第一章集合与函数概念
知识架构
第一讲 集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：
文字语言 符号语言
属于 ∈
不属于
?
4.常见集合的符号表示
数集 自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集 复数集
符号
N *N 或+
N
Z
Q
R C
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A 与集合B 中的所有元素
都相同
B A ?且A ?B ? B A =
子集 A 中任意一元素均为B 中的元素
B A ?或A B ?
真子集
A 中任意一元素均为
B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素
A
B
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
A ?φ，φ
B （φ≠B ）
三：集合的基本运算
①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A
B ={}x x A x B ∈∈或;
③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={}
x x U x A ∈?且
交 并 补
{|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或
U C A ={}x x U x A ∈?且
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合
的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{}
)(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：
问题：已知集合221,1,9432x y x y M x
N y ????
=+==+=?????????
则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2
[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线12
3=+y
x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B
[正解] C ； 显然{}
33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M
(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用
Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ?φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ?
（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ?，C B ?，则C A ? 4．集合的运算性质
（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ? ，B B A ? ⑤B A A B A ??= ；
（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ? ，B B A ? ⑤A B A B A ??= ； （3）交、并、补集的关系 ①φ=A C A U ；U A C A U =
②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =
★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设
{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）
A ．0；
B ．2；
C ．3；
D ．6
[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知
A B *={}4,2,0，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）
A ．X Y ；
B ．Y X ；
C ．Y X =；
D ．Y X ≠
[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。 [新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A ．
B A ? B.
C B ? C.C B A = D. A C B = [解析]
D ；因为全集为A ，而C B =全集=A
2．(2006?山东改编）定义集合运算:{
}
B y x xy y x B ∈∈+==?A,,z A 2
2,设集合
{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ?A 的所有元素之和为
[解析]18，根据B ?A 的定义，得到{}12,6,0A =?B ，故B ?A 的所有元素之和为18 3．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ?∈且,|，如果
{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于
[解析] {}31< )1,1(1-=<=x x Q ，所以 )3,1(=-Q P 4．研究集合{ }42 -==x y x A ，{ }42 -==x y y B ，{ } 4),(2 -==x y y x C 之间的关系 [解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而B A ；因为{} 42-==x y x A 表示 42-=x y 的定义域，故R A =；{} 42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域，),4[+∞-=B ；{} 4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，B A ，而A 与C ，B 与C 都无包含关系 考点二：集合的基本运算 [例3] 设集合{ } 0232 =+-=x x x A ，{ } 0)5()1(22 2=-+++=a x a x x B （1） 若{}2=B A ，求实数a 的值； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ， [解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 [解析]因为{} {}2,10232 ==+-=x x x A ， （1）由{}2=B A 知，B ∈2，从而得0)5()1(422 2 =-+++a a ，即 0342=++a a ，解得1-=a 或3-=a 当1-=a 时，{ } ??2,2042 -==-=x x B ，满足条件； 当3-=a 时，{} {}20442 ==+-=x x x B ，满足条件 所以1-=a 或3-=a （2）对于集合B ，由)3(8)5(4)1(42 2 +=--+=?a a a 因为A B A = ，所以A B ? ①当0 ③当0>?，即3->a 时，{ }2,1==A B 才能满足条件， 由根与系数的关系得?? ??? =- =????-=?+-=+7 25521)1(22122 a a a a ，矛盾 故实数a 的取值范围是3-≤a 【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练] 6．若集合{ }R x y y S x ∈==,3，{ } R x x y y T ∈-==,12 ，则T S 是（ ） A. S ； B. T ； C.φ； D. 有限集 [解析] A ；由题意知，集合{} R x y y S x ∈==,3表示函数R x y x ∈=,3的值域，故 集合),0(+∞=S ；{} R x x y y T ∈-==,12 表示函数R x x y ∈-=,12 的值域， ),1[+∞-=T ，故S T S = 7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ，{} 4),(=-=y x y x N ，那么集合N M 为（ ）A.1,3-==y x ；B.)1,3(-；C.{}1,3-；D.{})1,3(- [解析]D ；N M 表示直线2=+y x 与直线4=-y x 的交点组成的集合，A 、B 、C 均不合题意。 8．集合{|10}A x ax =-=,{} 2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值. [解析] 1 0,1, 2 ；先化简B 得, {}1,2B =.由于A B B =A B ??,故1A ∈或2A ∈. 因此10a -=或210a -=,解得1a =或1 2 a =. 容易漏掉的一种情况是: ?=A 的情形,此时0a =. 故所求实数a 的值为1 0,1,2 . 备选例题1：已知{}1+==x y y M ，{ } 1),(2 2=+=y x y x N ，则N M 中的元素个数是（ ） A. 0； B. 1； C.2； D.无穷多个 [解析]选A;集合M 表示函数1+=x y 的值域,是数集,并且R M =,而集合N 表示满足 122=+y x 的有序实数对的集合,即表示圆122=+y x 上的点,是点集。所以，集合M 与集合 N 中的元素均不相同，因而φ=N M ，故其中元素的个数为0 [误区分析]在解答过程中易出现直线1+=x y 与圆12 2=+y x 有两个交点误选C ；或者误认为1+=x y 中R y ∈，而12 2=+y x 中11≤≤-y ，从而]1,1[-=N M 有无穷多个解而选D 。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。 备选例题2：已知集合A 和集合B 各有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： (Ⅰ)C B A ，且C 中含有3个元素； (Ⅱ)φ≠A C （φ表示空集） [解法一]因为A 、B 各有12个元素，B A 含有4个元素， 因此，B A 的元素个数是2041212=-+ 故满足条件(Ⅰ)的集合C 的个数是3 20C 上面集合中，还满足φ=A C 的集合C 的个数是3 8C 因此，所求集合C 的个数是10843 8320=-C C [解法二]由题目条件可知，属于B 而不属于A 的元素个数是8412=- 因此，在B A 中只含有A 中1个元素的所要求的集合C 的个数为2 8112C C 含有A 中2个元素的所要求的集合C 的个数为1 82 12C C 含有A 中3个元素的所要求的集合C 的个数为3 12C 所以，所求集合C 的个数是10843 121821228112=++C C C C C ★抢分频道 基础巩固训练： 1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集 {}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则右图中阴 影部分表示的集合为 ( ) A ．{} 0x x >；B ．{}30x x -<<；C ．{}31x x -<<-；D ．{} 1x x <- [解析]C ；图中阴影部分表示的集合是B A ，而{} 03<<-=x x A ，故 {}13-<<-=x x B A 2. （韶关09届高三摸底考）已知{}{} 2(1)0,log 0A x x x B x x =->=< 则A B = A ．(0,1)； B ．(0,2)； C ．)0,(-∞； D ．)(,0) (0,-∞+∞ [解析] A ；因为{}10<<=x x A ，{}10<<=x x B ，所以{} 10<<=x x B A 3. （苏州09届高三调研考）集合{1,0,1}-的所有子集个数为 [解析]8；集合{1,0,1}-的所有子集个数为823 = 4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A 中的代表元素设为x ，集合B 中的代表元素设为y ，若B x ∈?且A y ∈?，则A 与B 的关系是 U B A [解析]A B ? 或A B ?≠?；由子集和交集的定义即可得到结论 5．(2008年天津)设集合{} {}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是（ ） A ．13-<<-a ； B ．13-≤≤-a C ．3-≤a 或1-≥a ； D ．3-a [解析]A ；{}{} 5132|>-<=>-=x x x x x S 或，{}8|+<<=a x a x T ，R T S = 所以?? ?>+-<5 81 a a ，从而得13-<<-a 综合提高训练： 6．{}01<<-=m m P ,{ } 恒成立对于任意实数x mx mx R m Q 0442 <-+∈= 则下列关系中立的是( ) A ．P Q ; B ．Q P ;C ．Q P =;D ．φ=Q P [解析]A ；当0≠m 时，有?? ?<-??-=?<0 )4(4)4(0 2 m m m ，即 {}01<<-∈=m R m Q ；当0=m 时，0442<-+mx mx 也恒成立，故 {}01≤<-∈=m R m Q ，所以P Q 7.设)(12)(N n n n f ∈+=，{ }5,4,3,2,1=P ，{}7,6,5,4,3=Q ，记 {}P n f N n P ∈∈=)(?，{} Q n f N n Q ∈∈=*)(?，则)??()??(P C Q Q C P N N ＝( ) A. {}3,0; B.{ }2,1; C. {}5,4,3; D. {}7,6,2,1 [解析] A ；依题意得{}2,1,0?=P ，{}3,2,1?=Q ，所以{ }0)??(=Q C P N ， { }3)??(=P C Q N ，故应选A 8．（09届惠州第一次调研考）设A 、B 是非空集合，定义 {}A B x x A B x A B ?=∈???且，已知A=2{|2}x y x x =-，B={|2,0}x y y x =>， 则A ×B 等于（ ） A ．[)0,+∞；B ．[] [)0,12,+∞；C ．[)[)0,12,+∞；D ．[] 0,1(2,)+∞ [解析]D ；22002x x x -≥?≤≤，∴A=[0，2]，021x x >?>，∴B=（1，＋∞）， ∴A ∪B=[0, ＋∞），A ∩B=（1，2]，则A ×B ＝[] 0,1(2,)+∞ 第2讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为 A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而 22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a [正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同 2． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 )32(log 22 1++-=x x y 就是利用函数u y 2 1log =和322++-=x x u 的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2 21 22 +-+= x x x y 的值域 由2 2122+-+=x x x y 得012)1(22 =-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是 函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2 ≥--+-=?y y y 得 021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2 13 3,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1 cos 3 cos 2+-=x x y 的值域，因为 1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]2 5 ,(1cos 5--∞∈+-x ，故 ]2 1 ,(--∞∈y （5）利用基本不等式求值域：如求函数4 32+=x x y 的值域 当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，x x y 43+ = ，若0>x ，则44 24=?≥+ x x x x 若0 x x x x x x ，从而得所求值域是]4 3 ,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(222 4 -∈+-=x x x y 的值域 因)14(2282 3 -=-=x x x x y ，故函数])2,1[(222 4 -∈+-=x x x y 在)2 1 ,1(--上递减、在 )0,21(-上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,8 15 [ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 ★热点考点题型探析 考点一：判断两函数是否为同一个函数 [例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x x f = )(，?? ?<-≥=; 01 ,01)(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1 212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f = )(1+x ，x x x g += 2)(； （5）12)(2 --=x x x f ，12)(2 --=t t t g [解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同， 所以它们不是同一函数. （2）由于函数x x x f = )(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而?? ?<-≥=; 01 ,01)(x x x g 的定义 域为R ，所以它们不是同一函数. （3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，x x x g n n ==--1 212)()(， 它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数x x f = )(1+x 的定义域为{} 0≥x x ，而x x x g += 2)(的定义域为 {}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2 +=x x f ， 1)(2+=t t f ，1)1()1(2++=+u u f 都可视为同一函数. [新题导练] 1．(2009·佛山) 下列函数中与函数x y =相同的是( ) A .y = (x )2 ; B. y = y =2x ; D. y = x x 2 [解析] B ；因为y = t =，所以应选择B 2．(09年重庆南开中学)与函数) 12lg(1.0-=x y 的图象相同的函数是 （ ） A.)21(12> -=x x y ；B.121-=x y ；C.)21(121>-=x x y ； D.|1 21 |-=x y [解析] C ；根据对数恒等式得1 2110 1.01 21 lg ) 12lg(-= ==--x y x x ，且函数) 12lg(1.0-=x y 的定义域为),2 1(+∞，故应选择C 考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数= )(x f )4323ln(1 22+--++-x x x x x 的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ ;B.)1,0()0,4( -；C. ]1,0()0,4[, -;D. )1,0()0,4[, - [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数)(x f 有意义，必须并且只需 ??? ????≠>+--++-≥+--≥+-0043230 430232 2 2 2x x x x x x x x x )1,0()0,4[ -∈?x ，故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 题型2：求抽象函数的定义域 [例3]（2006·湖北）设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 -- [解题思路]要求复合函数?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。 [解析]由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,2 22 2.x x ?-< ? ?-< 解得() ()4,11,4x ∈--。故 ?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ，则函数[()]f g x 的定义域是满足不等式()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地，若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ，指的是[,]x a b ∈，要求()f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()g x 的值域。 题型3；求函数的值域 [例4]已知函数)(6242 R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域 [解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162 ≤+-=?a a ，解得2 31≤≤-a ， 所以4 17 )2 3 ()3(2)(2+ +-=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，419)23()(min -==f a f ，所以)(a f 的值域是]4,4 19[- 【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。 [新题导练] 3.（2008 安徽文、理）函数2()f x =的定义域为 ． [解析] [3,)+∞；由?? ?≠->-≥--1 1,01012x x x 解得3≥x 4．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数(1)y f x =-的值域为( ) A ．[1,1]a b --； B ．[,]a b ； C ．[1,1]a b ++； D ．无法确定 [解析] B ；函数(1)y f x =-的图象可以视为函数()y f x =的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的 5．(2008江西改) 若函数()y f x =的定义域是]3,1[，则函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域是 [解析] ]2 3,1()1,21[ ；因为()f x 的定义域为]3,1[，所以对()g x ，321≤≤x 但1x ≠故 ]2 3,1()1,21[ ∈x 6．(2008江西理改)若函数()y f x =的值域是]3,32[，则函数()()1 () F x f x f x =+的值域 是 [解析] ]310, 2[；)(x F 可以视为以)(x f 为变量的函数，令)(x f t =，则)33 2 (1≤≤+=t t t F 2 222)1)(1(111t t t t t t F -+=-=-='，所以，t t F 1+=在]1,3 2 [上是减函数，在]3,1[上是增函数，故)(x F 的最大值是 3 10 ，最小值是2 考点三：映射的概念 [例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ） A ．7,6,1,4； B ．6,4,1,7； C ．4,6,1,7； D ．1,6,4,7 [解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。 [解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时， 有214292323428a b b c c d d +=??+=??+=??=?，解得6417 a b c d =??=??=??=?，解密得到的明文为C ． 【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点： （1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统； （2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的； （3）集合A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一．．的，这是映射区别于一般对应的本质特征； （4）集合A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； （5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. [新题导练] 7．集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________. [解析] 9 , 8；从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N 1＝3×3＝9.反之从B 到A ，道理相同，有N 2＝2×2×2＝8种不同映射. 8．若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B. [解析] a =2，k =5，A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}； ∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知（1） ?????+=+=,133,1024k a a a 或（2）?????+==+. 13, 1034 2k a a a ∵a ∈N ，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5. ∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}. 备选例题：（03年上海）已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：存在非零常数T ，对任意R x ∈，有)()(x Tf T x f =+成立。 （1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的图象与x y =的图象有公共点，证明： M a x f x ∈=)( [解析]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ? （2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点， 所以方程组：???==x y a y x 有解，消去y 得a x =x , 显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T. 于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =?=?==++ 故f (x )=a x ∈M. ★抢分频道 基础巩固训练： 1．(2007·广东改编) 已知函数x x f -=11)(的定义域为N ，)1ln()(x x g +=的定义域为M ， 则=N M [解析] ),(+∞∞；因为(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故R N M = 2．函数)23(log 3 1-= x y 的定义域是 [解析] 23(,1]；由1230≤- 13 2 ≤ 21 2+-=x x y 的值域是 [解析])1,1(-；由1 212+-=x x y 知1≠y ，从而得y y x -+=112，而02>x ，所以 011>-+y y ，即11<<-y 4．（广东从化中学09届月考）从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是( ) 第一章集合与函数概念 知识架构 第一讲 集合 ★知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 文字语言 符号语言 属于 ∈ 不属于 ? 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N *N 或+ N Z Q R C 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素 都相同 B A ?且A ?B ? B A = 子集 A 中任意一元素均为B 中的元素 B A ?或A B ? 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素 A B 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A ?φ，φ B （φ≠B ） 三：集合的基本运算 ①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={} x x U x A ∈?且 交 并 补 {|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或 U C A ={}x x U x A ∈?且 ★重、难点突破 重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法 （1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{} )(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ???? =+==+=????????? 则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2 [错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线12 3=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B [正解] C ； 显然{} 33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。 3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ?φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ? （3）子集、真子集都有传递性，即若B A ?，C B ?，则C A ? 4．集合的运算性质 （1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ? ，B B A ? ⑤B A A B A ??= ； 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 第I 卷（选择题） 一、单选题（60分） 1．某班级有名学生，其中有名男生和名女生，随机询问了该班五名男生和五名503020女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为， ， ， ， 116124118122，五名女生的成绩分别为， ， ， ， ，下列说法一定正确的120118123123118123是（B ） A ． 这种抽样方法是一种分层抽样 B ． 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 C ．这种抽样方法是一种系统抽样 D ． 该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 2．掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是3点的概率为（ C ） A ．103 B ．185 C ．31 D ．4 1 3．如图，矩形中点位边的中点，若在矩形内部随机取一个点，ABCD E CD ABCD Q 则点取自内部的概率等于（ D ） Q ABE A ． B ． C ． D ． 4131322 14．某杂志社对一个月内每天收到的稿件数量进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示）， 则该样本的中位数、众数分别是（ D ） A ． 47，45 B ． 45，47 C ． 46，46 D ． 46，45 5． 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ B ）A. B. C. D.11231015110 6．高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，则甲丙相邻的概率为（ A ）A ． 12 B ．13 C ．23 D ．14 7．将2005x =输入如下图所示的程序框图得结果（ A ） A ．2006 B ．2005 C ．0 D ．2005 - 8．98和63的最大公约数为（ B ）A.6 B.7 C.8 D.9 9．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k:5:3，现用分层抽样 高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾 一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论； 二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函 北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解 第一章集合与函数概念 知识架构 第一讲集合 ★知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 三：集合的基本运算 ①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={} x x U x A ∈?且 {|B x x ={|B x x = ★重、难点突破 重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法 （1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{} )(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ????=+==+=????????? 则M N=（ ） A. Φ； B. {})2,0(),0,3(； C. []3,3-； D. {}3,2 [错解]误以为集合M 表示椭圆 14 922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B [正解] C ； 显然{} 33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。 3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ?φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ? （3）子集、真子集都有传递性，即若B A ?，C B ?，则C A ? 4．集合的运算性质 （1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ? ，B B A ? ⑤B A A B A ??= ； 高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.doczj.com/doc/1c7137274.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝. 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1.1 算法的概念（第1课时） (3) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解： 算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =2 ) 1(+n n 直接计算 第一步：取n =5； 第二步：计算 2 ) 1(+n n ； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程； 第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； 第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些 在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序 或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成 . 高一数学必修1基础试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.11 2.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则 A.A B B.B A C.A =B D.A ∩B =? 3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2 ＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合P ＝{x |3 高中数学必修一专题讲解 高中数学必修一专题讲解（集锦） 专题一：抽象函数常见题型解法 总章——抽象函数的考察范围及类型 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。(]8,3,34,0?? ??? ? （数学1必修）第一章（上） 集合 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ． },01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 二、填空题 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1 ______,_______,______2 R Q Q e C Q π- （e 是个无理数） （3{} |,,x x a a Q b Q =∈∈ 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则 C 的 非空子集的个数为 。 3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． A B C 此文档下载后即可编辑 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； 高一数学必修一《集合》专题复习 一．集合基本概念及运算 1．集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈?且，则A B -= A. {}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}2 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合N M ?为 （ ） A. 3,1x y ==- B. {}(,)|31x y x y ==-或 C. (3,1)- D. {(3,1)}- 4．已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ，集合}{|2,02x N y y x ==≤≤,则 ()M N =R e（ ） A ．[]1,2 B ．(]2,4 C ．[)1,2 D ．[)2,4 5.已知{}{}222,21x A y y x x B y y ==-++==-，则A B = _________。 6、已知R x ∈ ，集合{}{}11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ?B =-，求x 的值和集合A?B ． 7. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =? 则实数a 的取值范围为 ▲ . 8．已知集合，，且，求实数 的取值范围。 9．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{} 2|(1)0B x x m x m =+++=； 若A B ?，求m 的值。 10.已知集合{}{}{}|28,|16,|A x x B x x C x x a =≤≤=<<=>，U R =. (I)求A B ， U C A B ；(II)若A C ≠? ,求实数a 的取值范围． 高一数学必修一知识点整理 【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》，希望你不负时光，努力向前，加油！【篇一】高一数学必修一知识点整理 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a:A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 教育精品资料 按住Ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n= 2)1 (+ n n 直接计算第一步：取n=5； 第二步：计算 2)1 (+ n n ； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性） 例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程； 第二步：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 课题：§集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一 个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评， 进而讲解下面的问题。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5.元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A（或a A）（举例） 6.常用数集及其记法 ∈ 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表 示集合。 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 例1．（课本例1） ?补偿练习1 1．下面的结论正确的是() A．a∈Q，则a∈N B．a∈Z，则a∈N C．x2－1＝0的解集是{－1，1} D．以上结论均不正确 2．下列说法正确的是() A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1，2，3和9，1，4组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程x2－4＝0和方程|x－1|＝1的解构成了一个四元集 3．用列举法表示{(x，y)|x∈N＋，y∈N＋，x＋y＝4}应为() A．{(1，3)，(3，1)} B．{(2，2)} C．{(1，3)，(3，1)，(2，2)} D．{(4，0)，(0，4)} 4．下列命题： (1)方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}； (2)集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}的公共元素所组成的集合是{0，1}； (3)集合{x|x－1<0}与集合{x|x>a，a∈R}没有公共元素． 其中正确的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 2，4，6，8，若a∈A，则8－a∈A，则a的取值构成的集合是________．5．对于集合A＝{} 6．定义集合A*B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈B}，若A＝{1，2}， B＝{0，2}，则A*B中所有元素之和为________． 7．若集合A＝{－1，2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则求实数a，b的值． 8．已知集合A＝{a－3，2a－1，a2＋1}，a∈R. (1)若－3∈A，求实数a的值；(2)当a为何值时，集合A的表示不正确． ??补偿练习2 1．下列关系中正确的个数为() ①0∈{0}；②?{0}；③{(0，1)}?{(0，1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}． 集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。 1．1．1集合的含义 使用说明： “自主学习”10分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。 “合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。 “巩固练习”10分钟，组长负责，组点评。 “个人总结”5分钟，根据组讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 能力展示5分钟，教师作出总结性点评。 通过本节学习应达到如下目标: (1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈”关系的意义.。. (2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合. (3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现 实和数学对象中的意义. (4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性). (5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事、扎实严谨的科学态度. 学习重点： 集合概念的形成。 学习难点： 理解集合的元素的确定性和互异性. 学习过程 （一）自主学习 阅读课本，完成下列问题： 1、例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特点，它们能否构成集合，如果能，他们的元 素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。 2、一般地，我们把研究对象称为 .，把一些元素组成的总体叫做。 3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。 4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。 5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。元素通常用小写的拉丁字母表示，如。 6、如果 a是集合A 的元素,就说 a属于A ,记作 ,读作””。 如果 a不是集合 A的元素,就说 a不属于A ,记作，读作””。 7、非负整数集（或自然数集），正整数集，整数集，有理数集， 有理数集，实数集。 （二）合作探讨 1、下列元素全体是否构成集合，并说明理由 （1）世界上最高的山（2）世界上的高山。(3) 2的近似值 (4)爱好唱歌的人 （5）本届奥运会我国取得优秀成绩的运动员。（6）本届奥运会我国参加的所有运动项目。高中数学必修一专题复习
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