2011 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（ 5 分）（ 2011?天津） i 是虚数单位，复数 =（ ）
A ． 2+i
B ． 2﹣ i
C ．﹣ 1+2i
D ．﹣ 1﹣ 2i
【考点】 复数代数形式的乘除运算．
【专题】 数系的扩充和复数．
【分析】 要求两个复数的除法运算， 分子和分母同乘以分母的共轭复数， 分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．
【解答】 解：复数 = =
=2 ﹣ i
故选 B ．
【点评】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大， 解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．
2 2
）
2．（ 5 分）（ 2011?天津）设 x ， y ∈R ，则 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x +y ≥4”的（ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】 简易逻辑．
2
2
2
2
【分析】 由“x ≥2 且 y ≥2”推出 “x +y ≥4”可证明充分性；由满足 “x +y ≥4”可举出反例推翻 “x ≥2
且 y ≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．
2 2
【解答】 解：若 x ≥2 且 y ≥2，则 x ≥4， y ≥4，所以
若 x 2 +y 2
≥4，则如（﹣ 2，﹣ 2）满足条件，但不满足
所以 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x 2
2
+y ≥4”的充分而不必要条件． 故选 A ．
【点评】 本题主要考查充分条件与必要条件的含义．
2 2 2 2
≥4；
x +y ≥8，即 x +y
x ≥2 且 y ≥2．
3．（ 5 分）（ 2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【考点】 程序框图．
【专题】 算法和程序框图．
【分析】 通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值． 【解答】 解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1 ， a=2； 经第二次循环得到 i=2 ， a=5； 经第三次循环得到 i=3 ， a=16；
经第四次循环得到 i=4 ， a=65 满足判断框的条件，执行是，输出
4
故选 B
【点评】 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．
4．（ 5 分）（ 2011?天津）已知 n
7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，
{a } 为等差数列，其公差为﹣
2，且 a
S n 为 {a n } 的前 n 项和， n ∈N *
，则 S 10 的值为（
）
A ．﹣ 110
B ．﹣ 90
C ．90
D ．110
【考点】 等差数列的前 n 项和；等比数列的性质．
【专题】 等差数列与等比数列．
【分析】 通过 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，求出
【解答】 解： a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，所以 a 72
=a 3?a 9， ∵{a n } 公差为﹣ 2，
∴a 3=a 7﹣ 4d=a 7+8， a 9=a 7+2d=a 7﹣4，
2
所以 a 7 =（ a 7+8）（ a 7﹣ 4），所以 a 7=8，所以 a 1=20，
所以 S 10= =110
故选 D
【点评】 本题是基础题，考查等差数列的前
n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考
题型．
5．（ 5 分）（ 2011?天津）在
的二项展开式中， x
2
的系数为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】 二项式定理．
【专题】 二项式定理．
【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 2，求出展开式中，
x 2
的系数，即得答案．
r 2r ﹣6 r 3﹣ r
【解答】 解：展开式的通项为
T r+1=（﹣ 1） 2 C 6 x
令 3﹣ r=2 得 r=1
所以项展开式中， x 2
的系数为﹣
故选 C
【点评】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
6．（5 分）（ 2011?天津）如图，在△ABC 中， D 是边 AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，
BC=2BD ，则 sinC 的值为（）
A．B．C．D．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】解三角形．
【分析】根据题中条件，在△ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ，利用正
弦定理可求 sin∠ BDC ，然后在△ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可
【解答】解：设 AB=x ，由题意可得AD=x ， BD=
△ABD 中，由余弦定理可得
∴s inA=
△ABD 中，由正弦定理可得? sin∠ ADB=
∴
△BDC 中，由正弦定理可得
故选： D．
【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知
识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择
基本工具解决问题．
7．（ 5 分）（ 2011?天津）已知，则（）
A ． a＞ b＞ c
B ．b＞ a＞ c C． a＞ c＞b D ．c＞ a＞ b
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】 比较大小的方法：找 1 或者 0 做中介判断大小， log 43.6＜ 1，log 23.4＞ 1，利用分数
指数幂的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到 ＞ 1＞
b ，再借助于中间值 log 2 进行比较大小，从而得到结果． ，
【解答】 解：∵ log 23.4＞1， log 43.6＜ 1，
又 y=5 x
是增函数，∴a ＞ b ，
＞
= =b
而 log 23.4＞ log 2 ＞ log 3 ，
∴a ＞ c
故 a ＞ c ＞ b ． 故选 C ．
【点评】 此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小， 以及
中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
8．（ 5 分）（ 2011?天津）对实数 a 与 b ，定义新运算
“? ”： ．设函数 f
（x ）=（x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2
），x ∈R ．若函数 y=f （x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则
实数 c 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】 函数与方程的综合运用．
【专题】 函数的性质及应用．
f （ x ） =（ x 2﹣2） ? （x ﹣ x 2
）的解析式，并求出 f
【分析】 根据定义的运算法则化简函数
（x ）的取值范围，函数 y=f （ x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f （ x ），y=c 图
象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围．
【解答】 解：∵
，
∴函数 f （ x ）=（ x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2
） =
，
由图可知，当 c ∈
∴c 的取值范围是
，
故选 B ．
【点评】 本题考查二次函数的图象特征、 函数与方程的综合运用，
及数形结合的思想． 属于
基础题．
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
9．（ 5 分）（2011?天津）一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方
法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为
12 ．
【考点】 分层抽样方法． 【专题】 概率与统计．
【分析】 根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目， 得到每个个体被抽到的
概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果． 【解答】 解：∵田径队有男运动员 48 人，女运动员
36 人，
∴这支田径队共有
48+36=84 人，
用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，
∴每个个体被抽到的概率是 ，
∵田径队有男运动员 48 人，
∴男运动员要抽取
48× =12 人，
故答案为： 12．
【点评】 本题考查分层抽样， 在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等， 这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．
10．（ 5 分）（ 2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：
m ），则这个几何体的体积
为 6+π m 3
．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】立体几何．
【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出
几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．
【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体
其中上部的圆锥的底面直径为2，高为 3，
下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1
则 V 圆锥 =?π?3= π
V 长方体 =1 ×2×3=6
则 V=6+ π
故答案为： 6+π
【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是
解答本题的关键．
11．（5 分）（ 2011?天津）已知抛物线C 的参数方程为（ t 为参数），若斜率为 1 的
直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（
222
（ r＞ 0）相切，则 r=．x﹣ 4）+y =r
【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．
【分析】由抛物线 C 的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率
222
为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（ x﹣ 4）+y =r （ r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线 C 的参数方程为
2
则抛物线的标准方程为：y =8x
则抛物线 C 的焦点的坐标为（2， 0）
又∵斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点
则直线的方程为y=x﹣ 2，即经 x﹣ y﹣2=0
2 2 2
由直线与圆（ x﹣ 4） +y =r ，则
r==
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中
根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，
构造关于 r 的方程，是解答本题的关键．
12．（ 5 分）（ 2011?天津）如图，已知圆中两条弦AB 与 CD 相交于点F，E 是 AB 延长线上
一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE 的长为．
【考点】圆的切线方程．
【专题】直线与圆．
【分析】设出 AF=4k ， BF=2k ， BE=k ，由 DF ?FC=AF ?BF 求出 k 的值，利用切割定理求出
CE．
【解答】解：设 AF=4k ，BF=2k ， BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF，得 2=8k 2
，即 k=，
∴AF=2 ， BF=1 ， BE= ， AE=，
2
= ，
由切割定理得 CE =BE ?EA=
∴CE=．
【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．
13．（ 5 分）（ 2011?天津）已知集合A={x ∈R||x+3|+|x ﹣ 4|≤9} ，
B=，则集合 A ∩B= {x| ﹣ 2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出集合 A ，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出 A ∩B ．
【解答】解：集合 A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9} ，所以 A={x| ﹣4≤x≤5} ；
集合，
，
当且仅当t=时取等号，所以B={x|x ≥﹣ 2} ，
所以 A ∩B={x| ﹣ 4≤x≤5} ∩{x|x ≥﹣ 2}={x| ﹣ 2≤x≤5} ，
故答案为： {x| ﹣ 2≤x≤5} ．
【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式
求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．
14．（ 5 分）（ 2011?天津）已知直角梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ADC=90 °，AD=2 ，BC=1 ，P 是腰 DC 上的动点，则的最小值为5．
【考点】向量的模．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则 A （ 2，0），B（ 1，a），C（ 0， a）， D（0， 0），设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a），求出，根
据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．
【解答】解：如图，以直线DA ， DC 分别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，
则A （ 2， 0）， B（ 1，a）， C（ 0， a）， D（ 0，
0）设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a）
则=（2，﹣ b），=（ 1， a﹣ b），
∴=（ 5，3a﹣ 4b）
∴=≥5．
故答案为5．
【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵
活应用知识分析解决问题的能力．
三、解答题（共 6 小题，满分80 分）
15．（ 13 分）（ 2011?天津）已知函数f（ x） =tan（ 2x+），
（1）求 f（ x）的定义域与最小正周期；
（2）设α∈（ 0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．
【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定
义域．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；
（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．
【解答】解：（Ⅰ）由 2x+≠+k π， k∈Z．所以 x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为： f （x）的最小正周期为：．
（Ⅱ）由得 tan（）=2cos2α，
整理得因为α∈（ 0，），所
以sinα+cosα≠0 因此（ cosα﹣ sinα）2 =
即 sin2α= 因为α∈（ 0，），
所以α=
【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．
16．（ 13 分）（ 2011?天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个
箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回
原箱）
（Ⅰ）求在 1 次游戏中，
（i ）摸出 3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（ X ）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；
离散型随机变量及其分布列．
【专题】概率与统计．
【分析】（ I ）（ i ）甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，
这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出
22 2 个球，事件数是 C5 C3，
摸出 3 个白球事件数为
211
（ ii ）获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个C3 C2 C2；由古典概型公式，代入数据得到结果，
白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出 2 个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算
要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在 2次游戏中获奖次数 X 的取值是0、 1、 2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）（ i）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件 A i（ i= ， 0，1， 2， 3），则P（A 3）=，
（ii ）设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 B=A 2∪A 3，又
P（A 2）=，
且 A 2、A 3互斥，所以 P（ B ）=P（ A 2） +P（ A3）=；
（Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为 0， 1， 2．
P（ X=0 ） =（ 1﹣）2
=，
1
（1﹣） = ，P（ X=1 ） =C2
P（ X=2 ） =（
2
，） =
所以 X 的分布列是
X012
p
X 的数学期望 E（ X ） =0×．
【点评】此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列
数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
17．（ 13 分）（ 2011?天津）如图所示，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， H 是正方形 AA 1B1B 的
中心， AA 1
=2
1111
．， C H⊥平面 AA B B，且 C H=
（1）求异面直线 AC 与 A 1 B1所成角的余弦值；
（2）求二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B1的正弦值；
（3）设 N 为棱 B 1C1的中点，点 M 在平面 AA 1B 1B 内，且 MN ⊥平面 A 1B1C1，求线段 BM 的长．
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．
【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．
【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．（Ⅰ）求出
中的有关向量，然后求出异面直线AC 与 A1B1所
成角的余弦值；
（Ⅱ）利用求出平面AA 1C1的法向量，通过求出平面 A 1B1C1的法向量，然后利用求二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值；
（Ⅲ）设 N 为棱 B 1C1的中点，设 M（ a，b，0），利用 MN ⊥平面 A 1B1C1，结合
求出 a， b，然后求线段 BM 的长．
方法二：（ I ）说明∠ C1A 1B1是异面直线 AC 与 A 1B1所成的角，通过解三角形C1A 1B1，利
用余弦定理，．
求出异面直线 AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．
（II ）连接 AC 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B1R，说明∠ ARB 1为二面角 A ﹣A 1C1﹣B 1的平面角．连接 AB 1，在△ARB 1中，通过，
求出二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．
（III ）首先说明MN ⊥ A1B 1．取 HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，推出
ND ⊥ A 1B1．证明 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，延长 EM 交 AB 于点F，连接 NE．连接 BM ，在 Rt △ BFM 中，求出．
【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．
依题意得
（I ）解：易得，于是，
所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．
（II ）解：易知．设平面 AA 1C1的法向量 =（ x， y， z），
则即
不妨令，可得，
同样地，设平面A1B 1C1的法向量 =（ x， y，z），
则即不妨令，
可得．
于是，
从而．
所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B 的正弦值为．
（III ）解：由 N 为棱 B1C1的中点，
得．设 M （ a， b， 0），
则
由MN ⊥平面 A 1B1C1，得
即
解得故．
因此，所以线段BM 的长为．
方法二：
（I）解：由于AC ∥ A1C1，故∠ C1A 1B1是异面直线AC 与 A 1B 1所成的角．
因为 C1H⊥平面 AA 1B1B ，又 H 为正方形 AA 1B 1B 的中心，，
可得 A 1C1=B 1C1=3 ．
因此．
所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．
（I I ）解：连接 AC 1，易知 AC 1=B1C1，
又由于 AA 1=B 1A 1， A 1C1=A 1C1，
所以△ AC 1A 1≌△ B1C1A 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，
连接 B 1R，于是 B1R⊥ A1C1，故∠ ARB 1为二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B 1的平面角．
在 Rt△ A 1RB 1中，．
连接 AB 1，在△ARB 1中，=，从而．
所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．
（I II ）解：因为 MN ⊥平面 A 1B1C1，所以 MN ⊥ A1B 1．取HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，
所以 ND ∥C1H 且．
又C1H⊥平面 AA 1B1B，
所以 ND ⊥平面 AA 1B1B，故 ND ⊥ A 1B 1．
又MN ∩ND=N ，
所以 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，则ME ⊥ A1B1，故 ME ∥AA 1．
由，
得，延长 EM 交 AB 于点 F，
可得．连接 NE ．
在 Rt△ ENM 中， ND ⊥ ME ，故
2
ND =DE ?DM ．
所以．
可得．
连接 BM ，在 Rt△ BFM 中，．
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空
间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
18．（ 13 分）（2011?天津）在平面直角坐标系xOy 中，点 P（a，b）（ a＞ b＞ 0）为动点， F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△ F1PF2为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A， B 两点， M 是直线 PF2上的点，满足，求点 M 的轨迹方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）直接利用 △ F 1PF 2 为等腰三角形得 |PF 2|=|F 1F 2 |，解其对应的方程即可求椭圆的离心率 e ；
（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得
A ，
B 两点的坐标，代入 ，即可求
点 M 的轨迹方程．
【解答】 解：（Ⅰ）设 F 1（﹣ c ，0）， F 2（ c ， 0）（ c ＞0）．
由题得 |PF 2 |=|F 1F 2|，即
=2c ，整理得 2 + ﹣ 1=0 ，得 =﹣ 1（舍），
或 = ，
所以 e= ．
（Ⅱ）由（Ⅰ） 知 a=2c ，b= c ，可得椭圆方程为
3x 2
+4y 2 =12c 2，直线方程为 y=
（x ﹣ c ）．
A ，
B 的坐标满足方程组
，
消 y 并整理得 5x 2
﹣ 8xc=0 ，
解得 x=0 ，x=
，得方程组的解为 ， ，
不妨设 A （ c ，
c ）， B （ 0，﹣
c ）．
设点 M 的坐标为（ x ，y ），则
=（ x ﹣ c ， y ﹣ c ）， =（x ， y+ c ）
由 y=
（ x ﹣ c ）得 c=x ﹣
y
① ，
由
=﹣ 2 即（ x ﹣ c ） x+ （y ﹣ c ）（ y+ c ）=﹣ 2．
将① 代入化简得 18x 2
﹣16
xy ﹣ 15=0 ，? y= 代入 ① 化简得 c=
＞ 0．所
以 x ＞ 0，
因此点 M 的轨迹方程为 18x 2
﹣ 16
xy ﹣15=0
（ x ＞ 0）．
【点评】 本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程， 平面向量等基础知识，考查用
代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．
19．（ 14 分）（ 2011?天津）已知 a ＞0，函数 f （x ） =lnx ﹣ ax 2
，x ＞ 0．（ f （ x ）的图象连
续不断）
（Ⅰ）求 f （ x ）的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明：存在 x 0∈（ 2，+∞），使 ；
（Ⅲ）若存在均属于区间 [1，3]的 α，β，且 β﹣ α≥1，使 （f α）=f （β），证明
．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（ I ）求导数 fˊ（ x）；在函数的定义域内解不等式 fˊ（x）＞ 0 和 f ˊ（ x）＜ 0 确定
函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
（II ）由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（2， +∞）内单调递减．令
．利用函数f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，得到
．最后取
．从而得到结论；
（III ）先由 f （α） =f （β）及（ I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小
值为 f（ a）．再依 1≤α≤2≤β≤3建立关于 a 的不等关系即可证得结论．
【解答】解：（ I），
令．
当 x 变化时， f' （ x）， f （ x）的变化情况如下表：
x
（0，）（，+∞）
f ′（ x） +0﹣
f （ x）增极大值减
所以，（f x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II ）证明：当．
由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，
在（ 2， +∞）内单调递减．
令．
由于 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，
故．
取．
所以存在x0∈（ 2， x'），使 g（ x0） =0，
即存在．
（说明： x'的取法不唯一，只要满足x'＞ 2，且 g（ x' ）＜ 0 即可）
（III ）证明：由 f （ α）=f （β）及（ I ）的结论知
，
从而 f （ x ）在 [ α，β]上的最小值为
f （ a ）．
又由 β﹣ α≥1， α，β∈[1，3] ，知 1≤α≤2≤β≤3．
故
从而
．
【点评】 本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．
20．（ 14 分）（ 2011?天津）已知数列
{a n } 与 {b n } 满足：
， n ∈N *
，且 a 1=2， a 2=4 ．
（Ⅰ）求 a 3，a 4， a 5 的值；
（Ⅱ）设 c n
2n ﹣1 2n+1， n ∈N *
，证明： {c n
=a
+a
} 是等比数列；
（Ⅲ）设 S k =a 2+a 4+?+a 2k ， k ∈N *
，证明：
．
【考点】 数列与不等式的综合；等比关系的确定．
【专题】 等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）要求 a 3， a 4， a 5 的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．
（Ⅱ）化简出
a 2n ﹣ 1+a 2n+1， a 2n+1+a 2n+3的关系，即： c n+1 与 c n 的关系，从而证明 {c n } 是等比
数列；就是利用（Ⅰ）的
，用 2n ﹣ 1， 2n ， 2n+1，替换
中的 n ，化简出只含 “a n ”的关系式， 就是 a 2n
﹣ 1
+a 2n +2a 2n+1=0，① 2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0，② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0，③ 然后推出 a 2n+1+a 2n+3=
﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1），得到 c n+1=﹣c n （ n ∈N *
），从而证明 {c n } 是等比数列；
（Ⅲ）先研究通项公式
a 2k ，推出 S k 的表达式，然后计算
，结合证明的表达式，利用表
达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据 a 2k ﹣1+a 2k+1=（﹣ 1） k
，对任意
k ∈N * 且 k ≥2，列出 n 个表达式，利用累加法求出 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3 ）．化简 S 2k =（ a 2+a 4）
+（a 6+a 8）+?+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ，k ∈N * ，
，
通过裂项法以及放缩法证明：
．
【解答】 20、满分 14 分．
（I ）解：由
，
可得
又 b n a n +a n+1+b n+1a n+2=0，
（ I I ）证明：对任意 n ∈N *
， a 2n ﹣1+a 2n +2a 2n+1=0， ①
2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0， ② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0， ③ ② ﹣③ ，得 a 2n =a 2n+3． ④
将④ 代入 ① ，可得 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1）
即 c n+1=﹣ c n （ n ∈N *
） 又 c 1=a 1+a 3=﹣ 1，故 c n ≠0，
因此
是等比数列．
（ I II ）证明：由（ II ）可得 a 2k ﹣ 1+a 2k+1=（﹣ 1） k
，于
是，对任意 k ∈N *
且 k ≥2，有
将以上各式相加，得 a 1+（﹣ 1）k
a 2k ﹣ 1=﹣（ k ﹣1），
即 a 2k ﹣ 1=（﹣ 1）k+1
（ k+1），
此式当 k=1 时也成立．由 ④ 式得 a 2k =（﹣ 1） k+1
（ k+3）．
从而 S 2k =（ a 2+a 4） +（ a 6+a 8）+?+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ， S 2k ﹣1=S 2k ﹣ a 4k =k+3 ．
*
所以，对任意 n ∈N ， n ≥2，
=
= =
=
对于 n=1 ，不等式显然成立．
【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1 的验证，裂项法和放缩法的应用．
２０１１年高考理科数学试题及答案(天津卷) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共１５０分，考试用时１２0分钟。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 注意事项:? 1．每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题,每小题５分,共40分. 参考公式: 如果事件A,B 互斥，那么 如果事件Ａ，B 相互独立,那么 ()()()P A B P A P B =+?()()().P AB P A P B = 棱柱的体积公式.V Sh = 圆锥的体积公式1.3V Sh = 其中S 表示棱柱的底面面积?其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高? h 表示圆锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.i 是虚数单位,复数131i i --＝ ?Ａ．2i + Ｂ．2i - C.12i -+ ?D ．12i -- 2.设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“ 224x y +≥”的 A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 Ｃ.充分必要条件 Ｄ．即不充分也不必要条件
3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序,则输出i 的值为 ?Ａ.3 ?B ．4 Ｃ.5 ??D ．６ 4．已知{}n a 为等差数列，其公差为－２，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为 {}n a 的前n 项和,*n N ∈，则10S 的值为 A.-110 ? B .－９0 ?C.90 ? D ．110 5．在6x x ??- ? ???的二项展开式中，2x 的系数为 A ．154- ?B.154 ?C.38- ?D ．38 ６.如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,23,2AB CD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为 ?A.3 ? B.3 ?C ．6 ? Ｄ．6 7．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ??=== ???则 ?Ａ.a b c >> Ｂ．b a c >> C ．a c b >> ?D ．c a b >> 8.对实数a 和b ，定义运算“?”:,1,, 1.a a b a b b a b -≤??=?->? 设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是 A ． (]3,21,2??-∞-?- ??? ?Ｂ．(]3,21,4??-∞-?-- ??? C ．111,,44????-?+∞ ? ????? ? D ．311,,44????--?+∞ ??????? 第I Ｉ卷
2018年高考全国二卷理科数学真题（解析 版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
2011年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2011?天津）i是虚数单位，复数=（） A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式． 【解答】解：复数===2﹣i 故选B． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目． 2．（5分）（2011?天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑． 【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案． 【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4； 若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2． 所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件． 故选A． 【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义． 3．（5分）（2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图． 【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值． 【解答】解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到i=1，a=2； 经第二次循环得到i=2，a=5； 经第三次循环得到i=3，a=16； 经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4 故选B 【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律． 4．（5分）（2011?天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（） A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110 【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出 【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3?a9， ∵{a n}公差为﹣2， ∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4， 所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20， 所以S10==110 故选D 【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型． 5．（5分）（2011?天津）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C． D． 【考点】二项式定理． 【专题】二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案． 【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣1）r22r﹣6C6r x3﹣r 令3﹣r=2得r=1 所以项展开式中，x2的系数为﹣ 故选C 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
2011年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2011?天津）i是虚数单位，复数=（） A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2011?天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（） A．3B．4C．5D．6 4．（5分）（2011?天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（） A．﹣110B．﹣90C．90D．110 5．（5分）（2011?天津）在的二项展开式中，x2的系数为（） A．B．C．D． 6．（5分）（2011?天津）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（） A．B．C．D．
7．（5分）（2011?天津）已知，则（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 8．（5分）（2011?天津）对实数a与b，定义新运算“?”：设函数f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2）， x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（） A．B．C．D． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）（2011?天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为_________． 10．（5分）（2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为_________m3． 11．（5分）（2011?天津）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=_________． 12．（5分）（2011?天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为． 13．（5分）（2011?天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=_________． 14．（5分）（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为_________． 三、解答题（共6小题，满分80分）
2011年高考理科数学试题及答案（天津卷） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =+U ()()().P AB P A P B = 棱柱的体积公式.V Sh = 圆锥的体积公式1.3V Sh = 其中S 表示棱柱的底面面积 其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131i i --= A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i -- 2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“ 224x y +≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为 {}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为 A ．-110 B ．-90 C ．90 D ．110 5．在6x x ??- ? ???的二项展开式中，2x 的系数为 A ．154- B ．154 C ．38- D ．38 6．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为 A ．33 B ．36 C ．6 D ．6 7．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ??=== ???则 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >> 8．对实数a 和b ，定义运算“?”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤??=?->? 设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 A ． (]3,21,2??-∞-?- ??? B ．(]3,21,4??-∞-?-- ??? C ．111,,44????-?+∞ ? ????? D ．311,,44????--?+∞ ???????
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
2018年天津市高考数学试卷（文科） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（） A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4} 2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大 值为（） A．6 B．19 C．21 D．45 3．（5.00分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4 5．（5.00分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系 为（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减 C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减 7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且 垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
8．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5.00分）i是虚数单位，复数=． 10．（5.00分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为． 11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为． 13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是． 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，
2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后 农村的经济收入构成比例。得到如下 饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图 上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上, 从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8
9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值
2011 年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（ 5 分）（ 2011?天津） i 是虚数单位，复数 =（ ） A ． 2+i B ． 2﹣ i C ．﹣ 1+2i D ．﹣ 1﹣ 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算． 【专题】 数系的扩充和复数． 【分析】 要求两个复数的除法运算， 分子和分母同乘以分母的共轭复数， 分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式． 【解答】 解：复数 = = =2 ﹣ i 故选 B ． 【点评】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大， 解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目． 2 2 ） 2．（ 5 分）（ 2011?天津）设 x ， y ∈R ，则 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x +y ≥4”的（ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】 简易逻辑． 2 2 2 2 【分析】 由“x ≥2 且 y ≥2”推出 “x +y ≥4”可证明充分性；由满足 “x +y ≥4”可举出反例推翻 “x ≥2 且 y ≥2”，则证明不必要性，综合可得答案． 2 2 【解答】 解：若 x ≥2 且 y ≥2，则 x ≥4， y ≥4，所以 若 x 2 +y 2 ≥4，则如（﹣ 2，﹣ 2）满足条件，但不满足 所以 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x 2 2 +y ≥4”的充分而不必要条件． 故选 A ． 【点评】 本题主要考查充分条件与必要条件的含义． 2 2 2 2 ≥4； x +y ≥8，即 x +y x ≥2 且 y ≥2． 3．（ 5 分）（ 2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）
2018学年高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2018年天津市高考数学试卷（理科） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（?R B）=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值 为（） A．6 B．19 C．21 D．45 3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减 C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减 7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直 于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若 点E为边CD上的动点，则的最小值为（） A．B．C．D．3 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）i是虚数单位，复数=． 10．（5分）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为． 11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体 2011年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）（2011?天津）i是虚数单位，复数=（） A．2﹣i B．2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 2．（5分）（2011?天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最 大值为（） A．﹣4 B．0 C．D．4 3．（5分）（2011?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣4，则输出y的值为（） A．0.5 B．1 C．2 D．4 4．（5分）（2011?天津）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 5．（5分）（2011?天津）已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b 6．（5分）（2011?天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的 焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（） A．2 B．2C．4D．4 7．（5分）（2011?天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（） A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数 C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数 8．（5分）（2011?天津）对实数a与b，定义新运算“?”：a?b=．设函数f （x）=（x2﹣2）?（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（） A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1] 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）（2011?天津）已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于． 10．（5分）（2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3． 11．（5分）（2011?天津）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为． 12．（5分）（2011?天津）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为． 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 全国卷 3） 理科数学 2． 1 i 2 i B ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右 可以是 1 4 ．若 sin ，则 cos 2 3 、选择题本： 题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 A x | x 1≥ 0 ， B 0 ，1，2 ，则 A B B ． C ． 1，2 D ． 0 ，1 ，2 方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯 视 图 D ． 边的小长 A． 7 B． 9 7 C． 9 8 D． 9 5． 的展开式中 4 x 的系数 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线x y 2 0 分别与x 轴，y轴交于A ， B 两点， 点 P 在圆 上，则△ABP 面积的取值范围 A ． B ． 4，8 C ． 2 ，3 2 D ． 2 2 ， 3 2 7．函数 4 2 2 y x x 的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员 中使用移动支付的人数， DX 2.4 ， P X 4 P X 6 ，则 p A ． 0.7 B ． 0.6 C ． 0.4 D ． 0.3 9． △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 △ABC 2 2 2 的面积为 a b c ，则 C π π π 4 π A ． B ． C ． D ． 2 3 4 6 10．设 A ，B ，C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A ． 12 3 B ． 18 3 C ． 24 3 2 2 11．设 F 1 ，F 2 是双曲线 x y D ． 54 3 O 是坐标原点．过 F 2 作 C 的一条渐近线 垂线，垂足为 a b P ．若 PF 1 6 OP ，则 C 的离心 率为 A ． 5 B ．2 C ． 3 C ： 2 2 1（ a 0，b 0 ）的左，右焦点， 的 log 2 0.3 ，则 A ． a b ab 0 C ． a b 0 ab 12 ．设 a log 0.2 0.3 ， b B ． ab a b 0 D ab 0 a b 、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2 2012年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．（5分）（2012?天津）i是虚数单位，复数=（） == 2．（5分）（2012?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣ y=﹣，即斜率为，截距为﹣ 3．（5分）（2012?天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（） 4．（5分）（2012?天津）已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（） ） 5．（5分）（2012?天津）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（） ； ” ＞ ” ][ ，[， 7．（5分）（2012?天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（） B ） ﹣）ω）=k ）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的 ） 再由所得图象经过点（﹣ω）ω? 8．（5分）（2012?天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足， ，λ∈R．若=﹣2，则λ=（） B 由题意可得，根据﹣λ =0 （（=[﹣[] +0= ， 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2012?天津）集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3． 10．（5分）（2012?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为30m3． ） 11．（5分）（2012?天津）已知双曲线C1：与双曲线C2： 有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0）．则a=1，b=2． 绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．43 55 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ） 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D ．7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其2018年天津市高考数学试卷(理科)
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