．9 在波的传播路程上有A和B两点，都做简谐振动，B点的位相比A点落后π/6，已知A和B之间的距离为2.0cm，振动周期为2.0s．求波速u和波长λ． 5．10 一平面波在介质中以速度u = 20m·s-1沿x轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A的振动方程为y = 3cos4πt． （1）如以A点为坐标原点，写出波动方程； （2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动方程； （3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程． 5．11 一弹性波在媒质中传播的速度u = 1×103m·s-1，振幅A = 1.0×10-4m，频率ν= 103Hz．若该媒质的密度为800kg·m-3，求： （1）该波的平均能流密度； （2）1分钟内垂直通过面积S = 4×10-4m2的总能量． 5．12 一平面简谐声波在空气中传播，波速u = 340m·s-1，频率为500Hz．到达人耳时，振幅A = 1×10-4cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强？此时声强相当于多少分贝？已知空气密度ρ= 1.29kg·m-3． 5．14．一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m·s-1速率向右运动．在其右方有一反射
关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ???????=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：
(I) ??????? =??=>+∞<<∞-??=??== ， )(|),(|0,0022 222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ???????=??=>+∞<<∞-+??=??== ， 0|,0|0,),(0022 222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21 ),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 ???????=??=>??=??== ， ),(|,0|2 2 222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： )() ( )()('''t aT t T x X x X = ?????????====><
田佳星 海洋技术 今天我介绍一下声学中波动方程的建立。我们首先介绍一下声学的基本概念。 声波是机械振动状态在介质中的传播。存在声波的空间称为声场。理论上描述声场需要引入一些物理量：声压、位移、振速、密度压缩量和相位等。通常采用上述各物理量的时空分布函数描述声场。下面对这些物理量作简要介绍。 1. 基本概念 1) 声压（标量） 声波为压缩波。描述“压缩”过程的一个物理量是压强。然而，声波是声扰动（如振动源）引起介质中的压强发生变化的部分。因此，我们引入声压的概念： 声压p 为介质压强的变化量： 0P P p -= (2-1) 其中，P 是压强，0P 是介质中的静态压强。 声压是描述波动的物理量。为使用方便，还由声压引入了瞬时声压p 、峰值声压0p 和有效声压e p 。 声场中某瞬时的声压称为瞬时声压。一定时间间隔内的最大瞬时声压称为峰值声压。瞬时声压在一定时间间隔内的均方根值称为有效声压，即 e p = 对简谐声波，p 、0p 和e p 相互之间的关系和电压可作相同类比，即 0exp[]p p j t ω= 20p p e =。 一般仪器仪表测得是有效声压。 2) 位移和振速（矢量） 质点位移是指介质质点离开其平衡位置的距离。质点振速是介质质点瞬时振动的速度。两者均是有大小和方向的量，即矢量，相互关系为 u d dt ξ= (2-3) 对简谐振动，位移和振速都满足如下关系：
0exp[] j t ξξω=， (2-4a) 0exp[]u u j t ω=， (2-4b) 其中，0ξ和0u 分别为位移幅值和振速幅值。 需要注意的是区分质点振速和声传播速度。声传播速度是指振动状态在介质中传播的速度，而质点振速是指在给定时间和给定空间位置的某一质点的振动速度。 3) 密度和压缩量 密度的变化也是描述声波的一个物理量。这里引入压缩量的概念： ()0100ρρρρρ=-=s (2-5) 其中，ρ密度，0ρ为静态密度，01ρρρ-=为密度改变量。 压缩量s 的含义为介质密度的相对变化量。 4) 相位 为描写简谐振动而引入的物理量。它描述质点简谐振动的状态。质点振动的一个周期对应着相位0-2π。相位和质点振动状态有一一对应的关系。 声波是振动状态在介质中的传播，而相位描述的是质点简谐振动的状态。由此可见相位在声场描述中的重要性。 以上物理量并不是独立的，如根据位移由(2-3)式可以求出振速。实际应用时可根据需要选择使用哪些物理量来描述，如对简谐声波，只需要位移幅值和相位就可导出振速、加速度等基本物理量；更进一步，如果已知介质条件，只要知道位移幅值和相位的初值，就可计算声场的时空分布函数了。 2. 理想流体介质中的小振幅波 本节先建立描述声波的基本方程-波动方程，并讨论波动方程的线性特性；然后分别介绍波动方程在几种简单介质条件下的解-行波解、平面波解、球面波解和柱面波解，并对各种解中相关的物理量，如声场中的能量、介质特性阻抗和声阻抗率、相速度和群速度等概念，进行讨论，并重点分析在水声物理中应用较多的平面波在两种不同均匀介质界面上的反射和折射现象。 一、波动方程 建立波动方程