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浅谈中学数学中的反证法

摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法不仅是一种论证方法，还是一种思维方式，对培养和提高学生的逻辑思维能力和创造性思维能力也有极其重要的作用，还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍反证法在中学数学中的应用并举例分析以及说明应用反证法要注意的问题。

关键词：反证法；中学数学；应用；

On the Proof by Contradiction in Middle School

Mathematics

Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.

Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;

浅谈中学数学中的反证法 (1)

1 引言 (1)

2 反证法的产生 (1)

2.1古希腊的反证法 (1)

2.2 中国古代数学中的反证法 (2)

3 反证法的定义与步骤 (2)

3.1 反证法的定义 (2)

3.2反证法的解题步骤 (2)

4 反证法的分类与科学性 (4)

4.1反证法的分类 (4)

4.1.1归谬法例题 (4)

4.1.2穷举法例题 (4)

4.2反证法的科学性 (5)

4.2.1反证法的理论依据 (5)

4.2.2反证法的可信性 (5)

4.3为什么要使用反证法 (6)

5 反证法在中学数学中的应用 (6)

5.1基本命题，即学科中的起始性命题 (6)

5.2命题采取否定形式 (7)

5.3有关个数的命题 (9)

5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题 (10)

5.5不等式类型 (11)

5.6几何类型题 (12)

6 使用反证法解题过程中要注意的问题 (13)

6.1反设要正确 (13)

6.2 要明确推理特点 (13)

6.3能灵活运用 (13)

6.4 反证法与举反例不等同 (14)

6.5熟悉矛盾的种类 (14)

7 总结 (14)

参考文献 (14)

致谢 (15)

浅谈中学数学中的反证法

1 引言

反证法是间接论证的方法之一，早在古希腊,一些数学家就用反证法解决了许多数学问题。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”，它在中学数学中有着不可替代的重要作用，一般来说，当学生遇到不容易或者不能从正面进行证明的题目时，则可以尝试运用反证法进行证明。反证法弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，运用反证法可以培养和提高学生的逆向思维能力和创造思维能力，把不可能转化为可能。教师应要结合熟悉的生活实例和典型的数学例题，帮助并引导学生了解反证法继而使用反证法，然后运用反证法拓宽学生解决问题的思路。不仅在中学数学中能运用反证法，生活中也能运用反证法解决问题。如李某与朋友们外出游玩，看到路边的树上结满了果子，朋友们都去摘取果子，唯独李某站在原地一动不动，一朋友问他为什么不去摘取，李某说：“在路边的树上结满果子必然是苦的”，朋友摘取果子尝试，果然是苦的。为什么李某在还未尝试果子前就知道是苦的？因为李某巧妙地使用了反证法，如果果子是甜的，路边树上的果子已被采摘。像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是说明它的反面是错误的，从而得出它本身是正确的。我们知道，推理与证明是数学问题解题的基本思维过程，从上面的故事中，我们生活中可以使用推理与证明的思维方式进行思考问题。

2 反证法的产生

2.1古希腊的反证法

西方的数学在毕达哥拉斯学派的影响下，他们认为“万物皆数”（指整数），数学知识是可靠和准确的。但随着第一次数学危机的发生，自根号二的发现，使希腊人重新审视了他们自己的数学，从此他们放弃了以数为基础的几何。第一次数学危机使他们无法依靠图形和直观，因此，西方数学必须以证明为主来证明数学。而他们要的是准确性的数学。它的表现形式是：逻辑、演绎的体系。可见它是指证明的数学与算的数学正好相反。希腊人认为数值计算是几何证明之后的一个应用，他们更注重演绎与证明，指出“不要近似”，也就是要达到“明确的形式证明和公理的使用”［1］。最开始运用到反证法的是古希腊最盛名的数学家

欧几里德，在他的著作《几何原本》里就开始运用反证法了，如证明素数有无穷多个的结论，假设命题不真，则素数只有有限多个。柏拉图认为数学应从绝对假设开始，并通过一系列的逻辑推理达到所需要的结论。亚里士多德则努力把形式逻辑应用到数学中，开始研究数学概念，而且他并不同意毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的观点，再者是承认公设，亚里士多德认为数学证明就是把原有的道理给画出来，问题就可以得到解决。

2.2 中国古代数学中的反证法

在中国的古代数学里对推理演绎的证明不是那么重视，尽管人们发现一些逻辑规律，例如在魏晋时期的雄辩之风，大多数的反驳用到了归谬法，这里的归谬法就是举反例，刘徽受当时的影响，在他的《九章算术注》中，归谬论证法被多次使用，刘徽在证明某些公式是错误的时候，用的方法都是反驳，并且是成功的，符合逻辑规律的。墨子也用过归谬法，例如：“学之益也，说在诽者。”通过证明“学习是没有益处”为假，从而得到命题“学习是有益的”为真。归谬法也是反证法中的一种方法，但因为中国逻辑学的不完善，在指出明确运用反证法的用法上是少之又少，与西方差别甚大。

3 反证法的定义与步骤

3.1 反证法的定义

反证法是“间接证明法”的一类，简而言之就是从反方向证明的证明方法。最早法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这段话可以理解为先提出与结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法［2］。

3.2反证法的解题步骤

用反证法证明一个命题的步骤大体上可以归纳为三个步骤:

（1）反设——反设是用反证法解题的基础，反设是否准确对解题过程与结果起着决定性的影响。第一步要找到题目中的已知条件和结论，接着是细心并准确找出与结论相反的假设，最后是对结论进行肯定或否定。

（2）归谬——归谬是重点，亦是难点。利用题设和反设出发,经过严格地逻

辑推理和论证,最终导出矛盾。但许多学生不知道怎样去寻找矛盾.所以,教师在教学时,要让学生清楚:反设后条件都有什么;逻辑推理的方向;矛盾将如何产生.

（3）结论——即根据反设以及归谬所得到的最终结果。归谬是根据反设得到一个与命题原结论矛盾的理论，从而肯定命题的原结论。完成这三步，用反证法解题就已经完成［3］。

例如：已知:如下图，设点A、B、C在同一直线上，求证：过A、B、C三点不能作圆.

【反设】假设过A、B、C三点能作圆，这个假设作为下一步“归谬”的一个已知条件。

【归谬】由上述假设过A、B、C三点能作圆出发，设此圆圆心为O，则A、B、C三点中连任意两点的线段是圆O的弦，由垂径定理：O既在AB的中垂线OM 上，又在BC的中垂线ON上，从而过点O有两条直线OM与ON均与AC垂直，这个结论就与定理“同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。推理正确，所以假设错误。

【结论】故过同一直线上三点A、B、C不能作圆。

4 反证法的分类与科学性

4.1反证法的分类

反证法分为归谬法和穷举法。用归谬法证题时，如果将要证明的命题的方面情况只有一种，那么只要把这种情况反驳倒了，便可以达到反证的目的。如果要证明的方面情况有多种，那么必须将所有情况一一推翻，然后进行一一分析与处理，才能推断原结论成立，这就是穷举法。

4.1.1归谬法例题

著名的俄国文学家赫尔岑，曾经参加一个了聚会，他非常不喜欢派对上播放的音乐，促使他用手捂住耳朵。

主人向他解释道：“演奏的是流行的音乐。”

赫尔岑反问主人：“流行的音乐就是高尚的吗？”

主人听后很吃惊地回答道：“不高尚的东西怎么能够流行呢？”

赫尔岑笑着说：“流行感冒也是高尚的了？”

题意：“不高尚的东西怎么能够流行呢？”这句话等于“一切流行的东西都是高尚的”。赫尔岑却假设定其为真，从而导出“流行感冒也是高尚的了”这个荒谬的结果。荒谬的结果可以把主人话中不明显的荒谬揭露出来。这就是运用归谬法从假定被反驳的判断是真的，推出荒谬的结论。甚至结论不用直接说出来，就足以使对方承认自己论题的荒谬。这种巧妙的揭示，显得很幽默，有趣得使人发笑。

4.1.2穷举法例题

若121≥>x x ,则有n n x x 21>,

证明:若不然,则有,

()21211x x x x n n =?=,与题设矛盾,

()21212x x x x n n

4.2反证法的科学性

4.2.1反证法的理论依据

反证法所依据的是亚里士多德的形式逻辑中的两个基本规律，即矛盾律和排中律。两者的概念有所不同，所谓矛盾律是说：在同一个论证过程中，两个互相矛盾的判断，即互相矛盾或者互相反对的判断，其中必然有一个是假的，不可能同时为真。如对3这个数,“3是有理数”和“3 是无理数”的两个判断中必然有一个是假的，不可能同时为真。而所谓的排中律是：在同一个思维过程中，两个矛盾的思想，即两个互相矛盾的判断，其中必然有一个是真的，不可能同时为假。如要证明“3是无理数”,只需要证明“3是有理数”是假的，因为“3是有理数”和“3不是有理数”,是两个相矛盾的判断,则根据排中律,其中必然有一个是真的。排中律常用公式表示为“A 或者非A ”，即“A ∨?A ”。

矛盾律与排中律的相同点和区别。其相同点是：两个规律都不能存在逻辑矛盾，如果违背排中律那毋庸置疑也违背了矛盾律。区别：第一，适用范围不同。矛盾律包含了互相反对的判断，而排中律只包含了互相矛盾的判断，说明矛盾律是包含排中律的。在此，解释一下互相矛盾与互相反对。互相矛盾是指这两个命题不能同真，也不能同假。而互相反对是指这两个命题不能同真，但是可以同假。第二，逻辑要求不同。矛盾律要求互相矛盾和互相反对的命题，不能加以肯定，必须否定其中一个。而排中律要求互相矛盾的命题，不能加以否定，必须肯定其中一个。排中律还要求需具有明确性和清晰性的思维。

4.2.2反证法的可信性

反证法在其证明过程中，对“原结论”和“否定的原结论”，必然得到矛盾的两个判断，根据“矛盾律”，这两个矛盾的判断不能同时为真，必须有一个假的，而已知的条件、已知的公理、定理、法则或者已经被证明是正确的命题都是真的，所以“否定的原结论”必定为假。再根据“排中律”，“原结论”和“否定的原结论”这一对立的互相矛盾的判断不能同时为假，必有一真，而“否定的原

结论”为假，由此我们可以得到原结论必定为真。综上所诉，反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，通过严谨的逻辑推理，从而得出令人信服的正确结论，所以反证法是可信的。

4.3为什么要使用反证法

直接证法与反证法最终目的都是为了证明结论。这两种证法就像是两条道路，前者是直线，后者是曲线。如果路好走，我们肯定选择直路，但是如果直线路崎岖难行，难关重重，那我们宁愿选择那条比较好走的路虽然它曲折。若直路是一条绝路，那是非走曲折路不可了。这与我们选择使用何种证明方法类似，有些题目虽然可以用直接证法，但用反证法会简便很多，所以我们宁愿选择用反证法。而有些题目则只能用反证法来证明。虽然反证法有时可以用直接证法来代替，但是不能否定反证法的存在。反证法与直接证法都是必要的，同等重要。

5 反证法在中学数学中的应用

在中学数学中，常用反证法证明的命题有以下几种类型：

5.1基本命题，即学科中的起始性命题

这类命题用直接证明是有一定难度的或者说结论的反面比结论本身更容易证明，因为已知条件以及由已知条件推出的结论比较少，在这种题目中能够运用的定理、定义、公理也比较少，此时我们会选择用反证法来进行证明［4］。

5.1.1两条直线同时平行于第三条直线,则原两条直线互相平行.

已知:，，EF CD EF AB ////

求证:.//CD AB

证明：假设AB 与CD 不平行,

则AB 与CD 相交于点P

EF AB // ，即EF AP // 、EF CD //即EF CP //, 过P 点有两条不同的直线与EF 平行,但这与平行公理矛盾,因此假设AB 不平行CD 不成立.

故CD AB //.

【分析】让学生知道这种类型题是不能直接证明的，这要从问题的反面出发，A C E B D F

图1

否定命题结论，即AB 与CD 不平行，那么它们肯定相交，交点为P ，因为过点P 就有两条直线AB 、CD 都平行于EF ，这显然与平行公理矛盾，产生矛盾的原因是假设错误。所以AB 与CD 不相交，则只能平行，问题得证［5］。

例5.1.2 直线PO 与平面α相交于O ，过点O 在平面α内引直线OA 、OB 、OC ，POC POB POA ∠=∠=∠，求证：α⊥PO 。

证明：假设PO 不垂直平面α。

作α⊥PH 并与平面α相交于H ，此时H 、O 不重合，连结OH 。

过P 作OA PE ⊥于E ，OB PF ⊥于F ，

根据，三垂线定理可知，OA HE ⊥，OB HF ⊥。

因为POB POA ∠=∠，PO 是公共边，

所以POF Rt POE Rt ???

所以OF OE =

又OH OH =

所以OEH Rt OFH Rt ???

所以EOH FOH ∠=∠

因此，OH 是AOB ∠的平分线。

同理可证，OH 是AOC ∠的平分线。

但是，OB 和OC 是两条不重合的直线， OH 不可能同时是AOB ∠和AOC ∠的平分线，产生矛盾。

【分析】本道题若从正面进行证明，根据题目所给条件所能借助的公理定理有限，则只能尝试从反面去思考，这道题由于不能直接证明α⊥PO ，不妨先假设PO 不垂直平面α，以此为条件再结合相关定理得到与客观事实不符合的结论，这说明假设“PO 不垂直平面α”错误，那么假设的反面就是正确的，即α⊥PO ，故原命题结论成立。

5.2命题采取否定形式

结论中出现“不可能”、“不存在”、“没有”、“不是”等这样否定形式的字眼a O P A

B C E F H

的命题；

例5.2.1 是无理数。

是有理数，那我们能找到自然数a 和b ，使得

=/a b

这里的a 和b 是互质的，对上式两边进行平方，得到

222a b =

因此，2a 为偶数，所以，a 也一定是偶数。于是，存在一个自然数c,使得

2a c =，则224a c =，则222c b =

从而2b 是偶数，因此b 也是偶数。由上得出,a b 均为偶数与,a b 互质矛盾，所以

是无理数。

［4］

【分析是无理数是很平常的结论，它为什么是无理数，大多数学生都会说因为它是无限不循环小数，但是没有人能对其作出严格的证明。希巴斯利用毕达哥拉斯的勾股定理，发现边长为1的正方形对角线的长度不是有理数，继而发现无理数的存在，但希巴斯却因为这个真理死亡。确实，我们在证

是无理数会让人手足无措，于是，我们可以从

是有理数出发进行证明，结果肯定与原结论是矛盾的。

例5.2.2 在一个三角形中，不可能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角。

求证：∠A ，∠B ，∠C 中不可能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，我们不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则∠A+∠B+∠C 一定大于1800。这与定理“三角形内角和为1800”相矛盾。故 ∠A ，∠B 均大于900是不成立的。所以，一个三角形不可能有两个钝角。

【分析】由上题可知，对于这种“不可能事件”，我们很难从正面解题，如果我们从正面进行证明，那它的情况就会很多，我们几乎无从下手。“不可能事件”的反面是“肯定事件” ，如若从它的反面出发，就只有这一种情况，所以我们

假设∠A ＞900,且∠B ＞900。当题目含有“不可能”、“不存在”、“没有”、“不是”等这样形式的字眼，运用逆向思维把“不可能事件”变成“肯定事件”，相当于给题目增加了一个条件，这样就达到了运用反证法解题的目的。

5.3有关个数的命题

即结论中含有“唯一”、“至多”、“至少”、“不少于”、“最多”等这样的词语命题；

例5.3.1 已知0≠a ,求证关于x 的方程b ax =有且只有一个根.

证明:假设方程b ax =（0≠a ）至少存在两个根,

不妨设其中的两根分别为21x x 、,且21x x ≠,则b ax b ax ==21，,

21ax ax =∴,

021=-∴ax ax ,

()021=-∴x x a ,

0,2121≠-≠x x x x ,

0=∴a 与已知0≠a 矛盾,

故假设不成立,结论成立.

【分析】对于这种唯一性的问题，本道题一样是直接使用反证法证明，在本题中，我们知道“有且只有一个”的反面是“至少存在两个”，因此，可以直接写出它的否命题。根据逻辑推理能推出我们假设的是错误的，继而得出原结论是正确的。

例5.3.2 已知a , b , c 都是正实数，求证：下列三个式子中至少有一个不小于2：

a c c

b b a 1

+++ 证明：不妨设三个式子a c c

b b a 1,1

+++全部都小于2，

即 21

<+b a ，21

<+c b ，21

<+a c

由于,,a b c 是任意的正实数，可以令a b c ===5, 则我们有：2.51

=+=+=+a c c b b a 显然矛盾。所以，假设不成立，故原命题成立，即a c c b b a 1,1,1+++

中至少有一

个不小于2. 【分析】“三个式子中至少有一个不小于2”共有七种情况，虽然结论很显然，但是证明起来困难又繁杂，而它的反面是“全都小于2”只有一种情况，那我们肯定选择从反面进行证明，利用反证法，我们假设三个式子全都小于2，再来证明假设是错误的，原结论才得以成立。由上述例题可以知道当遇到结论中含有“唯一”、“至多”、“至少”、“不少于”、“最多”等这样的词语命题时，我们可以从反面进行思考并分析问题，看看能不能使用反证法证题，这样会简便很多。

5.4结论涉及无限集或数目不确定的命题

待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法全部列出，这些命题结论的反面是有限的、肯定的，这时宜用反证法。

例5.4.1证明质数有无限多个

证：假设质数个数为有限个，假设质数只有有限n 个

设全体质数为n p p p p ,,3,2,1...，

令1...321+=n p p p p p ，很容易发现p 除以1p 余1，除以2p 余1，除以n p 余1，所以p 不含因数n p p p p ,,3,2,1...，故p 要么是质数，要么含有除了n p p p p ,,3,2,1...外的质因数，这说明除了质数n p p p p ,,3,2,1...外，还有其他质数，因此，假设不成立。所以，质数有无限多个。

【分析】首先题目原结论说质数有无限多个，很显然，它的反面就是质数个数为有限个，并假设它有n 个，设全体质数为n p p p p ,,3,2,1...，令p 是一个比

n p p p p ,,3,2,1...大1的数。由逻辑推理可得n p p p p ,,3,2,1...都不是p 的因数，所以，p 是一个与n p p p p ,,3,2,1...都不同的质数。故对于这种涉及无限的结论也可用反证法而证之。

5.5不等式类型

对于一些较复杂的不等式，有时候很难从正面直接入手去证明，这时可以考虑尝试反证法。

例5.5.1已知,0,0,0>>++>++xyz zx yz xy z y x .求证：z y x ,,全是正数证明：假设.0,0,0<∴>

又由0>++z y x ，则0>-=+x z y ，

0)(<++=++∴yz z y x zx yz xy ，与原结论矛盾.

若0=x ,则与0>xyz 矛盾，所以，x 一定是正数.

同理可证：z y ,也是正数［6］。

【分析】对于不等式类型的命题，首先弄清楚题目所含有的条件和结论，条件即0,0,0>>++>++abc ac bc ab c b a ，最后结论是0,,>c b a 。其次是作出与所要证明的不等式相反的假设，即c<0。接着是根据题目所给条件和假设出发，进行正确的逻辑推理，导出矛盾。最后肯定因为假设错误而导致矛盾，故原不等式成立。不等式类型的题目会因为使用反证法间接地达到目的

例5.5.2 在△ABC 中，2cos cos cos 2=++C B A ,求证：

3π≤A . 证明：假设3π>

A ,

由已知条件得

2cos cos 2)sin 21(22222=+--+C B C B A 即

0)sin 2(cos sin 2222=--A C B A 因为0sin 2≠A

,故

22cos sin 2C B A -=，

又

3,π

π>>A 。则212sin >A ，所以1cos 2>-C

B 。这与1cos 2≤-