《高等数学》函数的连续性与连续函数的计算

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

第一章 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

函数极限与连续

函 数 1.1.1 函数及其性质 1.函数的概念 引例 汽车以60千米/小时的速度均速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系 设行驶路程为s 千米，行驶时间为t 小时，依题意可得()600s t t =<<+∞.变量s 和t 的这种对应关系，即是函数概念的实质. 定义 设x 和y 是两个变量，D 是一个非空实数集，如果对于数集D 中的每一个数x 按照一定的对应法则f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，其中D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量． 如果对于确定的0x D ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的实数0y 与之对应，则称0y 为)(x f y =在0x 处的函数值，记作00()y f x =.集合{} (),Y y y f x x D ==∈称为函数的值域. 2.函数的表示法 （1）解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数y kx b =+ （,k b 为常数，且0k ≠）. （2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表. （3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的函数关系.如二次函数图像. 3.函数的两个要素 函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为[]1,1-等，如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集. 两个函数只有当定义域和对应法则都相同时，才是同一个函数. 例如函数 y =y x =是相同的函数；而函数()2lg f x x =与()2lg f x x =因定义域不

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知

的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②

要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知

(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

函数极限与连续知识梳理

知识梳理函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难

一、函数极限的概念 1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A， 时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称 时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。

读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。 二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如

函数、极限与连续复习题参考答案Word版

函数、极限与连续 复习题 一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +

3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是 三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→

高等数学课件：函数的连续性

高等数学课件：函数的连续性 1.7函数的连续性 教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。 教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容: 1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性 xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量 yfx,()000 ，相应地函数值的增量 ,x ,,，,,yfxxfx()() 00 xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。 lim0,,y00,,x0 x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0 xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数 lim()()fxfx,000xx,0 xfx()在点处连续。 0 左连续及右连续的概念。 xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00

x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000 xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00 x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0 2 区间上的连续函数 如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。 yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。 x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x ,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,, ,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,, ,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,, 45 xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0 意性，在内连续。 yx,sin(,),,，, xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1 x证明，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1) x由于时，，因此 axa,1lnx,0 xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，, 1.6.2 函数的间断点

函数极限与连续知识梳理

知识梳理? ? ? ? 函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难 一、函数极限的概念

1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A， 时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称 时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。

读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。 二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如

关于高等数学函数的极限与连续习题及答案

关于高等数学函数的极 限与连续习题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所 以()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x

(完整版)函数极限与连续习题含答案

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限 （2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续 （3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续 （4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。 其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若a x f x x =→)(lim 0 ，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0 C 、)(x f 在0x x =处可以无意义 D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续 B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 0 0x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00 x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ） A 、1lim 0=→x x x B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→x b ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和 7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3 )(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在 8、=--→33lim a x a x a x （ D ）

高等数学考研大总结之三函数的连续性

第三章 函数的连续性 一，函数连续性的定义（极限定义） 1 第一定义：设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果极限() a x x f →lim 存在并且 () a x x f →lim =()a f 则称函数()x f 在a 点连续或称a 是()x f 的一个连续点。 解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义) 2 第二定义： 设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果对于任意的正数ε>0,存在()0,0δδ∈使得当()δ,a U x ∈时有 ()()a f x f -<ε则称()x f 在a 点连续,特别地,若记a x x -=?，()()a f x a f y -?+=?.则有a x x →?lim =0时, a x y →?lim =0。 解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量x 的改变量(?x )非常小时函数()x f 相应的改变量也非常小,则()x f 就叫做连续函数。 ⑵ 由于?x 的引入使得在某点连续扩展到区间连续。 ⑶ 该定义体现了自变量x 所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出. ⑷ 表明了可导与连续的关系。 ⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数()x f 在点a 处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限a x x f →) (lim ㈡根据自变量的初值a 和终 值x a ?+求出函数的增量()()a f x a f y -?+=?③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验a x x f →) (lim 与()a f 是否相等㈡求极限0lim →??x y 是否为0。 3 单侧连续（左（右）连续）：设()x f 在某个[)δ+a a ,（或(]a a ,δ-）上有定义，如果() +→a x x f lim =()a f （或()-→a x x f lim =()a f ）则称()x f 在点x =a 右（左）连续。 左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。 解析:类比于单侧极限。 4. 一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I 上有定义,如果对于任意给定的正数ε总存在着正数δ使得对于区间I 上的任意两点21,x x 当δ<-21x x 时就有ε<-)()(21x f x f ,那么称函数()x f 在区间I 上是一致连续的.如果函数()x f 在[]b a ,上

函数的极限与连续

第一章 函数的极限与连续 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念. §1-1函数 一、函数的概念 定义1.1 设有一非空实数集D ，如果存在一个对应法则f ，使得对于每一个D x ∈，都有一个惟一的实数y 与之对应，则称对应法则f 是定义在D 上的一个函数. 记作y=f(x)，其中x 为自变量，y 为因变量，习惯上称y 是x 的函数，D 称为定义域. 当自变量x 取定义域D 内的某一定值0x 时，按对应法则f 所得的对应值y 0， 称为函数y=f(x)在x =x 0时的函数值，记作f(x 0)，即 y 0=f(x 0). 当自变量x 取遍D 中的数，所有对应的函数值y 构成的集合称为函数的值域，记作M ，即 {} D x x f y y M ∈==),( 例1 已知1)(2 --=x x x f ，求)0(f ，)1(f ，)(x f - 解 1100)0(2 -=--=f 1111)1(2 -=--=f 11)()()(22-+=----=-x x x x x f 例2 求下列函数的定义域. （1）142 -= x y (2))1ln(62 ++-+=x x x y 解（1）1,012 ±≠≠-x x ，所以定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞∈Y Y x （2）? ???+≥-+01062x x x ?? ?-?≤≤-?132x x ，所以定义域为(]3,1-∈x 由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定. 因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素. 如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数. 反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数. 例如：x x x f 2 2 cos sin )(+= 与1)(=x ?,因为1cos sin 2 2=+x x ,即这两个函数的对应法 则相同，而且定义域均为R ，所以它们是相同的函数. 又如1 1)(2--=x x x f 与1)(+=x x ?，虽然11 2--x x 1+=x ，但由于这两个函数的定义域不同， 所以这两个函数不是同一函数. 通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用. 二、函数的性质 1、 单调性 设函数)(x f y =在（b a ,）内有定义，若对（b a ,）内的任意两点21,x x ，当21x x ?时，有 )()(21x f x f ?，则称)(x f y =在（b a ,）内单调增加；若当21x x ?时，有)()(21x f x f ?，则称) (x f 在（b a ,）内单调减少，区间（b a ,）称为单调区间. 2、 奇偶性

函数极限与连续知识梳理

函数极限与连续知识梳理-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

知识梳理 知识梳理 第一节：函数 第二节：函数极限与连续 第三节：数列极限 2.1 函数极限内容网络图 内容提要与释疑解难 2.2内容提要与释疑解难 一、函数极限的概念 1.。

2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。 定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A， 时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成 。 定理且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。 读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。 定理。 其中。 10．若时，都有，称时是有界量。

二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系 设， （这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思） （1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作 。 （2）若，称时是的同价无穷小量。 （3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。 （4）若，称时是的k阶无穷小量。 由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入 若。记作， 如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。 例如，则。 注：A不能为零，若A=0，不可能和0等价。 无穷小量的性质： 1．若均为无穷小量，则 （i） 其中均为常数。 （ii）。 2．若时是有界量，，则。 无穷大量的性质： 1．有限个无穷大量之积仍是无穷大量。 2．有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。 无穷小量与无穷大量之间的关系： 若； 若。

高等数学函数极限与连续习题及答案

高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．

极限的概念_函数的连续性详解

第二章.极限概念 函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法） 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。 观察这个数列取值变化， 有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个a N 元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的值小于ε， 换一句话来说，对于任意的ε，总是存在一个N ，当n>N 时， 总是有ε <-a a n 成立 这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列 ,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示该数列极限。 否则我们就说数列{}a n 是发散的。

(完整版)函数、极限与连续习题及答案

第一章 函数、极限与连续 (A) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

高数函数-极限和连续总结

高数函数-极限和连续总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第一章 函数.极限和连续 第一节 函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类） （1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）； （3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1） （5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节 极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0|