现代控制理论知识点复习

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第一章 控制系统的状态空间表达式

１．

状态空间表达式 n 阶 Du

Cx y Bu Ax x +=+=&1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；

Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；

C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，

D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２． 状态空间描述的特点

①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而

状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：

a 选择状态变量；

b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；

c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）

已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，

将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４． 状态空间表达式的建立

① 由系统框图建立状态空间表达式：

a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；

b 每个积

分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。

② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上

的电流作为状态变量。

利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，

即实现问题。实现是非唯一的。

方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。

注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。

c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。

5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项

式的系数也是系统的不变量。

特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。

状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根

时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设3阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量

1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。

系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟

结构图→状态空间表达式。

6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W

D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关

系。

状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。

子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法：画出系统

结构图，理清关系，用分块矩阵表示。

第二章 控制系统状态空间表达式的解

一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x

=&）的解：0)(x e t x At = 二．矩阵指数函数——状态转移矩阵

1．At e t =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。5个基本性质。

2．At e 的计算：

a 定义；

b 变换为约旦标准型 AT T J 1)(-=Λ或,11--Λ=T Te T Te e Jt t At 或

c 用拉氏反变换])[(11---=A sI L e At 记忆常用的拉氏变换对

2

222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1

)(1;1)(ωωωωωδ+?+?+??+????-+-s s t s t a s te s n t a s e s t s t t at n n at d 应用凯莱-哈密顿定理

三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x +=&）的解：τττφφd Bu t x t t x t )()()0()()(0

?-+=。可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求At e t =)(φ，然

后将B 和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。

第三章 线性控制系统的能控性和能观性

一．能控性及能观性定义（线性连续定常）

二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）

判别方法（一）：通过线性变换 Bu Ax x +=& Bu T ATz T z

11--+=→& 1．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能控性充要条件：B

T 1-没有全为0的行。 变换矩阵T 的求法。

2．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：

①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的B T 1-中最后一行元素没有全为0的。 ②B T 1-中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。变换矩阵T 的求法。

这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、B T 1-。 判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别

Bu Ax x +=& 能控的充要条件是 能控性判别矩阵),,,(12B A B A AB B M n -=Λ的秩为n 。

在单输入系统中，M 是一个n n ?的方阵；

而多输入系统，M 是一个nr n ?的矩阵，可通过)(T MM rank rankM =

三．线性定常系统的能观性判别

判别方法（一）：通过线性变换 Cx y Ax x ==& →TCz

y ATz T z ==-1& １．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能观性充要条件：

TC 中没有全为0的列。 变换矩阵T 的求法。

２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：

①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC 中第一列元素没有全为０的。 ②

对应于互异特征根部分，对应的TC 中各列元素没有全为０的。变换矩阵T 的求法。

这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、TC 。 判别方法（二）：直接从Ａ，C 判别

能观性的充要条件是 能观性判别矩阵??????

? ??=-1n CA CA C N M 的秩为n 。 在单输入系统中，N 是一个n n ?的方阵；

而多输入系统，N 是一个n nm ?的矩阵，可通过)(T MM rank rankM =

六．能控性与能观性的对偶原理

１．若T A A 12=，T C B 12=，T B C 12=，则),,(1111C B A ∑与),,(2222C B A ∑对偶。

对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。

２．1∑与2∑对偶，则1∑能控性等价于2∑能观性，1∑能观性等价于2∑能控性。

七．能控标准型和能观标准型

对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观

标准型比较方便。

１． 能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）

①判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。③求

变换矩阵?????

???????=-11111n c A p A p p T M ，111],,][1,,0,0[--=B A Ab b p n ΛΛ。④求11-c T ，计算?????

???????==-10011M b T b c ，1c cT c =，也可以验证是否有111c c AT T A -=。 ２． 能观标准Ⅱ型

①判别系统的能观性。②计算特征多项式0111||a a a A I n n n +++=---λλλλΛ，即可写出A 。③求

变换矩阵[]

11112,,,T A AT T T n o -=Λ，?????????????????????????=--100111M M n cA cA c T 。④求02T ，计算b T b 102-=，[]10002Λ==cT c ，也可以验证是否有21

2o o AT T A -=。 ３． 如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。 0

1221110

12211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=---------ΛΛββββ 能控标准Ⅰ型：????????????????----=-121

0100

0010

0001

0n a a a a A ΛΛM ΛM

M ΛΛ ????????????????=1000M b ][110-=n c βββΛ 能观标准Ⅱ型：????????????????----=-1210100010001000n a a a a A ΛM ΛM

M M Λ

Λ

Λ

????????????????=--1210n n b ββββM ]100[Λ=c

八．线性系统的结构分解

1．按能控性分解（状态不完全能控，即n n rankM <=1），通过非奇异变换x

R x c ?=完成。 ()n n c R R R R R ΛΛ121=，前1n 个列矢量是M 中1n 个线性无关的列，其他列矢量保证c

R 非奇异的条件下是任意的。

2．按能观性分解（状态不完全能观，即n n rankN <=1），通过非奇异变换x

R x o ?=完成。

?????????

? ??''''=-n n o R R R R R M M

1211，前1n 个行矢量是N 中1n 个线性无关的行，其他行矢量保证1-o R 非奇异的条件下是任意的。

3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，

但直观。

步骤：①首先按能控性分解（c x 能控状态，c x 不能控状态）。②对不能控子系统按能观性分解（o

c x 不能控能观状态，o c x 不能控不能观状态）。③将能控子系统按能观性分解（co x 能控能观状态，o c x 能控不能观状态）。④综合各步变换结果，写出最后的表达式。

另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。

九．传递函数阵的实现问题

1．实现的定义：由)(s W 写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问

题。

条件：①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是s 的真有理分式。

注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵)(lim s W D s ∞

→=。

2．能控标准型和能观标准型实现

单入单出系统，)(s W 是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能

观标准2型实现。

3．最小实现（维数最小的实现）

Cx

y Bu Ax x =+=&为)(s W 最小实现的充要条件是),,(C B A ∑是完全能控能观的。 步骤：对给定的)(s W ，初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是

否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能

控能观部分，即为最小实现。

注意：传递函数阵)(s W 的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。

十．传递函数)(s W 中零极点对消与能控性和能观性之间的关系

对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是

传递函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是

最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的

（p147 例3-19）。

对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控

还是不能观，还是既不能控又不能观。

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

一． 稳定性的定义

李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。

1．平衡状态

),(t x f x

=&为齐次状态方程。满足对所有t ，都有0),(≡t x f e 成立的状态矢量e x 称为系统的平衡状态。

稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。

2．稳定性的几个定义

①李雅普诺夫意义下稳定（相当于自控里的临界稳定）；②渐近稳定（相当于自控里的稳定）；

③大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；④不稳定。

二． 李雅普诺夫第一法（间接法）

1．线性定常系统的稳定判据

状态稳定性：平衡状态0=e x 渐近稳定的充要条件是A 的所有特征值具有负实部。

输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于s 的左半平面。

2．非线性系统的稳定性

线性化处理。x A x ?=?&；e

x x x f

A =??=，若A 的所有特征值具有负实部，则原非线

性系统在平衡状态e x 渐近稳定。若A 的所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态e x 不稳定。若若A 的所有特征值至少有实部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。

三．李雅普诺夫第二法（直接法） 借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做

出判断。

1．预备知识

)(x V 是由n 维矢量x 定义的标量函数，且在0=x 处，恒有0)(=x V ，对任何非

零矢量x ，如果0)(>x V ，则称之为正定；

如果0)(

0)(≤x V 则称之为半负定或非正定；如果0)(>x V 或0)(

Px x x V T =)(为二次型标量函数，P 为实对称阵。要判别)(x V 的符号只要判别P

的符号即可。

P 的定号判据（希尔维特斯判据）

：首先求出P 的各阶顺序主子式i ?，若所有的0>?i ，则P （)(x V ）正定；若偶数=i 的0>?i ，奇数=i 的0

2．李雅普诺夫函数

对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数)(x V ，而)(x V

&是负定的，则这个系统是渐近稳定的，这个标量函数)(x V 叫做李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫第二法的关键问题就是寻找李雅普诺夫函数)(x V 的问题。

３．稳定性判据

①设)(x f x

=&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(

&，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当∞→x 时，∞→)(x V ，则系统是大范围渐近稳定的。

②设)(x f x

=&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(≤x V

&，但除0≡x 外，即0≠x ，)(x V &不恒等于０，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当∞→x 时，∞→)(x V ，则系统是大范围渐近稳定的。

③设)(x f x

=&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(≤x V

&，但任意的0≠x ，)(x V &恒等于０，则称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。

④设)(x f x

=&，平衡状态为0=e x ，如果存在标量函数)(x V 是正定的，即0=x 时，有0)(=x V ，0≠x 时，有0)(>x V ，且满足0)(>x V

&，，则称原点平衡状态是不稳定的。 需要注意：①这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺

夫函数来证明原点的稳定性，不能说明原点一定是不稳定的。②如果)(x V 是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。③)(x V 最简单的形式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。④构造)(x V 需要较多技巧。

四．李雅普诺夫方法在线性系统中的应用——线性定常连续系统渐近稳定判据

定理：Ax x

=&，若A 是非奇异的，原点0=e x 是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵Q ，李雅普诺夫方程T A P PA Q +=-，存在唯一的对称正定解P 。

该定理等价于Ａ的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。

步骤：选定正定矩阵Q ，通常为I Q =，代入李雅普诺夫方程，确定出P ，判断是

否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。

五．非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析——雅可比矩阵法

步骤：)(x f x =&，写出)(x f ，计算雅可比矩阵x

f x J ??=)(，对给定正定矩阵P （通常I P =），)]()([)(x PJ P x J x Q T +-=为正定的。并且)()()(x Pf x f x V T =为系统的一个李雅普诺夫函数。

第五章 线性定常系统的综合

一．线性反馈控制系统的基本结构及其特性

1．状态反馈 将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入

相加，作为受控系统的控制输入。K 称为状态反馈增益阵，n r ?。 设原受控系统),,(0C B A =∑，Ｄ=0。

状态反馈闭环系统的状态空间表达式 Cx

y Bv x BK A x =++=)(& 简称),,(C B BK A K +=∑

与原受控系统),,(0C B A =∑比较，状态反馈增益阵Ｋ的引入，并不增加系统的维

数，但可以通过Ｋ的选择改变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。

2．输出反馈 由输出端y 引入输出反馈增益阵H （m r ?），然后反馈到输入端与参考输入相

加，作为受控系统的控制输入。状态空间表达式为 Cx

y Bv x BHC A x =++=)(& 简称),,(C B BHC A H +=∑

通过Ｈ的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由度远比Ｋ

小（通常n m <）。

３．从输出到状态变量导数x &的反馈 从输出y 引入反馈增益阵G （m n ?）到状态变量的

导数x &，所得状态空间表达式为 Cx

y Bu x GC A x =++=)(& 简称),,(C B GC A H +=∑ 通过Ｇ的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。

以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，

反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈。

４．闭环系统的能控性与能观性

a 状态反馈不改变受控系统),,(0C B A =∑的能控性，但不保证系统的能观性不变。

b 输出反馈不改变受控系统),,(0C B A =∑的能观性，但不保证系统的能控性不变。

二．极点配置问题 就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期

望的位置，以获得所希望的动态性能。 只讨论单输入单输出系统

１．采用状态反馈 对系统),,(0c b A =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能控。

给定),,(0c b A =∑，给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法：

⑴能控规范型法，适合于3≥n 。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②通过线

性变换x T x c 1=化为能控标准１型，得到),,(c b A =∑。③加入状态反馈增益矩阵],,,[110-=n k k k K Λ,得到闭环系统),,(c b K b A K +=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(K b A I f +-=λλ。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项

式)()(**i f λλλ-∏=。⑤将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到],,,[110-=n k k k K Λ。⑥把对应与∑的K ，通过11-=c T K K ],,,[110-=n k k k Λ。⑦进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，3≤n ，可直接由反映物理系统的A,b 矩阵求状态反馈增益矩阵

],,,[110-=n k k k K Λ，不通过非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②加入状态反馈增益矩阵],,,[110-=n k k k K Λ,得到闭环系统),,(c b bK A K +=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(bK A I f +-=λλ。③由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式

)()(**i f λλλ-∏=。④将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到],,,[110-=n k k k K Λ。⑤进一步

画出模拟结构图。

注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空间描

述，然后做其他工作。

2．采用输出反馈

不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点。

３．采用从输出到x &的反馈 对系统),,(0c b A =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能观。

设计0∑从输出到x &的反馈阵Ｇ的问题就是其对偶系统0~∑设计状态反馈阵Ｋ的问

题。

方法：（１）能观标准型法，适合于3≥n 。①首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈Ｇ。②通过线性变换x T x o 2=化为能观标准２型，得到),,(c b A =∑。③加入输出反馈增益矩阵T n g g g G ],,,[110-=Λ,得到闭环系统),,(c b c G A G +=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(c G A I f +-=λλ。④由给定的期望极点，求出

期望的闭环特征多项式)()(**i f λλλ-∏=。⑤将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到

T n g g g G ],,,[110-=Λ。⑥把对应与∑的G ，通过G T G O 2= ],,,[110-=n g g g Λ。⑦进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，3≤n ，可直接由反映物理系统的A,c 矩阵求状态反馈增益矩阵

],,,[110-=n g g g G Λ，不通过非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能观，

是，则存在输出反馈Ｇ。②加入从输出到x &的反馈增益矩阵],,,[110-=n g g g G Λ,得到闭

环系统),,(c b Gc A G +=∑状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(Gc A I f +-=λλ。③由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式

)()(**i f λλλ-∏=。④将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到],,,[110-=n g g g G Λ。⑤进一步

画出模拟结构图。

三．系统镇定问题

所谓系统镇定，是对受控系统),,(0C B A =∑通过反馈使其极点均具有负实部，保

证系统为渐近稳定。

镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况，它只要求把闭环极点配置在根平面的

左侧，而并不要求将闭环极点严格地配置在期望极点上。

状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。

输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中能控能观子系统是输出反馈能镇定的，

其余子系统是渐近稳定的。

输出到x &的反馈实现镇定的充要条件是不能观子系统为渐近稳定。

五．状态观测器

作用：闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反馈。但

状态变量并不是都能直接检测，有些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律。

１．定义：动态系统∑?以0

∑的输入u 和输出y 作为输入量，产生一组输出量x ?逼近于x ，即0|?|lim =-∞

→x x t ，则称∑?为0∑的一个状态观测器。构造原则：0∑必须是完全能观或不能观子系统是渐近稳定的；∑

?的输出x ?应以足够快的速度渐近于x ；∑?在结构上尽可能简单（具有尽可能低的维数），以便于物理实现。

２．等价性指标

动态系统∑? x

c y Bu x A x ???=+=& 原系统0∑ cx y Bu Ax x =+=& )?(?x x A x

x -=-&& 得到)?(?00x x e x x At -=- 只要系统是稳定的，即Ａ的特征值具有负实部，就可做到x

?与x 是稳态等价的。 ３．重构状态方程

原因：①系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有x

?逼近于x ；②不一定能保证Ａ的特征值均具有负实部。 克服这个困难，用对输出量的差值y

y ?-的测量代替对状态误差x x ?-的测量，当0|?|lim =-∞→x x t ，有

0|)?(|lim |?|lim |?|lim =-=-=-∞

→∞→∞→x x c x c cx y y t t t 。 同时，引入反馈阵Ｇ，使系统的特征值具有负实部。

状态重构方框图为p213 5.16(a) 要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。

状态观测器方程为x

C y Bu Gy x GC A y y G Bu x A x ???)()?(??=++-=-++=& 记为),,(?G B GC A -=∑

这里的G 称为输出误差反馈矩阵。可以证明，如果GC A -的特征值具有负实部，

那么状态误差x

x ?-将逐渐衰减到０，即估计状态x ?逼近于实际的状态x 。逼近的速度取决于G 的选择，即GC A -的特征值的配置。

４．观测器的存在性

对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。

观测器存在的充要条件是0∑不能观子系统是渐近稳定的。

５．观测器的极点配置

定理：线性定常系统),,(0C B A =∑，其观测器),,(?G B GC A -=∑

可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充要条件是),,(0C B A =∑完全能观测。

极点配置方法：（1）能观标准型法，适合于3≥n 。①首先判断是否完全能观，是，存在观测器可以任意极点配置。②通过线性变换x T x =化为能观标准２型，得到),,(c b A =∑。③加入输出误差反馈阵T n g g g G ],,,[110-=Λ,得到闭环系统状态空间表达式)?)(?y G u B x c G A x

++-=&，求出对应的闭环特征多项式|)(|)(c G A I f --=λλ。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式)()(**i f λλλ-∏=。⑤将)(λf 与)(*λf 比

较，即可得到T n g g g G ],,,[110-=Λ。⑥把对应与∑的G ，通过G T G =

],,,[110-=n g g g Λ。⑦得观测器方程，)????)(?y y G Bu x A x Gy Bu x Gc A x

-++=++-=（或&&，进一步画出模拟结构图。

⑵当阶次较低时，3≤n ，可由特征值不变原理求状态反馈增益矩阵],,,[110-=n g g g G Λ，不通过

非奇异变换，使设计工作简单。①首先判断是否完全能观，是，则存在观测器可以任意极点配置。②引入输出误差反馈矩阵],,,[110-=n g g g G Λ,得到观测器系统

),,(?G B Gc A -=∑

状态空间表达式Gy Bu x Gc A x ++-=?)(?&。③求出对应的闭环特征多项式|)(|)(Gc A I f --=λλ。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式

)()(**i f λλλ-∏=。⑤将)(λf 与)(*λf 比较，即可得到],,,[110-=n g g g G Λ。⑤得观测

器方程，进一步画出模拟结构图。

六．利用状态观测器实现状态反馈的系统（带观测器的状态反馈闭环系统）

1．系统的结构与状态空间表达

结构框图要非常熟悉

前提：受控系统完全能控能观，状态反馈闭环系统和观测器都可以任意极点配置。

受控系统),,(0C B A =∑ cx

y Bu Ax x =+=& ＊１式 状态观测器),,(G B GC A G -=∑ x C y

Bu Gy x GC A y y G Bu x A x ???)()?(??=++-=-++=& ＊２式 反馈控制率x

K v u ?+= ＊３式 整理得整个闭环系统的状态空间表达式Cx

y Bv Gy x GC A GCx x

Bv BKx Ax x

=++-+=++=?)(?&& 也可写成矩阵形式 显然，这是一个2n 维的闭环控制系统。

2．闭环系统的基本性质

（1）分离性 复合系统（由观测器构成的状态反馈闭环系统）其特征多项式等于矩阵BK A +和

GC A -特征多项式的乘积。即闭环系统的极点等于直接状态反馈（BK A +）的极点和状态观测器（GC A -）的极点总和，且相互独立。所以输出误差反馈阵G 和状态反馈阵K 可以分别进行设计。

（2）传递函数矩阵的不变性

可以推出复合系统的传递函数为B BK A sI C s W 1)]([)(-+-=，等于直接状态反馈闭

环系统的传递函数。或者说它与采用观测器反馈无关。

（３）观测器反馈与直接状态反馈的等效性

稳态时，两者等价。

选择Ｋ，可以改变闭环系统的极点到期望极点，从而改善系统性能。

选择Ｇ，可以改变观测器的极点，从而加速使状态误差x

x ?-衰减到０。一般取观测器的极点比闭环系统的期望极点（（BK A +）的极点）略负，既保证状态误差有较快的衰减速度，又不致引人更多的噪声干扰。

３．设计步骤(只给出低阶系统的设计步骤)：

①判断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，则状态反馈阵Ｋ和观测器输出误差反馈

阵Ｇ存在，且闭环系统和观测器极点可以任意配置。②设计状态反馈阵Ｋ：求BK A +的特征多项式)(λK f ，由期望的闭环极点得期望的特征多项式)(*λK f ，比较系数，从而得到Ｋ。③设计观测器输出误差反馈阵Ｇ：求GC A -的特征多项式)(λG f ，由观测器期望的配置极点得期望的特征多项式)(*λG f ，比较系数，从而得到Ｇ。④给出观测器方程即＊２式。⑤结合＊1式和＊3式，画出相应的模拟结构图。

现代控制理论试题

现代控制理论试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系 统的那些性质 2、如何判断线性定常系统的能控性如何判断线性定常系统的能观性 3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么 三、计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 图1：RC无源网络 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和 5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐 近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。

现代控制理论基础考试题A卷及答案

即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&&

2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--??

华南农业大学现代控制理论期末考试试卷

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007 学年第1 学期考试科目：自动控制原理II 考试类型：闭卷考试时间：120 分钟 学号年级专业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分得分 评阅人 1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2 上的电压为输出量的输出方程。并画出相应的模拟结构图。（10分） 解：（1）由电路原理得： 1 1 2 2 12 1 111 2 22 11 1 11 L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =--+ =-+ =- 22 2 R L u R i = 11 22 1 11 1 2 22 1 01 1 00 11 L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ?? --?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? =-+?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? - ???? ?????? ?? ?? g g g

[]1222 00L R L c i u R i u ??????=?????????? 2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。（8分） 322y y y y u u u +++=++&&&&&&&&& 解：方法一： 12301233,2,10,1,2,1 a a a b b b b ======= ()001110221120331221300 1301 231201 13121102 b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-?==--=-?-?=-=---=-?--?-?= ()010100111232100x x u y x ?????? ? ?=+-? ? ?? ? ?---????? ?=?& 方法二：

现代控制理论 复习要点

第二章 控制系统的状态空间描述 小结 一、建模：状态空间描述（现代控制：内部描述） 1、对象：① 线性时不变系统；② 离散时间系统；③ 时变系统；④ 非线性系统。 2、模型形式（状态空间表达式）： ① 一阶微分方程组（一阶差分方程组）；② 向量-矩阵形式； ③ 系统方框图；④ 状态变量图。 3.方法（途径）： ①（已知）系统机理→（求）状态空间表达式； ②（已知）输入输出描述（经典控制：外部描述）?????→实现问题（求）状态空间表达 式（现代控制：内部描述） a 、（已知）方块图→（求）状态空间表达式； 方块图?????→无零点惯性环节有零点惯性环节二阶振荡环节 状态变量图?????????→将积分器的输出作为状态变量状态空间描述 b 、（已知）传递函数阵/高阶微分方程（脉冲传递函数阵/高阶差分方程）→（求）状态空间表达式 ))a b ????????????无零点实现：能控标准型、能观标准型 直接分解法：能控标准型、能观标准型最小实现有零点实现串联分解法(串联实现)并联分解法（并联实现或约旦标准型实现）：无重极点;有重极点 二、状态变量的线性变换 1、系统状态空间表达式的非唯一性 2、系统的不变性 ① 特征值不变性/特征多项式系数（特征方程）不变性； ② 传递函数矩阵不变性； ③ 系统的能控性与能观性不变性。 3、状态空间表达式→约旦标准型 三、状态空间表达式（现代控制：内部描述）→传递函数阵（经典控制：外部描述） 1. 已知()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t ???=+= ＋，求传递函数1()()()adj s s G s s s --+-=-+=-C I A B D I A C I A B D I A 四、组合系统 1．（已知）若干子系统的并联、串联、输出反馈联结→（求）状态空间描述或传递函数阵

现代控制理论基础试卷及答案

现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： ) 一．填空题（共27分，每空分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。8." 9.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 10.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 11.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 12.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 13._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.（ 6.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 7.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×）

(完整版)现代控制理论考试卷及答案

西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期

2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&

现代控制理论试题

现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、计算题（70分） 1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，错误！未找到引用源。为系统的输入，选错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,电压错误！未找到引用源。为为系统的输出y。 图1：RC无源网络 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解错误！未找到引用源。和错误！ 未找到引用源。

5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即错误！未找到引用源。是 否为大范围渐近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。。

现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？ 答：若错误！未找到引用源。在时刻错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于错误！未找到引用源。的实数错误！未找到引用源。和任意给定的初始状态错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的渐近稳定 二、简答题 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：错误！未找到引用源。。 方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且错误！未找到引用源。不包含元素全为0的行 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵错误！未找到引用源。满秩。即：错误！未找到引用源。 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？

《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为

[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为

现代控制理论课后习题答案

绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！

这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =

现代控制理论复习题库

一、选择题 1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。 A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。 C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。 &&&&的类型是( B ) 。 2.系统()3()10() y t y t u t ++= A．集中参数、线性、动态系统。B．集中参数、非线性、动态系统。 C．非集中参数、线性、动态系统。D．集中参数、非线性、静态系统。 3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。 A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。 B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。 C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。 D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。 x Pz说法错误的是( D )。 4.下面关于线性非奇异变换= A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。 B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。 5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。 A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。 B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。 C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。 6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。 A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。 B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。 C．能观性表征的是状态反映输出的能力。 D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。 7.下面关于系统Lyapunov稳定性说法正确的是( C ) 。

现代控制理论期末试卷

一、（10分，每小题1分） 1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×) 2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×) 3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√) 7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×) 9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√) 10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√) 二（10分，每小题5分） （1）简述平衡状态及平衡点的定义。 （2）简述状态方程解的意义。 解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。 （2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。 三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。 解： f ma =……………………………….……1分 令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=………………………………2分 于是有 12x x =………………………………..……………1分 2121k h x x x u m m m =--+……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有

《现代控制理论》复习资料

《现代控制理论》复习资料 题型一：已知系统传函，求①能控标准型、能观标准型 ②约旦标准型 例题：P155 3-4、3-9 解题步骤： 1）根据传函→能控能观标准型 传函：01221110 12211)(a s a s a s a s s s s s W n n n n n n n n n +++++++++=--------- ββββ ① 根据传函有无零极点对消判断是否能观能控 ② 写出能控标准Ⅰ型(以三阶为例) ??????????---=210100 010 a a a A ???? ??????=100b ][210βββ=c ③ 写出能观标准Ⅱ型(以三阶为例) ???????? ??---=210100100a a a A ??????????=210βββb ]100[=c 2）根据能控标准型→约旦标准型 ① 求λi ，Pi 0||=-A I λ，求得λi λi 互异时，λiPi=APi λi 有重根时， λ1P 1-AP 1=0 λ2P 2-AP 2=-P 1 λ3P 3-AP 3=-P 2 ② 求T,T -1 T=(P 1，P 2...P n ) ③ 求T -1AT,T -1B,CT Bu T ATz T Z 11--?+= Du CTz y +=

题型二：已知状态空间表达式，求①画模拟结构图 ②判断能控性、能观性 ③系统传函 例题：P56 1-7 解题步骤： 1）状态空间表达式→模拟结构图 P15 2）状态空间表达式→判断能控、能观性 见 题型四 3）状态空间表达式→传函 方法一： 根据 模拟结构图 直接写出传函 (见P23 图) 方法二： ① 先求1)()(---A sI A sI 、 ② D b A sI C s W +-=-1)()( 题型三：已知状态空间表达式，①求At e t =)(φ ②u(t),求x(t) 例题：P69 例2-8 P87 例2-6,2-4 解题步骤： 1)求)(t φ 方法一：化为约旦标准型1-=T Te e At At ① 求λi ，Pi ② 求T,T -1 ③ 1-=T Te e At At 方法二：拉氏反变换])[(11---=A sI L e At ① 求1)()(---A sI A sI 、 ② ])[(11---=A sI L e At 方法三：用凯莱-哈密顿定理 ① 求λi ② 求αi (t) ③ 两个特征值：I t A t e At )()(01αα+= 三个特征值：I t A t A t e At )()()(012ααα++= 2)求x(t) τττφφd Bu t x t t x t )()()0()()(0?-+=

现代控制理论试题(详细答案)

现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分)

解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为

现代控制理论知识点复习

现代控制理论知识点复习

第一章 控制系统的状态空间表达式 １． 状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+=&1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系； Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况； C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系， D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２． 状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而 状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤： a 选择状态变量； b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组； c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器） 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数， 将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４． 状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式： a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图； b 每个积 分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上 的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式， 即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项 式的系数也是系统的不变量。 特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根 时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设3阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量

现代控制理论试卷答案与解析

现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。

现代控制理论课程学习心得.

现代控制理论基础课程总结 学院:__机械与车辆学院_ 学号:____2120120536___ 姓名:_____王文硕______ 专业:___交通运输工程__ 《现代控制理论》学习心得 摘要:从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程,本人选择了最为感兴趣的几个知识点进行分析,并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。 关键词:现代控制理论;学习策略;学习方法;学习心得 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的选修课和研究生的学位课。 从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题,在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题,它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具,并用计算机来实现。现代控制论来源于工程实际,具有明显的工程技术特点,但它又属于系统论范畴。系统论的特点是在数学描述的基础上,充分利用现有的强有力的数学工具,对系统进行分析和综合。系统特性的度量,即表现为状态;系统状态的变化,即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定

性原理”,指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用状态变量的描述方法,才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初,卡尔曼(Kalman从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上,现代控制论中所研究的许多基本问题,诸如最优控制和最佳估计等,都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。 现代控制理论是一门工程理论性强的课程,在自学这门课程时,深感概念抽象,不易掌握;学完之后,从工程实际抽象出一个控制论方面的课题很难,如何用现代控制论的基本原理去解决生产实际问题则更困难,这是一个比较突出的矛盾。 对现代控制理论来说,首先遇到的问题是将实际系统抽象为数学模型,有了数学模型,才能有效地去研究系统的各个方面。许多机电系统、经济系统、管理系统常可近似概括为线 性系统。线性系统和力学中质点系统一样,是一个理想模型,理想模型是研究复杂事物的主要方法,是对客观事物及其变化过程的一种近似反映。现代控制论从自然和社会现象中抽象出的理想模型,用状态空间方法表示,再作理论上的探讨。 线性系统理论是一门严谨的科学。抽象严谨是其本质的属性,一旦体会到数学抽象的丰富含义,再不会感到枯燥乏味。线性系统理论是建立在线性空间的基础上的,它大量使用矩阵论中深奥的内容,比如线性变换、子空间等,是分析中最常用的核心的内容,要深入理解,才能体会其物理意义。比如,状态空间分解就是一种数学分析方法。在控制论中把实际系统按能控性和能观性化分成四个子空间,它们有着确切的物理概念。线性变换的核心思想在于:线性系统的基本性质(如能控性、能观性、极点、传递函数等在线性变换下都不改变,从而可将系统化为特定形式,使问题的研究变得简单而透彻。 在学习现代控制理论教材时,发现不少“引而未发”的问题。由于作者有丰富的教学经验与学术造诣,能深入浅出阐述问题,发人深省。因此,通过自己反复阅读教材,就能理解这些内容。比如,在探讨线性系统的传递函数的零极点相消时,如果潜伏着

2014湖南工业大学现代控制理论期末考卷

湖南工业大学2014年现代控制理论（A卷闭卷） 适用专业年级：电气、测控考试时间100 分钟 一、（第1小题12分，第2小题8分，共20分） 1.如图所示R-L-C网络: C u c R i u L （1）以电容电压和回路电路i为系统的状态变量，电容电压为输出变量， 给出该系统的状态空间表达式。 （2）根据状态空间表达式从输入u到输出u c的传递函数。 2、已知两个子系统的传递函数矩阵分别为 （1）求两个系统并联联接时，系统的传递函数阵。 求两个系统串联联接时（G1(s)在前，G2(s)在后），系统的传递函数阵。 二、（20分） 有系统如图所示： 2 ∫ -3 -2 ∫ x2x1 u y （1）给出系统状态空间表达式 （2）求系统的单位阶跃响应（初始状态x(0)=（））。 （3）求出该系统的离散化空间表达式（采样周期为T）。 答案 三、（每题10分，共20分） 1.确定下列系统为状态完全能控和状态完全能观的特定 常熟a和b。 要点：

2、系统传递函数为 （1）建立系统能控标准形实现。（2）建立系统能观测标准形实现。 四、（每题10分，共20分） 1.设系统状态方程为： 1-试确定平衡状态的稳定性。 2、设线性离散系统状态方程为： 试确定在平衡点渐近稳定的条件。 五、（20分） 设系统传递函数为： )2 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s W （1）给出系统能控标准型的实现，在此基础上设计状态反馈控制器，使闭环极点特征配置在-1±j 上， 并给出闭环传递函数的结构图。 （2）给出系统能观标准型实现，并在此基础上设计全维观测器，使观测极点为-2 ，-3。

现代控制理论基础

现代控制理论基础 １．一个线性系统的状态空间描述( B ) A．是唯一的； B．不是唯一的 C．是系统的内部描述；D．是系统的外部描述 2．设系统的状态空间方程为=X+u，则其特征根为（ D ） A． s1= -2,s2= -3；B． s1= 2,s2= 3；C． s1= 1,s2= -3；D．s1=-1,s2=-2 3．状态转移矩阵（t）的重要性质有（ D）。 A．φ（0）=0； B．φ-1（t）= -φ（t）； C．φk（t）=kφ（t）；D ．φ（t1+t2）=φ（t1）?φ（t2）4．系统矩阵A=,则状态转移矩阵φ（t）= （ C） A． ; B． ; C． ; D． ; 5. 设系统=X+u，y=x，则该系统( A )。 A．状态能控且能观测； B．状态能控但不能观测； C．状态不能控且不能观测 D．状态不能控且能观测； 6．若系统=X+u，y=x是能观测的，则常数a取值范围是（ C）。 A．a ≠ 1；B．a = 1；C．a ≠ 0；D．a = 0； 7. 线性系统和互为对偶系统，则（AD） A．C1=B2T；B． C1=B2；C． C1=C2；D．C1=B2T 8. 李雅普诺夫函数V(x)=（x1+x2）2，则V(x)是(C) A．负定的；B．正定的；C．半正定的；D．不定的 9.单位脉冲响应的拉氏变换为（B）

A．； B．; C． 0； D． 1 10.通过状态反馈能镇定的充分必要条件是，渐近稳定的子系统是（B） A．能控； B．不能控; C．能观测； D．不能观测 二.填空题（每空1分，10分） 11.状态方程揭示了系统的内部特征，也称为内部描述。 12.已知系统矩阵，则特征多项式为S2-S+1 。 13.对于完全能控的受控对象，不能采用输出反馈至参考信号入口处的结构去实现闭环极点的任意配置。 14.在状态空间分析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。 15.为了便于求解和研究控制系统的状态响应，特定输入信号一般采用脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数等输入信号。 16.若已知线性系统的矩阵【A AB A2B】的秩为3，那么该系统是能控的。 17.当且仅当系统矩阵A的所有特征值都具有负实部时，系统在平衡状态时渐近稳定的。 18.同一个系统，状态变量的选择不是唯一的。 19.控制系统的稳定性，包括外部稳定性和内部稳定性。 20.能观测性是反映输出对系统状态的判断能力。 三.名词解释（共20分） 21.状态空间描述（3分） 答：用状态变量构成输入，输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。 22. 零输入响应（3分） 答：是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 23.稳定（3分） 答：系统稳定性包括外部稳定和内部稳定；外部稳定是指系统在零初始条件下通过其外部状