淮北师范大学
2011届学士学位论文
线性规划灵敏度分析
学院、专业数学科学学院数学与应用数学
研究方向运筹学
学生姓名陈红
学号20071101008
指导教师姓名张发明
指导教师职称副教授
2011年4月10日
线性规划的灵敏度分析
陈 红
（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）
摘 要
本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数
Sensitivity Analysis of Linear Programming
Chen Hong
(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)
Abstract
This thesis is mainly from the variety of the cost coefficient …j c ?, the variety of technology coefficient …ij a ?, the variety of the resources condition…i b ?and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition…i b ?in the economic management …shadow price problem?.
Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resources
condition ，cost coefficient
目录
引言 (1)
一、价值系数的变化分析 (2)
二、技术系数的变化分析 (5)
三、右端常数的变化分析 (6)
四、增加新约束条件的灵敏度分析 (8)
五、增加一个新变量的灵敏度分析 (9)
六、线性规划灵敏度分析的应用 (9)
七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用 (14)
八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征 (16)
结论 (17)
参考文献 (18)
致谢 (19)
引言
灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济 管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究，本文基于已有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵敏度分析的应用进行分析.
在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义： 定义 线性规划的标准形：
（LP ） m a x ..0
Z CX
AX b s t X ==??
≥? (1.1)
(1.2)(1.3)
其中()12,,,n C c c c =为行向量，()12,,,T
n X x x x =，()12,,
,T
m b b b b =均为列向
量，()ij m n A a ?=为m n ?矩阵；0b ≥，并假设A 的秩为m ，在问题（LP ）中，约束方程（1.2）的系数矩阵A 的任意一个m m ?阶满秩子矩阵B （0B ≠）称为线性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵B 是由矩阵A 中m 个线形无关的
列向量组成的，不失一般性，可假设()11
1121,,,m m m mm a a B p p p a a ?? ?
== ? ???
并称()1,2,
i p i m =为基向量，与基向量相对应的变量()1,2,
i X i m =称为基变
量不在B 中的列向量()1,2,j p j m m n =++称为非基向量，
与非基变量相对应的变量()1,2
j X j m m n =++称为非基变量，并记
()1,1
1,12,1
,,,m m m m n m m mn a a N p p p a a ++++?? ?
==
? ???
，
则系数矩阵A 可以写成分块形式，不失一般性
(,)A B N =， （1.4） 将基变量和非基变量组成的向量分别记为()12,,
,T
B m X x x x =，
()12,,
,T
N m m n X x x x ++=，则向量X 相应的写成分块形式
B N X X X ??
= ???
（1.5）
再将（1.5）代入约束方程组（1.2）中，得(),B N X B N b X ??
= ???，由矩阵的乘法可得
B N BX NX b +=，又因为B 是非奇异方阵，所以1B -存在，将上式两边乘以1B -，移项后，得
11B N X B b B NX --=-
现在可以把N X 看作一组自由变量（又称独立变量），给他们任意一组值N X ，则
相应的B X 的一组值B X ，于是B N X X X ??= ? ???
便是约束方程组（1.2）的一个解.特别
令0N X =时，则1
N X B b -=，现把约束方程组的这种特殊形式的解10B b X -??= ???
，
称为基本解.满足变量非负约束条件（1.3）的基本解称为基本可行解. 现在来研究线性规划的灵敏度分析.
灵敏度分析的含义是指对系统或事物因为周围条件变化显示出来的敏感度.具体说来就是要研究初始单纯形表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数在什么范围内变化时原最优基仍然是最优的.若原最优基不是最优的，如何用简便的方法找到新的最优解.
现考虑标准形线性规划问题：
（LP ）
m a x ..0
Z CX
AX b s t X ==??
≥?
当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有没有变化.但这样做即麻烦又没有必要，因为单纯形法的迭代过程是从一组基向量变换为另一种基向量，每次迭代都和基变量的系数矩阵B 有关，表中每次迭代得到的数据只随基向量的不同选择而改变，因此可以把个别参数的变化直接在计算得到的最优解的单纯形表上反映出来.这样就不需要从头计算，而直接在最优性单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最优性的条件，如果不满足的话再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解.
下面就各个参数改变后的情况进行讨论：
一、 价值系数j c 的变化分析
（一）非基变量j x 的价值系数j c 的变化
若非基变量j x 的价值系数j c 的改变为j j j c c c '=+?，则变化后的检验数为
1j j j B j c c C B p σ-'=+?-，0要保持原最优基不变，即当j c 变化为j c ?后，最终单纯形表中这个检验数小于或等于零，即10j j j B j c c C B p σ-'=+?-≤，因此
j j c σ?≤-?，这就确定里在保持最优解不变时非基变量j x 的目标函数j c ，的变化范围，当超出这个范围时，原最优解将不是最优解了.为了求新的最优解，必须在原最优单纯形表的基础上，继续进行迭代以求得新的最优解.
例1 已知线性规划问题
1234max 534Z x x x x =+++
()12341
2341
23423280054341200
..3453100001,2,3,4j x x x x x x x x s t x x x x x j +++≤??+++≤??
+++≤??≥=?
（Ⅰ）为保持原最优解不变，分别求非基变量13,x x 的系数13,c c 的变化范围 （Ⅱ）当1c 变为5时，求新的最优解.
解 （i ）由图表可知：113/4σ=-，311/4σ=-，于是由公式j j c σ?≤-?知，
保持原最优解不变，则有 1313/4,11/4c c ?≤?≤，当111113/417/4c c c '=+?≤+=，
333311/423/4c c c '=+?≤+=时，原最优解不变.
（ii ）当1517/4c =>时，已经超出了1c 的变化范围，最优解发生了变化，下面来求新的最优解.首先求出的检验数：
()11111/450,4,523/403/4B c C B p σ-??
?
''=-=-=> ? ?-??
故1x 为换入基，用新的检验数13/4σ'=代替原来的检验数113/4σ=-，其余数据
不变，得到新的单纯形表，并继续迭代得：
表（1.2） 由表中可看出已得到新的最优解
()*100,175,0,0,75T
x =
及新的目标函数最优值 *1375Z =.
（二）基变量j x 的价值系数j c 的变化
若r c 是基变量r x 的价值系数，因为r B c C ∈，当r c 变为r r c c +?时，就引起B
C 的变化，则
()()(
)
1111120,
,,0,,
,B B B r
B r r r rn
C C B A C B A c B A C B A c a a a ----'''+?=+?=+?
其中 (
)
12,,
,r r rn a a a '''是矩阵1B A -的第r 行.于是，变化后的检验数为
1j j B j r rj j r rj c C B p c a c a σσ-'''=--?=-? （j = 1，2，
，n ）
若要求最优解不变，则必须满足0j j r rj c a σσ''=-?≤ （j = 1，2，
，n ）
由此可以导出
当0rj a <时，有/r j rj c a σ'?≤ ； 当0rj a >时，有/r j rj c a σ'?≥. 因此，r c ?的允许范围是
{}{}
max /|0min /|0j rj rj r j rj rj j
j
a a c a a σσ''''>≤?≤<
使用此公式时，首先要在最优表上查出基变量r x 所在行中的元素
()1,2,
,rj a j n '=，而且只取与非基变量所在列相对应的元素，将其中的正元素
放在不等式的左边，负元素放在不等式右边，分别求出r c ?的上下界.
例2 为保持现有最优解不变，分别求出例1 中基变量24,x x 的变化范围.若当B C 由（0，4，5）改变为（0，6，2）时，原最优解是否保持最优，如果不是，该怎么办？
解 根据上述公式，利用表（1.1），为使最优基变量()245,,x x x 不变，4c ?的变化范围是
413/41/413/41/4max ,min ,213/43/4c ----????
≤?≤????--????
即
41
14
c -
≤?≤ 故当
415
54
c ≤≤时，原最优解不变， 现在4c 变为6，已超出了4c ?的允许变化范围.同样的，2c ?的允许范围是211/4113/41/4max ,min ,11/413/43/4c ----????
≤?≤????--????
，即
21
13
c -≤?≤
故当216
43
c ≤≤时，原最优解不变，现在2c 变为2，也不在2c ?的允许变化范围内，
当B c 由（0，4，5）变为（0，6，2）即4c 变为6，2c 变为2，都超过了它们的允
许变化范围，需要求新的最优解.为此用变换后的B c '代替B c ，将表（1.2）改成表1.3（I ），在继续进行迭代求得新的最优解，由该表知，已求得最优解
()*0,0,0,300,200,0,100T
x =及目标函数最优值*1800Z =.
j 最优解对目标函数中的价值系数j c 的改变不十分灵敏，而对价值系数j c 的灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定幅度内改变价值系数j c 的值，来积极应对市场挑战.
二、 技术系数ij a 的变化分析
由于对价值系数j c 的分析分为基变量价值系数和非基变量价值系数，现也可以按这种方法把对技术系数ij a 的分析分为两类：
（一）、非基向量列j P 改变为j P ' 12j j j nj a a P a ??
????=????????
这种情况指初始表中的j P 到数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是非基向量.这一改变直接影响最优单纯形表上的第j 列数据与第j 个检验数.最终单纯形表上的第j 列数据变为1j B P -'，而新的检验数1j j B j c c B P σ-''=-，若
0j σ'≤，则原最优解仍是新问题的最优解.若0j σ'>，则最优基在非退化情况下不再是最优基.这是，应在原来最优单纯形表的基础上，换上改变后的第j 列数据1j B P -'和j σ'，把j x 作为换入变量，用单纯形法继续迭代.
（二）、基向量列j P 改变为j P '
这种情况指初始表中的j P 列数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是基向量，此时，原最优解的可行性和最优性都可能遭到破坏，需要重新计算.
三、 右端常数i b 的变化分析
右端常数i b 的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.
当第r 个约束方程的右端常数由原来的r b 变为r r r b b b '=+?，其它系数都不变，即初始表上新的限定向量
12000r r m b b b b b b b b ????????????????'=+?=+?????????????????????????，其中1200,0r r n b b b b b b b ????
????????????
=?=?????????
????????
????????
设原最优解为121
m B B B B x x X B b x -??????'==????????
，则新的最优解为
11111
00B r X B b B b B b B b B b -----??????
''??==+?=+?????????
若原最优基B 仍是最优的，则新的最优解0B X '≥，即
1111000r B r ir B r r mr d X B b B b B b d X b D d ---??
'????????????''??=+?=+=+?≥??????????????'??
??
其中r D 是1B -的第r 列，即
12r r r mr d d D d ??'????'=??????
'????
故
()01,2,
,i B r ir x b d i m '+?≥=
因此，r b 的允许变化范围是：
max |0min |0i i
B B ir r ir i i
ir ir x x d b d d d ????????''->≤?≤-
如果r b ?超出上述范围，则新的解不是可行解.但由于r b 的变化不影响检验数，故仍保持检验数0σ≤，即 满足对偶可行性，这时可在原最终表的基础上，用对偶单纯形法继续迭代，以求出新的最优解.一般来说，当b 变为b '时，也可以直接计算1B b -，若有10B b -≥，则原最优基B 仍是最优基，但最优解和最优值要重新计算.若1B b -不恒大于零，则原最优基B 对于新问题来说不再是可行基，但由于所有检验数0σ≥，现行的基本解仍是对偶可行的，因此，只要把原最终表的右端
列改为11B B b C B b --'??
??'-????
，就可用对偶单纯形法求解新问题. 例3 线性规划问题
12
121
12
2312max 232212416..515,0
Z x x x x b x b
s t x b x x =++≤+???≤+???
≤+???≥?
分别分析123,,b b b ???在什么范围内变化，问题的最优基不变.
解 先分析1b ?的变化，由公式10B B X X B b -'=+?≥知，使问题最优基不变的条件是
111110132532
4421042053031005b λλ??-?? ?+??????? ??????? ?+-=-≥?????? ??????? ??????? ??? ?
?
?
由此推得
162λ-≤≤
同理由23403λ??
??+≥??????
得， 24λ-≤≤∞，3331354
405135λλλ??
-????
??+≥????
??+????
从而
3515λ-≤≤.
四、 增加新约束条件的灵敏度分析
若在线性规划问题中再增加一个新的约束条件，即 有
1,11
n
m j
j m j a
x b ++=≤∑，
即
11m m A X b ++≤ （4.1）
其中 ()11,11,21,,,,m m m m n A a a a ++++=，()12,,
,T
n X x x x =，
由于增加一个约束，则可行域有可能减小，但不会使可行域增大，因此，若原问题的最优解满足这个新的约束，则在新问题中仍是最优解；若原来的最优解不满足这个新约束，那么现再来求新的最优解.
设原来的最优基为B ，各基向量集中于A 的前m 列，最优解为 10B N x B b X x -????==????????
对新增加的约束（4.1），引进松弛变量1n x +，又因为()()()111,m m m B N A A A +++=，则（4.1）式变成
()()1111m B m N n m B N A X A X X b ++++++= （4.2）
显然，1n x +是约束（4.2）的基变量.增加约束后，新的基B '、()1
B -'及右端向量b '
如下：
()101m B B B A +??'=????，()()11
1
101m B B B A B ---+??'=??-???
?，1m b b b +??'=????， 对于新增加约束后的新问题，在现行基下对应变量()1j x j m ≠+，的检验数是：
()()()11
11
11,0,01j j j j j B j j B j B j j m m j B P B c z c C B P c C c C B P A B a σσ----++????'''''=-=-=-=-=????-????????
它与不增加约束时相同.又因为1n x +是基变量，故10n σ+'=.因此，现行的基本解是
对偶可行的，现行基本解是：
()()()1
111111111101B n m m n m m B B B b X b
b B B b b A B X b A B b -----++++++??????????'===??????????--??????????????
， 若()()1110m m B b A B b -++-≥，则现行的对偶可行的基本解是新问题的可行解，即最优解.
若()()1110m m B b A B b -++-<，则在原来最终解的基础上增加新约束（4.2）的数据，通过矩阵的初等行变换，把原最终表上的各基向量列及新增列1n P +化为单位阵，再用对偶单纯形法继续求解.
五、 增加一个新变量的灵敏度分析
假设要增加一个非负的新变量1n x +，其相应的系数列向量为1n P +，价值系数为1n C +.又知原问题的最优解是B ，显然，增加这个新变量，对原最优解的可行性没有影响.现计算新的检验数
1111n n B n C C B P σ-+++=-
若10n σ+≤，则原最优解是新问题的最优解；若10n σ+>则原最优解不再是最
优解.这时，把11n B P -+加入到原最终表内，并以新变量1n x +作为换入变量，按单纯形法继续迭代，即可得到新的最优解.
六、线性规划灵敏度分析的应用
线性规划灵敏度分析的应用主要是资源条件的应用，而对资源条件b 的分析的一个重要应用是：“影子价格问题”
定义 设线性规划对偶问题
1
max n
j j j Z c x CX ===∑ min W Yb =
（P ）()
()1
1,2,
,..01,2,,n
ij j i j j
a x AX
b b i m s t x j n =?=≤==???≥=?∑ （D ） ..0YA C
s t Y ≥??
≥?
右端常数()1,2,
,i b i m =表示第i 种资源的现有量
下面讨论i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的变化. 设B 是问题（P ）的最优基，则
*1***
*
1122B m m Z C B b Y b y b y b y b -===+++，
当i b 变为1i b +时（其余右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基B ）
目标函数最优值变为
***
**1122(1)i i m m Z y b y b y b y b '=++++++，
于是
目标函数最优值的改变量为
****i Z Z Z y '?=-=，
由
上式可以看出*i y 的意义，它表示当右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标
函数最优值的改变量，也可以写成*
*i i
Z y b ?=?()1,2,,i m =，
即*i y 表示*Z 对i b 的变化率.在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若（P ）的某个约束条件的右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值*Z 的改变量*i y 称为第i 个约束条件的影子价格，又称边际价格.
由定义可知，影子价格*i y 的经济意义是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量i y 就是第i 个约束条件的影子价格.影子价格是针对某一具体的约束条件而言的.而问题中所有其它数据保持不变，因此影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数.
影子价格又称灵敏度系数，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解.如果原规划模型属于一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并需求总体效益目标最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价，以便得出与最优生产计划相一致的一个企业最低总价值.该对偶模型中资源的估价表现为相应资源的影子价格.
影子价格在经济管理中的应用很多，下面就下面这个问题进行分析： 影子价格指示企业内部挖掘潜力的方向.
设线性规划模型（LP ）：
()()1
1
max 1,2,,..01,2,,n
j j
j n
ij j
i j i
Z c x a x b i m s t x j n ===?≤=???≥=?∑∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得：
min ..0
Z C X AX b s t X ''
='=??
'≥? 其中(),0c c '=-，0是m 维行向量， (),A A I '=为m m *单位阵.
因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基*x ，最
优解为： ***
11n n j j j j j j Z c x c x =='==∑∑ ，并可设()()
1****,,0B B N N x B b x c c c x -????'''?
?===???????
??? ()
()()()1*11*****111,0n n m j j j j B N B B i j j i i B b Z c x c x c c c B b c B b ---===????'''''??=====????????
∑∑∑ 所以可令
*
*i
i Z y b
?=?，
即
()()1**,1,2,,i B i
y c B i m -??==????
因此，有
*
*
*
1
1
n m
j j
i i j i Z c x y b ====∑∑ （6.1）
再令()()1
****
*1
2,,,m B y y y y c B -'==，由单纯形法最优原则可知：
()1
**0B y A c c B A c -'''''-=-≤ （6.2） 即
()()*(,),0,0y A I c c ≤-=-
因此，有
*0y ≥ （6.3） 而由（6.2），（6.3）及线性规划的对偶结构可知：*y 是对偶问题的可行解. 再由（6.1）及对偶定理可知：*y 是对偶问题的最优解.
可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零.反之就是，若影子价格*0y >，则对应的是*x 的起作用约束.因此，影子价格*0i y =表示第i 种资源i b 未得到充分利用；而*0i y >则表示第i 种资源i b 已得到充分利用.
影子价格直接应用到企业资源最有效的部门中去.当影子价格大于资源的市
场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当当影子价格小于资源的市场价格时出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源企业必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.
“影子价格问题”：影子价格 设线性规划模型（LP ）
M a x
∑-n
j j
j x
c 1
..s t 1
(1,2,)0(1,2)
n
i j j i j j a x b
i m x j n -?≤=???≥=?
∑ 有最优解*x ，最优解为
**j j z c x =∑
则可令
i
i
b z ??=*
*
? 则必有
∑∑--==m
i i i n
j j j b x c z 1
*
1*
*
?和0*
≥i ?
M a x
∑-n
j j
j x
c 1
..s t 1
(1,2,)0(1,2)
n
i j j i j j a x b
i m x j n -?≤=???≥=?
∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得
min x c ''
..t s 0Ax b x '=??'≥?
其中3(,)T x x x '=（5x 为松弛变量，是m 维列变量），(,0)c c '=-,这里0是m 维行向量，而(,)A A I '=为*m m 单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基可行解*x ，最优解为：
∑∑--'==n
j n
j j j j
j x c x
c z 1
1
*
*
*
并可设
???
?
??=???? ??=-N B x x b B x **1**
0)(，),(N B c c c ''
=' i m i i B B n
j N B j
j n j j j b B c b B c b B c c x
c x c z ∑∑∑------'='=?
??
? ??''='==11
*1*1
1**
1
*
*
])([)(0)(),( 所以可令
i
i
b z ??=**
?，即[]
i B i B c 1**
)(-=?，),,2,1(m i = 因此有
∑∑--==n j m
i i i j j b x c z 1
1
*
*
*
? （6.4）
再令
1
***2*1*)(),,(-'==B c B m ????
由单纯形法最优准则可知
0)(1
**≤'-''='-'-c A B c c A B
? （6.5） 即
)0,()0,(),(*c c I A -=-≤?
因此有
0*≥? (6.6) 而由(6.5)和(6.6)，由线性规划的对偶规划结构可知：*?是对偶规划的可行解，再由(6.4)，以及对偶定理可知：*?是对偶规划的最优解.）称*?为第i 种资源的影子价格，****12(,,)n ωωωω=为影子价格向量.*?表示，第i 种资源bi 对最优值的边际贡献.
从线性规划对偶理论易见，影子价格就是对偶规划的最优解.而由前述对资源条件的灵敏度分析可知，对于最优解*x 的不起作用约束而言，若此约束的资源条件bi 在灵敏度范围内变动时，则最优值*z 不变，所以
0**
=??=i
i
b z ? 可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零。反之而言就是，若影子价格*0?>，则对应的是*x 的起作用约束。
因此，影子价格*0?=表示第i 种资源i b 未得到充分利用；而*0?>则表示第i 种资源i b 已得到完全利用
影子价格直接应用到企业资源的最有效利用中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当影子价格小于市场价格时，出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源单位必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.
七、线性规划灵敏度分析在经济与管理问题上的典型应用
一般应用问题的线性规划模型为：
Max cx
..s t 0
Ax b
x ≤??
≥?
其中 12(,,)n c c c c =,12(,,)0n b b b b =≥
线性规划的灵敏度分析有两个主要方面： 第一、对价值系数的灵敏度分析
在资源条件b 不变的前提下，问最优解保持不变时，每个价值系数5c 可以变动的范围.
第二、对资源条件的灵敏度分析
在价值系数c不变的前提下，问最优解保持不变时，每个资源条件bi可以变动的范围.
线性规划的灵敏度分析有重要的经济与管理的应用背景，现通过一个例子来了解有关的概念.现来考虑AB公司的例子.
AB公司在一周内只生产两种产品：产品A和B.产品A和产品B由多种材料混合生成，这些材料都从仓库中提取.可供一周使用的三种原料数量如下：
原料1 kg
12000原料2 kg
4000原料3 kg
6000
产品A由60%的原料1和40%的原料2制成,产品B由50%的原料1，10%的原料2和40%的原料3制成. 产品A的边际贡献率为每公斤25元，产品B的边际贡献率为每公斤10元.管理部门必须决定每种产品各生产多少公斤，使得在原料供应计划下产品的总贡献最大.
这个决策问题的线性规划模型为：
max贡献=25A+10B
.. s t
0.60.512000 0.40.14000
0.46000
A B
A B
B
+≤
?
?
+≤
?
?≤
?
其中0
A≥，0
B≥
应用图解法解此线性规划问题，可见下图：
(图1.0)
本例的最优解为：6250A =，15000B =
八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征
特征1 最优解对目标函数中的价值系数（j C ）的改变不是十分灵敏 以上例来说，对于AB 公司，在保持（6250A =，15000B =）仍为最优解的前提下，如果现增加产品A 的贡献，目标函数的斜率会变得越来越小（目标函数线变得更加垂直）.（图1.0）表明，最终目标函数将会达到一个与约束条件2平行的斜率.那时，最优解即是包括从当前顶点到顶点（1000A =，0B =）的线段上的所有点.运用下面的代数方法，现能计算出这时A 的单位贡献为每公斤40元
6250150001010000PA PA +?=
150000(100006250)PA =- 150000/375040PA == (元)
现可得到结论：若A 的单位贡献为25美元到40美元之间（B 的单位贡献保
持10美元不变），产生最大贡献的最优解始终是生产kg 6250的产品A 和kg 15000产品B .注意如果产品A 的单位贡献恰好增加至40美元，不仅顶点（6250A =，
15000B =）和（1000A =，0B =）为最优解，在约束条件2上连接这两点的线
段上的所有点也都为最优解，即：有无穷多最优解.
(图1.0)说明系数C 的灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定的幅度内改变价值系数C 的值，来积极对市场挑战.
特征2 对于一个线性规划问题，最优解有两种类型的约束条件：起作用约束和不起作用约束
最优解的起作用的约束是指线性规划的约束方程中，使最优解以等式方式满足的约束方程，也称为最优解的紧约束.在图形上，最优解是它的所有起作用约束的交点.最优解的不起作用的约束是指线性规划的约束方程中，使最优解以不等式方式满足的约束方程，也称为最优解的松约束.在图形上，最优解与不起作用约束间有距离.
进而，关于资源条件的灵敏度分析，有以下两个重要结论：
第一，对起约束作用的资源条件的任何改变都将影响最优解，因为最优解x
的起作用约束表示了资源的最优分配要求这一个约束的资源条件j b 被完全利用.换言之，改变j b 值，使x 不能完全利用此资源条件，也就是x 不再构成资源的最优解分配，即不再是最优解，这时x 或者仍是可行解，或者已成为非可行解
第二、对不起约束作用的资源条件的少量改变通常不会改变问题的最优解
题目 如何利用EXC E L求解线性规划 问题及其灵敏度分析 第 8 组 姓名学号 乐俊松 090960125 孙然 090960122 徐正超 090960121 崔凯 090960120王炜垚 090960118 蔡淼 090960117南京航空航天大学（贸易经济）系 2011年（5）月（3）日
摘要 线性规划是运筹学的重要组成部分，在工业、军事、经济计划等领域有着广泛的应用，但其手工求解方法的计算步骤繁琐复杂。本文以实际生产计划投资组合最优化问题为例详细介绍了Excel软件的”规划求解”和“solvertable”功能辅助求解线性规划模型的具体步骤，并对其进行了灵敏度分析。
目录 引言 (4) 软件的使用步骤 (4) 结果分析 (9) 结论与展望 (10) 参考文献 (11)
1. 引言 对于整个运筹学来说，线性规划(Linear Programming)是形成最早、最成熟的一个分支，是优化理论最基础的部分，也是运筹学最核心的内容之一。它是应用分析、量化的方法，在一定的约束条件下，对管理系统中的有限资源进行统筹规划，为决策者提供最优方案，以便产生最大的经济和社会效益。因此，将线性规划方法用于企业的产、销、研等过程成为了现代科学管理的重要手段之一。[1] Excel中的线性规划求解和solvertable功能并不作为命令直接显示在菜单中，因此，使用前需首先加载该模块。具体操作过程为：在Excel的菜单栏中选择“工具／加载宏”，然后在弹出的对话框中选择“规划求解”和“solvertable”，并用鼠标左键单击“确定”。加载成功后，在菜单栏中选择“工具／规划求解”，便会弹出“规划求解参数”对话框。在开始求解之前，需先在对话框中设置好各种参数，包括目标单元格、问题类型(求最大值还是最小值)、可变单元格以及约束条件等。 2 软件的使用步骤 “规划求解”可以解决数学、财务、金融、经济、统计等诸多实 际问题，在此我们只举一个简单的应用实例，说明其具体的操作 方法。 某人有一笔资金可用于长期投资,可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等。投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%。问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？（不同的投资方式的具体参数如下表。）
淮北师范大学 2011届学士学位论文 线性规划灵敏度分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向运筹学 学生姓名陈红 学号20071101008 指导教师姓名张发明 指导教师职称副教授 2011年4月10日
线性规划的灵敏度分析 陈 红 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘 要 本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。 关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数
Sensitivity Analysis of Linear Programming Chen Hong (School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000) Abstract This thesis is mainly from the variety of the cost coefficient …j c ?, the variety of technology coefficient …ij a ?, the variety of the resources condition…i b ?and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition…i b ?in the economic management …shadow price problem?. Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resources condition ，cost coefficient
线性规划问题及灵敏度分析在LINGO软件中的实现 （龙少波李东阳罗添元） 一、问题的提出： 某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所，已知这些动物的生长对饲 料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需 要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲 料1kg所含各种营养成分和成本如下表所示，如果每个小动物每周食用饲料不超 过52kg，才能满足动物生长需要。 A1 A2 A3 A4 A5 营养最 低 要求蛋白质(g) 0.3 2 1 0.6 1.8 60 矿物质(g) 0.1 0.05 0.02 0.2 0.05 3 维生素(mg) 0.05 0.1 0.02 0.2 0.08 8 成本（元/ kg）0.2 0.7 0.4 0.3 0.5 问题： 1．求使得总成本最低的饲料配方？ 2．如果另一个动物研究对蛋白质的营养要求变为59单位， 但是要求动物的价格比现在的价格便宜0.3元，问该养殖所 值不值得接受？ 3．由于市场因素的影响，X2的价格降为0.6元每千克， 问是否要改变饲料配方？ 二、建立线性规划数学模型 解答： （1）设需要饲料A1, A2, A3, A4分别为X1, X2, X3, X4kg，则建立线 性规划数学模型如下： 目标函数：MinS=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.5X5 约束条件：0.3X1+2X2+X3+0.6X4+1.8X5>=60 0.1X1+0.05X2+0.02X3+0.2X4+0.05X5>=3 005X1+0.1X2+0.02X3+0.2X4+0.08X5>=8
线性规划练习题 1、用单纯形表求解以下线性规划问题 (1) max z= x1-2x2+x3 s.t. x1+x2+x3≤12 2x1+x2-x3≤ 6 -x1+3x2≤9 x1, x2, x3≥0 (2) min z= -2x1-x2+3x3-5x4 s.t x1+2x2+4x3-x4≤ 6 2x1+3x2-x3+x4≤12 x1+x3+x4≤ 4 x1, x2, x3, x4≥0 (3) min z= 3x1-x2 s.t. -x1-3x2≥-3 -2x1+3x2≥-6 2x1+x2≤8 4x1-x2≤16 x1, x2≥0 二、配料问题 某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。这四种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍（Ni）的含量（%），这四种原料的单价以及新的不锈钢材料G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含量（%）如下表所示： 表错误！文档中没有指定样式的文字。-1 设熔炼时重量没有损耗，要熔炼成100公斤不锈钢G，应选用原料T1，T2，T3和T4各多少公斤，使成本最小。 灵敏度分析练习题 一、已知以下线性规划问题
max z= 2x1+x2-x3 s.t. x1+2x2+x3≤8 -x1+x2-2x3≤4 x1, x2, x3≥0 及其最优单纯形表如下： z x1 x6 （1）求使最优基保持不变的c2=1的变化范围。如果c2从1变成5，最优基是否变化，如果变化，求出新的最优基和最优解。 （2）对c1=2进行灵敏度分析，求出c1由2变为4时的最优基和最优解。 （3）对变量x3在第二个约束中的系数a23=-2进行灵敏度分析，求出a23从-2变为1时新的最优基和最优解。 （4）增加一个新的变量x6，它在目标函数中的系数c6=4，在约束条件中的系数向量为a6 1 2 = ? ? ? ? ? ?， 求新的最优基和最优解。 （5）增加一个新的约束x2+x3≥2，求新的最优基和最优解。 （6）设变量x1在约束条件中的系数向量由 1 1 - ? ? ? ? ? ?变为 -? ? ? ? ? ? 1 2 ，求出新的最优基和最优解。 二、某工厂用甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D四种产品，每种产品消耗原料定额以及三种原料 的数量如下表所示: （1）求使总利润最大的生产计划和按最优生产计划生产时三种原料的耗用量和剩余量。 （2）求四种产品的利润在什么范围内变化，最优生产计划不会变化。 （3）求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本，并解释最优生产计划中有的产品不安排生产的原因。 （4）在最优生产计划下，哪一种原料更为紧缺?如果甲原料增加120吨，这时紧缺程度是否有变化?
线性规划模型的应用与灵敏度分析 第一章线性规划问题 1.线性规划简介及发展 线性规划（Linear Programming）是运筹学中研究最早、发展最快、应用广泛、方法成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写为LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面，为合理利用有限的人力、物力、财力等资源做出的最优决策，提供科学的依据。 线性规划及其通用解法——单纯形法是由美国G.B.Dantzig在1947年研究空军军事规划提出来的。法国数学家傅里叶和瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。1939年苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视[1]。1947年美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力[2]。1951年美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年莱姆基提出对偶单纯形法，1954年加斯和萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年塔克提出互补松弛定理，1960年丹齐克和沃尔夫提出分解算法等。线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究[3]。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。1979年苏联数学家提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。建立线性规
实验二___线性规划灵敏度分析
实验二线性规划模型及灵敏度分析 （一）实验目的：掌握使用Excel软件进行灵敏度分析的操作方法。 （二）实验内容和要求：用Excel软件完成案例。 （三）实例操作： （1）建立电子表格模型； （2）使用Excel规划求解功能求解问题并生成“敏感性报告”； （3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新规划求解，并对结果提出你的看法； （4）在Word文档中书写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告和结果分析等。 案例1 市场调查问题 某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。该厂对市场调查公司提出了以下要求： （1）共对500个家庭进行调查；
（2）在被调查家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭； （3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，对其余家庭可采用口头调查； （4）在有孩子的被调查家庭中，至少对50%的家庭采用问卷式书面调查； （5）在没有孩子的被调查家庭中，至少对60%的家庭采用问卷式书面调查。 对不同家庭采用不同调查方式的费用如下表所示： 市场调查费用表 家庭类型调查费用（元） 问卷式书面调查口头调查 有孩子的家庭50 30 没有孩子的家庭40 25 问：市场调查公司应如何进行调查，使得在
满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？ 案例2 经理会议建议的分析 某公司生产三种产品A1，A2，A3，它们在B1，B2两种设备上加工，并耗用C1，C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的每天最多可使用量如下表所示： 生产三种产品的有关数据 资源产品A1 产品A2 产品A3 每天最多可使用量 设备B1(min) 1 2 1 430 设备B2(min) 3 0 2 460 原料C1(kg) 1 4 0 420 原料C2(kg) 1 1 1 300 每件利润(元) 30 20 50
实验报告 课程名称：运筹学 实验项目名称：应用Excel对线性规划进行灵敏度分析班级与班级代码： 实验室名称（或课室）： 专业： 任课教师： 学号： 姓名： 实验日期：2010 年10 月18 日 广东商学院教务处制
姓名实验报告成绩 评语： 指导教师（签名） 年月日说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。
实验二应用Excel对线性规划的灵敏度分析 一、实验目的与要求 1.了解线性规划模型中各参数的变化对最优解的影响。 2.会用Excel中提供的敏感性报告对目标函数系数进行灵敏度分析。 3.会用Excel中提供的敏感性报告对约束条件右端值的灵敏度分析。 二、实验步骤与方法 1.可以在电子表格中采取试验的方法，不断增加或减少的 c值，直到最优 j 解发生改变，以找到最优解发生变化时对应的 c值.但是，这样计算太 j 麻烦了。 2.在Excel求得最优解之后，在其右边列出了它可以提供的三个报告。 选择第二项敏感性报告的选项，就可以得到灵敏度的分析报告，它显示在模型的工作表之前。 3.当几个价值系数同时变动时，注意使用百分之百法则。 4.对约束条件限定数的灵敏度分析同上：选择第二项“敏感性报告”的 选项，就可以得到灵敏度的分析报告，其中“约束”表即是。 5.若几个约束限定数同时变动，也要注意使用百分之百法则。 三、实验内容 第1题． 医院放射科目前可以开展X线平片检查和CT检查业务，现拟购买磁共振仪，以增A 设磁共振检查业务。为此A医院收集了有关信息，从医院获取最大利润角度出发，问是否应购买磁共振仪？经过资料收集，A医院估计今后放射科如果开展此3项业务，在现有放射科医务人员力量和病人需求的情况下，每月此3项业务的最多提供量为1800人次。平均每人次检查时间、每月机器实际可使用时间、平均每人次检查利润如下表 放射科业务 项目X线平片检查CT检查磁共振检查平均每人次检查时间（小时/次）0.1 0.25 0.5 每月机器实际可使用时间（小时）300 120 120 平均每人次检查利润（元/次）20 60 10
基于线性规划的灵敏度分析问题的研究 摘要：本文主要研究的是线性规划的灵敏度分析问题。讨论线性规划价值系数和资源系数中单个系数在什么区间变化时能保证最优解或最优基不变，以及多系数同时变化时最优解或者最优基不变的判定定理。最后通过实例进行说明验证。 本文对线性规划的灵敏度分析问题进行研究，主要内容如下： 第一章主要是简单的介绍了线性规划的发展历程，在线性规划的灵敏度分析的含义，灵敏度分析在其他方面的应用。 第二章，技术系数矩阵A发生变化时，最优解的变化。举例验证，应用LINGO 软件，进行灵敏度分析，确定在什么范围内，最优解不变。 第三章，资源向量b发生变化时，讨论最优解的变化情况。并举例验证其理论知识，应用LINGO软件，确定在什么变化范围内，最优解不变。 第四章，价值系数C发生变化时，最优解的变化情况。举例验证其理论实施过程，应用LINGO软件，分析其灵敏度。 第五章，对本文研究内容进行总结，指出一些不足之处，并提出进一步研究的方向。 关键词：运筹学；线性规划；灵敏度分析；技术系数；资源向量；价值系数；LINGO
The inventory model under uncertain demand Abstract:
第一章 绪论 随着运筹学的发展，线性规划方面的知识也得到了逐步的完善，并广泛地运用到实际的生活中，尤其给经济管理和决策提供了强有力的理论根据．管理部门和企业在进行生产或投资决策时，一般通过建立数学模型和对模型的求解，做出具体的决策方案．在建立模型和求解的过程中，都是以价值系数j c 、资源系数j b 和消耗系数ij a 为基础的，这些数据不但难以确定，而且市场价格的变动、资源供应的波动、工人技术的提高、设备的改进等，都会使这些数据变动．本文讨论线性规划价值系数和资源系数中单个系数在什么区间变化时能保证最优解或最优基不变，以及多系数同时变化时最优解或者最优基不变的判定定理。 线性规划发展史 1）1939年，前苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法。 2）美国学者希奇柯克（Hitchcock ，1941）独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题。 3）1947年，美国学者丹捷格（Dantzig ）提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展。 灵敏度分析的概念 研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。 灵敏度分析的应用领域 线性规划中灵敏度分析 对于线性规划问题： 1 max n j j j X c x ==∑公式
实验一 线性规划问题及灵敏度分析 实验目的：了解WinQSB 软件在Windows 环境下的文件管理操作，熟悉软件界面内容， 掌握操作命令。用WinQSB 软件求解线性规划，掌握winQSB 软件写对偶规划，灵敏度分析和 参数分析的操作方法。 实验每组人数及学时：组人数1人，学时数：4学时 实验环境：装有WinQSB 软件的个人电脑 实验类型：验证性 实验内容： 一、 用WinQSB 软件求解线性规划的方法： 操作步骤： 1.将WinQSB 文件复制到本地硬盘；在WinQSB 文件夹中双击setup.exe 。 2.指定安装WinQSB 软件的目标目录（默认为C:\ WinQSB ）。 3. 安装过程需输入用户名和单位名称（任意输入），安装完毕之后，WinQSB 菜单自动 生成在系统程序中。 4.熟悉WinQSB 软件子菜单内容及其功能，掌握操作命令。 5．求解线性规划。启动程序 开始→程序→WinQSB→Linear and Integer Programming 。 6．学习例题 点击 Problem→lp.lpp, 点击菜单栏Solve and Analyze 或点击工具栏中 的图标用单纯形法求解，观赏一下软件用单纯形法迭代步骤。用图解法求解，显示可行域， 点击菜单栏Option →Change XY Ranges and Colors，改变X1、X2的取值区域（坐标轴的 比例），单击颜色区域改变背景、可行域等8种颜色，满足你的个性选择。 下面结合例题介绍WinQSB 软件求解线性规划的操作步骤及应用。 用WinQSB 软件求解下列线性规划问题： 1234 max 657Z x x x x =+++ s.t. 12341 2341231234 312342692608521507300 01020,,0,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤??-+-≥??++=?-≥??-≥?≤≤??≥?无约束 解：应用WinQSB 软件求解线性规划问题不必化为标准型，如果是可以线性化的模型则先 线性化，对于有界变量及无约束变量可以不用转化，只需要修改系统的变量类型即可，对于 不等式约束可以在输入数据时直接输入不等式符号。 （1）启动线性规划（LP ）和整数规划（ILP ）程序 点击开始→程序→WinQSB →Linear and Integer Programming ，显示线性规划和整数规 划工作界面（注意菜单栏、工具栏和格式栏随主窗口内容变化而变化）。这一程序解决线性 规划（LP ）以及整数线性规划（ILP ）问题。
摘要 线性规划是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最少或获得的利益最大。它的研究对象是有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高；某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。它要解决的问题的目标可以用数值指标反映，对于要实现的目标有多种方案可以选择，有影响决策的若干约束条件。本文主要介绍了线性规划模型在实际生活中的应用，其中包括解线性方程组的各种方法，如图解法、单纯形法、以及对偶单纯形法等等，以及简单介绍了有关灵敏度分析的方法。由于许多问题仅仅利用线性规划的方法还不足以解决，因此用到了对偶理论，也因此引出了对偶单纯形法。对偶规划是线性规划问题从另一个角度进行研究，是线性规划理论的进一步深化，也是线性规划理论整体的一个不可分割的组成部分。灵敏度分析是对线性规划结果的再发掘，是对线性规划理论的充要应用，本文以实例验证灵敏度分析的实际应用。 关键词：线性规划；单纯形法；对偶单纯形法
ABSTRCT Linear programming is an effective method to solve the optimal allocation of scarce resources, make the cost of pay or receive at least the interests of the largest. Its object of study is the human and financial resources, resource conditions, how to reasonably arrange to use, benefit is supreme; A task is determined, how to arrange people, goods, and make it the most provinces. It to the target can be used to solve the problem of the numerical indicators, to achieve a variety of solutions to choose from, have an impact on the decision of some constraint conditions. Through the subject design, can deepen the operations research, optimization method, linear programming, nonlinear programming, to improve the integrated use of knowledge, improve the ability of using the sensitivity analysis to solve various practical problems. This article mainly introduces the application of linear programming model in real life, including the various methods of solving linear equations, as shown in figure method, simplex method and dual simplex method, etc., and simply introduces the method of sensitivity analysis. Due to many problems just by using the method of linear programming is not enough to solve, so use the duality theory, thus raises the dual simplex method. The dual programming is linear programming problem from another Angle, is the further deepening of linear programming theory, linear planning theory as a whole is also an integral part of. Sensitivity analysis is to discover, the result of the linear programming is the charge to application of linear programming theory. Keywords: linear programming；Simplex method；The dual simplex method
lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析 注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。 一、用lingo 软件求解线性规划 例1： m a x 23..4310 3512,0 z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥ 在模型窗口输入： model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10; 3*x+5*y<12; ! the optimal value is :7.454545 ; End 如图所示： 运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）： Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值） Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2（迭代次数）
Variable （最优解） Value Reduced Cost X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.454545 1.000000 2 0.000000 0.9090909E-01 3 0.000000 0.5454545 例2： 12123124125m a x 54.. 390280450 z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥ 在模型窗口输入： model: max=5*x1+4*x2; x1+3*x2+x3=90; 2*x1+x2+x4=80; x1+x2+x5=45; end 运行（solve ）结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 215.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 35.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 25.00000 0.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 215.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 3.000000 例3
浅谈线性规划问题的灵敏度分析 符龙飞 2016年5月15日
摘要 线性规划是运筹学的一个重要的分支，本文主要讨论有关线性规划问题的灵敏度分析，灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析，在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.因此本文讨论在实际问题中当技术系数、资源系数、价值系数以及增加一个变量和增加一个约束条件时，原问题最优解的变化，对原线性规划问题进行灵敏度分析. 关键词：线性规划；灵敏度；最优解
Abstract Linear programming is an important branch of operational research, this paper mainly discusses the sensitivity analysis of linear programming, sensitivity analysis of the definition refers to the analysis of the sensitivity of its own because of changes in ambient conditions and displayed on things or to make the whole system of linear programming problems, we assume that the technology of data resources the data value and data vector or matrix elements in the known constant, but in the actual problems in these data are just some forecast data and estimates, the establishment of a linear programming model to deal with practical problems, will not change the data, is not very accurate, may be modified in this paper.When discussing technical factors, in the actual problem of resource factor, value factor and add a variable and add a constraint condition, the original problem of optimal solution Sensitivity analysis of the original linear programming problem. Keywords: Linear programming; sensitivity; optimal solution
实验二线性规划模型及灵敏度分析（一）实验目的：掌握使用Excel软件进行灵敏度分析的操作方法。 （二）实验内容和要求：用Excel软件完成案例。 （三）实例操作： （1）建立电子表格模型； （2）使用Excel规划求解功能求解问题并生成“敏感性报告”； （3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新规划求解，并对结果提出你的看法； （4）在Word文档中书写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告和结果分析等。 案例1 市场调查问题 某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。该厂对市场调查公司提出了以下要求： （1）共对500个家庭进行调查； （2）在被调查家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭； （3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，对其余家庭可采用口头调查； （4）在有孩子的被调查家庭中，至少对50%的家庭采用问卷式书面调查； （5）在没有孩子的被调查家庭中，至少对60%的家庭采用问卷式书面调查。 对不同家庭采用不同调查方式的费用如下表所示： 市场调查费用表 家庭类型调查费用（元） 问卷式书面调查口头调查 有孩子的家庭50 30 没有孩子的家庭40 25 问：市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？ 案例2 经理会议建议的分析 某公司生产三种产品A1，A2，A3，它们在B1，B2两种设备上加工，并耗用C1，C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的每天最多可使用量
如下表所示： 生产三种产品的有关数据 资源产品A1 产品A2 产品A3 每天最多可使用量设备B1(min) 1 2 1 430 设备B2(min) 3 0 2 460 原料C1(kg) 1 4 0 420 原料C2(kg) 1 1 1 300 每件利润(元) 30 20 50 已知每天对产品A2的需求不低于70件，对A3不超过240件。经理会议讨论如何增加公司收入，提出了以下建议： （1）产品A3提价，使每件利润增至60元，但市场销量将下降为每天不超过210件； （2）原材料C2是限制产量增加的因素之一，如果通过别的供应商提供补充，每千克价格将比原供应商高20元； （3）设备B1和B2每天可各增加40min的使用时间，但需相应支付额外费用各350元； （4）产品A2的需求增加到每天100件； （5）产品A1在设备B2上的加工时间可缩短到每件2min，但每天需额外支出40元。 分别讨论上述各条建议的可行性，哪些可直接利用“敏感性报告”中的信息，哪些需要重新规划求解？
线性规划与灵敏度分析 1. 已知线性规划问题 112233 13111211234523212221001012345j max z c x c x c x a a a b x x x x x a a a b s.t. x ,j ,,,,=++????????????? ++++=?????????????????????????? ?≥=? 用单纯形法求解，得到最终单纯性表如下。 (1）.求ａ11、a １2、ａ1３、a 21、a 22、a 23、b 1、b 2的值; (2).求ｃ１、c 2、ｃ3的值． 解：（1)由题意可设初始单纯形表的增广矩阵为 ()131112 1232122 21001a a a b A B a a a b ?? =? ??? 最终单纯形表的增广矩阵为 ()11311 1 01 2 221 101 222 A B ??-??=??-?? , 对矩阵()11A B 作初等行变换，使其第4,5列组成单位矩阵, ()22311 1 012221 101222 92021131410825 1201551201522A B ?? -????-?? ????-????→→???????? = 由单纯形法的算法法则可知,()22A B 即为()A B ,所以ａ1１＝９/2、ａ12=1、a 13=4、 a 21=５/２、a 22=1、a 23=2、 b 1=８、b 2=5. (２).由检验数的计算公式可知
132132232 3237 020402248 c c c /c c /c c c /c c -+=-=??? ? -+=?=???? --+=-=??（）（）（） ２.已知线性规划问题