8-1 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m，，，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端 = = 返回 8-2 受集度为的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向 对称面间的夹角为，如图所示。已知该梁材料的弹性模量； 梁的尺寸为m，mm，mm；许用应力；许可挠度 。试校核梁的强度和刚度。 解： = ，强度安全
， = =刚度安全。 返回 8-3(8-5)图示一悬臂滑车架，杆AB为18号工字钢，其长度为m。试求 当荷载作用在AB的中点D处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 解：18号工字钢，，AB杆系弯压组合变形。 ，， == ==
返回 8-4(8-6)砖砌烟囱高m，底截面m-m的外径m，内径m，自 重kN，受的风力作用。试求： （1）烟囱底截面上的最大压应力； （2）若烟囱的基础埋深m，基础及填土自重按计算，土壤的 许用压应力，圆形基础的直径D应为多大？ 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大压应力： == 土壤上的最大压应力：
即 即 解得：m 返回 8-5(8-8)试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。 解：，z为形心主轴。 固定端为危险截面，其中： 轴力，弯矩， = A点拉应力最大 == B点压应力最大
== 因此 返回 8-6(8-9) 有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。试求： （1）当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力（设混凝土的密 度为）； （2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h为多大？ 解：以单位宽度的水坝计算： 水压： 混凝土对墙底的压力为： 墙坝的弯曲截面系数： 墙坝的截面面积： 墙底处的最大拉应力为：
第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于
平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。
第八章强度理论与组合变形 §8-1 强度理论的概念 １．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。 例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限 σ， s 铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度 σ。图9-1a,b b ２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。 例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。图（9-2a,b）
例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。图（9-3a ） 例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。图９－３b ３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。 建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。 ３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。 §8-２四个强度理论 １．最大拉应力准则（第一强度理论） 基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。 表达式：u σσ=+ max 复杂应力状态
习 题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=，kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因 钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。故 [8-2] 矩形截面木檩条的跨度m l 4=，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12][=σ，GPa E 9=，许可挠度200/][l w =。试校核檩条的强度和刚度。 解：（1）受力分析 (2)内力分析 （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 式中，32 23226676 1101606mm hb W y ≈?== （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ， 即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 =，y z cz EI l q w 38454 = 式中，)(17746667121101601243 3mm hb I y ≈?== （6）刚度分析
因为)(56.20max mm w w c ==，)(202004000200][mm l w ===，即][max w w >， 所以，从理论上讲，变形过大，不符合刚度要求。 但是，因为%5%8.220 2056.20][][max <=-=-w w w ，所以从工程的角度来说，误差在允许的范围，所以可以认为刚度符合要求，不需重新设计杉木的截面尺寸。 [8-5] 砖砌烟囱高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重kN P 20001=，受m kN q /1=的风力作用。试求： （1）烟囱底截面上的最大压应力； （2）若烟囱的基础埋深m h 40=，基础及填土自重按kN P 10001=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？ 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大压应力： = = 土壤上的最大压应力 ： 即 即 解得： m
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
组合变形和强度理论习题及解答 题1．图示，水平放置圆截面直角钢杆（2 ABC p ?），直径100d mm =，2l m =，1q k N m =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。 解： 1）各力向根部简化，根截面A 为危险面 扭矩：212nA M ql = ，弯矩 23 2 zA M ql =+，剪力2A Q ql = 2) 2348ZA M ql W d s p ==， 3132W d p =，3 116 p W d p =， 扭转剪应力：2 3 810.18n P M ql MPa W d t p ===， 3) []364.42r MPa s s = =<， ∴梁安全 题2、 平面曲杆在C 端受到铅重力P 作用。材料的 [σ]=160MPa 。若P=5KN ，l =1m ，a=0.6m 。试根据第四强度理论设计轴AB 的直径d. 解：属于弯扭组合变形 危险面A 处的内力为： 题3、平面曲拐在C 端受到铅垂力P 作用，材料的[σ]=160MPa ，E=2.1?10 5 MPa ，。 杆的直径 d=80mm ，l =1.4m ，a=0.6m ，l 1=1.0m 。若P=5KN (1) 试用第三强度理论校核曲拐的强度。 (2) 求1-1截面顶端处沿45?方向的正应变。 解： （1）危险A 上的内力为：5 1.4 7z M kN m =?? B
曲拐安全 （2）1-1截面内力：5,3z M kN m T kN m =?? 顶点的应力状态 题4. 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18 号工字钢，其长度为 2.6l m =。试求当荷载F =25kN 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 B 解：18号工字钢4 3421851030610.,.W m A m --=?? AB 杆系弯庄组合变形。 题5. 砖砌烟囱高30h m =，底截面m m -的外径13d m =，内径22d m =，自重 2000P kN =，受1/q kN m =的风力作用。试求： （1）烟囱底截面上的最大正应力； （2）若烟囱的基础埋深04h m =，基础及填土自重按21000P kN =计算，土壤的许用应力 []0.3MPa s =圆形基础的直径D 应为多大？ 注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。 解：烟囱底截面上的最大正应力：
§9.1 组合变形概述 前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。 我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。常见的组合变形有： 1.拉伸（压缩）与弯曲的组合； 2.弯曲与扭转的组合； 3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）； 4.拉伸（压缩）与扭转的组合。 本章只讨论弯曲与扭转的组合。 处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。组合变形强度计算的步骤一般如下： (1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况； (2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置； (3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。 (4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。 §9.2 弯扭组合变形强度计算 机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。
图10-1 (1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为 力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。 (2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为
组合变形练习题 一、选择 1、应用叠加原理的前提条件是：。 A：线弹性构件； B：小变形杆件； C：线弹性、小变形杆件； D：线弹性、小变形、直杆； 2、平板上边切h/5，在下边对应切去h/5，平板的强度。 A：降低一半； B：降低不到一半； C：不变； D：提高了； 3、AB杆的A处靠在光滑的墙上，B端铰支，在自重作用下发生变形， AB杆发生变形。 A：平面弯曲 B：斜弯； C：拉弯组合； D：压弯组合； 4、简支梁受力如图：梁上。 A：AC段发生弯曲变形、CB段发生拉弯组合变 形 B：AC段发生压弯组合变形、CB段发生弯曲变形 C：两段只发生弯曲变 形 D：AC段发生压弯组合、CB段发生拉弯组合变形 5、图示中铸铁制成的压力机立柱的截面中，最合理的是。
6、矩形截面悬臂梁受力如图，P2作用在梁的中间截面处，悬臂梁根部截面上的最大应力为：。 A:σ max =(M y 2+M z 2)1/2/W B：σ max =M y /W y +M Z /W Z C：σ max =P 1 /A+P 2 /A D：σ max =P 1 /W y +P 2 /W z 7、塑性材料制成的圆截面杆件上承受轴向拉力、弯矩和扭矩的联合作用，其强度条件是。 A：σ r3 =N/A+M/W≤|σ| B:σ r3 =N/A+(M2+T2)1/2/W≤|σ| C:σ r3 =[(N/A+M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| D:σ r3 =[(N/A)2+(M/W)2+(T/W)2]1/2≤|σ| 8、方形截面等直杆，抗弯模量为W，承受弯矩M，扭矩T，A点处正应力为σ，剪应力为τ，材料为普通碳钢，其强度条件为：。 A：σ≤|σ|，τ≤|τ| ； B: (M2+T2)1/2/W≤|σ| ； C：(M2+0.75T2)1/2/W≤|σ|； D：(σ2+4τ2)1/2≤|σ| ； 9、圆轴受力如图。该轴的变形为： A：AC段发生扭转变形，CB段发生弯曲变形 B：AC段发生扭转变形，CB段发生弯扭组合变形 C：AC段发生弯扭组合变形，CB段发生弯曲变形
第十二章 组合变形的强度计算 思 考 题 1 何谓组合变形？如何计算组合变形杆件横截面上任一点的应力？ 2 何谓平面弯曲？何谓斜弯曲？二者有何区别？ 3 何谓单向偏心拉伸（压缩）？何谓双向偏心拉伸（压缩）？ 4 将斜弯曲、拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）分解为基本变形时，如何确定各基本变形下正应力的正负？ 5 对斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆进行强度计算时，为何只考虑正应力而不考虑剪应力？ 6 什么叫截面核心？为什么工程中将偏心压力控制在受压杆件的截面核心范围内？ 习 题 1 矩形截面悬臂梁受力如图所示，Ｆ通过截面形心且与ｙ轴成角，已知Ｆ＝1.2ｋN ，ｌ＝２ｍ，5.1, 12==?b h ?，材料的容许正应力［σ］＝10MPa ，试确定ｂ和ｈ的尺寸。 2 承受均布荷载作用的矩形截面简支梁如图所示，ｑ与ｙ轴成?角且通过形心，已知ｌ＝4ｍ，ｂ＝10ｃｍ，ｈ＝15ｃｍ，材料的容许应力［σ］＝10MPa ，试求梁能承受的最大分布荷载m ax q 。 题 1 图 题 2 图 3 如图所示斜梁横截面为正方形，a ＝10ｃｍ，Ｆ＝３ｋＮ作用在梁纵向对称平面内且为铅垂方向，试求斜梁最大拉压应力大小及其位置。
4 矩形截面杆受力如图所示，Ｆ 1和Ｆ2的作用线均与杆的轴线重合，Ｆ3作用在杆的对称平面内，已知Ｆ1＝5ｋN ，Ｆ2＝10ｋN ，Ｆ3.＝1.2ｋN ， ＝2ｍ，ｂ＝12cm ，ｈ=18cm ，试求杆中的最大压应力。 题 3 图 题 4 图 5 图为起重用悬臂式吊车，梁ＡＣ由№18工字钢制成，材料的许用正应力[σ] =100MPa 。当吊起物重（包括小车重）Ｑ＝25ｋＮ，并作用与梁的中点Ｄ时，试校核梁ＡＣ的强度。 6 柱截面为正方形，边长为ａ，顶端受轴向压力Ｆ作用，在右侧中部挖一个槽（如图），槽深4 a 。求开槽前后柱内的最大压应力值。 题 5 图 题 6 图 7 砖墙及其基础截面如图，设在1ｍ长的墙上有偏心力Ｆ＝40kN 的作用，试求截面1-1和2-2上的应力分布图。 8 矩形截面偏心受拉木杆，偏心力Ｆ＝160kN ，ｅ＝5cm ，［σ］＝10MPa ，矩形截面宽度ｂ＝16cm ，试确定木杆的截面高度ｈ
第八章 组合变形构件的强度 8．1概 述 到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。 本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。 8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合 在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。 现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。 设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角?。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)： ?cos P P x = ?sin P P y = 其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横
第八章 组合变形构件得强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上得变形,称为( )变形。 二、计算题 1、如图所示得手摇绞车,最大起重量Q =788N,卷筒直径D =36cm ,两轴承间得距离l =80cm ,轴得许用应力=80Mpa 。试按第三强度理论设计轴得直径d 。 2、图示手摇铰车得最大起重量P =1kN,材料为Q 235钢,[σ]=80 MPa 。试按第三强度理论选择铰车得轴得直径。 3、图示传动轴AB 由电动机带动,轴长L =1、2m ,在跨中安装一胶带轮,重G =5kN,半径R =0、6m ,胶带紧边张力F 1=6kN ,松边张力F 2=3kN 。轴直径d =0、1m,材料许用应力[σ]=50MPa 。试按第三强度理论校核轴得强度。 kN 8.1? kN 2.4? 4、如图所示,轴上安装有两个轮子,两轮上分别作用有F =3kN 及重物Q ,该轴处于平衡状态。若[σ]=80MPa 。试按第四强度理论选定轴得直径d 。
5、图示钢质拐轴, AB轴得长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm,承受集中载荷F得作用,许用应力[σ]=160Mpa,若AB轴得抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论,按AB轴得强度条件确定此结构得许可载荷F。(注:写出解题过程) 6、如图所示,由电动机带动得轴上,装有一直径D=1m得皮带轮,皮带紧边张力为2F=5KN,松边张力为F=2、5KN,轮重F P=2KN,已知材料得许用应力[σ]=80Mpa,试按第三强度理论设计轴得直径d。 7、如图所示,有一圆杆AB长为l,横截面直径为d,杆得一端固定,一端自由,在自由端B处固结一圆轮,轮得半径为R,并于轮缘处作用一集中得切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆得强度条件。圆杆材料得许用应力为[σ]。
第八章 组合变形构件的强度习题答案 一、填空题 1、组合 二、计算题 1、解：31 7888010157.610(N mm)4M =???=?? 336 78810141.8410(N mm)2T =??=?? 33 800.1r d σ= =≤ 解得 d ≥30mm 2 、解：(1) 轴的计算简图 画出铰车梁的内力图： 险截面在梁中间截面左侧,P T P M 18.02.0max == (2) 强度计算 第三强度理论:() ()[]σπσ≤+=+= 2 2 322318.02.032 P P d W T M Z r []()()()() mm m d 5.320325.010118.01012.010 8032 10118.01012.032 3 2 32 36 32 32 3==??+????=??+??≥πσπ 所以绞车的轴的最小直径为32.5mm 。 3、解：
m kN 8.1? m kN 2.4? （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F 1、F 2向轴线简化，结果如图b ． 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图（c ）、（d ） 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核 ()() []σπσ≤=??+?= += MPa W T M Z r 6.4632 1.0108.110 2.43 2 32 32 23 故此轴满足强度要求。 4、解：1）外力分析 kN F Q Q F 625 .01==∴?=?Θ 2）内力分析，做内力图
组合变形和强度理论习题及解答 题1．图示，水平放置圆截面直角钢杆（2 ABC p ?），直径100d mm =，2l m =，1q k N m =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。 解： 1）各力向根部简化，根截面A 为危险面 扭矩：212nA M ql = ，弯矩 23 2 zA M ql =+，剪力2A Q ql = 2) 23 48ZA M ql W d s p ==， 3132W d p =，3 116p W d p =， 扭转剪应力：2 3 810.18n P M ql MPa W d t p ===， 3) []364.42r MPa s s = =<， ∴梁安全 题2、 平面曲杆在C 端受到铅重力P 作用。材料的 [σ]=160MPa 。若P=5KN ，l =1m ，a=0.6m 。试根据第四强度理论设计轴AB 的直径d. 解：属于弯扭组合变形 危险面A 处的内力为： 53z M kN m T kN m =?
4 5.6371r M kN m d mm = = = 题3、平面曲拐在C 端受到铅垂力P 作用，材料的[σ]=160MPa ，E=2.1?105 MPa ，。 杆的直径d=80mm ，l =1.4m ，a=0.6m ，l 1=1.0m 。若P=5KN (1) 试用第三强度理论校核曲拐的强度。 (2) 求1-1截面顶端处沿45?方向的正应变。 解： （1）危险A 上的内力为：5 1.47z M kN m =? 50.6 3T kN m =? []33 3344 6 4 7.6280 5.031032 7.62101511605.0310r z r r z M kN m W mm M MPa MPa W p s s = ?? ′===<=′ 曲拐安全 （2）1-1截面内力：5,3z M kN m T kN m =? 顶点的应力状态 6 4 510 99.45.0310MPa s ′==′ 6 4 31029.82 5.0310MPa t ′==创 B
第8章 组合变形的强度计算 8.1 组合变形的概念 在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸(压缩)、剪切、扭转、弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。在工程实际中，有很多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力(或变形)很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级，则构件的变形为组合变形。例如，如图8.1(a)所示吊钩的AB 段，在力P 作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴(如图8.1(b)所示)在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条(如图8.2(a)所示)，可以作为简支梁来计算(如图8.2(b)所示)，因为q 的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴(如图8.2(c)所示)，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。 图8.1 吊钩及传动轴 屋架 屋面 檀条 q (a) (b)(c) (a) (b) (c) 图8.2 斜屋架上的工字钢檀条 求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合变形分解为几个基本变形，然
材料力学 180 后分别考虑构件在每一种基本变形情况下的应力和变形。最后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确的。反之，对于小刚度、大变形的构件，必须要考虑各基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。 下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。 8.2 斜 弯 曲 前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外力作用面内。在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内，如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图8.2所示)。在这种情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。 现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示)，分析斜弯曲时应力和变形的计算。这时梁在F 1和F 2作用下，分别在水平纵向对称面(Oxz 平面)和铅垂纵向对称面(Oxy 平面)内发生对称弯曲。在梁的任意横截面m —m 上，由F 1和F 2引起的弯矩值依次为 1y M F x =，2()z M F x a =- 在横截面m —m 上的某点(C y ,)z 处由弯矩M y 和M z 引起的正应力分别为 y y M z I σ'= ，z z M y I σ''=- 根据叠加原理，σ'和σ''的代数和即为C 点的正应力，即 y z y z M M z y I I σσ'''+=- (8-1) 式中，I y 和I z 分别为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩；M y 和M z 分别是截面上位于水平 和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向一致(如图8.3(b)所示)。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩M y 、M z 和坐标y 、z 的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在F 1和F 2分别作用下的变形情况，来判断式(8-1)右边两项的正负号。 (a) (b) 图8.3 斜弯曲
习题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l8.0 =，kN F5.2 1 =，kN F0.1 2 =，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： y z y y z z W l F W l F l F W M W M 2 1 1 max 2+ + ? = + = σ 式中， z W， y W由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1. 16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1. 79 10 1. 79 10 1. 16 8.0 10 0.1 10 102 2 8.0 10 5.2 3 6 3 6 3 3 6 3 max = ? = ? ? ? + ? ? ? ? ? = - - σ [8-2]矩形截面木檩条的跨度m l4 =，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12 ] [= σ，GPa E9 =，许可挠度200 / ] [l w=。试校核檩条的强度和刚度。
图 习题?-2 8 解：（1）受力分析 )/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α (2)内力分析 )(432.14716.081 8122max ,m kN l q M z y ?=??=== )(864.24432.18 1 8122max ,m kN l q M y z ?=??=== （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 z z y y W M W M max ,max ,max + = + σ 式中，32 232266*********mm hb W y ≈?== 32 24693336 1601106mm bh W z ≈?== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13 636max =??+??=+ σ （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 = ，y z cz EI l q w 38454 =
一 、 填空题 1两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形 ，称为（ ）变形 、计算题 1如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N,卷筒直径D=36cm 两轴承间的距离l=80cm, 轴的许用应力 =80Mpa 。试按第三强度理论设计轴的直径 d o 2、图示手摇铰车的最大起重量 P=1kN ,材料为Q235钢，[q]=80 MPa 。试按第三强度理 论选择铰车的轴的直径。 400 -id n 3、图示传动轴AB 由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重 G=5kN,半径 R=0.6m,胶带紧边张力 F 1=6kN 松边张力 R=3kN 。轴直径 d=0.1m ，材料许用应力 [d =50MPa 。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有 F=3kN 及重物Q ,该轴处于平 第八章 组合变形构件的强度习题 40-0
5 、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度1BC=140mm,承受集中载荷F 的作用，许用应力［c）=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。（注：写出解题过程） 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D =1m的皮带轮，皮带紧边张力为 2F=5KN松边张力为F=,轮重F P=2KN,已知材料的许用应力［q］=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为I，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R,并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为［可。 衡状态。若［d=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d
习 题 [8-1] 14 号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知 l 0.8m ， F 1 2.5kN ， F 2 1.0kN ，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因 钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： l M z M y F 1 2 F 1l F 2l max W y W z W y W z 式中， W z ， W y 由 14 号工字钢，查型钢表得到 W z 102cm 3 ， W y 16.1cm 3 。 故 3 2.5 103N 0.8m 1.0 10 3 N 0.8m 79.1 10 6 Pa MPa max 6 m 3 16.1 10 6 m 3 79.1 2 102 10 [8-2] 矩形截面木檩条的跨度 l 4m ，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木， 弯曲许用正应力 [ ] 12MPa ， E 9GPa ，许可挠度 [ w] l / 200 。试校核檩条的 强度和刚度。
0.11m 0.16m 1.6kN / m z A C B l 26034' y 习题8 2图 解：（ 1）受力分析 q y q cos 1.6 cos260 34' 1.431( kN / ) m q z q sin 1.6 sin 26034 ' 0.716( kN / m) (2) 内力分析 M y ,max 1 q z l 2 1 0.716 4 2 1.432(kN m) 8 8 M z,max 1 q y l 2 1 1.43 2 42 2.864(kN m) 8 8 （ 3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点， 最大压应力出现在左下角点。 M y, max M z,max max W y W z 式中， W y hb 2 160 1102 322667 mm 3 6 6 W z bh 2 110 160 2 469333mm 3 6 6 1.432 10 6 N mm 2.864 10 6 N mm 10.54MPa max 469333mm 3 322667 mm 3 （ 4）强度分析 因为 max 10.54MPa ，[ ] 12MPa ，即 max [ ] ，所以杉木的强度足够。 （ 5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： 5q y l 4 5q z l 4 w cy ， w cz 384EI z 384EI y
第8章 组合变形的强度计算 习 题 (1) 矩形截面木制简支梁AB ，在跨度中点C 处承受一与垂直方向成 15=?的集中力 kN 10=F 的作用，如图8.19所示，已知木材的弹性模量MPa 10014?=.E 。试确定： ① 截面上中性轴的位置。② 危险截面上的最大正应力。 ③ C 点总挠度的大小和方向。 图8.19 习题(1)图 (2) 矩形截面木材悬臂梁受力如图8.20所示，N 8001=F ，N 16002=F 。材料许用应力[]10MPa σ=，弹性模量MPa 10014?=.E ，设梁截面的宽度b 与高度h 之比为1∶2。 ① 试选择梁的截面尺寸。 ② 求自由端总挠度的大小和方向。 (3) 如图8.21所示一楼梯木斜梁的长度为m 4=l ，截面为m 10m 20..?的矩形，受均布荷载作用，2kN/m q =。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力和最大压应力。 图8.20 习题(2)图 图8.21 习题(3)图 (4) 图8.22所示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为m 62.l =。试求当荷载 kN 25=F 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去 不计。 (5) 有一悬臂梁AB ，长为1l ，在末端承托一杆BC ，BC 长为2l ，C 点为铰接，B 端搁在AB 梁上(B 处为光滑接触)，在BC 中点受有垂直荷载P (如图8.23所示)。试求AB 及BC 两杆截面中的最大与最小正应力值及其作用点位置。
图8.22 习题(4)图 图8.23 习题(5)图 (6) 简支梁的受力及横截面尺寸如图8.24所示。钢材的许用应力[]160MPa σ=，试确定梁危险截面中性轴的方向，并校核此梁的强度。 图8.24 习题(6)图 (7) 如图8.25所示两种高为m 7=H 的混凝土堤坝的横截面。若取混凝土容重为 3kN/m 20=γ，为使堤坝的底面上不出现拉应力，试求坝所必需的宽度1a 和2a 。 图8.25 习题(7)图 (8) 图8.26所示钻床的立柱为铸铁制成，kN 15=F ，许用应力t []35MPa σ=。试确定立柱所需直径d 。 (9) 砖砌烟囱高m 30=h ，底截面m —m 的外径m 31=d ，内径m 22=d ，自重
组合变形构件的强度 一、单项选择题： 1．在偏心拉伸（压缩）情况下，受力杆件中各点的应力状态为（ ）。 A ．单向应力状态； Ｂ．二向应力状态； Ｃ．单向或二向应力状态； Ｄ．单向应力状态或零应力状态。 2．圆截面折杆ABCDEF 在端部受一对集中力P 作用，力P 与Z 轴平行，如图所示。该折杆处于弯扭组合变形状态的部分是（ ）。 A ．杆BC 和杆DE ； Ｂ．杆CD ； Ｃ．杆BC 、杆CD 和杆DE ； Ｄ．无。 个那么好吗c3．圆截面悬臂梁受载如图，固定端横截面上的最大拉、压应力为（ ）。 A ． )( z y y W Mz W M + ±； Ｂ． )32( 3 2 2d M M z y π+±； Ｃ．)16(3 2 2d M M z y π+±； Ｄ． )(1 z y z M M W +± 。 题2图 题3图
4．图（1）杆件承受轴向拉力F ，若在杆上分别开一侧、两侧切口如图（2）、图（3）所示。令杆（1）、（2）、（3）中的最大拉应力分别为、m ax 1σ、m ax 2σ和m ax 3σ，则下列结论中（ ）是错误的。 A. m ax 1σ一定小于m ax 2σ B. m ax 1σ一定小于m ax 3σ C. m ax 3σ一定大于m ax 2σ D. m ax 3σ可能小于m ax 2σ 5．某构件横截面上危险点处的应力：弯曲正应力z W M =σ，扭 转切应力t W T = τ 。按第三强度理论的强度条件为（ ）。 A ．t W T M 22+= σ ≤[σ]； Ｂ．2 )(42)( t W T z W M += σ≤[σ]； Ｃ．2 )(32)( t W T z W M += σ≤[σ]； Ｄ．t W T z W M + = σ≤[σ]。 6．图示刚架BACD ，处于弯扭组合变形的是（ ）段。 A ．A B ,CD 段； Ｂ．A C ,C D 段； Ｃ．AB,AC 段； Ｄ．CD 段。 题7图 题4图 题6图
8-2 人字架及承受的荷载如图所示。试求m-m 截面上的最大正应力和A 点的正应力。 m 解：（1）外力分析，判变形。由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折将发生压弯组合变形。引起弯曲的分力沿y 轴，中性轴z 过形心与对称轴y 轴垂直。 截面关于y 轴对称，形心及惯性矩 1122123 122 32 8444 A A 20010050200100(100100) 125A +A 200100+200100 200100200100(12550)12100200100200(300125100)12 3.0810 3.0810C z z z y y y I I I -+??+??+= ==???=+=+??-?++??--=?=?mm mm m (2)内力分析，判危险面：沿距B 端300毫米的m-m 横截面将人字架切开，取由左边部分为研究对象，受力如图所示。梁上各横截面上轴力为常数： ,m-m 250(1.80.3sin )(1.80.3202.5(k 22250cos =100(k ) 22y N P M P F ??= ?-=?-=?=?=N m) N (3)应力分析，判危险点，如右所示图 ①m-m 截面上边缘既有比下边缘较大的弯曲压应力，还有轴力应力的压应力，故该面上边缘是出现最大压应力。
m m max 33410010202.510(0.30.125)(Pa) 2.5115.06MPa 117.56MPa 2(0.20.1) 3.0810 N z F M y A I σ ---= +?-??=-?-=--=-???上② A 点是压缩区的点，故 m m 334 10010202.510(0.30.1250.1)(Pa) 2.549.31MPa 51.83MPa 2(0.20.1) 3.0810N a a z F M y A I σ--= +?-??=-?--=--=-???注意：最大拉应力出现在下边缘 m m max 3 3 4 10010202.510 0.125(Pa) 2.582.18MPa 79.68MPa 2(0.20.1) 3.0810N z F M y A I σ ---=+?-??= +?=-+=???下 8-3 图示起重机的最大起吊重量为W=35kN ，横梁AC 由两根NO.18槽钢组成。 材料为Q235，许用应力[σ]=120MPa 。试校核横梁的强度。 (a ) Ay (b) 解：〈1〉外力分析：外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC 发生压弯组合变形。对C 取矩BA 杆所受拉力为： 70(3.5) ()0sin 30 3.535(3.5)070203.5 C AB AB x m F F x F x ?-=→?-?-=→= -∑=kN 2〉内力分析： 轴力、弯矩均是x 的函数